5、)，(a1，a3，b2)，(a1，b1，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，(a2，b1，b2)，(a3，b1，b2)，共10種可能，這10種情況發(fā)生的可能性是相等的．其中恰有2只測量過該指標(biāo)的情況為(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，共6種可能．故恰有2只測量過該指標(biāo)的概率為＝.故選B.
7. (2019·山東濰坊三模)五行學(xué)說是華夏民族創(chuàng)造的哲學(xué)思想，是華夏文明重要組成部分．古人認(rèn)為，天下萬物皆由金、木、水、火、土五類元素組成，如圖，分別是金、木、水、火、土彼此之間存在的相生相
6、克的關(guān)系．若從五類元素中任選兩類元素，則兩類元素相生的概率為( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 從金、木、水、火、土任取兩類，共有金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土10種結(jié)果，這10種結(jié)果發(fā)生的可能性是相等的．其中兩類元素相生的有金水、金土、木水、木火、火土，共5種結(jié)果，所以兩類元素相生的概率為＝，故選A.
8．(2019·資陽二模)箱子里有3雙顏色不同的手套(紅藍(lán)黃各1雙)，有放回地拿出2只，記事件A表示“拿出的手套一只是左手的，一只是右手的，但配不成對”，則事件A的概率為( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 記
7、3雙手套為Aa，Bb，Cc，有放回地拿出2只，所有基本事件為AA，Aa，AB，Ab，AC，Ac，aA，aa，aB，ab，aC，ac，BA，Ba，BB，Bb，BC，Bc，bA，ba，bB，bb，bC，bc，CA，Ca，CB，Cb，CC，Cc，cA，ca，cB，cb，cC，cc，共36種，這36種情況發(fā)生的可能性是相等的．事件A“拿出的手套一只是左手的，一只是右手的，但配不成對”包括Ab，Ac，aB，aC，Ba，Bc，bA，bC，Ca，Cb，cA，cB，共12種，故P(A)＝＝.
二、填空題
9．已知某射擊運(yùn)動員每次射擊擊中目標(biāo)的概率都為80%.現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計該運(yùn)動員4次射擊至少3次
8、擊中目標(biāo)的概率：先由計算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，指定0,1表示沒有擊中目標(biāo)，2,3,4,5,6,7,8,9表示擊中目標(biāo)；再以每4個隨機(jī)數(shù)為一組，代表4次射擊的結(jié)果．經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了如下20組隨機(jī)數(shù)：
7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947
1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661
9597 7424 7610 4281
據(jù)此估計，該射擊運(yùn)動員4次射擊至少3次擊中目標(biāo)的概率為________．
答案 0.75
解析 4次射擊中有1次或2次擊中目標(biāo)的有：0371,6011,7610,1417,714
9、0，∴所求概率P＝1－＝＝0.75.
10．在棱長為4的一個正方體內(nèi)，有一根細(xì)線系在上底面的中心處，下方懸掛了一個半徑為1的球，且球位于正方體內(nèi)，已知球面是網(wǎng)狀的，小蟲可以自由地出入．若一只小蟲在某一時刻可以位于正方體內(nèi)的任意一個位置，則小蟲飛入網(wǎng)狀球面球體內(nèi)的概率為________．
答案
解析 小蟲飛入網(wǎng)狀球面球體內(nèi)的概率為＝.
11．某汽車站每天上午均有3輛開往A景點(diǎn)的分上、中、下等級的客車．某天，王先生準(zhǔn)備在該汽車站乘車去A景點(diǎn)，但他不知道客車的車況，也不知道發(fā)車順序．為了盡可能乘上上等車，他采取如下策略：先放過第一輛，如果第二輛比第一輛好則上第二輛，否則上第三輛，那么他乘上
10、上等車的概率為________．
答案
解析 共有6種發(fā)車順序：①上、中、下；②上、下、中；③中、上、下；④中、下、上；⑤下、中、上；⑥下、上、中(其中畫線的表示王先生所乘的車)，這6種情況發(fā)生的可能性是相等的，其中王先生乘上上等車的有③④⑥，共3種情況，所以他乘上上等車的概率為＝.
12．(2019·山東鄆城一中三模)七巧板是一種古老的中國傳統(tǒng)智力玩具，是由七塊板組成的．而這七塊板可拼成許多圖形，例如：三角形、不規(guī)則多邊形、各種人物、動物、建筑物等，清陸以湉《冷廬雜識》寫道：近又有七巧圖，其式五，其數(shù)七，其變化之式多至千余．在18世紀(jì)，七巧板流傳到了國外，至今英國劍橋大學(xué)的圖書館里還
11、珍藏著一部《七巧新譜》．若用七巧板拼成一只雄雞，在雄雞平面圖形上隨機(jī)取一點(diǎn)，則恰好取自雄雞雞尾(陰影部分)的概率為________．
答案
解析 設(shè)包含7塊板的正方形邊長為4，其面積為4×4＝16，則雄雞的雞尾面積為標(biāo)號為6的板塊，其面積為S＝2×1＝2，所以在雄雞平面圖形上隨機(jī)取一點(diǎn)，則恰好取自雄雞雞尾(陰影部分)的概率為P＝＝.
三、解答題
13．(2019·河南焦作四模)新個稅法于2019年1月1日進(jìn)行實施．為了調(diào)查國企員工對新個稅法的滿意程度，研究人員在A地各個國企中隨機(jī)抽取了1000名員工進(jìn)行調(diào)查，并將滿意程度以分?jǐn)?shù)的形式統(tǒng)計成如下的頻率分布直方圖，其中a＝4b.
12、
(1)求a，b的值并估計被調(diào)查的員工的滿意程度的中位數(shù)(計算結(jié)果保留兩位小數(shù))；
(2)若按照分層抽樣從[50,60)，[60,70)中隨機(jī)抽取8人，再從這8人中隨機(jī)抽取2人，求至少有1人的分?jǐn)?shù)在[50,60)的概率．
解 (1)依題意，(a＋b＋0.008＋0.027＋0.035)×10＝1，
所以a＋b＝0.03，
又a＝4b，所以a＝0.024，b＝0.006，
所以中位數(shù)為70＋≈75.14.
(2)依題意，得分?jǐn)?shù)在[50,60)的員工抽取了2人，記為a，b，分?jǐn)?shù)在[60,70)的員工抽取了6人，記為1,2,3,4,5,6，所以從這8人中隨機(jī)抽取2人，所有的情況為(a，b
13、)，(a,1)，(a,2)，(a,3)，(a,4)，(a,5)，(a,6)，(b,1)，(b,2)，(b,3)，(b,4)，(b,5)，(b,6)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共28種，這28種情況發(fā)生的可能性是相等的．
其中滿足條件的為(a，b)，(a,1)，(a,2)，(a,3)，(a,4)，(a,5)，(a,6)，(b,1)，(b,2)，(b,3)，(b,4)，(b,5)，(b,6)，共13種．
設(shè)“至少有1人的分?jǐn)?shù)在[50,60)”
14、的事件為A，則P(A)＝.
一、選擇題
1．已知實數(shù)m∈[0,1]，向量a＝(2，－2)，b＝(1,1)，則|ma|>|b|的概率是( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 ma＝(2m，－2m)，若|ma|>|b|，
則 > ，得m<－(舍去)或m>.所以|ma|>|b|的概率是P＝＝.故選C.
2．(2019·全國卷Ⅲ)兩位男同學(xué)和兩位女同學(xué)隨機(jī)排成一列，則兩位女同學(xué)相鄰的概率是( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 設(shè)兩位男同學(xué)分別為A，B，兩位女同學(xué)分別為a，b，則用“樹形圖”表示四位同學(xué)排成一列所有可能的結(jié)果如圖所示．
由圖
15、知，共有24種等可能的結(jié)果，其中兩位女同學(xué)相鄰的結(jié)果(畫“”的情況)共有12種，故所求概率為＝.故選D.
3．一個三位數(shù)，個位、十位、百位上的數(shù)字依次為x，y，z，當(dāng)且僅當(dāng)y>x，y>z時，稱這樣的數(shù)為“凸數(shù)”(如243)，現(xiàn)從集合{1,2,3,4}中取出三個不相同的數(shù)組成一個三位數(shù)，則這個三位數(shù)是“凸數(shù)”的概率為( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 從集合{1,2,3,4}中取出三個不相同的數(shù)組成一個三位數(shù)共有24個結(jié)果：123,124,132,134,142,143,213,214,231,234,241,243,312,314,321,324,341,342,
16、412,413,421,423,431,432，且這24種結(jié)果發(fā)生的可能性是相等的．其中是“凸數(shù)”的是132,142,143,231,241,243,341,342，共8個結(jié)果，所以這個三位數(shù)是“凸數(shù)”的概率為＝，故選B.
4. 下圖是一個邊長為4的正方形二維碼，為了測算圖中黑色部分的面積，在正方形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)投擲400個點(diǎn)，其中落入黑色部分的有225個點(diǎn)，據(jù)此可估計黑色部分的面積為( )
A．8 B．9 C．10 D．12
答案 B
解析 根據(jù)面積之比與點(diǎn)數(shù)之比相等的關(guān)系，得黑色部分的面積S＝4×4×＝9，故選B.
5．(2019·河南鄭州第三次質(zhì)檢)關(guān)于圓周率，數(shù)學(xué)發(fā)展
17、史上出現(xiàn)過很多有創(chuàng)意的求法，如著名的蒲豐試驗，受其啟發(fā)，我們也可以通過設(shè)計下面的試驗來估計π的值，試驗步驟如下：①先請高二年級n名同學(xué)每人在小卡片上隨機(jī)寫下一個實數(shù)對(x，y)(0
18、片上交m張，即＝1－?π＝，故選C.
6．(2019·湖南師大附中模擬三)若即時起10分鐘內(nèi)，305路公交車和202路公交車由南往北等可能進(jìn)入二里半公交站，則這兩路公交車進(jìn)站時間的間隔不超過2分鐘的概率為( )
A．0.18 B．0.32 C．0.36 D．0.64
答案 C
解析 設(shè)305路車和202路車的進(jìn)站時間分別為x，y，設(shè)所有基本事件為W：“進(jìn)站時間的間隔不超過2分鐘”為事件A，則A＝{(x，y)|0≤x≤10，0≤y≤10，|x－y|≤2}，畫出不等式表示的區(qū)域如圖中陰影區(qū)域，則S＝10×10－8×8＝36，則P(A)＝＝＝0.36，故選C.
7. (2019
19、·北京師大附中模擬三)剪紙藝術(shù)是中國最古老的民間藝術(shù)之一，作為一種鏤空藝術(shù)，它能給人以視覺上的藝術(shù)享受．在如圖所示的圓形圖案中有12個樹葉狀圖形(即圖中陰影部分)，構(gòu)成樹葉狀圖形的圓弧均相同．若在圓內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率是( )
A．2－ B．4－ C. D.
答案 B
解析 設(shè)圓的半徑為r，如圖所示，12片樹葉是由24個相同的弓形組成，且弓形AmB的面積為S弓形＝πr2－·r2·sin＝πr2－r2.
∴所求的概率為P＝＝＝4－，故選B.
8．在圓x2＋y2＝4上任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)到直線x＋y－2＝0的距離d∈[0,1]的概率為( )
A. B.
20、 C. D.
答案 C
解析 圓心(0,0)到直線x＋y－2＝0的距離為2，所以該直線與圓相切．設(shè)切點(diǎn)為D，如圖，
作與直線x＋y－2＝0平行的直線交圓于點(diǎn)A，B，且O到直線AB的距離OC＝1，而OA＝2，所以∠AOB＝.所以劣弧的長度為×2＝，而圓的周長為4π，所以在圓x2＋y2＝4上任取一點(diǎn)，該點(diǎn)到直線x＋y－2＝0的距離d∈[0,1]的概率為＝.
二、填空題
9．給甲、乙、丙三人打電話，若打電話的順序是任意的，則第一個打電話給甲的概率是________．
答案
解析 給三人打電話的不同順序有6種等可能的結(jié)果，其中第一個給甲打電話的結(jié)果有2種，故所求概率為P＝＝.
21、
10．袋中有大小、質(zhì)地相同的紅、黑球各一個，現(xiàn)有放回地隨機(jī)摸取3次，每次摸取一個球，若摸出紅球，得2分，摸出黑球，得1分，則3次摸球所得總分至少是4分的概率是________．
答案
解析 所有基本事件為(紅，紅，紅)，(紅，紅，黑)，(紅，黑，紅)，(黑，紅，紅)，(紅，黑，黑)，(黑，紅，黑)，(黑，黑，紅)，(黑，黑，黑)，共計8個，這8種情況發(fā)生的可能性是相等的．可求對立事件“總分少于4分”即“三黑”的概率為，所以所求概率P＝1－＝.
11．從區(qū)間[－2,2]中隨機(jī)選取一個實數(shù)a，則函數(shù)f(x)＝4x－a·2x＋1＋1有零點(diǎn)的概率是________．
答案
解析 令t＝
22、2x，函數(shù)有零點(diǎn)就等價于方程t2－2at＋1＝0有正根，進(jìn)而可得?a≥1，又a∈[－2,2]，所以函數(shù)有零點(diǎn)的實數(shù)a應(yīng)滿足a∈[1,2]，故P＝.
12．某人在微信群中發(fā)了一個7元“拼手氣”紅包，被甲、乙、丙三人搶完，若三人均領(lǐng)到整數(shù)元，且每人至少領(lǐng)到1元，則甲領(lǐng)取的錢數(shù)不少于其他任何人的概率是________．
答案
解析 設(shè)甲、乙、丙分別領(lǐng)到x元、y元、z元，記為(x，y，z)．則基本事件有：(1,1,5)，(1,5,1)，(5,1,1)，(1,2,4)，(1,4,2)，(2,1,4)，(2,4,1)，(4,1,2)，(4,2,1)，(2,2,3)，(2,3,2)，(3,2,2)，
23、(3,3,1)，(3,1,3)，(1,3,3)，共15種，這15種情況發(fā)生的可能性是相等的．其中“甲領(lǐng)取的錢數(shù)不少于其他任何人”所含的基本事件有：(5,1,1)，(4,1,2)，(4,2,1)，(3,2,2)，(3,3,1)，(3,1,3)，共6種，所以所求概率P＝＝.
三、解答題
13．(2019·湖南長郡中學(xué)模擬) 據(jù)了解，大學(xué)英語四級改革的一項重要內(nèi)容就是總分改為710分，每個考生會有一個成績，不再頒發(fā)“合格證”．這也意味著，不再有“及格”一說．大學(xué)英語四級考試成績在425分及以上的考生可以報考大學(xué)英語六級考試，英語四級成績在550分及以上的考生可以報考口語．如圖是從某大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)4
24、0人的英語四級成績中隨機(jī)抽取8人的成績的莖葉圖：
(1)根據(jù)這8人的英語四級成績，估計該大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)英語四級考試成績的平均數(shù)和中位數(shù)；
(2)在這8人中，從可以報考大學(xué)英語六級考試的學(xué)生中任取2人，求這2人都可以報考口語的概率．
解 (1)這8人的英語四級成績的平均數(shù)為(386＋410＋450＋485＋520＋564＋575＋610)÷8＝500，
這8人的英語四級成績的中位數(shù)為(485＋520)÷2＝502.5，
由此可估計該大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)英語四級考試成績的平均數(shù)為500分，中位數(shù)為502.5分．
(2)設(shè)可以報考大學(xué)英語六級考試但不能報考口語的3人為A1，A2，A3，可以報考口語的3人為B1，B2，B3，從這6人中任取2人，全部情況為(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共15種，這15種情況發(fā)生的可能性是相等的．
這2人都可以報考口語的情況為(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共3種，則這2人都可以報考口語的概率P＝＝.
高考數(shù)學(xué)大二輪刷題首選卷文數(shù)文檔：第一部分 考點(diǎn)十八 概率 Word版含解析
