高中數(shù)學人教B版必修2作業(yè)與測評：1．2 階段檢測二 Word版含解析

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1、 階段檢測(二) 對應學生用書P37(范圍：1．2) 本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分，滿分150分，考試時間120分鐘． 　　　　　　　　　　　　　　　　　 第Ⅰ卷(選擇題，共60分) 一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的) 1．下列圖形一定是平面圖形的是(　　) A．有一個角是直角的四邊形 B．有兩個角是直角的四邊形 C．有三個角是直角的四邊形 D．四個角都是直角的四邊形 答案　D 解析　結合空間四邊形可知，選項A，B，C不一定是平面圖形，四個角都是直角的四邊形是矩形，是平

2、面圖形． 2．若a與b是兩條異面直線，那么在經過b的所有平面中(　　) A．只有一個平面與a平行 B．有無數(shù)個平面與a平行 C．沒有平面與a平行 D．有且只有二個平面與a平行 答案　A 解析　在直線b上任取一點P，過點P作直線a′∥a，則a′與b確定一個平面α，顯然a?α，故經過b與a平行的平面只有一個． 3．已知空間兩條不同的直線m，n和兩個不同的平面α，β，則下列結論正確的是(　　) A．若m∥α，n?α，則m∥n B．若α∩β＝m，m⊥n，則n⊥α C．若m∥α，n∥α，則m∥n D．若m∥α，m?β，α∩β＝n，則m∥n 答案　D 解析　若m∥α，n?α則m

3、∥n或m與n異面，故A錯誤；若α∩β＝m，m⊥n，則n⊥α或n?α，或n與α相交，故B錯誤；若m∥α，n∥α，則m∥n或m與n異面或m與n相交，故C錯誤． 4．若直線l不平行于平面α，且l?α，則(　　) A．α內的所在直線與l異面 B．α內不存在與l平行的直線 C．α內存在唯一的直線與l平行 D．α內的直線與l都相交 答案　B 解析　依題意，設直線l∩α＝A(如圖)． α內的直線若經過點A，則與直線l相交；若不經過點A，則與直線l是異面直線，故選B． 5．若直線a∥b∥c，則經過a的所有平面中(　　) A．必有一個平面同時經過b和c B．必有一個平面經過b且不經過c

4、 C．必有一個平面經過b但不一定經過c D．不存在同時經過b和c的平面 答案　C 解析　若a∥b∥c，且三條直線共面，則經過a的所有平面中必有一個平面同時經過b和c，選項B，D不正確；若a∥b∥c，且三條直線不共面，則經過a的所有平面中必有一個平面經過b且不經過c，選項A不正確． 6．已知直線l與平面α，β，若l∥α，l?β，α∩β＝a，則l與a的位置關系是(　　) A．不共面 B．相交 C．平行 D．不確定 答案　C 解析　直線與平面平行的性質定理． 7．若a，b，c表示直線，α表示平面，下列條件中，能使a⊥α的是(　　) A．a⊥b，a⊥c，b?α，c?α B．

5、a⊥b，b∥α C．a∩b＝A，b?α，a⊥b D．a∥b，b⊥α 答案　D 解析　當b∥c時，選項A不正確；選項B中直線a與平面α的位置不確定；選項C中直線a與平面α可能斜交．故選D． 8．已知平面α⊥β，α∩β＝l，直線a?α，直線b?β，a，b與l斜交，則(　　) A．a與b不能垂直，但可能平行 B．a與b可能垂直，也可能平行 C．a與b可能垂直，但不能平行 D．a與b不能垂直，也不能平行 答案　D 解析　解法一：假設a∥b，由于a在β外，b在β內， ∴a∥β，而α過a與β交于l， ∴a∥l，這與已知矛盾，∴a不平行b． 假設a⊥b，在β內作直線m⊥l， ∵

6、α⊥β，∴m⊥α，∴a⊥m． 又由于b和m共面且相交(若m∥b則b⊥l，與已知矛盾)， ∴a⊥β，∴a⊥l與已知矛盾，∴a和b不能垂直． 綜上所述，應選D． 解法二：如圖，在l上任取一點P，過P分別在α，β內作a′∥a，b′∥b，在a′上任取一點A，過A作AC⊥l，垂足為C，則AC⊥β，過C作CB⊥b′交b′于B，連接AB，可知AB⊥b′，∴△APB為直角三角形，故∠APB為銳角，即a與b不垂直也不平行． 9．一個多面體的直觀圖、主視圖、左視圖、俯視圖如下，M，N分別為A1B，B1C1的中點． 下列結論中正確的個數(shù)有(　　) ①直線MN與A1C相交；②MN⊥BC；③M

7、N∥平面ACC1A1；④三棱錐N－A1BC的體積為VN－A1BC＝a3． A．4個 B．3個 C．2個 D．1個 答案　B 解析　∵點M在平面A1BC內，點M?A1C，點N不在平面A1BC內，∴MN與A1C為異面直線，①錯誤； 取BC的中點D，連接MD，ND， ∵M為A1B的中點，∴MD∥A1C， ∵N為B1C1中點，D為BC的中點，∴DN∥CC1， ∵MD∩ND＝D，A1C∩CC1＝C， ∴面MDN∥面ACC1A1， ∴MN∥面ACC1A1，③正確； ∵BC⊥面ACC1A1，面MDN∥面ACC1A1， ∴BC⊥面MDN，∴BC⊥MN，②正確； VN－A1BC＝V

8、A1－BB1C＝×a2×a＝a3，④正確． 10．如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，若E是A1C1的中點，則直線CE垂直于(　　) A．AC B．BD C．A1D D．A1D1 答案　B 解析　連接AC，BD，易證BD⊥平面CAA1C1，CE?平面CAA1C1，則BD⊥CE． 11．空間四邊形ABCD的一組對邊BC，AD的長分別為6，4，BC⊥AD，則連接對角線AC，BD中點的線段長為(　　) A． B．7 C．13 D． 答案　D 解析　如右圖，取CD中點E，BD中點F，AC中點G，連接EF，EG，F(xiàn)G，在△BCD中，F(xiàn)為BD中點，∴EF∥B

9、C，且EF＝BC＝3．同理GE∥AD，且GE＝AD＝2，又因為AD⊥BC，所以GE⊥EF． 在Rt△GEF中，F(xiàn)G＝＝． 12． 一個正方體紙盒展開后如圖所示，在原正方體紙盒中有如下結論： ①AB⊥EF； ②AB與CM所成的角為60°； ③EF與MN是異面直線； ④MN∥CD． 以上結論中正確結論的序號為(　　) A．①② B．③④ C．②③ D．①③ 答案　D 解析　 把正方體平面展開圖還原為正方體，如圖所示，則有AB⊥EF，EF與MN是異面直線，AB∥CM，MN⊥CD．故只有①③正確． 第Ⅱ卷(非選擇題，共90分) 二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，

10、共20分) 13．給出以下結論，其中正確的是________． ①在空間中，若四點中任何三點不共線，則此四點不共面． ②如果直線a?平面α，直線b?平面α，M∈a，N∈b，M∈l，N∈l，則l?α． ③已知三個平面α，β，γ兩兩相交，并且它們的交線交于一點，那么平面α，β，γ可將空間分成八部分． 答案?、冖? 解析?、馘e誤，平行四邊形ABCD四個頂點中，任意三點不共線，但這四點共面；②直線l即直線MN，∵M∈a，N∈b，a?α，b?α，∴M∈α，N∈α，∴l(xiāng)?α正確．③正確，如墻角． 14． 如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G，H分別為CC1，C1D1，D1D

11、，CD的中點，N是BC的中點，點M在四邊形EFGH及其內部運動，則M滿足________時，有MN∥平面BDD1B1． 答案　M∈FH 解析　 如圖，取B1C1的中點P， 連接NP，NH，MN，HF，PF，則可證明平面NPFH∥平面BDD1B1， 若MN?平面NPFH， 則MN∥平面BDD1B1． 15．在四棱錐P－ABCD中，側面PAD、側面PCD與底面ABCD都垂直，底面是邊長為3的正方形，PD＝4，則四棱錐P－ABCD的全面積為________． 答案　36 解析　可證得三個兩兩垂直的平面的交線兩兩垂直，根據(jù)題意，PD⊥平面ABCD，易知△PDA，△PDC，△PCB，△

12、PAB均為直角三角形，所以 S全＝×4×3＋×4×3＋×5×3＋×5×3＋3×3＝36． 16．如圖PA⊥⊙O所在平面，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，AE⊥PB，AF⊥PC， 給出下列結論：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AE⊥BC；④平面AEF⊥平面PBC；⑤△AEF是直角三角形． 其中正確的命題的序號是________． 答案　①②④⑤ 解析　∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，即AC⊥BC．∵PA⊥⊙O，∴PA⊥BC， 又∵PA∩AC＝A， ∴BC⊥面PAC，∵AF?面PAC，∴BC⊥AF， 又∵AF⊥PC，BC∩PC＝C，∴AF⊥面PBC， ∴AF⊥PB，

13、①正確； ∵AF?面AEF， ∴面AEF⊥面PBC，④正確； ∵EF?面PBC，∴AF⊥EF， ∴△AEF是直角三角形，⑤正確； ∵AE⊥PB，AF⊥PB，∴PB⊥面AEF， ∴PB⊥EF，②正確． 三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟) 17．(本小題滿分10分)已知：空間四點A，B，C，D不同在任何一個平面內．求證：AB和CD是異面直線． 證明　用反證法． 假設AB和CD不是異面直線，則它們平行或相交，則AB和CD可確定一個平面α，則AB?α，CD?α，故A∈α，B∈α，C∈α，D∈α．這與四點A，B，C，D不同在任何一個平面內矛

14、盾．所以假設不成立，即AB和CD既不平行也不相交，即AB和CD是異面直線． 18．(本小題滿分12分)如圖，在四棱錐P－ABCD中，AB∥CD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E是CD的中點，求證： (1)PA⊥底面ABCD； (2)BE∥平面PAD． 證明　(1)因為平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD＝AD，又PA?平面PAD，PA⊥AD，所以PA⊥底面ABCD．(以上五條，每缺一條就扣一分) (2)因為AB∥CD，CD＝2AB，E為CD的中點， 所以AB∥DE，且AB＝DE． 所以四邊形ABED為平行四邊形，所以BE∥AD． 又因為B

15、E?平面PAD，AD?平面PAD， 所以BE∥平面PAD． 19．(本小題滿分12分)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別在棱AB，BC，BB1上，且BE＝BF＝BG，求證： (1)平面EFG∥平面A1DC1； (2)直線BD1⊥平面EFG． 證明　(1)∵BE＝BF， ∴EF∥AC．又AC∥A1C1，∴EF∥A1C1． 又BG＝BF，∴FG∥B1C． 又B1C∥A1D，∴FG∥A1D． 又FG∩EF＝F，A1C1∩A1D＝A1， ∴平面EFG∥平面A1DC1． (2)∵D1D⊥平面ABCD，∴D1D⊥EF． ∵AC⊥BD，AC∥EF，∴EF⊥

16、BD． ∴EF⊥平面D1DB．又D1B?平面D1DB， ∴EF⊥BD1，同理FG⊥BD1． ∴BD1⊥平面EFG． 20．(本小題滿分12分)如圖，已知α∥β，點P是平面α，β外的一點(不在α與β之間)，直線PB，PD分別與α，β相交于點A，B和C，D． (1)求證：AC∥BD； (2)已知PA＝4 cm，AB＝5 cm，PC＝3 cm，求PD的長； (3)若點P在α與β之間，試在(2)的條件下求CD的長． 解　(1)證明：∵PB∩PD＝P， ∴直線PB和PD確定一個平面γ， 則α∩γ＝AC，β∩γ＝BD． 又α∥β，∴AC∥BD． (2)由(1)得AC∥BD，

17、∴＝． ∴＝．∴CD＝． ∴PD＝PC＋CD＝(cm)． (3)由(1)得AC∥BD， ∴△PAC∽△PBD． ∴＝， 即＝． ∴＝，∴PD＝． ∴CD＝PC＋PD＝3＋＝(cm)． 21．(本小題滿分12分) 如圖，在三棱臺DEF－ABC中，AB＝2DE，點G，H分別為AC，BC的中點． (1)求證：BD∥平面FGH； (2)若CF⊥BC，AB⊥BC，求證：平面BCD⊥平面EGH． 證明　(1)因為DEF－ABC是三棱臺，且AB＝2DE，所以BC＝2EF，AC＝2DF． 因為點G，H分別是AC，BC的中點，所以GH∥AB． 因為AB?平面FGH，GH?平面F

18、GH， 所以AB∥平面FGH．因為EF∥BH且EF＝BH， 所以四邊形BHFE是平行四邊形，所以BE∥HF． 因為BE?平面FGH，HF?平面FGH， 所以BE∥平面FGH； 又因為AB∩BE＝B，所以平面ABE∥平面FGH，因為BD?平面ABE，所以BD∥平面FGH． (2) 連接HE，CD，因為H是BC的中點，所以HC＝BC＝EF， 又HC∥EF， 所以四邊形HCFE是平行四邊形， 所以HE∥CF． 因為CF⊥BC，所以HE⊥BC． 因為GH∥AB，AB⊥BC， 所以GH⊥BC． 因為GH∩HE＝H， 所以BC⊥平面EGH． 又BC?平面BCD， 所以平面

19、BCD⊥平面EGH． 22．(本小題滿分12分) 如圖，四棱錐P－ABCD的底面是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝1，BC＝，E為BC的中點． (1)求證：ED⊥平面PAC． (2)在PD上是否存在一點M，使得EM∥平面PAB？若存在，試確定點M的位置，并給出證明；若不存在，請說明理由． 解　(1)證明：在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，E為BC的中點， ∴EC＝，tan∠CDE＝＝，tan∠CAD＝＝， ∴∠CDE＝∠CAD，∴∠CAD＋∠ADE＝90°， ∴ED⊥AC． ∵PA⊥平面ABCD，ED?平面ABCD，∴PA⊥ED． ∵PA∩AC＝A，∴ED⊥平面PAC． (2)在PD上存在一點M，使得EM∥平面PAB，PD的中點M即為所求． ∵取AD的中點F，連接EF，MF． ∵MF是△PAD的中位線，∴MF∥PA． 又MF?平面PAB，PA?平面PAB， ∴MF∥平面PAB． 又 EF是矩形ABCD的中位線，∴AB∥EF． ∵EF?平面PAB，AB?平面PAB， ∴EF∥平面PAB． ∵MF∩EF＝F， ∴平面MFE∥平面PAB． 又EM?平面MFE， ∴EM∥平面PAB．