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1、數(shù)學(xué)是科學(xué)的大門和鑰匙-培根可化為一元一次方程的分式方程知識(shí)講解（基礎(chǔ)）責(zé)編：杜少波【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 了解分式方程的定義，根及增根的意義，會(huì)解可化為一元一次方程的分式方程2. 會(huì)列出分式方程解簡(jiǎn)單的應(yīng)用問(wèn)題【要點(diǎn)梳理】【高清課堂 405788 分式方程的解法及應(yīng)用 知識(shí)要點(diǎn)】要點(diǎn)一、分式方程、根與增根1.分式方程分母中含有未知數(shù)的方程叫分式方程.要點(diǎn)詮釋：（1）分式方程的重要特征：是等式；方程里含有分母；分母中含有未知數(shù).（2）分式方程和整式方程的區(qū)別就在于分母中是否有未知數(shù)（不是一般的字母系數(shù)）.分母中含有未知數(shù)的方程是分式方程，分母中不含有未知數(shù)的方程是整式方程.（3）分式方程和整式方程的
2、聯(lián)系：分式方程可以轉(zhuǎn)化為整式方程.2.分式方程的根、增根及檢驗(yàn) 分式方程的解也叫作分式方程的根在檢驗(yàn)時(shí)只要把所求出的未知數(shù)的值代入最簡(jiǎn)公分母中，如果它使最簡(jiǎn)公分母的值不等于O，那么它是原分式方程的一個(gè)根；如果它使最簡(jiǎn)公分母的值為O，那么它不是原分式方程的根，稱它是原方程的增根要點(diǎn)詮釋：（1）增根的產(chǎn)生的原因：對(duì)于分式方程，當(dāng)分式中，分母的值為零時(shí)，無(wú)意義，所以分式方程，不允許未知數(shù)取哪些使分母的值為零的值，即分式方程本身就隱含著分母不為零的條件當(dāng)把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程以后，這種限制取消了，換言之，方程中未知數(shù)的值范圍擴(kuò)大了，如果轉(zhuǎn)化后的整式方程的根恰好是原方程未知數(shù)的允許值之外的值，那么就會(huì)
3、出現(xiàn)增根 （2）檢驗(yàn)增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最簡(jiǎn)公分母，看最簡(jiǎn)公分母是否為0，如果為0，則是增根；如果不是0，則是原分式方程的根要點(diǎn)二、分式方程的解法1.解分式方程的基本思想：將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程.轉(zhuǎn)化方法是方程兩邊都乘以最簡(jiǎn)公分母，去掉分母.在去分母這一步變形時(shí)，有時(shí)可能產(chǎn)生使最簡(jiǎn)公分母為零的根，這種根叫做原方程的增根.因?yàn)榻夥质椒匠虝r(shí)可能產(chǎn)生增根，所以解分式方程時(shí)必須驗(yàn)根.2.分式方程的一般步驟：（1）方程兩邊都乘以最簡(jiǎn)公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：當(dāng)分母是多項(xiàng)式時(shí)，先分解因式，再找出最簡(jiǎn)公分母）；（2）解這個(gè)整式方程，求出整式方程的解；（3）檢驗(yàn)：將求得
4、的解代入最簡(jiǎn)公分母，若最簡(jiǎn)公分母不等于0，則這個(gè)解是原分式方程的解，若最簡(jiǎn)公分母等于0，則這個(gè)解不是原分式方程的解，原分式方程無(wú)解. 要點(diǎn)三、分式方程的應(yīng)用分式方程的應(yīng)用主要就是列方程解應(yīng)用題.列分式方程解應(yīng)用題按下列步驟進(jìn)行：（1）審題了解已知數(shù)與所求各量所表示的意義，弄清它們之間的數(shù)量關(guān)系；（2）設(shè)未知數(shù)；（3）找出能夠表示題中全部含義的相等關(guān)系，列出分式方程；（4）解這個(gè)分式方程；（5）驗(yàn)根，檢驗(yàn)是否是增根；（6）寫出答案.要點(diǎn)詮釋：1、列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟：設(shè)、列、解、驗(yàn)、答必須嚴(yán)格按照這五5步進(jìn)行做題，規(guī)范解題步驟，另外還要注意完整性：如設(shè)和答敘述要完整，要寫出單位等 2、要
5、掌握常見(jiàn)問(wèn)題中的基本關(guān)系，如行程問(wèn)題：速度=路程時(shí)間；工作量問(wèn)題：工作效率=工作量工作時(shí)間等等列分式方程解應(yīng)用題一定要審清題意，找相等關(guān)系是著眼點(diǎn)，要學(xué)會(huì)分析題意，提高理解能力【典型例題】類型一、判別分式方程1、（2016春閔行區(qū)期末）下列方程中，不是分式方程的是（）A BC D【思路點(diǎn)撥】判斷一個(gè)方程是否為分式方程主要是看這個(gè)方程的分母中是否含有未知數(shù)【答案】B；【解析】解：A、該方程符合分式方程的定義，屬于分式方程，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、該方程屬于無(wú)理方程，故本選項(xiàng)正確；C、該方程符合分式方程的定義，屬于分式方程，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、該方程符合分式方程的定義，屬于分式方程，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：B
6、【總結(jié)升華】本題考查了分式方程的定義：分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程類型二、解分式方程2、 解分式方程（1）；（2）【答案與解析】解：（1），將方程兩邊同乘，得解方程，得檢驗(yàn)：將代入，得 是原方程的根（2），方程兩邊同乘以，得解這個(gè)方程，得檢驗(yàn)：把代入最簡(jiǎn)公分母，得251100 原方程的解是【總結(jié)升華】將分式方程化為整式方程時(shí)，乘最簡(jiǎn)公分母時(shí)應(yīng)乘原分式方程的每一項(xiàng)，不要漏乘常數(shù)項(xiàng)特別提醒：解分式方程時(shí)，一定要檢驗(yàn)方程的根舉一反三：【變式】解方程：【答案】解：，方程兩邊都乘，得，解這個(gè)方程，得，檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)， 是增根， 原方程無(wú)解類型三、分式方程的增根【高清課堂405788 分式方程的解法及應(yīng)
7、用 例3（1）】3、（2015春安岳縣期中）若解關(guān)于x的分式方程會(huì)產(chǎn)生增根，求m的值【思路點(diǎn)撥】增根是分式方程化為整式方程后產(chǎn)生的使分式方程的分母為0的根把增根代入化為整式方程的方程即可求出m的值【答案與解析】解：方程兩邊都乘（x+2）（x2），得2（x+2）+mx=3（x2）最簡(jiǎn)公分母為（x+2）（x2），原方程增根為x=2，把x=2代入整式方程，得m=4把x=2代入整式方程，得m=6綜上，可知m=4或6【總結(jié)升華】增根確定后可按如下步驟進(jìn)行：化分式方程為整式方程；把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值舉一反三：【變式】如果方程有增根，那么增根是_【答案】；提示：因?yàn)樵龈鞘狗质降姆帜笧榱愕?/p>
8、根，由分母或可得所以增根是類型四、分式方程的應(yīng)用4、甲、乙兩班參加綠化校園植樹(shù)活動(dòng)，已知乙班每小時(shí)比甲班多種2棵樹(shù)，甲班種60棵樹(shù)所用的時(shí)間與乙班種66棵樹(shù)所用的時(shí)間相等求甲、乙兩班每小時(shí)各種多少棵樹(shù)?【思路點(diǎn)撥】本題的等量關(guān)系為：甲班種60棵樹(shù)所用的時(shí)間與乙班種66棵樹(shù)所用的時(shí)間相等【答案與解析】解：設(shè)甲班每小時(shí)種棵樹(shù)，則乙班每小時(shí)種棵樹(shù)由題意可，得，解這個(gè)方程，得經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的根且符合題意所以(棵)答：甲班每小時(shí)種20棵樹(shù)，乙班每小時(shí)種22棵樹(shù)【總結(jié)升華】解此題的關(guān)鍵是設(shè)出未知數(shù)后，用含的分式表示甲、乙兩班種樹(shù)所用的時(shí)間舉一反三：【變式】（2015十堰）在我市開(kāi)展“五城聯(lián)創(chuàng)”活動(dòng)中，某工程隊(duì)承擔(dān)了某小區(qū)900米長(zhǎng)的污水管道改造任務(wù)工程隊(duì)在改造完360米管道后，引進(jìn)了新設(shè)備，每天的工作效率比原來(lái)提高了20%，結(jié)果共用27天完成了任務(wù)，問(wèn)引進(jìn)新設(shè)備前工程隊(duì)每天改造管道多少米？【答案】解：設(shè)原來(lái)每天改造管道x米，由題意得：+=27，解得：x=30，經(jīng)檢驗(yàn)：x=30是原分式方程的解，答：引進(jìn)新設(shè)備前工程隊(duì)每天改造管道30米數(shù)學(xué)是最寶貴的研究精神之一-華羅庚
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