2018年中考數(shù)學(xué)考點(diǎn)總動(dòng)員系列 專題05 分式及其計(jì)算（含解析）

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1、 考點(diǎn)五：分式及其計(jì)算 聚焦考點(diǎn)☆溫習(xí)理解 1、分式的概念 一般地，用A、B表示兩個(gè)整式，A÷B就可以表示成的形式，如果B中含有字母，式子就叫做分式。其中，A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。分式和整式通稱為有理式。 當(dāng)B≠0時(shí)，分式有意義，當(dāng)B=0時(shí)，分式無意義；當(dāng)A=0且B≠0，分式的值等于0. 2、分式的性質(zhì) （1）分式的基本性質(zhì)： 分式的分子和分母都乘以（或除以）同一個(gè)不等于零的整式，分式的值不變。 用式子表示為：＝，＝(M是不等于零的整式) （2）分式的變號(hào)法則： 分式的分子、分母與分式本身的符號(hào)，改變其中任何兩個(gè)，分式的值不變。 3、分式的運(yùn)算法則

2、 4．最簡(jiǎn)分式 如果一個(gè)分式的分子與分母沒有公因式，那么這個(gè)分式叫做最簡(jiǎn)分式． 5．分式的約分、通分 把分式中分子與分母的公因式約去，這種變形叫做約分，約分的根據(jù)是分式的基本性質(zhì)． 把幾個(gè)異分母分式化為與原分式的值相等的同分母分式，這種變形叫做分式的通分，通分的根據(jù)是分式的基本性質(zhì)．通分的關(guān)鍵是確定幾個(gè)分式的最簡(jiǎn)公分母． 6．分式的混合運(yùn)算 在分式的混合運(yùn)算中，應(yīng)先算乘方，再將除法化為乘法，進(jìn)行約分化簡(jiǎn)，最后進(jìn)行加減運(yùn)算．若有括號(hào)，先算括號(hào)里面的．靈活運(yùn)用運(yùn)算律，運(yùn)算結(jié)果必須是最簡(jiǎn)分式或整式． 7．分式的化簡(jiǎn)求值 分式的化簡(jiǎn)求值題要先化簡(jiǎn)，再求值.通常情況下有兩種情況

3、：一是把字母的值代入化簡(jiǎn)后的最簡(jiǎn)分式或整式求值；二是用整體思想，把代數(shù)式的值整體代入化簡(jiǎn)后的最簡(jiǎn)分式或整式求值. 名師點(diǎn)睛☆典例分類 考點(diǎn)典例一、分式的概念，求字母的取值范圍 【例1】（2017廣西百色第13題）若分式有意義，則的取值范圍是 ． 【答案】x≠2 【解析】 試題分析：由題意，得x﹣2≠0．解得x≠2 考點(diǎn)：分式有意義的條件． 【例2】若分式的值為零，則x的值為（　　） A．0 B．1 C．-1 D．±1 【答案】C. 【解析】 考點(diǎn)：分式的值為零的條件． 【點(diǎn)睛】(1)分式有意義就是使分母不為0，解不等式即可求出，有時(shí)還要考慮二次根

4、式有意義；(2)首先求出使分子為0的字母的值，再檢驗(yàn)這個(gè)字母的值是否使分母的值為0，當(dāng)它使分母的值不為0時(shí)，這就是所要求的字母的值． 【舉一反三】 1.（2017重慶A卷第7題）要使分式有意義，x應(yīng)滿足的條件是（　?。? A．x＞3 B．x=3 C．x＜3 D．x≠3 【答案】D. 考點(diǎn)：分式的意義的條件. 2. (2017浙江舟山第12題)若分式的值為0，則的值為 ． 【答案】2. 【解析】由分式的值為0時(shí)，分母不能為0，分子為0，可得2x-4=0，x+1≠0，解得x=2. 【考點(diǎn)】分式的值為0的條件. 考點(diǎn)典例二、分式的性質(zhì) 【例3】已知x+y=xy，

5、求代數(shù)式-（1-x）（1-y）的值． 【答案】0. 【解析】 試題分析：首先將所求代數(shù)式展開化簡(jiǎn)，然后整體代入即可求值． 試題解析：∵x+y=xy， ∴-（1-x）（1-y） =-（1-x-y+xy） =-1+x+y-xy =1-1+0 =0 考點(diǎn)：分式的化簡(jiǎn)求值． 【點(diǎn)睛】(1)分式的基本性質(zhì)是分式變形的理論依據(jù)，所有分式變形都不得與此相違背，否則分式的值改變；(2)將分式化簡(jiǎn)，即約分，要先找出分子、分母的公因式，如果分子、分母是多項(xiàng)式，要先將它們分別分解因式，然后再約分，約分應(yīng)徹底；(3)巧用分式的性質(zhì)，可以解決某些較復(fù)雜的計(jì)算題，可應(yīng)用逆向思維，把要求的算式和已知條

6、件由兩頭向中間湊的方式來求代數(shù)式的值. 【舉一反三】 1.分式可變形為【 】 A. B. C. D. 【答案】D． 考點(diǎn)：分式的基本性質(zhì)． 考點(diǎn)典例三、分式的加減法 【例4】（2017遼寧大連第3題）計(jì)算的結(jié)果是（ ） A． B． C． D． 【答案】C. 【解析】 試題分析：根據(jù)分式的運(yùn)算法則即可求出答案． 原式=．故選C. 考點(diǎn)：分式的加減法. 【舉一反三】 1. （2017湖北咸寧第10題）化簡(jiǎn)： ． 【答案】x

7、+1. 試題分析：原式=. 考點(diǎn)：分式的加法． 2.化簡(jiǎn)的結(jié)果是　 【答案】. 考點(diǎn)：分式的加減法． 考點(diǎn)典例四、分式的四則混合運(yùn)算 【例5】（2017重慶A卷第21題（2））計(jì)算： （2）． 【答案】（2）． 【解析】 試題分析：（2）先將括號(hào)里的進(jìn)行通分，再將除法轉(zhuǎn)化為乘法，分解因式后進(jìn)行約分. 試題解析： （2）（+a﹣2）÷ =[+]， =， =． 考點(diǎn)：分式的混合運(yùn)算. 【點(diǎn)睛】準(zhǔn)確、靈活、簡(jiǎn)便地運(yùn)用法則進(jìn)行化簡(jiǎn) 【舉一反三】 1. （2017黑龍江綏化第15題）計(jì)算： ． 【答案】 【解析】 試題

8、分析：原式= = . 考點(diǎn)：分式的混合運(yùn)算． 2. （2017陜西省西安鐵一中模擬）化簡(jiǎn)：． 【答案】原式=. 【解析】 試題分析：先把第一個(gè)分式的分子、分母分解因式后約分，再通分，然后根據(jù)分式的加減法法則分母不變，分子相加即可． 試題解析：解：原式 ． 考點(diǎn)：分式的化簡(jiǎn). 考點(diǎn)典例五、分式的化簡(jiǎn)求值 【例6】（2017山東德州第18題）先化簡(jiǎn)，在求值：，其中a=. 【答案】. 【解析】： 試題分析：利用完全平方公式：a2-4a+4=(a-2)2；利用平方差公式：a2-4=(a+2)(a-2)分解因式，把除法轉(zhuǎn)化為乘法，約分化簡(jiǎn)，然后把a(bǔ)的值代入化簡(jiǎn)結(jié)果即可求

9、值； 試題解析 = =a-3 當(dāng)a=時(shí)，原式=-3=. 考點(diǎn)：分式的化簡(jiǎn)求值. 【舉一反三】 1. （2017廣西貴港，19（2））先化簡(jiǎn)，在求值： ，其中 . 【答案】7+5 【解析】先化簡(jiǎn)原式，然后將a的值代入即可求出答案． 當(dāng)a=-2+ 原式= ===7+5 考點(diǎn)：分式的化簡(jiǎn)求值 2. （2017內(nèi)蒙古通遼第19題） 先化簡(jiǎn)，再求值. ，其中從0,1,2,3,四個(gè)數(shù)中適當(dāng)選取. 【答案】，- 【解析】 試題分析：首先化簡(jiǎn)，然后根據(jù)x的取值范圍，從0，1，2，3四個(gè)數(shù)中適當(dāng)選取，求出算式的值是多少即可． 考點(diǎn)：分式的化簡(jiǎn)求值 課時(shí)作業(yè)☆能力提

10、升 一、選擇題 1. （2017湖北武漢第2題）若代數(shù)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ） A． B． C． D． 【答案】D. 【解析】 試題解析：根據(jù)“分式有意義，分母不為0”得： a-4≠0 解得：a≠4. 故選D. 考點(diǎn)：分式有意義的條件. 2. （2017山東省濱州市鄒平雙語學(xué)校八年級(jí)期中）下列分式中，最簡(jiǎn)分式是（　?。? A. B. C. D. 【答案】A. 考點(diǎn)：最簡(jiǎn)分式. 3. （2017浙江麗水）化簡(jiǎn)的結(jié)果是（　　） A．x+1　　　　　　B．x﹣1　　　　　　C

11、．　　　　　　D． 【答案】A． 【考點(diǎn)】分式的加減法． 4. (2017北京第7題)如果，那么代數(shù)式的值是（ ） A． -3 B． -1 C. 1 D．3 【答案】C. 【解析】原式= ，當(dāng) 時(shí)， .故選C. 【考點(diǎn)】代數(shù)式求值 二、填空題 5. （2017學(xué)年蘇州市工業(yè)園區(qū)東沙湖學(xué)校八年級(jí)第二學(xué)期數(shù)學(xué)期中）若代數(shù)式的值為零，則=______________. 【答案】2． 【解析】 試題分析：由題意，得 (x?2)(x?3)=0且2x?6≠0，解得x=2， 故答案為：2. 考點(diǎn)：分式值為零的條件． 6. （20

12、17河北）若= +，則 中的數(shù)是（　?。? A．﹣1　　　　　　B．﹣2　　　　　　C．﹣3　　　　　　D．任意實(shí)數(shù) 【答案】B． 【解析】∵ = +，∴﹣===﹣2，故____中的數(shù)是﹣2．故選B． 考點(diǎn)：分式的加減法． 7. （2017山東省平邑縣陽光中學(xué)屆九年級(jí)一輪復(fù)習(xí)）化簡(jiǎn)： =_______________． 【答案】a. 【解析】 試題分析：.所以本題的正確答案為. 考點(diǎn)：分式的混合運(yùn)算. 8. （2017江蘇省連云港市中考數(shù)學(xué)三模）若x為的倒數(shù)，則的值為________。 【答案】 【解析】∵x為?1的倒

13、數(shù)， ∴x=+1， ∴原式=÷=(x+2)(x?2)=( +3)( ?1)=2?1 考點(diǎn)：分式的化簡(jiǎn). 9. （2017湖北武漢第12題）計(jì)算的結(jié)果為 ． 【答案】x-1. 【解析】 試題解析：= 考點(diǎn)：分式的加減法. 三、解答題 10. （2017四川宜賓第17（2）題）化簡(jiǎn)（1﹣）÷（ ）． 【答案】． 【解析】 試題分析：先算減法和分解因式，把除法變成乘法，最后根據(jù)分式的乘法法則進(jìn)行計(jì)算即可． 試題解析：原式= = =． 考點(diǎn)：分式的混合運(yùn)算. 11．（2017蘇州市工業(yè)園區(qū)東沙湖學(xué)校期中模擬）計(jì)算： （1）

14、 （2） 【答案】（1） ；（2） 考點(diǎn)：分式的混合運(yùn)算. 12. （2017哈爾濱第21題）先化簡(jiǎn)，再求代數(shù)式的值，其中. 【答案】-， -． 【解析】 試題分析：根據(jù)分式的除法和減法可以化簡(jiǎn)題目中的式子，然后將x的值代入化簡(jiǎn)后的式子即可解答本題． 試題解析：原式===-， 當(dāng)x=4sin60°﹣2=4× -2=2﹣2時(shí)，原式=- =-． 考點(diǎn)：1.分式的化簡(jiǎn)求值；2.特殊角的三角函數(shù)值． 13. （2017青海西寧第22題） 先化簡(jiǎn)，再求值：，其中. 【答案】 ，﹣． 考點(diǎn)：分式的化簡(jiǎn)求值． 14. （2017湖南張家界第16題）先化

15、簡(jiǎn)，再從不等式2x﹣1＜6的正整數(shù)解中選一個(gè)適當(dāng)?shù)臄?shù)代入求值． 【答案】，4． 【解析】 試題分析：先把括號(hào)里的式子進(jìn)行通分，再把后面的式子根據(jù)完全平方公式、平方差公式進(jìn)行因式分解，然后約分，再求出不等式的解集，最后代入一個(gè)合適的數(shù)據(jù)代入即可． 試題解析：==，∵2x﹣1＜6，∴2x＜7，∴x＜，正整數(shù)解為1，2，3，當(dāng)x=1，x=2時(shí)，原式都無意義，∴x=3，把x=3代入上式得： 原式==4． 考點(diǎn)：分式的化簡(jiǎn)求值；一元一次不等式的整數(shù)解． 15. （2017貴州安順第20題）先化簡(jiǎn)，再求值：（x﹣1）÷（ ﹣1），其中x為方程x2+3x+2=0的根． 【答案】1. 【解析】 試題分析：先根據(jù)分式混合運(yùn)算的法則把原式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再把a(bǔ)的值代入進(jìn)行計(jì)算即可． 試題解析：原式=（x﹣1）÷ =（x﹣1）÷ =（x﹣1）× =﹣x﹣1． 由x為方程x2+3x+2=0的根，解得x=﹣1或x=﹣2． 當(dāng)x=﹣1時(shí)，原式無意義，所以x=﹣1舍去； 當(dāng)x=﹣2時(shí)，原式=﹣（﹣2）﹣1=2﹣1=1． 考點(diǎn)：分式的化簡(jiǎn)求值；解一元二次方程﹣因式分解法． 14