2018-2019學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊 第二十二章 二次函數(shù) 小專題7 二次函數(shù)與幾何圖形綜合習(xí)題 (新版)新人教版

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1、 小專題7 二次函數(shù)與幾何圖形綜合 類型1 線段相關(guān)問題 1.(山西農(nóng)業(yè)大學(xué)附中月考)如圖,拋物線經(jīng)過A(-1,0),B(5,0),C(0,-)三點. (1)求拋物線的解析式; (2)在拋物線的對稱軸上有一點P,使PA+PC的值最小,求點P的坐標(biāo). 解:(1)設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c(a≠0),∵A(-1,0),B(5,0),C(0,-)三點在拋物線上, ∴解得 ∴拋物線的解析式為y=x2-2x-. (2)∵拋物線的解析式為y=x2-2x-, ∴其對稱軸為直線x=-=-=2, 連接BC,交拋物線對稱軸于點P,P點即為所求點. ∵B(5,0),C(0,-

2、), ∴設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b(k≠0), ∴解得 ∴直線BC的解析式為y=x-, 當(dāng)x=2時,y=1-=-. ∴P(2,-). 類型2 圖形面積問題 2.(陽泉市平定縣月考)如圖所示,二次函數(shù)y=ax2-4x+c的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點,與x軸交于點A(-4,0). (1)求二次函數(shù)的解析式; (2)在拋物線上存在點P,滿足S△AOP=8,請求出點P的坐標(biāo). 解:(1)由已知條件,得 解得 ∴此二次函數(shù)的解析式為y=-x2-4x. (2)∵點A的坐標(biāo)為(-4,0),∴AO=4. 設(shè)點P到x軸的距離為h,則S△AOP=×4h=8. 解得h=4.

3、①當(dāng)點P在x軸上方時,-x2-4x=4. 解得x=-2. ∴點P的坐標(biāo)為(-2,4). ②當(dāng)點P在x軸下方時,-x2-4x=-4. 解得x1=-2+2,x2=-2-2. ∴點P的坐標(biāo)為(-2+2,-4)或(-2-2,-4). 綜上所述,點P的坐標(biāo)是(-2,4),(-2+2,-4),(-2-2,-4). 3.(呂梁孝義市期末)綜合與探究: 如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線W的函數(shù)解析式為y=-x2+2x+3.拋物線W與x軸交于A,B兩點(點A在點B的右側(cè)),與y軸交于點C,它的頂點為D,直線l經(jīng)過A,C兩點. (1)求點A,B,C,D的坐標(biāo); (2)將直

4、線l向下平移m個單位,對應(yīng)的直線為l′. ①若直線l′與x軸的正半軸交于點E,與y軸的正半軸交于點F,△AEF的面積為S,求S關(guān)于m的函數(shù)解析式,并寫出自變量m的取值范圍; ②求m的值為多少時,S的值最大?最大值為多少? (3)若將拋物線W也向下平移m個單位,再向右平移1個單位,使平移后得到的二次函數(shù)圖象的頂點P落在△AOC的內(nèi)部(不包括△AOC的邊界).請直接寫出m的取值范圍. 解:(1)當(dāng)y=0時,得-x2+2x+3=0, 解得x1=3,x2=-1. ∴A,B兩點坐標(biāo)分別為(3,0),(-1,0). 當(dāng)x=0時,得y=3,∴點C坐標(biāo)為(0,3). ∵y=-x2+2x+3=-

5、(x-1)2+4, ∴點D坐標(biāo)為(1,4). (2)①設(shè)直線l的解析式為y=kx+b,則有 解得 ∴直線l的解析式為y=-x+3. ∴直線l′的解析式為y=-x+3-m. 當(dāng)y=0時,解得x=3-m,∴E點坐標(biāo)為(3-m,0). 當(dāng)x=0時,解得y=3-m,∴F點坐標(biāo)為(0,3-m). ∴AE=3-(3-m)=m,OF=3-m. ∴S=AE·OF=m(3-m)=-m2+m(0<m<3). ②∵S=-m2+m=-(m-)2+,-<0, ∴當(dāng)m=時,S的值最大,最大值為. (3)3<m<4. 類型3 特殊圖形相關(guān)問題 4.(陽泉市平定縣月考)綜合與探究: 如圖,拋

6、物線y=ax2+bx-3經(jīng)過點A(2,-3),與x軸負(fù)半軸交于點B,與y軸交于點C,且OC=3OB. (1)求拋物線的解析式; (2)若點D在y軸上,且∠BDO=∠BAC,求點D的坐標(biāo); (3)若點M在拋物線上,點N在拋物線的對稱軸上,是否存在以點A、B、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,求出所有符合條件的點M的坐標(biāo);若不存在,請說明理由. 解:(1)由y=ax2+bx-3得C(0,-3),∴OC=3, ∵OC=3OB,∴OB=1.∴B(-1,0). 把A(2,-3),B(-1,0)代入y=ax2+bx-3得解得 ∴拋物線的解析式為y=x2-2x-3. (2)連接A

7、C,作BF⊥AC交AC的延長線于F,如圖1, ∵A(2,-3),C(0,-3),∴AF∥x軸,∴F(-1,-3). ∴BF=3,AF=3,∴∠BAC=45°. 設(shè)D(0,m),則OD=|m|, ∵∠BDO=∠BAC,∴∠BDO=45°,∴OD=OB=1, ∴|m|=1,∴m=±1, ∴D1(0,1),D2(0,-1). (3)設(shè)M(a,a2-2a-3),N(1,n), ①以AB為邊,則AB∥MN,AB=MN,如圖2,過M作ME⊥對稱軸于E,AF⊥x軸于F,則△ABF≌△NME(AAS), ∴NE=AF=3,ME=BF=3, ∴|a-1|=3,∴a=4或a=-2, ∴M(4,5)或(-2,5). ②以AB為對角線,BN=AM,BN∥AM,如圖3, 則N在x軸上,M與C重合,∴M(0,-3). 綜合上述,存在以點A,B,M,N為頂點的四邊形是平行四邊形,M(4,5)或(-2,5)或(0,-3). 5

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