2018中考數(shù)學(xué)試題分類匯編 考點(diǎn)36 相似三角形(含解析)

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1、2018中考數(shù)學(xué)試題分類匯編:考點(diǎn)36 相似三角形一選擇題(共28小題)1(2018重慶)制作一塊3m2m長方形廣告牌的成本是120元,在每平方米制作成本相同的情況下,若將此廣告牌的四邊都擴(kuò)大為原來的3倍,那么擴(kuò)大后長方形廣告牌的成本是()A360元B720元C1080元D2160元【分析】根據(jù)題意求出長方形廣告牌每平方米的成本,根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)求出擴(kuò)大后長方形廣告牌的面積,計(jì)算即可【解答】解:3m2m=6m2,長方形廣告牌的成本是1206=20元/m2,將此廣告牌的四邊都擴(kuò)大為原來的3倍,則面積擴(kuò)大為原來的9倍,擴(kuò)大后長方形廣告牌的面積=96=54m2,擴(kuò)大后長方形廣告牌的成本是5420

2、=1080m2,故選:C2(2018玉林)兩三角形的相似比是2:3,則其面積之比是()A:B2:3C4:9D8:27【分析】根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方計(jì)算即可【解答】解:兩三角形的相似比是2:3,其面積之比是4:9,故選:C3(2018重慶)要制作兩個(gè)形狀相同的三角形框架,其中一個(gè)三角形的三邊長分別為5cm,6cm和9cm,另一個(gè)三角形的最短邊長為2.5cm,則它的最長邊為()A3cmB4cmC4.5cmD5cm【分析】根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例求解可得【解答】解:設(shè)另一個(gè)三角形的最長邊長為xcm,根據(jù)題意,得: =,解得:x=4.5,即另一個(gè)三角形的最長邊長為4.5cm,故選:

3、C4(2018內(nèi)江)已知ABC與A1B1C1相似,且相似比為1:3,則ABC與A1B1C1的面積比為()A1:1B1:3C1:6D1:9【分析】利用相似三角形面積之比等于相似比的平方,求出即可【解答】解:已知ABC與A1B1C1相似,且相似比為1:3,則ABC與A1B1C1的面積比為1:9,故選:D5(2018銅仁市)已知ABCDEF,相似比為2,且ABC的面積為16,則DEF的面積為()A32B8C4D16【分析】由ABCDEF,相似比為2,根據(jù)相似三角形的面積的比等于相似比的平方,即可得ABC與DEF的面積比為4,又由ABC的面積為16,即可求得DEF的面積【解答】解:ABCDEF,相似比

4、為2,ABC與DEF的面積比為4,ABC的面積為16,DEF的面積為:16=4故選:C6(2017重慶)已知ABCDEF,且相似比為1:2,則ABC與DEF的面積比為()A1:4B4:1C1:2D2:1【分析】利用相似三角形面積之比等于相似比的平方計(jì)算即可【解答】解:ABCDEF,且相似比為1:2,ABC與DEF的面積比為1:4,故選:A7(2018臨安區(qū))如圖,小正方形的邊長均為1,則下列圖中的三角形(陰影部分)與ABC相似的是()ABCD【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)求出ACB,根據(jù)相似三角形的判定定理判斷即可【解答】解:由正方形的性質(zhì)可知,ACB=18045=135,A、C、D圖形中的鈍角都不

5、等于135,由勾股定理得,BC=,AC=2,對(duì)應(yīng)的圖形B中的邊長分別為1和,=,圖B中的三角形(陰影部分)與ABC相似,故選:B8(2018廣東)在ABC中,點(diǎn)D、E分別為邊AB、AC的中點(diǎn),則ADE與ABC的面積之比為()ABCD【分析】由點(diǎn)D、E分別為邊AB、AC的中點(diǎn),可得出DE為ABC的中位線,進(jìn)而可得出DEBC及ADEABC,再利用相似三角形的性質(zhì)即可求出ADE與ABC的面積之比【解答】解:點(diǎn)D、E分別為邊AB、AC的中點(diǎn),DE為ABC的中位線,DEBC,ADEABC,=()2=故選:C9(2018自貢)如圖,在ABC中,點(diǎn)D、E分別是AB、AC的中點(diǎn),若ADE的面積為4,則ABC的

6、面積為()A8B12C14D16【分析】直接利用三角形中位線定理得出DEBC,DE=BC,再利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出答案【解答】解:在ABC中,點(diǎn)D、E分別是AB、AC的中點(diǎn),DEBC,DE=BC,ADEABC,=,=,ADE的面積為4,ABC的面積為:16,故選:D10(2018崇明縣一模)如圖,在平行四邊形ABCD中,點(diǎn)E在邊DC上,DE:EC=3:1,連接AE交BD于點(diǎn)F,則DEF的面積與BAF的面積之比為()A3:4B9:16C9:1D3:1【分析】可證明DFEBFA,根據(jù)相似三角形的面積之比等于相似比的平方即可得出答案【解答】解:四邊形ABCD為平行四邊形,DCAB,DFEBF

7、A,DE:EC=3:1,DE:DC=3:4,DE:AB=3:4,SDFE:SBFA=9:16 故選:B11(2018隨州)如圖,平行于BC的直線DE把ABC分成面積相等的兩部分,則的值為()A1BC 1D【分析】由DEBC可得出ADEABC,利用相似三角形的性質(zhì)結(jié)合SADE=S四邊形BCED,可得出=,結(jié)合BD=ABAD即可求出的值,此題得解【解答】解:DEBC,ADE=B,AED=C,ADEABC,()2=SADE=S四邊形BCED,=,=1故選:C12(2018哈爾濱)如圖,在ABC中,點(diǎn)D在BC邊上,連接AD,點(diǎn)G在線段AD上,GEBD,且交AB于點(diǎn)E,GFAC,且交CD于點(diǎn)F,則下列結(jié)

8、論一定正確的是()A =B =C =D =【分析】由GEBD、GFAC可得出AEGABD、DFGDCA,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可找出=,此題得解【解答】解:GEBD,GFAC,AEGABD,DFGDCA,=, =,=故選:D13(2018遵義)如圖,四邊形ABCD中,ADBC,ABC=90,AB=5,BC=10,連接AC、BD,以BD為直徑的圓交AC于點(diǎn)E若DE=3,則AD的長為()A5B4C3D2【分析】先求出AC,進(jìn)而判斷出ADFCAB,即可設(shè)DF=x,AD=x,利用勾股定理求出BD,再判斷出DEFDBA,得出比例式建立方程即可得出結(jié)論【解答】解:如圖,在RtABC中,AB=5,BC=10

9、,AC=5過點(diǎn)D作DFAC于F,AFD=CBA,ADBC,DAF=ACB,ADFCAB,設(shè)DF=x,則AD=x,在RtABD中,BD=,DEF=DBA,DFE=DAB=90,DEFDBA,x=2,AD=x=2,故選:D14(2018揚(yáng)州)如圖,點(diǎn)A在線段BD上,在BD的同側(cè)作等腰RtABC和等腰RtADE,CD與BE、AE分別交于點(diǎn)P,M對(duì)于下列結(jié)論:BAECAD;MPMD=MAME;2CB2=CPCM其中正確的是()ABCD【分析】(1)由等腰RtABC和等腰RtADE三邊份數(shù)關(guān)系可證;(2)通過等積式倒推可知,證明PAMEMD即可;(3)2CB2轉(zhuǎn)化為AC2,證明ACPMCA,問題可證【解

10、答】解:由已知:AC=AB,AD=AEBAC=EADBAE=CADBAECAD所以正確BAECADBEA=CDAPME=AMDPMEAMDMPMD=MAME所以正確BEA=CDAPME=AMDP、E、D、A四點(diǎn)共圓APD=EAD=90CAE=180BACEAD=90CAPCMAAC2=CPCMAC=AB2CB2=CPCM所以正確故選:A15(2018貴港)如圖,在ABC中,EFBC,AB=3AE,若S四邊形BCFE=16,則SABC=()A16B18C20D24【分析】由EFBC,可證明AEFABC,利用相似三角形的性質(zhì)即可求出則SABC的值【解答】解:EFBC,AEFABC,AB=3AE,A

11、E:AB=1:3,SAEF:SABC=1:9,設(shè)SAEF=x,S四邊形BCFE=16,=,解得:x=2,SABC=18,故選:B16(2018孝感)如圖,ABC是等邊三角形,ABD是等腰直角三角形,BAD=90,AEBD于點(diǎn)E,連CD分別交AE,AB于點(diǎn)F,G,過點(diǎn)A作AHCD交BD于點(diǎn)H則下列結(jié)論:ADC=15;AF=AG;AH=DF;AFGCBG;AF=(1)EF其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為()A5B4C3D2【分析】由等邊三角形與等腰直角三角形知CAD是等腰三角形且頂角CAD=150,據(jù)此可判斷;求出AFP和FAG度數(shù),從而得出AGF度數(shù),據(jù)此可判斷;證ADFBAH即可判斷;由AFG=CBG=6

12、0、AGF=CGB即可得證;設(shè)PF=x,則AF=2x、AP=x,設(shè)EF=a,由ADFBAH知BH=AF=2x,根據(jù)ABE是等腰直角三角形之BE=AE=a+2x,據(jù)此得出EH=a,證PAFEAH得=,從而得出a與x的關(guān)系即可判斷【解答】解:ABC為等邊三角形,ABD為等腰直角三角形,BAC=60、BAD=90、AC=AB=AD,ADB=ABD=45,CAD是等腰三角形,且頂角CAD=150,ADC=15,故正確;AEBD,即AED=90,DAE=45,AFG=ADC+DAE=60,F(xiàn)AG=45,AGF=75,由AFGAGF知AFAG,故錯(cuò)誤;記AH與CD的交點(diǎn)為P,由AHCD且AFG=60知FA

13、P=30,則BAH=ADC=15,在ADF和BAH中,ADFBAH(ASA),DF=AH,故正確;AFG=CBG=60,AGF=CGB,AFGCBG,故正確;在RtAPF中,設(shè)PF=x,則AF=2x、AP=x,設(shè)EF=a,ADFBAH,BH=AF=2x,ABE中,AEB=90、ABE=45,BE=AE=AF+EF=a+2x,EH=BEBH=a+2x2x=a,APF=AEH=90,F(xiàn)AP=HAE,PAFEAH,=,即=,整理,得:2x2=(1)ax,由x0得2x=(1)a,即AF=(1)EF,故正確;故選:B17(2018瀘州)如圖,正方形ABCD中,E,F(xiàn)分別在邊AD,CD上,AF,BE相交于

14、點(diǎn)G,若AE=3ED,DF=CF,則的值是()ABCD【分析】如圖作,F(xiàn)NAD,交AB于N,交BE于M設(shè)DE=a,則AE=3a,利用平行線分線段成比例定理解決問題即可;【解答】解:如圖作,F(xiàn)NAD,交AB于N,交BE于M四邊形ABCD是正方形,ABCD,F(xiàn)NAD,四邊形ANFD是平行四邊形,D=90,四邊形ANFD是解析式,AE=3DE,設(shè)DE=a,則AE=3a,AD=AB=CD=FN=4a,AN=DF=2a,AN=BN,MNAE,BM=ME,MN=a,F(xiàn)M=a,AEFM,=,故選:C18(2018臨安區(qū))如圖,在ABC中,DEBC,DE分別與AB,AC相交于點(diǎn)D,E,若AD=4,DB=2,則

15、DE:BC的值為()ABCD【分析】根據(jù)平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交,所截得的三角形與原三角形相似,再根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例解則可【解答】解:DEBC,ADEABC,=故選:A19(2018恩施州)如圖所示,在正方形ABCD中,G為CD邊中點(diǎn),連接AG并延長交BC邊的延長線于E點(diǎn),對(duì)角線BD交AG于F點(diǎn)已知FG=2,則線段AE的長度為()A6B8C10D12【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)可得出ABCD,進(jìn)而可得出ABFGDF,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得出=2,結(jié)合FG=2可求出AF、AG的長度,由CGAB、AB=2CG可得出CG為EAB的中位線,再利用三角形中位線的性質(zhì)可求出AE的長度,

16、此題得解【解答】解:四邊形ABCD為正方形,AB=CD,ABCD,ABF=GDF,BAF=DGF,ABFGDF,=2,AF=2GF=4,AG=6CGAB,AB=2CG,CG為EAB的中位線,AE=2AG=12故選:D20(2018杭州)如圖,在ABC中,點(diǎn)D在AB邊上,DEBC,與邊AC交于點(diǎn)E,連結(jié)BE記ADE,BCE的面積分別為S1,S2()A若2ADAB,則3S12S2B若2ADAB,則3S12S2C若2ADAB,則3S12S2D若2ADAB,則3S12S2【分析】根據(jù)題意判定ADEABC,由相似三角形的面積之比等于相似比的平方解答【解答】解:如圖,在ABC中,DEBC,ADEABC,=

17、()2,若2ADAB,即時(shí),此時(shí)3S1S2+SBDE,而S2+SBDE2S2但是不能確定3S1與2S2的大小,故選項(xiàng)A不符合題意,選項(xiàng)B不符合題意若2ADAB,即時(shí),此時(shí)3S1S2+SBDE2S2,故選項(xiàng)C不符合題意,選項(xiàng)D符合題意故選:D21(2018永州)如圖,在ABC中,點(diǎn)D是邊AB上的一點(diǎn),ADC=ACB,AD=2,BD=6,則邊AC的長為()A2B4C6D8【分析】只要證明ADCACB,可得=,即AC2=ADAB,由此即可解決問題;【解答】解:A=A,ADC=ACB,ADCACB,=,AC2=ADAB=28=16,AC0,AC=4,故選:B22(2018香坊區(qū))如圖,點(diǎn)D、E、F分別

18、是ABC的邊AB、AC、BC上的點(diǎn),若DEBC,EFAB,則下列比例式一定成立的是()A =B =C =D =【分析】用平行線分線段成比例定理和相似三角形的判定即可得出結(jié)論【解答】解:DEBC,DEBC,ADEABC,EFAB,EFAB,CEFCAB,DEBC,EFAB,四邊形BDEF是平行四邊形,DE=BF,EF=BD,正確,故選:C23(2018荊門)如圖,四邊形ABCD為平行四邊形,E、F為CD邊的兩個(gè)三等分點(diǎn),連接AF、BE交于點(diǎn)G,則SEFG:SABG=()A1:3B3:1C1:9D9:1【分析】利用相似三角形的性質(zhì)面積比等于相似比的平方即可解決問題;【解答】解:四邊形ABCD是平行

19、四邊形,CD=AB,CDAB,DE=EF=FC,EF:AB=1:3,EFGBAG,=()2=,故選:C24(2018達(dá)州)如圖,E,F(xiàn)是平行四邊形ABCD對(duì)角線AC上兩點(diǎn),AE=CF=AC連接DE,DF并延長,分別交AB,BC于點(diǎn)G,H,連接GH,則的值為()ABCD1【分析】首先證明AG:AB=CH:BC=1:3,推出GHAC,推出BGHBAC,可得=()2=()2=, =,由此即可解決問題【解答】解:四邊形ABCD是平行四邊形AD=BC,DC=AB,AC=CA,ADCCBA,SADC=SABC,AE=CF=AC,AGCD,CHAD,AG:DC=AE:CE=1:3,CH:AD=CF:AF=1

20、:3,AG:AB=CH:BC=1:3,GHAC,BGHBAC,=()2=()2=,=,=,故選:C25(2018南充)如圖,正方形ABCD的邊長為2,P為CD的中點(diǎn),連結(jié)AP,過點(diǎn)B作BEAP于點(diǎn)E,延長CE交AD于點(diǎn)F,過點(diǎn)C作CHBE于點(diǎn)G,交AB于點(diǎn)H,連接HF下列結(jié)論正確的是()ACE=BEF=CcosCEP=DHF2=EFCF【分析】首先證明BH=AH,推出EG=BG,推出CE=CB,再證明CEHCBH,RtHFERtHFA,利用全等三角形的性質(zhì)即可一一判斷【解答】解:連接EH四邊形ABCD是正方形,CD=ABBC=AD=2,CDAB,BEAP,CHBE,CHPA,四邊形CPAH是平

21、行四邊形,CP=AH,CP=PD=1,AH=PC=1,AH=BH,在RtABE中,AH=HB,EH=HB,HCBE,BG=EG,CB=CE=2,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤,CH=CH,CB=CE,HB=HE,ABCCEH,CBH=CEH=90,HF=HF,HE=HA,RtHFERtHFA,AF=EF,設(shè)EF=AF=x,在RtCDF中,有22+(2x)2=(2+x)2,x=,EF=,故B錯(cuò)誤,PACH,CEP=ECH=BCH,cosCEP=cosBCH=,故C錯(cuò)誤HF=,EF=,F(xiàn)C=HF2=EFFC,故D正確,故選:D26(2018臨沂)如圖利用標(biāo)桿BE測量建筑物的高度已知標(biāo)桿BE高1.2m,測得AB=1.

22、6mBC=12.4m則建筑物CD的高是()A9.3mB10.5mC12.4mD14m【分析】先證明ABEACD,則利用相似三角形的性質(zhì)得=,然后利用比例性質(zhì)求出CD即可【解答】解:EBCD,ABEACD,=,即=,CD=10.5(米)故選:B27(2018長春)孫子算經(jīng)是中國古代重要的數(shù)學(xué)著作,成書于約一千五百年前,其中有首歌謠:今有竿不知其長,量得影長一丈五尺,立一標(biāo)桿,長一尺五寸,影長五寸,問竿長幾何?意即:有一根竹竿不知道有多長,量出它在太陽下的影子長一丈五尺,同時(shí)立一根一尺五寸的小標(biāo)桿,它的影長五寸(提示:1丈=10尺,1尺=10寸),則竹竿的長為()A五丈B四丈五尺C一丈D五尺【分析

23、】根據(jù)同一時(shí)刻物高與影長成正比可得出結(jié)論【解答】解:設(shè)竹竿的長度為x尺,竹竿的影長=一丈五尺=15尺,標(biāo)桿長=一尺五寸=1.5尺,影長五寸=0.5尺,解得x=45(尺)故選:B28(2018紹興)學(xué)校門口的欄桿如圖所示,欄桿從水平位置BD繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AC位置,已知ABBD,CDBD,垂足分別為B,D,AO=4m,AB=1.6m,CO=1m,則欄桿C端應(yīng)下降的垂直距離CD為()A0.2mB0.3mC0.4mD0.5m【分析】由ABO=CDO=90、AOB=COD知ABOCDO,據(jù)此得=,將已知數(shù)據(jù)代入即可得【解答】解:ABBD,CDBD,ABO=CDO=90,又AOB=COD,ABOCDO,則=

24、,AO=4m,AB=1.6m,CO=1m,=,解得:CD=0.4,故選:C二填空題(共7小題)29(2018邵陽)如圖所示,點(diǎn)E是平行四邊形ABCD的邊BC延長線上一點(diǎn),連接AE,交CD于點(diǎn)F,連接BF寫出圖中任意一對(duì)相似三角形:ADFECF【分析】利用平行四邊形的性質(zhì)得到ADCE,則根據(jù)相似三角形的判定方法可判斷ADFECF【解答】解:四邊形ABCD為平行四邊形,ADCE,ADFECF故答案為ADFECF30(2018北京)如圖,在矩形ABCD中,E是邊AB的中點(diǎn),連接DE交對(duì)角線AC于點(diǎn)F,若AB=4,AD=3,則CF的長為【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)可得出ABCD,進(jìn)而可得出FAE=FCD,結(jié)

25、合AFE=CFD(對(duì)頂角相等)可得出AFECFD,利用相似三角形的性質(zhì)可得出=2,利用勾股定理可求出AC的長度,再結(jié)合CF=AC,即可求出CF的長【解答】解:四邊形ABCD為矩形,AB=CD,AD=BC,ABCD,F(xiàn)AE=FCD,又AFE=CFD,AFECFD,=2AC=5,CF=AC=5=故答案為:31(2018包頭)如圖,在ABCD中,AC是一條對(duì)角線,EFBC,且EF與AB相交于點(diǎn)E,與AC相交于點(diǎn)F,3AE=2EB,連接DF若SAEF=1,則SADF的值為【分析】由3AE=2EB可設(shè)AE=2a、BE=3a,根據(jù)EFBC得=()2=,結(jié)合SAEF=1知SADC=SABC=,再由=知=,繼

26、而根據(jù)SADF=SADC可得答案【解答】解:3AE=2EB,可設(shè)AE=2a、BE=3a,EFBC,AEFABC,=()2=()2=,SAEF=1,SABC=,四邊形ABCD是平行四邊形,SADC=SABC=,EFBC,=,=,SADF=SADC=,故答案為:32(2018資陽)已知:如圖,ABC的面積為12,點(diǎn)D、E分別是邊AB、AC的中點(diǎn),則四邊形BCED的面積為9【分析】設(shè)四邊形BCED的面積為x,則SADE=12x,由題意知DEBC且DE=BC,從而得=()2,據(jù)此建立關(guān)于x的方程,解之可得【解答】解:設(shè)四邊形BCED的面積為x,則SADE=12x,點(diǎn)D、E分別是邊AB、AC的中點(diǎn),DE

27、是ABC的中位線,DEBC,且DE=BC,ADEABC,則=()2,即=,解得:x=9,即四邊形BCED的面積為9,故答案為:933(2018泰安)九章算術(shù)是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最重要的著作,在“勾股”章中有這樣一個(gè)問題:“今有邑方二百步,各中開門,出東門十五步有木,問:出南門幾步面見木?”用今天的話說,大意是:如圖,DEFG是一座邊長為200步(“步”是古代的長度單位)的正方形小城,東門H位于GD的中點(diǎn),南門K位于ED的中點(diǎn),出東門15步的A處有一樹木,求出南門多少步恰好看到位于A處的樹木(即點(diǎn)D在直線AC上)?請(qǐng)你計(jì)算KC的長為步【分析】證明CDKDAH,利用相似三角形的性質(zhì)得=,然后利用比例性質(zhì)

28、可求出CK的長【解答】解:DH=100,DK=100,AH=15,AHDK,CDK=A,而CKD=AHD,CDKDAH,=,即=,CK=答:KC的長為步故答案為34(2018岳陽)九章算術(shù)是我國古代數(shù)學(xué)名著,書中有下列問題:“今有勾五步,股十二步,問勾中容方幾何?”其意思為:“今有直角三角形,勾(短直角邊)長為5步,股(長直角邊)長為12步,問該直角三角形能容納的正方形邊長最大是多少步?”該問題的答案是步【分析】如圖1,根據(jù)正方形的性質(zhì)得:DEBC,則ADEACB,列比例式可得結(jié)論;如圖2,同理可得正方形的邊長,比較可得最大值【解答】解:如圖1,四邊形CDEF是正方形,CD=ED,DECF,設(shè)

29、ED=x,則CD=x,AD=12x,DECF,ADE=C,AED=B,ADEACB,x=,如圖2,四邊形DGFE是正方形,過C作CPAB于P,交DG于Q,設(shè)ED=x,SABC=ACBC=ABCP,125=13CP,CP=,同理得:CDGCAB,x=,該直角三角形能容納的正方形邊長最大是(步),故答案為:35(2018吉林)如圖是測量河寬的示意圖,AE與BC相交于點(diǎn)D,B=C=90,測得BD=120m,DC=60m,EC=50m,求得河寬AB=100m【分析】由兩角對(duì)應(yīng)相等可得BADCED,利用對(duì)應(yīng)邊成比例可得兩岸間的大致距離AB【解答】解:ADB=EDC,ABC=ECD=90,ABDECD,解

30、得:AB=(米)故答案為:100三解答題(共15小題)36(2018張家界)如圖,點(diǎn)P是O的直徑AB延長線上一點(diǎn),且AB=4,點(diǎn)M為上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與A,B重合),射線PM與O交于點(diǎn)N(不與M重合)(1)當(dāng)M在什么位置時(shí),MAB的面積最大,并求岀這個(gè)最大值;(2)求證:PANPMB【分析】(1)當(dāng)M在弧AB中點(diǎn)時(shí),三角形MAB面積最大,此時(shí)OM與AB垂直,求出此時(shí)三角形面積最大值即可;(2)由同弧所對(duì)的圓周角相等及公共角,利用兩對(duì)角相等的三角形相似即可得證【解答】解:(1)當(dāng)點(diǎn)M在的中點(diǎn)處時(shí),MAB面積最大,此時(shí)OMAB,OM=AB=4=2,SABM=ABOM=42=4;(2)PMB=PAN,P

31、=P,PANPMB37(2018株洲)如圖,在RtABM和RtADN的斜邊分別為正方形的邊AB和AD,其中AM=AN(1)求證:RtABMRtAND;(2)線段MN與線段AD相交于T,若AT=,求tanABM的值【分析】(1)利用HL證明即可;(2)想辦法證明DNTAMT,可得由AT=,推出,在RtABM中,tanABM=【解答】解:(1)AD=AB,AM=AN,AMB=AND=90RtABMRtAND(HL)(2)由RtABMRtAND易得:DAN=BAM,DN=BMBAM+DAM=90;DAN+ADN=90DAM=ANDNDAMDNTAMTAT=,RtABMtanABM=38(2018大慶

32、)如圖,AB是O的直徑,點(diǎn)E為線段OB上一點(diǎn)(不與O,B重合),作ECOB,交O于點(diǎn)C,作直徑CD,過點(diǎn)C的切線交DB的延長線于點(diǎn)P,作AFPC于點(diǎn)F,連接CB(1)求證:AC平分FAB;(2)求證:BC2=CECP;(3)當(dāng)AB=4且=時(shí),求劣弧的長度【分析】(1)根據(jù)等角的余角相等證明即可;(2)只要證明CBECPB,可得=解決問題;(3)作BMPF于M則CE=CM=CF,設(shè)CE=CM=CF=3a,PC=4a,PM=a,利用相似三角形的性質(zhì)求出BM,求出tanBCM的值即可解決問題;【解答】(1)證明:AB是直徑,ACB=90,BCP+ACF=90,ACE+BCE=90,BCP=BCE,A

33、CF=ACE,即AC平分FAB(2)證明:OC=OB,OCB=OBC,PF是O的切線,CEAB,OCP=CEB=90,PCB+OCB=90,BCE+OBC=90,BCE=BCP,CD是直徑,CBD=CBP=90,CBECPB,=,BC2=CECP;(3)解:作BMPF于M則CE=CM=CF,設(shè)CE=CM=CF=3a,PC=4a,PM=a,MCB+P=90,P+PBM=90,MCB=PBM,CD是直徑,BMPC,CMB=BMP=90,BMCPMB,=,BM2=CMPM=3a2,BM=a,tanBCM=,BCM=30,OCB=OBC=BOC=60,BOD=120的長=39(2018江西)如圖,在A

34、BC中,AB=8,BC=4,CA=6,CDAB,BD是ABC的平分線,BD交AC于點(diǎn)E,求AE的長【分析】根據(jù)角平分線定義和平行線的性質(zhì)求出D=CBD,求出BC=CD=4,證AEBCED,得出比例式,求出AE=2CE,即可得出答案【解答】解:BD為ABC的平分線,ABD=CBD,ABCD,D=ABD,D=CBD,BC=CD,BC=4,CD=4,ABCD,ABECDE,=,=,AE=2CE,AC=6=AE+CE,AE=440(2018上海)已知:如圖,正方形ABCD中,P是邊BC上一點(diǎn),BEAP,DFAP,垂足分別是點(diǎn)E、F(1)求證:EF=AEBE;(2)聯(lián)結(jié)BF,如課=求證:EF=EP【分析

35、】(1)利用正方形的性質(zhì)得AB=AD,BAD=90,根據(jù)等角的余角相等得到1=3,則可判斷ABEDAF,則BE=AF,然后利用等線段代換可得到結(jié)論;(2)利用=和AF=BE得到=,則可判定RtBEFRtDFA,所以4=3,再證明4=5,然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可判斷EF=EP【解答】證明:(1)四邊形ABCD為正方形,AB=AD,BAD=90,BEAP,DFAP,BEA=AFD=90,1+2=90,2+3=90,1=3,在ABE和DAF中,ABEDAF,BE=AF,EF=AEAF=AEBE;(2)如圖,=,而AF=BE,=,=,RtBEFRtDFA,4=3,而1=3,4=1,5=1,4=5,即

36、BE平分FBP,而BEEP,EF=EP41(2018東營)如圖,CD是O的切線,點(diǎn)C在直徑AB的延長線上(1)求證:CAD=BDC;(2)若BD=AD,AC=3,求CD的長【分析】(1)連接OD,由OB=OD可得出OBD=ODB,根據(jù)切線的性質(zhì)及直徑所對(duì)的圓周角等于180,利用等角的余角相等,即可證出CAD=BDC;(2)由C=C、CAD=CDB可得出CDBCAD,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)結(jié)合BD=AD、AC=3,即可求出CD的長【解答】(1)證明:連接OD,如圖所示OB=OD,OBD=ODBCD是O的切線,OD是O的半徑,ODB+BDC=90AB是O的直徑,ADB=90,OBD+CAD=90,C

37、AD=BDC(2)解:C=C,CAD=CDB,CDBCAD,=BD=AD,=,=,又AC=3,CD=242(2018南京)如圖,在正方形ABCD中,E是AB上一點(diǎn),連接DE過點(diǎn)A作AFDE,垂足為F,O經(jīng)過點(diǎn)C、D、F,與AD相交于點(diǎn)G(1)求證:AFGDFC;(2)若正方形ABCD的邊長為4,AE=1,求O的半徑【分析】(1)欲證明AFGDFC,只要證明FAG=FDC,AGF=FCD;(2)首先證明CG是直徑,求出CG即可解決問題;【解答】(1)證明:在正方形ABCD中,ADC=90,CDF+ADF=90,AFDE,AFD=90,DAF+ADF=90,DAF=CDF,四邊形GFCD是O的內(nèi)接

38、四邊形,F(xiàn)CD+DGF=180,F(xiàn)GA+DGF=180,F(xiàn)GA=FCD,AFGDFC(2)解:如圖,連接CGEAD=AFD=90,EDA=ADF,EDAADF,=,即=,AFGDFC,=,=,在正方形ABCD中,DA=DC,AG=EA=1,DG=DAAG=41=3,CG=5,CDG=90,CG是O的直徑,O的半徑為43(2018濱州)如圖,AB為O的直徑,點(diǎn)C在O上,ADCD于點(diǎn)D,且AC平分DAB,求證:(1)直線DC是O的切線;(2)AC2=2ADAO【分析】(1)連接OC,由OA=OC、AC平分DAB知OAC=OCA=DAC,據(jù)此知OCAD,根據(jù)ADDC即可得證;(2)連接BC,證DAC

39、CAB即可得【解答】解:(1)如圖,連接OC,OA=OC,OAC=OCA,AC平分DAB,OAC=DAC,DAC=OCA,OCAD,又ADCD,OCDC,DC是O的切線;(2)連接BC,AB為O的直徑,AB=2AO,ACB=90,ADDC,ADC=ACB=90,又DAC=CAB,DACCAB,=,即AC2=ABAD,AB=2AO,AC2=2ADAO44(2018十堰)如圖,ABC中,AB=AC,以AB為直徑的O交BC于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)E,過點(diǎn)D作FGAC于點(diǎn)F,交AB的延長線于點(diǎn)G(1)求證:FG是O的切線;(2)若tanC=2,求的值【分析】(1)欲證明FG是O的切線,只要證明ODFG;(2

40、)由GDBGAD,設(shè)BG=a可得=,推出DG=2a,AG=4a,由此即可解決問題;【解答】(1)證明:連接AD、ODAB是直徑,ADB=90,即ADBC,AC=AB,CD=BD,OA=OB,ODAC,DFAC,ODDF,F(xiàn)G是O的切線(2)解:tanC=2,BD=CD,BD:AD=1:2,GDB+ODB=90,ADO+ODB=90,OA=OD,OAD=ODA,GDB=GAD,G=G,GDBGAD,設(shè)BG=a=,DG=2a,AG=4a,BG:GA=1:445(2018杭州)如圖,在ABC中,AB=AC,AD為BC邊上的中線,DEAB于點(diǎn)E(1)求證:BDECAD(2)若AB=13,BC=10,求

41、線段DE的長【分析】(1)想辦法證明B=C,DEB=ADC=90即可解決問題;(2)利用面積法: ADBD=ABDE求解即可;【解答】解:(1)AB=AC,BD=CD,ADBC,B=C,DEAB,DEB=ADC,BDECAD(2)AB=AC,BD=CD,ADBC,在RtADB中,AD=12,ADBD=ABDE,DE=46(2018煙臺(tái))如圖,已知D,E分別為ABC的邊AB,BC上兩點(diǎn),點(diǎn)A,C,E在D上,點(diǎn)B,D在E上F為上一點(diǎn),連接FE并延長交AC的延長線于點(diǎn)N,交AB于點(diǎn)M(1)若EBD為,請(qǐng)將CAD用含的代數(shù)式表示;(2)若EM=MB,請(qǐng)說明當(dāng)CAD為多少度時(shí),直線EF為D的切線;(3)

42、在(2)的條件下,若AD=,求的值【分析】(1)根據(jù)同圓的半徑相等和等邊對(duì)等角得:EDB=EBD=,CAD=ACD,DCE=DEC=2,再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得結(jié)論;(2)設(shè)MBE=x,同理得:EMB=MBE=x,根據(jù)切線的性質(zhì)知:DEF=90,所以CED+MEB=90,同理根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得CAD=45;(3)由(2)得:CAD=45;根據(jù)(1)的結(jié)論計(jì)算MBE=30,證明CDE是等邊三角形,得CD=CE=DE=EF=AD=,求EM=1,MF=EFEM=1,根據(jù)三角形內(nèi)角和及等腰三角形的判定得:EN=CE=,代入化簡可得結(jié)論【解答】解:(1)連接CD、DE,E中,ED=EB,EDB=

43、EBD=,CED=EDB+EBD=2,D中,DC=DE=AD,CAD=ACD,DCE=DEC=2,ACB中,CAD+ACD+DCE+EBD=180,CAD=;(2)設(shè)MBE=x,EM=MB,EMB=MBE=x,當(dāng)EF為D的切線時(shí),DEF=90,CED+MEB=90,CED=DCE=90x,ACB中,同理得,CAD+ACD+DCE+EBD=180,2CAD=18090=90,CAD=45;(3)由(2)得:CAD=45;由(1)得:CAD=;MBE=30,CED=2MBE=60,CD=DE,CDE是等邊三角形,CD=CE=DE=EF=AD=,RtDEM中,EDM=30,DE=,EM=1,MF=E

44、FEM=1,ACB中,NCB=45+30=75,CNE中,CEN=BEF=30,CNE=75,CNE=NCB=75,EN=CE=,=2+47(2018陜西)周末,小華和小亮想用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)測量家門前小河的寬測量時(shí),他們選擇了河對(duì)岸岸邊的一棵大樹,將其底部作為點(diǎn)A,在他們所在的岸邊選擇了點(diǎn)B,使得AB與河岸垂直,并在B點(diǎn)豎起標(biāo)桿BC,再在AB的延長線上選擇點(diǎn)D,豎起標(biāo)桿DE,使得點(diǎn)E與點(diǎn)C、A共線已知:CBAD,EDAD,測得BC=1m,DE=1.5m,BD=8.5m測量示意圖如圖所示請(qǐng)根據(jù)相關(guān)測量信息,求河寬AB【分析】由BCDE,可得=,構(gòu)建方程即可解決問題【解答】解:BCDE,ABCAD

45、E,=,=,AB=17(m),經(jīng)檢驗(yàn):AB=17是分式方程的解,答:河寬AB的長為17米48(2018濟(jì)寧)如圖,在正方形ABCD中,點(diǎn)E,F(xiàn)分別是邊AD,BC的中點(diǎn),連接DF,過點(diǎn)E作EHDF,垂足為H,EH的延長線交DC于點(diǎn)G(1)猜想DG與CF的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論;(2)過點(diǎn)H作MNCD,分別交AD,BC于點(diǎn)M,N,若正方形ABCD的邊長為10,點(diǎn)P是MN上一點(diǎn),求PDC周長的最小值【分析】(1)結(jié)論:CF=2DG只要證明DEGCDF即可;(2)作點(diǎn)C關(guān)于NM的對(duì)稱點(diǎn)K,連接DK交MN于點(diǎn)P,連接PC,此時(shí)PDC的周長最短周長的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK

46、;【解答】解:(1)結(jié)論:CF=2DG理由:四邊形ABCD是正方形,AD=BC=CD=AB,ADC=C=90,DE=AE,AD=CD=2DE,EGDF,DHG=90,CDF+DGE=90,DGE+DEG=90,CDF=DEG,DEGCDF,=,CF=2DG(2)作點(diǎn)C關(guān)于NM的對(duì)稱點(diǎn)K,連接DK交MN于點(diǎn)P,連接PC,此時(shí)PDC的周長最短周長的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK由題意:CD=AD=10,ED=AE=5,DG=,EG=,DH=,EH=2DH=2,HM=2,DM=CN=NK=1,在RtDCK中,DK=2,PCD的周長的最小值為10+249(2018聊城)如圖,正

47、方形ABCD中,E是BC上的一點(diǎn),連接AE,過B點(diǎn)作BHAE,垂足為點(diǎn)H,延長BH交CD于點(diǎn)F,連接AF(1)求證:AE=BF(2)若正方形邊長是5,BE=2,求AF的長【分析】(1)根據(jù)ASA證明ABEBCF,可得結(jié)論;(2)根據(jù)(1)得:ABEBCF,則CF=BE=2,最后利用勾股定理可得AF的長【解答】(1)證明:四邊形ABCD是正方形,AB=BC,ABE=BCF=90,BAE+AEB=90,BHAE,BHE=90,AEB+EBH=90,BAE=EBH,在ABE和BCF中,ABEBCF(ASA),AE=BF;(2)解:AB=BC=5,由(1)得:ABEBCF,CF=BE=2,DF=52=

48、3,四邊形ABCD是正方形,AB=AD=5,ADF=90,由勾股定理得:AF=50(2018烏魯木齊)如圖,AG是HAF的平分線,點(diǎn)E在AF上,以AE為直徑的O交AG于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作AH的垂線,垂足為點(diǎn)C,交AF于點(diǎn)B(1)求證:直線BC是O的切線;(2)若AC=2CD,設(shè)O的半徑為r,求BD的長度【分析】(1)根據(jù)角平分線的定義和同圓的半徑相等可得ODAC,證明ODCB,可得結(jié)論;(2)在RtACD中,設(shè)CD=a,則AC=2a,AD=a,證明ACDADE,表示a=,由平行線分線段成比例定理得:,代入可得結(jié)論【解答】(1)證明:連接OD,AG是HAF的平分線,CAD=BAD,OA=OD,OAD=ODA,CAD=ODA,ODAC,ACD=90,ODB=ACD=90,即ODCB,D在O上,直線BC是O的切線;(4分)(2)解:在RtACD中,設(shè)CD=a,則AC=2a,AD=a,連接DE,AE是O的直徑,ADE=90,由CAD=BAD,ACD=ADE=90,ACDADE,即,a=,由(1)知:ODAC,即,a=,解得BD=r(10分)46

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