2、長(zhǎng)．
第2題圖
類型二 8字型(有一組對(duì)頂角)
3. (2016撫順)如圖，矩形ABCD的頂點(diǎn)D在反比例函數(shù)y＝(x＜0)的圖象上，頂點(diǎn)B、C在x軸上，對(duì)角線AC的延長(zhǎng)線交y軸于點(diǎn)E，連接BE，若△BCE的面積是6，則k的值為( )
A. －6 B. －8 C. －9 D. －12
第3題圖
4. (2017眉山)如圖，點(diǎn)E是正方形ABCD的邊BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接DE，過(guò)頂點(diǎn)B作BF⊥DE，垂足為F，BF分別交AC于H，交DC于G.
(1)求證：BG＝DE;
(2)若點(diǎn)G為CD的中點(diǎn)，求的值．
第4
3、題圖
類型三 母子型(有一個(gè)公共角，及一邊共用)
∠A公共角，AC為公共邊
∠ACD＝∠B或∠ADC＝∠ACB
5. (2015上海)已知：如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在邊BC的延長(zhǎng)線上，且OE＝OB，連接DE.
(1)求證：DE⊥BE；
(2)如果OE⊥CD，求證：BD·CE＝CD·DE.
第5題圖
6. (2016成都)如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以CB為半徑作⊙C，交AC于點(diǎn)D，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接BD，BE.
(1)求證：△ABD∽△AEB；
(2)當(dāng)＝時(shí)，求tanE;
(3)在(2)的條件下，作∠BAC的平分
4、線，與BE交于點(diǎn)F，若AF＝2，求⊙C的半徑．
第6題圖
類型四 雙垂直型
7. 如圖，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，CE⊥AB于點(diǎn)E.
(1)求證：△ABD∽△CBE；
(2)若BD＝3，BE＝2，求AC的長(zhǎng)．
第7題圖
8. (2015陜西)如圖，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的弦，過(guò)點(diǎn)B作⊙O的切線DE，與AC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D，作AE⊥AC交DE于點(diǎn)E.
(1)求證：∠BAD＝∠E；
(2)若⊙O的半徑為5，AC＝8，求BE的長(zhǎng)．
第8題圖
類型五 一線三等角型
9. (2017宿遷)如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)E在
5、邊BC上移動(dòng)(點(diǎn)E不與點(diǎn)B、C重合)，滿足∠DEF＝∠B，且點(diǎn)D、F分別在邊AB、AC上．
(1)求證：△BDE∽△CEF;
(2)當(dāng)點(diǎn)E移動(dòng)到BC的中點(diǎn)時(shí)，求證：FE平分∠DFC.
第9題圖
10. 如圖，等邊△ABC的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在BC，AB，AC上，且∠EDF＝60°.
(1)求證：△BDE∽△CFD;
(2)當(dāng)BD＝1，CF＝3時(shí)，求BE的長(zhǎng)．
第10題圖
類型六 三垂直型
11. (2017江西)如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別在AB，BC，CD上，且∠EFG＝90°.
求證：△EBF∽△FCG.
6、第11題圖
12. 如圖，∠AOB＝90°，反比例函數(shù)y＝的圖象過(guò)點(diǎn)B，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2，1)，BO＝2，求B的坐標(biāo)和反比例函數(shù)的解析式．
第12題圖
13. (2016達(dá)州)如圖，已知AB為半圓O的直徑，C為半圓O上一點(diǎn)，連接AC，BC，過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)A作半圓O的切線交OD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接BD并延長(zhǎng)交AE于點(diǎn)F.
(1)求證：AE·BC＝AD·AB；
(2)若半圓O的直徑為10，sin∠BAC＝，求AF的長(zhǎng)．
第13題圖
16
答案
1. － 【解析】∵AC⊥x軸，BD⊥x軸，∴AC∥BD，∴△OCE∽△ODB，∴＝(
7、)2，∵OC＝CD＝OD，∴＝()2＝，設(shè)S△OCE＝a，則S△ODB＝4a，∴S四邊形BDCE＝3a，∴3a＝2，解得a＝，∴S△OBD＝4a＝，∵|k|＝S△ODB，即|k|＝，解得k＝±，∵反比例函數(shù)圖象的一支在第二象限，∴k＜0，∴k＝－.
2. (1)證明：如解圖，連接AE、OD，
第2題解圖
∵∠ACB＝90°，
∴AE為⊙O的直徑，
∴O為AE的中點(diǎn)，
又∵D為AB的中點(diǎn)，
∴OD為△AEB的中位線，
∴OD∥BE，
∴∠ODF＝∠DFB，
∵DF⊥BC，
∴∠DFB＝90°，
∴∠ODF＝90°，即OD⊥DF，
又∵OD是⊙O的半徑，
∴DF為⊙
8、O的切線；
(2)解：∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝9，
∴在Rt△ABC中，由勾股定理得
AB＝＝＝3，
∵D為AB的中點(diǎn)，
∴BD＝AB＝，
∵AE為⊙O的直徑，
∴∠ADE＝90°，
∴∠BDE＝∠BCA＝90°，
又∵∠B＝∠B，
∴△BDE∽△BCA，
∴＝，即＝，
解得DE＝.
3. D 【解析】∵四邊形ABCD是矩形，∴AB⊥BC，又∵OE⊥BC，∠ACB＝∠ECO，∴△ABC∽△EOC，＝，∴BC·OE＝AB·OC，即S△DCO＝S△BCE＝6，∴|k|＝2S△DCO＝12，∵反比例函數(shù)圖象在第二象限，∴k＜0，∴k＝－12.
4. (1)證明
9、：∵四邊形ABCD是正方形，
∴BC＝CD，∠BCD＝90°，
∴∠DCE＝90°，即∠BCD＝∠DCE，
∴∠E＋∠CDE＝90°，
∵BF⊥DE，
∴∠E＋∠EBF＝90°，
∴∠EBF＝∠CDE，
在△BCG和△DCE中，
，
∴△BCG≌△DCE(ASA)，
∴BG＝DE；
(2)解：∵G是CD的中點(diǎn)，
∴CG＝GD，
則AB＝BC＝CD＝2CG，
在Rt△BCG中，BG＝＝CG，
∵∠DFG＝∠BCG＝90°，∠DGF＝∠BGC，
∴△DGF∽△BGC，
∴＝，即＝，
∴GF＝CG，
∵AB∥CD，
∴△GHC∽△BHA，
∴＝，即＝，
∴
10、HG＝BH，
∴HG＝BG＝CG，
∴＝＝.
5. 證明：(1)∵OE＝OB，
∴∠OBE＝∠OEB，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OB＝OD，
∴OE＝OD，
∴∠ODE＝∠OED，
∵在△BED中，∠OBE＋∠OEB＋∠OED＋∠ODE＝180°，
∴2∠OEB＋2∠OED＝180°，
∴∠OEB＋∠OED＝90°，
即∠BED＝90°，
∴DE⊥BE；
(2)如解圖，設(shè)OE交CD于點(diǎn)H.
第5題解圖
∵OE⊥CD，
∴∠CHE＝90°，
∴∠CEH＋∠DCE＝90°，
∵∠CED＝90°，
∴∠CDE＋∠DCE＝90°，
∴∠CDE＝∠
11、CEH，
∵∠OEB＝∠OBE，
∴∠OBE＝∠CDE，
又∵∠CED＝∠BED，
∴△CED∽△DEB，
∴＝，即BD·CE＝CD·DE.
6. (1)證明：∵∠ABC＝90°，
∴∠ABD＋∠DBC＝90°，
∵CB＝CE，
∴∠CBE＝∠E，
∵DE是⊙C的直徑，
∴∠DBE＝90°，
∴∠DBC＋∠CBE＝∠DBC＋∠ABD＝90°，
∴∠ABD＝∠CBE＝∠E，
又∵∠BAD＝∠EAB，
∴△ABD∽△AEB；
(2)解：令A(yù)B＝4x，則BC＝3x，由勾股定理得AC＝5x，
∵CD＝BC＝3x，
∴AD＝2x，AE＝8x，
由(1)知，△ABD∽
12、△AEB，
∴＝＝，
∴＝＝，
∵∠DBE＝90°，
∴tanE＝＝；
(3)解：如解圖，過(guò)點(diǎn)A作EB延長(zhǎng)線的垂線，垂足為點(diǎn)G，
第6題解圖
∵AF平分∠BAC，
∴∠1＝∠2，
又∵BC＝CE，
∴∠3＝∠E，
在△BAE中，有∠1＋∠2＋∠3＋∠E＝180°－90°＝90°，
∴∠4＝∠2＋∠E＝45°，
∴△GAF為等腰直角三角形，
∵AF＝2，
∴AG＝，
由(2)可知，AE＝8x，tanE＝，
∴AG＝AE＝x，
即x＝，
解得x＝，
∴半徑r＝3x＝.
7. (1)證明：∵AB＝AC，BD＝CD，
∴AD⊥BC，
∵CE⊥AB，
13、∴∠ADB＝∠CEB＝90°，
又∵∠B＝∠B，
∴△ABD∽△CBE；
(2)解：∵BD＝3，
∴BC＝2BD＝6，
∵△ABD∽△CBE，
∴＝，即＝，
解得AB＝9，
∴AC＝AB＝9.
8. (1)證明：∵⊙O與DE相切于點(diǎn)B，AB為⊙O的直徑，
∴∠ABE＝90°，
∴∠BAE＋∠E＝90°，
又∵∠DAE＝90°，
∴∠BAD＋∠BAE＝90°，
∴∠BAD＝∠E；
(2)解：如解圖，連接BC，
第8題解圖
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB＝90°，
∵AC＝8，AB＝2×5＝10，
∴BC＝＝6，
∵∠BCA＝∠ABE＝90°，∠BA
14、D＝∠E，
∴△ABC∽△EAB，
∴＝，即＝，
∴BE＝.
9. 證明：(1)∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠B＋∠BED＋∠EDB＝180°，∠BED＋∠DEF＋∠FEC＝180°，∠DEF＝∠B，
∴∠EDB＝∠FEC，
∵∠B＝∠C，
∴△BDE∽△CEF；
(2)由(1)知△BDE∽△CEF，
∴＝，
∵BE＝CE，
∴＝，
又∵∠B＝∠C＝∠DEF，
∴△EDF∽△CEF，
∴∠DFE＝∠EFC，
∴FE平分∠DFC.
10. (1)證明：∵△ABC為等邊三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，
∴∠BED＋∠EDB＝180°－60°＝120°，
15、
∵∠EDF＝60°，
∴∠EDB＋∠FDC＝180°－60°＝120°，
∴∠BED＝∠FDC，
∴△BDE∽△CFD；
(2)解：由(1)知△BDE∽△CFD，
∴＝，
∵BC＝6，BD＝1，
∴CD＝BC－BD＝5，
∴＝，
解得BE＝.
11. 證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠C＝90°，
∴∠BEF＋∠EFB＝90°，
∵∠EFG＝90°，
∴∠EFB＋∠CFG＝180°－90°＝90°，
∴∠BEF＝∠CFG，
∴△EBF∽△FCG.
12. 解：如解圖，分別過(guò)點(diǎn)A、B作AC⊥x軸于點(diǎn)C，BD⊥x軸于點(diǎn)D，
第12題解圖
則∠
16、ACO＝∠BDO＝90°，
∴∠1＋∠2＝90°，
又∵∠AOB＝90°，
∴∠2＋∠3＝90°，
∴∠1＝∠3，
∴△BOD∽△OAC，
∴＝＝，
∵A(2，1)，
∴OC＝2，AC＝1，OA＝，
又∵BO＝2，
∴＝＝，
∴OD＝2，BD＝4，
∴B(－2，4)．
把B(－2，4)代入y＝得k＝－8，
∴反比例函數(shù)的解析式為y＝－.
13. (1)證明：∵AB為半圓O的直徑，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC＋∠ABC＝90°，
∵AE為半圓O的切線，
∴∠BAE＝90°，
∴∠EAD＋∠BAC＝90°，
∴∠EAD＝∠ABC，
∵OD⊥AC，
17、
∴∠ADE＝∠ACB＝90°，
∴△EAD∽△ABC，
∴＝，
∴AE·BC＝AD·AB；
(2)解：如解圖，設(shè)BF與半圓O交于點(diǎn)G，連接AG，則∠AGB＝∠ACB＝90°，
第13題解圖
∵∠ADG＝∠BDC，
∴△ADG∽△BDC，
∴＝，
∵在Rt△ABC中，BC＝AB·sin∠BAC＝10×＝6，
∴AC＝＝8，
∵OD⊥AC，
∴AD＝CD＝AC＝4，
∴＝＝＝，
設(shè)AG＝3x，則DG＝2x，由勾股定理得AG2＋DG2＝AD2，即9x2＋4x2＝42，
解得x＝，則AG＝，
∴BG＝＝，
∵∠AFG＋∠FAG＝90°，∠FAG＋∠GAB＝90°，
∴∠AFG＝∠BAG，
∴△AGF∽△BGA，
∴＝，即＝，
∴AF＝.
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