2018中考數(shù)學試題分類匯編 考點37 銳角三角函數(shù)和解直角三角形(含解析)

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1、2018中考數(shù)學試題分類匯編:考點37銳角三角函數(shù)和解直角三角形一選擇題(共15小題)1(2018柳州)如圖,在RtABC中,C=90,BC=4,AC=3,則sinB=()ABCD【分析】首先利用勾股定理計算出AB長,再計算sinB即可【解答】解:C=90,BC=4,AC=3,AB=5,sinB=,故選:A2(2018孝感)如圖,在RtABC中,C=90,AB=10,AC=8,則sinA等于()ABCD【分析】先根據(jù)勾股定理求得BC=6,再由正弦函數(shù)的定義求解可得【解答】解:在RtABC中,AB=10、AC=8,BC=6,sinA=,故選:A3(2018大慶)2cos60=()A1BCD【分析

2、】直接利用特殊角的三角函數(shù)值進而計算得出答案【解答】解:2cos60=2=1故選:A4(2018天津)cos30的值等于()ABC1D【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值直接解答即可【解答】解:cos30=故選:B5(2018貴陽)如圖,A、B、C是小正方形的頂點,且每個小正方形的邊長為1,則tanBAC的值為()AB1CD【分析】連接BC,由網(wǎng)格求出AB,BC,AC的長,利用勾股定理的逆定理得到ABC為等腰直角三角形,即可求出所求【解答】解:連接BC,由網(wǎng)格可得AB=BC=,AC=,即AB2+BC2=AC2,ABC為等腰直角三角形,BAC=45,則tanBAC=1,故選:B6(2018金華)如圖,

3、兩根竹竿AB和AD斜靠在墻CE上,量得ABC=,ADC=,則竹竿AB與AD的長度之比為()ABCD【分析】在兩個直角三角形中,分別求出AB、AD即可解決問題;【解答】解:在RtABC中,AB=,在RtACD中,AD=,AB:AD=: =,故選:B7(2018宜昌)如圖,要測量小河兩岸相對的兩點P,A的距離,可以在小河邊取PA的垂線PB上的一點C,測得PC=100米,PCA=35,則小河寬PA等于()A100sin35米B100sin55米C100tan35米D100tan55米【分析】根據(jù)正切函數(shù)可求小河寬PA的長度【解答】解:PAPB,PC=100米,PCA=35,小河寬PA=PCtanPC

4、A=100tan35米故選:C8(2018威海)如圖,將一個小球從斜坡的點O處拋出,小球的拋出路線可以用二次函數(shù)y=4xx2刻畫,斜坡可以用一次函數(shù)y=x刻畫,下列結(jié)論錯誤的是()A當小球拋出高度達到7.5m時,小球水平距O點水平距離為3mB小球距O點水平距離超過4米呈下降趨勢C小球落地點距O點水平距離為7米D斜坡的坡度為1:2【分析】求出當y=7.5時,x的值,判定A;根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出對稱軸,根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)判斷B;求出拋物線與直線的交點,判斷C,根據(jù)直線解析式和坡度的定義判斷D【解答】解:當y=7.5時,7.5=4xx2,整理得x28x+15=0,解得,x1=3,x2=5,當小球拋出

5、高度達到7.5m時,小球水平距O點水平距離為3m或5側(cè)面cm,A錯誤,符合題意;y=4xx2=(x4)2+8,則拋物線的對稱軸為x=4,當x4時,y隨x的增大而減小,即小球距O點水平距離超過4米呈下降趨勢,B正確,不符合題意;,解得,則小球落地點距O點水平距離為7米,C正確,不符合題意;斜坡可以用一次函數(shù)y=x刻畫,斜坡的坡度為1:2,D正確,不符合題意;故選:A9(2018淄博)一輛小車沿著如圖所示的斜坡向上行駛了100米,其鉛直高度上升了15米在用科學計算器求坡角的度數(shù)時,具體按鍵順序是()ABCD【分析】先利用正弦的定義得到sinA=0.15,然后利用計算器求銳角【解答】解:sinA=0

6、.15,所以用科學計算器求這條斜道傾斜角的度數(shù)時,按鍵順序為故選:A10(2018重慶)如圖,旗桿及升旗臺的剖面和教學樓的剖面在同一平面上,旗桿與地面垂直,在教學樓底部E點處測得旗桿頂端的仰角AED=58,升旗臺底部到教學樓底部的距離DE=7米,升旗臺坡面CD的坡度i=1:0.75,坡長CD=2米,若旗桿底部到坡面CD的水平距離BC=1米,則旗桿AB的高度約為()(參考數(shù)據(jù):sin580.85,cos580.53,tan581.6)A12.6米B13.1米C14.7米D16.3米【分析】如圖延長AB交ED的延長線于M,作CJDM于J則四邊形BMJC是矩形在RtCDJ中求出CJ、DJ,再根據(jù),t

7、anAEM=構(gòu)建方程即可解決問題;【解答】解:如圖延長AB交ED的延長線于M,作CJDM于J則四邊形BMJC是矩形在RtCJD中, =,設CJ=4k,DJ=3k,則有9k2+16k2=4,k=,BM=CJ=,BC=MJ=1,DJ=,EM=MJ+DJ+DE=,在RtAEM中,tanAEM=,1.6=,解得AB13.1(米),故選:B11(2018重慶)如圖,AB是一垂直于水平面的建筑物,某同學從建筑物底端B出發(fā),先沿水平方向向右行走20米到達點C,再經(jīng)過一段坡度(或坡比)為i=1:0.75、坡長為10米的斜坡CD到達點D,然后再沿水平方向向右行走40米到達點E(A,B,C,D,E均在同一平面內(nèi))

8、在E處測得建筑物頂端A的仰角為24,則建筑物AB的高度約為(參考數(shù)據(jù):sin240.41,cos240.91,tan24=0.45)()A21.7米B22.4米C27.4米D28.8米【分析】作BMED交ED的延長線于M,CNDM于N首先解直角三角形RtCDN,求出CN,DN,再根據(jù)tan24=,構(gòu)建方程即可解決問題;【解答】解:作BMED交ED的延長線于M,CNDM于N在RtCDN中,=,設CN=4k,DN=3k,CD=10,(3k)2+(4k)2=100,k=2,CN=8,DN=6,四邊形BMNC是矩形,BM=CN=8,BC=MN=20,EM=MN+DN+DE=66,在RtAEM中,tan

9、24=,0.45=,AB=21.7(米),故選:A12(2018長春)如圖,某地修建高速公路,要從A地向B地修一條隧道(點A、B在同一水平面上)為了測量A、B兩地之間的距離,一架直升飛機從A地出發(fā),垂直上升800米到達C處,在C處觀察B地的俯角為,則A、B兩地之間的距離為()A800sin米B800tan米C米D米【分析】在RtABC中,CAB=90,B=,AC=800米,根據(jù)tan=,即可解決問題;【解答】解:在RtABC中,CAB=90,B=,AC=800米,tan=,AB=故選:D13(2018香坊區(qū))如圖,熱氣球的探測器顯示,從熱氣球A看一棟樓頂部B的仰角為30,看這棟樓底部C的俯角為

10、60,熱氣球A與樓的水平距離為120米,這棟樓的高度BC為()A160米B(60+160)C160米D360米【分析】首先過點A作ADBC于點D,根據(jù)題意得BAD=30,CAD=60,AD=120m,然后利用三角函數(shù)求解即可求得答案【解答】解:過點A作ADBC于點D,則BAD=30,CAD=60,AD=120m,在RtABD中,BD=ADtan30=120=40(m),在RtACD中,CD=ADtan60=120=120(m),BC=BD+CD=160(m)故選:C14(2018綿陽)一艘在南北航線上的測量船,于A點處測得海島B在點A的南偏東30方向,繼續(xù)向南航行30海里到達C點時,測得海島B

11、在C點的北偏東15方向,那么海島B離此航線的最近距離是()(結(jié)果保留小數(shù)點后兩位)(參考數(shù)據(jù):1.732,1.414)A4.64海里B5.49海里C6.12海里D6.21海里【分析】根據(jù)題意畫出圖形,結(jié)合圖形知BAC=30、ACB=15,作BDAC于點D,以點B為頂點、BC為邊,在ABC內(nèi)部作CBE=ACB=15,設BD=x,則AB=BE=CE=2x、AD=DE=x,據(jù)此得出AC=2x+2x,根據(jù)題意列出方程,求解可得【解答】解:如圖所示,由題意知,BAC=30、ACB=15,作BDAC于點D,以點B為頂點、BC為邊,在ABC內(nèi)部作CBE=ACB=15,則BED=30,BE=CE,設BD=x,

12、則AB=BE=CE=2x,AD=DE=x,AC=AD+DE+CE=2x+2x,AC=30,2x+2x=30,解得:x=5.49,故選:B15(2018蘇州)如圖,某海監(jiān)船以20海里/小時的速度在某海域執(zhí)行巡航任務,當海監(jiān)船由西向東航行至A處時,測得島嶼P恰好在其正北方向,繼續(xù)向東航行1小時到達B處,測得島嶼P在其北偏西30方向,保持航向不變又航行2小時到達C處,此時海監(jiān)船與島嶼P之間的距離(即PC的長)為()A40海里B60海里C20海里D40海里【分析】首先證明PB=BC,推出C=30,可得PC=2PA,求出PA即可解決問題;【解答】解:在RtPAB中,APB=30,PB=2AB,由題意BC

13、=2AB,PB=BC,C=CPB,ABP=C+CPB=60,C=30,PC=2PA,PA=ABtan60,PC=220=40(海里),故選:D二填空題(共17小題)16(2018北京)如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格,BACDAE(填“”,“=”或“”)【分析】作輔助線,構(gòu)建三角形及高線NP,先利用面積法求高線PN=,再分別求BAC、DAE的正弦,根據(jù)正弦值隨著角度的增大而增大,作判斷【解答】解:連接NH,BC,過N作NPAD于P,SANH=2211=AHNP,=PN,PN=,RtANP中,sinNAP=0.6,RtABC中,sinBAC=0.6,正弦值隨著角度的增大而增大,BACDAE,故答案為:

14、17(2018濱州)在ABC中,C=90,若tanA=,則sinB=【分析】直接根據(jù)題意表示出三角形的各邊,進而利用銳角三角函數(shù)關系得出答案【解答】解:如圖所示:C=90,tanA=,設BC=x,則AC=2x,故AB=x,則sinB=故答案為:18(2018泰安)如圖,在ABC中,AC=6,BC=10,tanC=,點D是AC邊上的動點(不與點C重合),過D作DEBC,垂足為E,點F是BD的中點,連接EF,設CD=x,DEF的面積為S,則S與x之間的函數(shù)關系式為S=x2【分析】可在直角三角形CED中,根據(jù)DE、CE的長,求出BED的面積即可解決問題【解答】解:(1)在RtCDE中,tanC=,C

15、D=xDE=x,CE=x,BE=10x,SBED=(10x)x=x2+3xDF=BF,S=SBED=x2,故答案為S=x219(2018無錫)已知ABC中,AB=10,AC=2,B=30,則ABC的面積等于15或10【分析】作ADBC交BC(或BC延長線)于點D,分AB、AC位于AD異側(cè)和同側(cè)兩種情況,先在RtABD中求得AD、BD的值,再在RtACD中利用勾股定理求得CD的長,繼而就兩種情況分別求出BC的長,根據(jù)三角形的面積公式求解可得【解答】解:作ADBC交BC(或BC延長線)于點D,如圖1,當AB、AC位于AD異側(cè)時,在RtABD中,B=30,AB=10,AD=ABsinB=5,BD=A

16、BcosB=5,在RtACD中,AC=2,CD=,則BC=BD+CD=6,SABC=BCAD=65=15;如圖2,當AB、AC在AD的同側(cè)時,由知,BD=5,CD=,則BC=BDCD=4,SABC=BCAD=45=10綜上,ABC的面積是15或10,故答案為15或1020(2018香坊區(qū))如圖,在ABC中,AB=AC,tanACB=2,D在ABC內(nèi)部,且AD=CD,ADC=90,連接BD,若BCD的面積為10,則AD的長為5【分析】作輔助線,構(gòu)建全等三角形和高線DH,設CM=a,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和三角函數(shù)表示AC和AM的長,根據(jù)三角形面積表示DH的長,證明ADGCDH(AAS),可得D

17、G=DH=MG=,AG=CH=a+,根據(jù)AM=AG+MG,列方程可得結(jié)論【解答】解:過D作DHBC于H,過A作AMBC于M,過D作DGAM于G,設CM=a,AB=AC,BC=2CM=2a,tanACB=2,=2,AM=2a,由勾股定理得:AC=a,SBDC=BCDH=10,=10,DH=,DHM=HMG=MGD=90,四邊形DHMG為矩形,HDG=90=HDC+CDG,DG=HM,DH=MG,ADC=90=ADG+CDG,ADG=CDH,在ADG和CDH中,ADGCDH(AAS),DG=DH=MG=,AG=CH=a+,AM=AG+MG,即2a=a+,a2=20,在RtADC中,AD2+CD2=

18、AC2,AD=CD,2AD2=5a2=100,AD=5或5(舍),故答案為:521(2018眉山)如圖,在邊長為1的小正方形網(wǎng)格中,點A、B、C、D都在這些小正方形的頂點上,AB、CD相交于點O,則tanAOD=2【分析】首先連接BE,由題意易得BF=CF,ACOBKO,然后由相似三角形的對應邊成比例,易得KO:CO=1:3,即可得OF:CF=OF:BF=1:2,在RtOBF中,即可求得tanBOF的值,繼而求得答案【解答】解:如圖,連接BE,四邊形BCEK是正方形,KF=CF=CK,BF=BE,CK=BE,BECK,BF=CF,根據(jù)題意得:ACBK,ACOBKO,KO:CO=BK:AC=1:

19、3,KO:KF=1:2,KO=OF=CF=BF,在RtPBF中,tanBOF=2,AOD=BOF,tanAOD=2故答案為:222(2018德州)如圖,在44的正方形方格圖形中,小正方形的頂點稱為格點,ABC的頂點都在格點上,則BAC的正弦值是【分析】先根據(jù)勾股定理的逆定理判斷出ABC的形狀,再由銳角三角函數(shù)的定義即可得出結(jié)論【解答】解:AB2=32+42=25、AC2=22+42=20、BC2=12+22=5,AC2+BC2=AB2,ABC為直角三角形,且ACB=90,則sinBAC=,故答案為:23(2018齊齊哈爾)四邊形ABCD中,BD是對角線,ABC=90,tanABD=,AB=20

20、,BC=10,AD=13,則線段CD=17【分析】作AHBD于H,CGBD于G,根據(jù)正切的定義分別求出AH、BH,根據(jù)勾股定理求出HD,得到BD,根據(jù)勾股定理計算即可【解答】解:作AHBD于H,CGBD于G,tanABD=,=,設AH=3x,則BH=4x,由勾股定理得,(3x)2+(4x)2=202,解得,x=4,則AH=12,BH=16,在RtAHD中,HD=5,BD=BH+HD=21,ABD+CBD=90,BCH+CBD=90,ABD=CBH,=,又BC=10,BG=6,CG=8,DG=BDBG=15,CD=17,故答案為:1724(2018廣州)如圖,旗桿高AB=8m,某一時刻,旗桿影子

21、長BC=16m,則tanC=【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)解答即可【解答】解:旗桿高AB=8m,旗桿影子長BC=16m,tanC=,故答案為:25(2018棗莊)如圖,某商店營業(yè)大廳自動扶梯AB的傾斜角為31,AB的長為12米,則大廳兩層之間的高度為6.2米(結(jié)果保留兩個有效數(shù)字)【參考數(shù)據(jù);sin31=0.515,cos31=0.857,tan31=0.601】【分析】根據(jù)題意和銳角三角函數(shù)可以求得BC的長,從而可以解答本題【解答】解:在RtABC中,ACB=90,BC=ABsinBAC=120.5156.2(米),答:大廳兩層之間的距離BC的長約為6.2米故答案為:6.226(2018廣西)

22、如圖,從甲樓底部A處測得乙樓頂部C處的仰角是30,從甲樓頂部B處測得乙樓底部D處的俯角是45,已知甲樓的高AB是120m,則乙樓的高CD是40m(結(jié)果保留根號)【分析】利用等腰直角三角形的性質(zhì)得出AB=AD,再利用銳角三角函數(shù)關系得出答案【解答】解:由題意可得:BDA=45,則AB=AD=120m,又CAD=30,在RtADC中,tanCDA=tan30=,解得:CD=40(m),故答案為:4027(2018寧波)如圖,某高速公路建設中需要測量某條江的寬度AB,飛機上的測量人員在C處測得A,B兩點的俯角分別為45和30若飛機離地面的高度CH為1200米,且點H,A,B在同一水平直線上,則這條江

23、的寬度AB為1200(1)米(結(jié)果保留根號)【分析】在RtACH和RtHCB中,利用銳角三角函數(shù),用CH表示出AH、BH的長,然后計算出AB的長【解答】解:由于CDHB,CAH=ACD=45,B=BCD=30在RtACH中,CAH=45AH=CH=1200米,在RtHCB,tanB=HB=1200(米)AB=HBHA=12001200=1200(1)米故答案為:1200(1)28(2018黃石)如圖,無人機在空中C處測得地面A、B兩點的俯角分別為60、45,如果無人機距地面高度CD為米,點A、D、E在同一水平直線上,則A、B兩點間的距離是100(1+)米(結(jié)果保留根號)【分析】如圖,利用平行線

24、的性質(zhì)得A=60,B=45,在RtACD中利用正切定義可計算出AD=100,在RtBCD中利用等腰直角三角形的性質(zhì)得BD=CD=100,然后計算AD+BD即可【解答】解:如圖,無人機在空中C處測得地面A、B兩點的俯角分別為60、45,A=60,B=45,在RtACD中,tanA=,AD=100,在RtBCD中,BD=CD=100,AB=AD+BD=100+100=100(1+)答:A、B兩點間的距離為100(1+)米故答案為100(1+)29(2018咸寧)如圖,航拍無人機從A處測得一幢建筑物頂部B的仰角為45,測得底部C的俯角為60,此時航拍無人機與該建筑物的水平距離AD為110m,那么該建

25、筑物的高度BC約為300m(結(jié)果保留整數(shù),1.73)【分析】在RtABD中,根據(jù)正切函數(shù)求得BD=ADtanBAD,在RtACD中,求得CD=ADtanCAD,再根據(jù)BC=BD+CD,代入數(shù)據(jù)計算即可【解答】解:如圖,在RtABD中,AD=90,BAD=45,BD=AD=110(m),在RtACD中,CAD=60,CD=ADtan60=110=190(m),BC=BD+CD=110+190=300(m)答:該建筑物的高度BC約為300米故答案為30030(2018天門)我國海域遼闊,漁業(yè)資源豐富如圖,現(xiàn)有漁船B在海島A,C附近捕魚作業(yè),已知海島C位于海島A的北偏東45方向上在漁船B上測得海島A

26、位于漁船B的北偏西30的方向上,此時海島C恰好位于漁船B的正北方向18(1+)n mile處,則海島A,C之間的距離為18n mile【分析】作ADBC于D,根據(jù)正弦的定義、正切的定義分別求出BD、CD,根據(jù)題意列式計算即可【解答】解:作ADBC于D,設AC=x海里,在RtACD中,AD=ACsinACD=x,則CD=x,在RtABD中,BD=x,則x+x=18(1+),解得,x=18,答:A,C之間的距離為18海里故答案為:1831(2018濰坊)如圖,一艘漁船正以60海里/小時的速度向正東方向航行,在A處測得島礁P在東北方向上,繼續(xù)航行1.5小時后到達B處,此時測得島礁P在北偏東30方向,

27、同時測得島礁P正東方向上的避風港M在北偏東60方向為了在臺風到來之前用最短時間到達M處,漁船立刻加速以75海里/小時的速度繼續(xù)航行小時即可到達(結(jié)果保留根號)【分析】如圖,過點P作PQAB交AB延長線于點Q,過點M作MNAB交AB延長線于點N,通過解直角AQP、直角BPQ求得PQ的長度,即MN的長度,然后通過解直角BMN求得BM的長度,則易得所需時間【解答】解:如圖,過點P作PQAB交AB延長線于點Q,過點M作MNAB交AB延長線于點N,在直角AQP中,PAQ=45,則AQ=PQ=601.5+BQ=90+BQ(海里),所以 BQ=PQ90在直角BPQ中,BPQ=30,則BQ=PQtan30=P

28、Q(海里),所以 PQ90=PQ,所以 PQ=45(3+)(海里)所以 MN=PQ=45(3+)(海里)在直角BMN中,MBN=30,所以 BM=2MN=90(3+)(海里)所以 =(小時)故答案是:32(2018濟寧)如圖,在一筆直的海岸線l上有相距2km的A,B兩個觀測站,B站在A站的正東方向上,從A站測得船C在北偏東60的方向上,從B站測得船C在北偏東30的方向上,則船C到海岸線l的距離是km【分析】首先由題意可證得:ACB是等腰三角形,即可求得BC的長,然后由在RtCBD中,CD=BCsin60,求得答案【解答】解:過點C作CDAB于點D,根據(jù)題意得:CAD=9060=30,CBD=9

29、030=60,ACB=CBDCAD=30,CAB=ACB,BC=AB=2km,在RtCBD中,CD=BCsin60=2=(km)故答案為:三解答題(共18小題)33(2018貴陽)如圖,在RtABC中,以下是小亮探究與之間關系的方法:sinA=,sinB=c=,c=根據(jù)你掌握的三角函數(shù)知識在圖的銳角ABC中,探究、之間的關系,并寫出探究過程【分析】三式相等,理由為:過A作ADBC,BEAC,在直角三角形ABD中,利用銳角三角函數(shù)定義表示出AD,在直角三角形ADC中,利用銳角三角函數(shù)定義表示出AD,兩者相等即可得證【解答】解: =,理由為:過A作ADBC,BEAC,在RtABD中,sinB=,即

30、AD=csinB,在RtADC中,sinC=,即AD=bsinC,csinB=bsinC,即=,同理可得=,則=34(2018上海)如圖,已知ABC中,AB=BC=5,tanABC=(1)求邊AC的長;(2)設邊BC的垂直平分線與邊AB的交點為D,求的值【分析】(1)過A作AEBC,在直角三角形ABE中,利用銳角三角函數(shù)定義求出AC的長即可;(2)由DF垂直平分BC,求出BF的長,利用銳角三角函數(shù)定義求出DF的長,利用勾股定理求出BD的長,進而求出AD的長,即可求出所求【解答】解:(1)作A作AEBC,在RtABE中,tanABC=,AB=5,AE=3,BE=4,CE=BCBE=54=1,在R

31、tAEC中,根據(jù)勾股定理得:AC=;(2)DF垂直平分BC,BD=CD,BF=CF=,tanDBF=,DF=,在RtBFD中,根據(jù)勾股定理得:BD=,AD=5=,則=35(2018自貢)如圖,在ABC中,BC=12,tanA=,B=30;求AC和AB的長【分析】如圖作CHAB于H在Rt求出CH、BH,這種RtACH中求出AH、AC即可解決問題;【解答】解:如圖作CHAB于H在RtBCH中,BC=12,B=30,CH=BC=6,BH=6,在RtACH中,tanA=,AH=8,AC=10,AB=AH+BH=8+636(2018煙臺)汽車超速行駛是交通安全的重大隱患,為了有效降低交通事故的發(fā)生,許多

32、道路在事故易發(fā)路段設置了區(qū)間測速如圖,學校附近有一條筆直的公路l,其間設有區(qū)間測速,所有車輛限速40千米/小時數(shù)學實踐活動小組設計了如下活動:在l上確定A,B兩點,并在AB路段進行區(qū)間測速在l外取一點P,作PCl,垂足為點C測得PC=30米,APC=71,BPC=35上午9時測得一汽車從點A到點B用時6秒,請你用所學的數(shù)學知識說明該車是否超速(參考數(shù)據(jù):sin350.57,cos350.82,tan350.70,sin710.95,cos710.33,tan712.90)【分析】先求得AC=PCtanAPC=87、BC=PCtanBPC=21,據(jù)此得出AB=ACBC=8721=66,從而求得該

33、車通過AB段的車速,比較大小即可得【解答】解:在RtAPC中,AC=PCtanAPC=30tan71302.90=87,在RtBPC中,BC=PCtanBPC=30tan35300.70=21,則AB=ACBC=8721=66,該汽車的實際速度為=11m/s,又40km/h11.1m/s,該車沒有超速37(2018紹興)如圖1,窗框和窗扇用“滑塊鉸鏈”連接,圖3是圖2中“滑塊鉸鏈”的平面示意圖,滑軌MN安裝在窗框上,托懸臂DE安裝在窗扇上,交點A處裝有滑塊,滑塊可以左右滑動,支點B,C,D始終在一直線上,延長DE交MN于點F已知AC=DE=20cm,AE=CD=10cm,BD=40cm(1)窗

34、扇完全打開,張角CAB=85,求此時窗扇與窗框的夾角DFB的度數(shù);(2)窗扇部分打開,張角CAB=60,求此時點A,B之間的距離(精確到0.1cm)(參考數(shù)據(jù):1.732,2.449)【分析】(1)根據(jù)平行四邊形的判定和性質(zhì)可以解答本題;(2)根據(jù)銳角三角函數(shù)和題意可以求得AB的長,從而可以解答本題【解答】解:(1)AC=DE=20cm,AE=CD=10cm,四邊形ACDE是平行四邊形,ACDE,DFB=CAB,CAB=85,DFB=85;(2)作CGAB于點G,AC=20,CGA=90,CAB=60,CG=,AG=10,BD=40,CD=10,CB=30,BG=,AB=AG+BG=10+10

35、10+102.449=34.4934.5cm,即A、B之間的距離為34.5cm38(2018臨沂)如圖,有一個三角形的鋼架ABC,A=30,C=45,AC=2(+1)m請計算說明,工人師傅搬運此鋼架能否通過一個直徑為2.1m的圓形門?【分析】過B作BDAC于D,解直角三角形求出AD=xm,CD=BD=xm,得出方程,求出方程的解即可【解答】解:工人師傅搬運此鋼架能通過一個直徑為2.1m的圓形門,理由是:過B作BDAC于D,ABBD,BCBD,ACAB,求出DB長和2.1m比較即可,設BD=xm,A=30,C=45,DC=BD=xm,AD=BD=xm,AC=2(+1)m,x+x=2(+1),x=

36、2,即BD=2m2.1m,工人師傅搬運此鋼架能通過一個直徑為2.1m的圓形門39(2018長沙)為加快城鄉(xiāng)對接,建設全域美麗鄉(xiāng)村,某地區(qū)對A、B兩地間的公路進行改建如圖,A、B兩地之間有一座山汽車原來從A地到B地需途徑C地沿折線ACB行駛,現(xiàn)開通隧道后,汽車可直接沿直線AB行駛已知BC=80千米,A=45,B=30(1)開通隧道前,汽車從A地到B地大約要走多少千米?(2)開通隧道后,汽車從A地到B地大約可以少走多少千米?(結(jié)果精確到0.1千米)(參考數(shù)據(jù):141,1.73)【分析】(1)過點C作AB的垂線CD,垂足為D,在直角ACD中,解直角三角形求出CD,進而解答即可;(2)在直角CBD中,

37、解直角三角形求出BD,再求出AD,進而求出汽車從A地到B地比原來少走多少路程【解答】解:(1)過點C作AB的垂線CD,垂足為D,ABCD,sin30=,BC=80千米,CD=BCsin30=80(千米),AC=(千米),AC+BC=80+40401.41+80=136.4(千米),答:開通隧道前,汽車從A地到B地大約要走136.4千米;(2)cos30=,BC=80(千米),BD=BCcos30=80(千米),tan45=,CD=40(千米),AD=(千米),AB=AD+BD=40+4040+401.73=109.2(千米),汽車從A地到B地比原來少走多少路程為:AC+BCAB=136.410

38、9.2=27.2(千米)答:汽車從A地到B地比原來少走的路程為27.2千米40(2018白銀)隨著中國經(jīng)濟的快速發(fā)展以及科技水平的飛速提高,中國高鐵正迅速崛起高鐵大大縮短了時空距離,改變了人們的出行方式如圖,A,B兩地被大山阻隔,由A地到B地需要繞行C地,若打通穿山隧道,建成A,B兩地的直達高鐵,可以縮短從A地到B地的路程已知:CAB=30,CBA=45,AC=640公里,求隧道打通后與打通前相比,從A地到B地的路程將約縮短多少公里?(參考數(shù)據(jù):1.7,1.4)【分析】過點C作CDAB于點D,利用銳角三角函數(shù)的定義求出CD及AD的長,進而可得出結(jié)論【解答】解:過點C作CDAB于點D,在RtAD

39、C和RtBCD中,CAB=30,CBA=45,AC=640,CD=320,AD=320,BD=CD=320,BC=320,AC+BC=640+3201088,AB=AD+BD=320+320864,1088864=224(公里),答:隧道打通后與打通前相比,從A地到B地的路程將約縮短224公里41(2018隨州)隨州市新水一橋(如圖1)設計靈感來源于市花蘭花,采用蝴蝶蘭斜拉橋方案,設計長度為258米,寬32米,為雙向六車道,2018年4月3日通車斜拉橋又稱斜張橋,主要由索塔、主梁、斜拉索組成某座斜拉橋的部分截面圖如圖2所示,索塔AB和斜拉索(圖中只畫出最短的斜拉索DE和最長的斜拉索AC)均在同

40、一水平面內(nèi),BC在水平橋面上已知ABC=DEB=45,ACB=30,BE=6米,AB=5BD(1)求最短的斜拉索DE的長;(2)求最長的斜拉索AC的長【分析】(1)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)計算DE的長;(2)作AHBC于H,如圖2,由于BD=DE=3,則AB=3BD=15,在RtABH中,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可計算出BH=AH=15,然后在RtACH中利用含30度的直角三角形三邊的關系即可得到AC的長【解答】解:(1)ABC=DEB=45,BDE為等腰直角三角形,DE=BE=6=3答:最短的斜拉索DE的長為3m;(2)作AHBC于H,如圖2,BD=DE=3,AB=3BD=53=15,在Rt

41、ABH中,B=45,BH=AH=AB=15=15,在RtACH中,C=30,AC=2AH=30答:最長的斜拉索AC的長為30m42(2018遵義)如圖,吊車在水平地面上吊起貨物時,吊繩BC與地面保持垂直,吊臂AB與水平線的夾角為64,吊臂底部A距地面1.5m(計算結(jié)果精確到0.1m,參考數(shù)據(jù)sin640.90,cos640.44,tan642.05)(1)當?shù)醣鄣撞緼與貨物的水平距離AC為5m時,吊臂AB的長為11.4m(2)如果該吊車吊臂的最大長度AD為20m,那么從地面上吊起貨物的最大高度是多少?(吊鉤的長度與貨物的高度忽略不計)【分析】(1)根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和三角函數(shù)解答即可;(2)

42、過點D作DH地面于H,利用直角三角形的性質(zhì)和三角函數(shù)解答即可【解答】解:(1)在RtABC中,BAC=64,AC=5m,AB=(m);故答案為:11.4;(2)過點D作DH地面于H,交水平線于點E,在RtADE中,AD=20m,DAE=64,EH=1.5m,DE=sin64AD200.918(m),即DH=DE+EH=18+1.5=19.5(m),答:如果該吊車吊臂的最大長度AD為20m,那么從地面上吊起貨物的最大高度是19.5m43(2018資陽)如圖是小紅在一次放風箏活動中某時段的示意圖,她在A處時的風箏線(整個過程中風箏線近似地看作直線)與水平線構(gòu)成30角,線段AA1表示小紅身高1.5米

43、(1)當風箏的水平距離AC=18米時,求此時風箏線AD的長度;(2)當她從點A跑動9米到達點B處時,風箏線與水平線構(gòu)成45角,此時風箏到達點E處,風箏的水平移動距離CF=10米,這一過程中風箏線的長度保持不變,求風箏原來的高度C1D【分析】(1)在RtACD中,由AD=可得答案;(2)設AF=x米,則BF=AB+AF=9+x,在RtBEF中求得AD=BE=18+x,由cosCAD=可建立關于x的方程,解之求得x的值,即可得出AD的長,繼而根據(jù)CD=ADsinCAD求得CD從而得出答案【解答】解:(1)在RtACD中,cosCAD=,AC=18、CAD=30,AD=12(米),答:此時風箏線AD

44、的長度為12米;(2)設AF=x米,則BF=AB+AF=9+x(米),在RtBEF中,BE=18+x(米),由題意知AD=BE=18+x(米),CF=10,AC=AF+CF=10+x,由cosCAD=可得=,解得:x=3+2,則AD=18+(3+2)=24+3,CD=ADsinCAD=(24+3)=,則C1D=CD+C1C=+=,答:風箏原來的高度C1D為米44(2018山西)祥云橋位于省城太原南部,該橋塔主體由三根曲線塔柱組合而成,全橋共設13對直線型斜拉索,造型新穎,是“三晉大地”的一種象征某數(shù)學“綜合與實踐”小組的同學把“測量斜拉索頂端到橋面的距離”作為一項課題活動,他們制訂了測量方案,

45、并利用課余時間借助該橋斜拉索完成了實地測量測量結(jié)果如下表項目內(nèi)容課題測量斜拉索頂端到橋面的距離測量示意圖說明:兩側(cè)最長斜拉索AC,BC相交于點C,分別與橋面交于A,B兩點,且點A,B,C在同一豎直平面內(nèi)測量數(shù)據(jù)A的度數(shù)B的度數(shù)AB的長度3828234米(1)請幫助該小組根據(jù)上表中的測量數(shù)據(jù),求斜拉索頂端點C到AB的距離(參考數(shù)據(jù):sin380.6,cos380.8,tan380.8,sin280.5,cos280.9,tan280.5)(2)該小組要寫出一份完整的課題活動報告,除上表的項目外,你認為還需要補充哪些項目(寫出一個即可)【分析】(1)過點C作CDAB于點D解直角三角形求出DC即可;

46、(2)還需要補充的項目可為:測量工具,計算過程,人員分工,指導教師,活動感受等【解答】解:(1)過點C作CDAB于點D設CD=x米,在RtADC中,ADC=90,A=38,在RtBDC中,BDC=90,B=28,AD+BD=AB=234,解得x=72答:斜拉索頂端點C到AB的距離為72米(2)還需要補充的項目可為:測量工具,計算過程,人員分工,指導教師,活動感受等(答案不唯一)45(2018常德)圖1是一商場的推拉門,已知門的寬度AD=2米,且兩扇門的大小相同(即AB=CD),將左邊的門ABB1A1繞門軸AA1向里面旋轉(zhuǎn)37,將右邊的門CDD1C1繞門軸DD1向外面旋轉(zhuǎn)45,其示意圖如圖2,求

47、此時B與C之間的距離(結(jié)果保留一位小數(shù))(參考數(shù)據(jù):sin370.6,cos370.8,1.4)【分析】作BEAD于點E,作CFAD于點F,延長FC到點M,使得BE=CM,則EM=BC,在RtABE、RtCDF中可求出AE、BE、DF、FC的長度,進而可得出EF的長度,再在RtMEF中利用勾股定理即可求出EM的長,此題得解【解答】解:作BEAD于點E,作CFAD于點F,延長FC到點M,使得BE=CM,如圖所示AB=CD,AB+CD=AD=2,AB=CD=1在RtABE中,AB=1,A=37,BE=ABsinA0.6,AE=ABcosA0.8在RtCDF中,CD=1,D=45,CF=CDsinD

48、0.7,DF=CDcosD0.7BEAD,CFAD,BECM,又BE=CM,四邊形BEMC為平行四邊形,BC=EM,CM=BE在RtMEF中,EF=ADAEDF=0.5,F(xiàn)M=CF+CM=1.3,EM=1.4,B與C之間的距離約為1.4米46(2018臺州)圖1是一輛吊車的實物圖,圖2是其工作示意圖,AC是可以伸縮的起重臂,其轉(zhuǎn)動點A離地面BD的高度AH為3.4m當起重臂AC長度為9m,張角HAC為118時,求操作平臺C離地面的高度(結(jié)果保留小數(shù)點后一位:參考數(shù)據(jù):sin280.47,cos280.88,tan280.53)【分析】作CEBD于F,AFCE于F,如圖2,易得四邊形AHEF為矩形

49、,則EF=AH=3.4m,HAF=90,再計算出CAF=28,則在RtACF中利用正弦可計算出CF,然后計算CF+EF即可【解答】解:作CEBD于F,AFCE于F,如圖2,易得四邊形AHEF為矩形,EF=AH=3.4m,HAF=90,CAF=CAHHAF=11890=28,在RtACF中,sinCAF=,CF=9sin28=90.47=4.23,CE=CF+EF=4.23+3.47.6(m),答:操作平臺C離地面的高度為7.6m47(2018岳陽)圖1是某小區(qū)入口實景圖,圖2是該入口抽象成的平面示意圖已知入口BC寬3.9米,門衛(wèi)室外墻AB上的O點處裝有一盞路燈,點O與地面BC的距離為3.3米,

50、燈臂OM長為1.2米(燈罩長度忽略不計),AOM=60(1)求點M到地面的距離;(2)某搬家公司一輛總寬2.55米,總高3.5米的貨車從該入口進入時,貨車需與護欄CD保持0.65米的安全距離,此時,貨車能否安全通過?若能,請通過計算說明;若不能,請說明理由(參考數(shù)據(jù):1.73,結(jié)果精確到0.01米)【分析】(1)構(gòu)建直角OMN,求ON的長,相加可得BN的長,即點M到地面的距離;(2)左邊根據(jù)要求留0.65米的安全距離,即取CE=0.65,車寬EH=2.55,計算高GH的長即可,與3.5作比較,可得結(jié)論【解答】解:(1)如圖,過M作MNAB于N,交BA的延長線于N,RtOMN中,NOM=60,O

51、M=1.2,M=30,ON=OM=0.6,NB=ON+OB=3.3+0.6=3.9;即點M到地面的距離是3.9米;(2)取CE=0.65,EH=2.55,HB=3.92.550.65=0.7,過H作GHBC,交OM于G,過O作OPGH于P,GOP=30,tan30=,GP=OP=0.404,GH=3.3+0.404=3.7043.703.5,貨車能安全通過48(2018徐州)如圖,一座堤壩的橫截面是梯形,根據(jù)圖中給出的數(shù)據(jù),求壩高和壩底寬(精確到0.1m)參考數(shù)據(jù):1.414,1.732【分析】利用銳角三角函數(shù),在RtCDE中計算出壩高DE及CE的長,通過矩形ADEF利用等腰直角三角形的邊角關

52、系,求出BF的長,得到壩底的寬【解答】解:在RtCDE中,sinC=,cosC=DE=sin30DC=14=7(m),CE=cos30DC=14=712.12412.12,四邊形AFED是矩形,EF=AD=6m,AF=DE=7m在RtABF中,B=45DE=AF=7m,BC=BF+EF+EC7+6+12.12=25.1225.1(m)答:該壩的壩高和壩底寬分別為7m和25.1m49(2018河南)“高低杠”是女子體操特有的一個競技項目,其比賽器材由高、低兩根平行杠及若干支架組成,運動員可根據(jù)自己的身高和習慣在規(guī)定范圍內(nèi)調(diào)節(jié)高、低兩杠間的距離某興趣小組根據(jù)高低杠器材的一種截面圖編制了如下數(shù)學問題

53、,請你解答如圖所示,底座上A,B兩點間的距離為90cm低杠上點C到直線AB的距離CE的長為155cm,高杠上點D到直線AB的距離DF的長為234cm,已知低杠的支架AC與直線AB的夾角CAE為82.4,高杠的支架BD與直線AB的夾角DBF為80.3求高、低杠間的水平距離CH的長(結(jié)果精確到1cm,參考數(shù)據(jù)sin82.40.991,cos82.40.132,tan82.47.500,sin80.30.983,cos80.30.168,tan80.35.850)【分析】利用銳角三角函數(shù),在RtACE和RtDBF中,分別求出AE、BF的長計算出EF通過矩形CEFH得到CH的長【解答】解:在RtACE

54、中,tanCAE=,AE=21(cm)在RtDBF中,tanDBF=,BF=40(cm)EF=EA+AB+BF21+90+40=151(cm)CEEF,CHDF,DFEF四邊形CEFH是矩形,CH=EF=151cm答:高、低杠間的水平距離CH的長為151cm50(2018嘉興)如圖1,滑動調(diào)節(jié)式遮陽傘的立柱AC垂直于地面AB,P為立柱上的滑動調(diào)節(jié)點,傘體的截面示意圖為PDE,F(xiàn)為PD的中點,AC=2.8m,PD=2m,CF=1m,DPE=20,當點P位于初始位置P0時,點D與C重合(圖2)根據(jù)生活經(jīng)驗,當太陽光線與PE垂直時,遮陽效果最佳(1)上午10:00時,太陽光線與地面的夾角為65(圖3

55、),為使遮陽效果最佳,點P需從P0上調(diào)多少距離?(結(jié)果精確到0.1m)(2)中午12:00時,太陽光線與地面垂直(圖4),為使遮陽效果最佳,點P在(1)的基礎上還需上調(diào)多少距離?(結(jié)果精確到0.1m)(參考數(shù)據(jù):sin700.94,cos700.34,tan702.75,1.41,1.73)【分析】(1)只要證明CFP1是等腰直角三角形,即可解決問題;(2)解直角三角形求出CP2的長即可解決問題;【解答】解:(1)如圖2中,當P位于初始位置時,CP0=2m,如圖3中,上午10:00時,太陽光線與地面的夾角為65,上調(diào)的距離為P0P11=90,CAB=90,ABE=65,AP1E=115,CP1E=65,DP1E=20,CP1F=45,CF=P1F=1m,C=CP1F=45,CP1F是等腰直角三角形,P1C=m,P0P1=CP0P1C=20.6m,即為使遮陽效果最佳,點P需從P0上調(diào)0.6m(2)如圖4中,中午12:00時,太陽光線與地面垂直(圖4),為使遮陽效果最佳,點P調(diào)到P2處P2EAB,CP2E=CAB=90,DP2E=20,CP2F=70,作FGAC于G,則CP2=2CG=1cos700.68m,P1P2=CP1CP2=0.680.7m,即點P在(1)的基礎上還需上調(diào)0.7m44

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