2020年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 重難題型突破 類型五 圖形面積問題

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1、類型五 圖形面積問題例1、小明的家門前有一塊空地,空地外有一面長(zhǎng)10米的圍墻,為了美化生活環(huán)境,小明的爸爸準(zhǔn)備靠墻修建一個(gè)矩形花圃,他買回了32米長(zhǎng)的不銹鋼管準(zhǔn)備作為花圃的圍欄,為了澆花和賞花的方便,準(zhǔn)備在花圃的中間再圍出一條寬為一米的通道及在左右花圃各放一個(gè)1米寬的門(木質(zhì))花圃的長(zhǎng)與寬如何設(shè)計(jì)才能使花圃的面積最大?【答案】:寬6米,長(zhǎng)10米【解析】:設(shè)花圃的寬為米,面積為平方米則長(zhǎng)為:(米)則:,與的二次函數(shù)的頂點(diǎn)不在自變量的范圍內(nèi),而當(dāng)內(nèi),隨的增大而減小,當(dāng)時(shí),(平方米)答:可設(shè)計(jì)成寬米,長(zhǎng)10米的矩形花圃,這樣的花圃面積最大例2、某人定制了一批地磚,每塊地磚(如圖(1)所示)是邊長(zhǎng)為0

2、.4米的正方形ABCD,點(diǎn)E、F分別在邊BC和CD上,CFE、ABE和四邊形AEFD均由單一材料制成,制成CFE、ABE和四邊形AEFD的三種材料的每平方米價(jià)格依次為30元、20元、10元,若將此種地磚按圖(2)所示的形式鋪設(shè),且能使中間的陰影部分組成四邊形EFGH(1)判斷圖(2)中四邊形EFGH是何形狀,并說(shuō)明理由;(2)E、F在什么位置時(shí),定制這批地磚所需的材料費(fèi)用最???【答案】:(1)四邊形EFGH是正方形(2)當(dāng)CE=CF=0.1米時(shí),總費(fèi)用最省【解析】:(1) 四邊形EFGH是正方形圖(2)可以看作是由四塊圖(1)所示地磚繞C點(diǎn)按順(逆)時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90后得到的,故CE=CF =C

3、GCEF是等腰直角三角形因此四邊形EFGH是正方形 (2)設(shè)CE=x, 則BE=0.4x,每塊地磚的費(fèi)用為y元那么:y=x30+0.4(0.4-x)20+ 當(dāng)x=0.1時(shí),y有最小值,即費(fèi)用為最省,此時(shí)CE=CF=0.1答:當(dāng)CE=CF=0.1米時(shí),總費(fèi)用最省例3、某居民小區(qū)要在一塊一邊靠墻(墻長(zhǎng)15m)的空地上修建一個(gè)矩形花園ABCD,花園的一邊靠墻,另三邊用總長(zhǎng)為40m的柵欄圍成若設(shè)花園的寬為x(m) ,花園的面積為y(m)(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系,并寫出自變量的取值范圍;(2)根據(jù)(1)中求得的函數(shù)關(guān)系式,描述其圖象的變化趨勢(shì);并結(jié)合題意判斷當(dāng)x取何值時(shí),花園的面積最大,最大面積是多

4、少?【答案】:(1)y=(2)187.5【解析】: 二次函數(shù)的頂點(diǎn)不在自變量的范圍內(nèi),而當(dāng)內(nèi),隨的增大而減小,當(dāng)時(shí),(平方米)答:當(dāng)米時(shí)花園的面積最大,最大面積是187.5平方米例4、如圖,要建一個(gè)長(zhǎng)方形養(yǎng)雞場(chǎng),雞場(chǎng)的一邊靠墻,如果用50 m長(zhǎng)的籬笆圍成中間有一道籬笆隔墻的養(yǎng)雞場(chǎng),設(shè)它的長(zhǎng)度為x米(1)要使雞場(chǎng)面積最大,雞場(chǎng)的長(zhǎng)度應(yīng)為多少m?(2)如果中間有n(n是大于1的整數(shù))道籬笆隔墻,要使雞場(chǎng)面積最大,雞場(chǎng)的長(zhǎng)應(yīng)為多少米?比較(1)(2)的結(jié)果,你能得到什么結(jié)論? 【答案】:(1)25(2)25【解析】:(1)長(zhǎng)為x米,則寬為米,設(shè)面積為平方米當(dāng)時(shí),(平方米)即:雞場(chǎng)的長(zhǎng)度為25米時(shí),面

5、積最大(2) 中間有道籬笆,則寬為米,設(shè)面積為平方米則:當(dāng)時(shí),(平方米)由(1)(2)可知,無(wú)論中間有幾道籬笆墻,要使面積最大,長(zhǎng)都是25米即:使面積最大的值與中間有多少道隔墻無(wú)關(guān)例5、如圖,矩形ABCD的邊AB=6 cm,BC=8cm,在BC上取一點(diǎn)P,在CD邊上取一點(diǎn)Q,使APQ成直角,設(shè)BP=x cm,CQ=y cm,試以x為自變量,寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式【答案】:【解析】:APQ=90, APB+QPC=90.APB+BAP=90,QPC=BAP,B=C=90.ABPPCQ.例6、如圖,小明的父親在相距2米的兩棵樹間拴了一根繩子,給他做了一個(gè)簡(jiǎn)易的秋千,拴繩子的地方距地面高都是2.5米

6、,繩子自然下垂呈拋物線狀,身高1米的小明距較近的那棵樹0.5米時(shí),頭部剛好接觸到繩子,則繩子的最低點(diǎn)距地面的距離為多少米?【答案】:0.5【解析】:如圖所示建立直角坐標(biāo)系則:設(shè) 將點(diǎn),代入,解得 頂點(diǎn),最低點(diǎn)距地面0.5米例7、小李想用籬笆圍成一個(gè)周長(zhǎng)為60米的矩形場(chǎng)地,矩形面積S(單位:平方米)隨矩形一邊長(zhǎng)x(單位:米)的變化而變化(1)求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量x的取值范圍;(2)當(dāng)x是多少時(shí),矩形場(chǎng)地面積S最大?最大面積是多少?【答案】:(1) (2)15,225【解析】:(1)根據(jù)題意,得 自變量的取值范圍是 (2),有最大值 當(dāng)時(shí),答:當(dāng)為15米時(shí),才能使矩形場(chǎng)地面積最大

7、,最大面積是225平方米例8、隨著綠城南寧近幾年城市建設(shè)的快速發(fā)展,對(duì)花木的需求量逐年提高某園林專業(yè)戶計(jì)劃投資種植花卉及樹木,根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查與預(yù)測(cè),種植樹木的利潤(rùn)與投資量成正比例關(guān)系,如圖12-所示;種植花卉的利潤(rùn)與投資量成二次函數(shù)關(guān)系,如圖12-所示(注:利潤(rùn)與投資量的單位:萬(wàn)元)(1)分別求出利潤(rùn)與關(guān)于投資量的函數(shù)關(guān)系式;(2)如果這位專業(yè)戶以8萬(wàn)元資金投入種植花卉和樹木,他至少獲得多少利潤(rùn)?他能獲取的最大利潤(rùn)是多少?【答案】:(1)關(guān)于投資量的函數(shù)關(guān)系式是=,關(guān)于投資量的函數(shù)關(guān)系式是(2)當(dāng)時(shí),的最大值為32【解析】:(1)設(shè)=,由圖12-所示,函數(shù)=的圖像過(1,2),所以2=,故利潤(rùn)關(guān)

8、于投資量的函數(shù)關(guān)系式是=;因?yàn)樵搾佄锞€的頂點(diǎn)是原點(diǎn),所以設(shè)=,由圖12-所示,函數(shù)=的圖像過(2,2),所以, 故利潤(rùn)關(guān)于投資量的函數(shù)關(guān)系式是;(2)設(shè)這位專業(yè)戶投入種植花卉萬(wàn)元(),則投入種植樹木()萬(wàn)元,他獲得的利潤(rùn)是萬(wàn)元,根據(jù)題意,得=+=當(dāng)時(shí),的最小值是14; 他至少獲得14萬(wàn)元的利潤(rùn)因?yàn)?,所以在?duì)稱軸的右側(cè),隨的增大而增大所以,當(dāng)時(shí),的最大值為32例9、如圖,把一張長(zhǎng)10cm,寬8cm的矩形硬紙板的四周各剪去一個(gè)同樣大小的正方形,再折合成一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體盒子(紙板的厚度忽略不計(jì))(1)要使長(zhǎng)方體盒子的底面積為48cm2,那么剪去的正方形的邊長(zhǎng)為多少?(2)你感到折合而成的長(zhǎng)方體盒子的

9、側(cè)面積會(huì)不會(huì)有更大的情況?如果有,請(qǐng)你求出最大值和此時(shí)剪去的正方形的邊長(zhǎng);如果沒有,請(qǐng)你說(shuō)明理由;(3)如果把矩形硬紙板的四周分別剪去2個(gè)同樣大小的正方形和2個(gè)同樣形狀、同樣大小的矩形,然后折合成一個(gè)有蓋的長(zhǎng)方體盒子,是否有側(cè)面積最大的情況;如果有,請(qǐng)你求出最大值和此時(shí)剪去的正方形的邊長(zhǎng);如果沒有,請(qǐng)你說(shuō)明理由【答案】:(1)1(2)40.5(3)最大面積為cm2【解析】:(1)設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為cm,則即解得(不合題意,舍去),剪去的正方形的邊長(zhǎng)為1cm(2)有側(cè)面積最大的情況設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為cm,盒子的側(cè)面積為cm2,則與的函數(shù)關(guān)系式為:即改寫為當(dāng)時(shí),即當(dāng)剪去的正方形的邊長(zhǎng)為2.25cm時(shí),

10、長(zhǎng)方體盒子的側(cè)面積最大為40.5cm2(3)有側(cè)面積最大的情況設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為cm,盒子的側(cè)面積為cm2若按圖1所示的方法剪折,則與的函數(shù)關(guān)系式為:即當(dāng)時(shí),若按圖2所示的方法剪折,則與的函數(shù)關(guān)系式為:即當(dāng)時(shí),比較以上兩種剪折方法可以看出,按圖2所示的方法剪折得到的盒子側(cè)面積最大,即當(dāng)剪去的正方形的邊長(zhǎng)為cm時(shí),折成的有蓋長(zhǎng)方體盒子的側(cè)面積最大,最大面積為cm2例10、一座拱橋的輪廓是拋物線型(如圖16所示),拱高6m,跨度20m,相鄰兩支柱間的距離均為5m(1)將拋物線放在所給的直角坐標(biāo)系中(如圖17所示),求拋物線的解析式;(2)求支柱的長(zhǎng)度;(3)拱橋下地平面是雙向行車道(正中間是一條寬2m的隔離帶),其中的一條行車道能否并排行駛寬2m、高3m的三輛汽車(汽車間的間隔忽略不計(jì))?請(qǐng)說(shuō)明你的理由【答案】:(1)拋物線的表達(dá)式是 (2)5.5(3)能通過【解析】:(1)根據(jù)題目條件,的坐標(biāo)分別是設(shè)拋物線的解析式為,將的坐標(biāo)代入,得 解得所以拋物線的表達(dá)式是(2)可設(shè),于是 從而支柱的長(zhǎng)度是米(3)設(shè)是隔離帶的寬,是三輛車的寬度和,則點(diǎn)坐標(biāo)是過點(diǎn)作垂直交拋物線于,則根據(jù)拋物線的特點(diǎn),可知一條行車道能并排行駛這樣的三輛汽車8

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