2018年高考數(shù)學二輪復習 專題1.6 解析幾何（講）文.doc

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1、專題1.6 解析幾何【高考改編回顧基礎】1.【直線垂直的位置關(guān)系及直線的點斜式方程】【2016天津卷改編】過原點且與直線2xy0垂直的直線方程為_ 【答案】yx【解析】因為直線2xy0的斜率為2，所以所求直線的斜率為，所以所求直線方程為yx.2.【弦長問題】【2016全國卷改編】設直線yx2與圓C：x2y22y20相交于A，B兩點，則|AB|_ 【答案】2【解析】解析 x2y22y20，即x2(y)24，則圓心為C(0，)，半徑為2，圓心C到直線yx2的距離d1，所以|AB|22. 3.【直線與圓，圓與圓的位置關(guān)系】【2016山東卷改編】已知圓M：x2y22ay0(a0)截直線xy0所得線段的

2、長度是2，則圓M與圓N：(x1)2(y1)21的位置關(guān)系是_ 【答案】相交4.【橢圓的幾何性質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系】【2017課標3，改編】已知橢圓C：，（ab0）的左、右頂點分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線相切，則C的離心率為 .【答案】【解析】故填.【命題預測看準方向】從近五年的高考試題來看,高考的重點是求圓的方程、求與圓有關(guān)的軌跡方程、直線與圓的位置關(guān)系、弦長問題、切線問題、圓與圓的位置關(guān)系,圓與圓錐曲線的交匯問題是高考的熱點,經(jīng)常以選擇題、解答題的形式出現(xiàn).另外，從高考試題看，涉及直線、圓的問題有與圓錐曲線等綜合命題趨勢.復習中應注意圍繞圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系、

3、圓與圓的位置關(guān)系等,其中經(jīng)?？疾榈氖菆A與圓位置關(guān)系中的動點軌跡,直線與圓的位置關(guān)系中的弦長問題、切線問題、參數(shù)的取值范圍等.【典例分析提升能力】【例1】【2018屆北京豐臺二中高三上學期期中】已知點及圓（）設過的直線與圓交于， 兩點，當時，求以為直徑的圓的方程（）設直線與圓交于， 兩點，是否存在實數(shù)，使得過點的直線，垂直平分弦？若存在，求出實數(shù)的值；若不存在，請說明理由【答案】(1) (2) 不存在實數(shù)，使得過點的直線垂直平分弦【解析】試題分析：（1）由利用兩點間的距離公式求出圓心C到P的距離，再根據(jù)弦長|MN|的一半及半徑，利用勾股定理求出弦心距d，發(fā)現(xiàn)|CP|與d相等，所以得到P為MN的中

4、點，所以以MN為直徑的圓的圓心坐標即為P的坐標，半徑為|MN|的一半，根據(jù)圓心和半徑寫出圓的方程即可；（2）把已知直線的方程代入到圓的方程中消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，因為直線與圓有兩個交點，所以得到0，列出關(guān)于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的取值范圍，利用反證法證明證明即可【趁熱打鐵】【2018屆江蘇省興化市楚水實驗學校、黃橋中學、口岸中學三校高三12月聯(lián)考】經(jīng)過點且圓心是直線與直線的交點的圓的標準方程為_【答案】【解析】直線與直線的交點為 即圓心為，因為圓經(jīng)過點所以半徑為2，故圓的標準方程為故答案為【例2】已知圓C經(jīng)過點A(0，2)，B(2，0)，圓C的圓心在圓x2y22的內(nèi)部

5、，且直線3x4y50被圓C所截得的弦長為2.點P為圓C上異于A，B的任意一點，直線PA與x軸交于點M，直線PB與y軸交于點N.(1)求圓C的方程；(2)若直線yx1與圓C交于A1，A2兩點，求； (3)求證：|AN|BM|為定值【答案】(1)x2y24.(2)3.(3)證明：見解析.【趁熱打鐵】(1)已知圓C的方程為x2y28x150，若直線ykx2上至少存在一點，使得以該點為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點，則k的取值范圍為_(2)已知圓C：x2y2ax2ya40關(guān)于直線l1：ax3y50對稱，過點P(3，2)的直線l2與圓C交于A，B兩點，則弦長|AB|的最小值為_【答案】(1)k0(2)

6、2.【方法總結(jié)全面提升】1.要注意幾種直線方程的局限性,點斜式、斜截式方程要求直線不能與x軸垂直,兩點式方程要求直線不能與坐標軸垂直,而截距式方程不能表示過原點的直線,也不能表示垂直于坐標軸的直線.2.求解與兩條直線平行或垂直有關(guān)的問題時,主要是利用兩條直線平行或垂直的充要條件,即若斜率存在時,“斜率相等”或“互為負倒數(shù)”;若出現(xiàn)斜率不存在的情況,可考慮用數(shù)形結(jié)合的方法去研究.3.求圓的方程一般有兩類方法:(1)幾何法,通過圓的性質(zhì)、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系,求得圓的基本量和方程;(2)代數(shù)法,即用待定系數(shù)法先設出圓的方程,再由條件求得各系數(shù).4.直線與圓的位置關(guān)系: (1)代數(shù)法將圓的方程

7、和直線的方程聯(lián)立起來組成方程組，利用判別式來討論位置關(guān)系：0相交；0相切；0相離；(2)幾何法把圓心到直線的距離d和半徑r的大小加以比較：dr相離優(yōu)先選用幾何法.5.處理有關(guān)圓的弦長問題求解方法：(1)根據(jù)平面幾何知識構(gòu)建直角三角形，把弦長用圓的半徑和圓心到直線的距離表示，l2(其中l(wèi)為弦長，r為圓的半徑，d為圓心到直線的距離)(2)根據(jù)公式：l|x1x2|求解(其中l(wèi)為弦長，x1，x2為直線與圓相交所得交點的橫坐標，k為直線的斜率)(3)求出交點坐標，用兩點間距離公式求解【規(guī)范示例避免陷阱】【典例】已知過原點的動直線l與圓相交于不同的兩點A,B.求圓的圓心坐標.求線段AB的中點M的軌跡C的方

8、程.是否存在實數(shù)k,使得直線L:y=k(x-4)與曲線C只有一個交點?若存在,求出k的取值范圍;若不存在,說明理由.【反思提高】處理有關(guān)圓的問題,要特別注意圓心、半徑及平面幾何知識的應用,如經(jīng)常用到弦心距、半徑、弦長的一半構(gòu)成的直角三角形,利用圓的一些特殊幾何性質(zhì)解題,往往使問題簡化.【誤區(qū)警示】1.求軌跡方程常用的方法有直接法、定義法、相關(guān)點法(坐標代入法)等,解決此類問題時要讀懂題目給出的條件,進行合理轉(zhuǎn)化,準確得出結(jié)論.本題確定軌跡方程，易于忽視橫坐標的限制范圍.2.涉及直線與圓的位置關(guān)系時,應多考慮圓的幾何性質(zhì),利用幾何法進行運算求解往往會減少運算量.考向二 橢圓、雙曲線、拋物線【高考

9、改編回顧基礎】1.【橢圓的方程及其幾何性質(zhì)】【2017江蘇卷改編】橢圓E：1(ab0)的離心率為，橢圓的半焦距為c且a24c，則橢圓E的標準方程為_ 【答案】1【解析】因為橢圓E的離心率為，所以e，又a24c, 所以a2，c1，于是b， 因此橢圓E的標準方程是1.2【雙曲線的方程及其幾何性質(zhì)】【2017全國卷】雙曲線1(a0)的一條漸近線方程為yx，則a_. 【答案】【解析】令0，得雙曲線的漸近線方程為yx，雙曲線1(a0)的一條漸近線方程為yx，a5.3. 【拋物線方程及其幾何性質(zhì)】【2017課標1，改編】已知F為拋物線C：y2=4x的焦點，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交

10、于A、B兩點，直線l2與C交于D、E兩點，則|AB|+|DE|的最小值為 .【答案】16【命題預測看準方向】從近五年的高考試題來看,圓錐曲線的定義、標準方程、幾何性質(zhì)等是高考考查的重點,也是高考命題的基本元素.考查的角度有:對圓錐曲線的定義的理解及定義的應用,求圓錐曲線的標準方程,求圓錐曲線的離心率以及向量、直線、圓錐曲線的小綜合. 考查的重點是依據(jù)圓錐曲線的幾何性質(zhì)求離心率;根據(jù)圓錐曲線的定義求標準方程；圓錐曲線與向量的小綜合;兩種圓錐曲線間的小綜合;直線與圓錐曲線的小綜合;圓錐曲線的綜合應用等.【典例分析提升能力】【例1】【2017課標II，理9】若雙曲線（，）的一條漸近線被圓所截得的弦長

11、為2，則的離心率為（ ）A2 B C D【答案】A【解析】【趁熱打鐵】【2018屆吉林省實驗中學高三上第五次月考（一模）】F1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點，過F1的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于A、B兩點若ABF2是等邊三角形，則該雙曲線的離心率為A. B. C. D. 【答案】D【解析】設，則，由余弦定理得 選D.【例2】【2017課標II，理】設O為坐標原點，動點M在橢圓C：上，過M作x軸的垂線，垂足為N，點P滿足。(1) 求點P的軌跡方程；(2)設點Q在直線上，且。證明：過點P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點F。 【答案】(1) 。(2)證明略。【解析】（2）由題意知.設,則，。由得

12、，又由（1）知，故.所以，即.又過點P存在唯一直線垂直于OQ，所以過點P且垂直于OQ的直線過C的左焦點F.【趁熱打鐵】如圖,拋物線.點M(x0,y0)在拋物線C2上,過點M作C1的切線,切點為A,B(M為原點O時,A,B重合于O).當時,切線MA的斜率為.(1)求p的值;(2)當點M在C2上運動時,求線段AB的中點N的軌跡方程(當A,B重合于點O時,中點為O).【答案】(1)p=2.(2)x2=y.切線MB的方程為y=(x-x2)+.由得MA,MB的交點M(x0,y0)的坐標為x0=,y0=.因為點M(x0,y0)在C2上,即=-4y0,所以x1x2=-.【例3】【2017課標3，理20】已知

13、拋物線C：y2=2x，過點（2,0）的直線l交C與A,B兩點，圓M是以線段AB為直徑的圓.（1）證明：坐標原點O在圓M上； （2）設圓M過點，求直線l與圓M的方程.【答案】(1)證明略；(2)直線 的方程為 ，圓 的方程為 .或直線 的方程為 ，圓 的方程為 .【解析】所以 ，解得 或 .當 時，直線 的方程為 ，圓心 的坐標為 ，圓 的半徑為 ，圓 的方程為 .當 時，直線 的方程為 ，圓心 的坐標為 ，圓 的半徑為 ，圓 的方程為 .【趁熱打鐵】【2018屆廣東省仲元中學、中山一中等七校高三第二次聯(lián)考】已知橢圓的上、下、左、右四個頂點分別為x軸正半軸上的某點滿足.(1)求橢圓的方程;(2)

14、設該橢圓的左、右焦點分別為,點在圓上,且在第一象限,過作圓的切線交橢圓于,求證:的周長是定值【答案】(1) (2)見解析 【解析】試題分析：與圓相切,即,同理可得,因此的周長是定值【方法總結(jié)全面提升】1.涉及橢圓(或雙曲線)兩焦點距離的問題或焦點弦問題以及到拋物線焦點(或準線)距離的問題,可優(yōu)先考慮圓錐曲線的定義.求圓錐曲線標準方程時“先定型,后計算”,即首先確定是何種曲線,焦點在哪個坐標軸上,然后利用條件求a,b,p的值.2.求橢圓、雙曲線的離心率問題,關(guān)鍵是首先根據(jù)已知條件確定a,b,c的關(guān)系,然后將b用a,c代換,求e= 的值;另外要注意雙曲線的漸近線與離心率的關(guān)系.圓錐曲線的性質(zhì)常與等

15、差數(shù)列、等比數(shù)列、三角函數(shù)、不等式等問題聯(lián)系在一起,一般先利用條件轉(zhuǎn)化為單一知識點的問題再求解.3.求曲線的軌跡方程時,先看軌跡的形狀是否預知,若能依據(jù)條件確定其形狀,可用定義法或待定系數(shù)法求解;若動點P與另一動點Q有關(guān),點Q在已知曲線上運動,可用代入法求動點P的軌跡方程;否則用直接法求解.4.涉及圓錐曲線的焦點弦、焦點三角形問題,常結(jié)合定義、正弦定理、余弦定理等知識解決.5.涉及垂直問題可結(jié)合向量的數(shù)量積解決.6.解決直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題，主要有方程組法，和“點差法”對于弦中點問題常用“根與系數(shù)的關(guān)系”或“點差法”求解，在使用根與系數(shù)的關(guān)系時，要注意使用條件0，在用“點差法”時，要檢驗

16、直線與圓錐曲線是否相交【規(guī)范示例避免陷阱】【典例】【2016乙卷】設圓x2y22x150的圓心為A，直線l過點B(1,0)且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點，過B作AC的平行線交AD于點E.()證明|EA|EB|為定值，并寫出點E的軌跡方程；()設點E的軌跡為曲線C1，直線l交C1于M，N兩點，過B且與l垂直的直線與圓A交于P，Q兩點，求四邊形MPNQ面積的取值范圍【規(guī)范解答】()圓A整理為(x1)2y216，圓心A(1,0)，1分如圖，因為BEAC，則ACBEBD，由|AC|AD|，則ADCACD，所以EBDEDB，則|EB|ED|，1分則|MN|yMyN|；2分圓心A到PQ距離d，所以|

17、PQ|22【反思提升】處理有關(guān)圓錐曲線與圓相結(jié)合的問題,要特別注意圓心、半徑及平面幾何知識的應用,如直徑對的圓心角為直角,構(gòu)成了垂直關(guān)系;弦心距、半徑、弦長的一半構(gòu)成直角三角形.利用圓的一些特殊幾何性質(zhì)解題,往往使問題簡化.【誤區(qū)警示】第()問得分點及說明得分點1寫出圓心坐標得1分2得出EBED，得1分3根據(jù)橢圓定義判斷點E的軌跡是橢圓，得1分4得出橢圓方程，得1分踩點說明1只要得出橢圓方程正確，得4分，忽略y0扣1分2只要正確判斷出點E的軌跡是橢圓，得3分3若只有橢圓方程，而沒有解答過程，得2分第()問得分點及說明5根據(jù)弦長公式整理得出弦長|MN|得2分6得出弦長|PQ|得2分7.列出面積表

18、達式，得2分8求出面積的范圍，得2分踩點說明1結(jié)果正確，有過程得滿分2兩個弦長|MN|，|PQ|只要結(jié)果正確，每個得2分3直線方程和橢圓方程聯(lián)立，給1分4寫對弦長公式，給1分5寫出點到直線距離公式正確，給1分考向三 圓錐曲線的熱點問題【高考改編回顧基礎】1【直線、圓、橢圓的位置關(guān)系及過定點問題】【2017全國卷改編】設O為坐標原點，動點M在橢圓C：y21上，P在圓x2y22上，設點Q在直線x3上，且1，則過點P且垂直于OQ的直線l _(填“經(jīng)過”或“不經(jīng)過”)C的左焦點F. 【答案】經(jīng)過2. 【直線與橢圓的位置關(guān)系及定值問題】【2016山東卷改編】如圖131，已知橢圓C：1(ab0)，過動點M

19、(0，m)(0m0，y00)由M(0，m)，可得P(x0，2m)，Q(x0，2m)，所以直線PM的斜率k，直線QM的斜率k.此時3，所以為定值3. 3.【直線與拋物線的位置關(guān)系及范圍問題】【2017浙江卷改編】已知拋物線x2y，點A，拋物線上的點P(x，y)，則直線AP斜率的取值范圍為_ .【答案】 (1，1)【解析】設直線AP的斜率為k，則kx.因為xb0)，四點P1(1,1)，P2(0,1)，P3（1，），P4（1，）中恰有三點在橢圓C上(1)求C的方程(2)設直線l不經(jīng)過P2點且與C相交于A，B兩點若直線P2A與直線P2B的斜率的和為1，證明：l過定點【規(guī)范解答】(1)由于P3，P4兩點

20、關(guān)于y軸對稱，故由題設知橢圓C經(jīng)過P3，P4兩點又由知，C不經(jīng)過點P1，所以點P2在C上.1分因此解得設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，x1x2.2分而k1k2.由題設k1k21，故(2k1)x1x2(m1)(x1x2)0.即(2k1)(m1)0.解得k.3分當且僅當m1時，0，于是l：yxm，即y1(x2)，所以l過定點(2，1).1分【反思提升】1.求解定點和定值問題的基本思想是一致的,定值是證明求解的一個量與參數(shù)無關(guān),定點問題是求解的一個點(或幾個點)的坐標,使得方程的成立與參數(shù)值無關(guān).解這類試題時要會合理選擇參數(shù)(參數(shù)可能是直線的斜率、截距,也可能是動點的坐標等),使用

21、參數(shù)表達其中變化的量,再使用這些變化的量表達需要求解的解題目標.當使用直線的斜率和截距表達直線方程時,在解題過程中要注意建立斜率和截距之間的關(guān)系,把雙參數(shù)問題化為單參數(shù)問題解決.2.證明直線過定點的基本思想是使用一個參數(shù)表示直線方程,根據(jù)方程的成立與參數(shù)值無關(guān)得出x,y的方程組,以方程組的解為坐標的點就是直線所過的定點.【誤區(qū)警示】1正確使用圓錐曲線的定義：牢記圓錐曲線的定義及性質(zhì)，用解方程的方法求出a2、b2，如本題第(1)問就涉及橢圓的性質(zhì)來判斷點在不在橢圓上2注意分類討論：當用點斜式表示直線方程時，應分直線的斜率存在和不存在兩種情況求解，易出現(xiàn)忽略斜率不存在的情況，導致扣分，如本題第(2)問中首先要求出斜率不存在時的情況3寫全得分關(guān)鍵：在解析幾何類解答題中，直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立后得到的一元二次方程，根據(jù)一元二次方程得到的兩根之和與兩根之積，弦長，目標函數(shù)，等一些關(guān)鍵式子和結(jié)果都是得分點，在解答時一定要寫清楚37