《2020年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 重難題型突破 類型四 二次函數(shù)與特殊三角形判定問題》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 重難題型突破 類型四 二次函數(shù)與特殊三角形判定問題（17頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、類型四 二次函數(shù)與特殊三角形判定問題例1、如圖，已知拋物線yax2bxc(a0)的對稱軸為直線x1，且經(jīng)過A(1，0)，C(0，3)兩點(diǎn)，與x軸的另一個交點(diǎn)為B.(1)若直線ymxn經(jīng)過B，C兩點(diǎn)，求拋物線和直線BC的解析式；(2)在拋物線的對稱軸x1上找一點(diǎn)M，使點(diǎn)M到點(diǎn)A的距離與到點(diǎn)C的距離之和最小，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；(3)設(shè)點(diǎn)P為拋物線的對稱軸x1上的一個動點(diǎn)，求使BPC為直角三角形的點(diǎn)P的坐標(biāo)【解析】解：(1)依題意，得，解得拋物線的解析式為yx22x3.對稱軸為x1，拋物線經(jīng)過A(1，0)，B(3，0)設(shè)直線BC的解析式為ymxn(m0)，把B(3，0)，C(0，3)分別代入ymxn，得
2、，解得直線BC的解析式為yx3.(2)如解圖，設(shè)直線BC與對稱軸x1的交點(diǎn)為M，連接MA，MAMB，MAMCMBMCBC.使MAMC最小的點(diǎn)M應(yīng)為直線BC與對稱軸x1的交點(diǎn)把x1代入直線yx3，得y2.M(1，2)(3)設(shè)P(1，t)，結(jié)合B(3，0)，C(0，3)，得BC218，PB2(13)2t24t2，PC2(1)2(t3)2t26t10. 若B為直角頂點(diǎn)，則BC2PB2PC2，即184t2t26t10，解得t2；若C為直角頂點(diǎn)，則BC2PC2PB2，即18t26t104t2，解得t4；若P為直角頂點(diǎn)，則PB2PC2BC2，即4t2t26t1018，解得t1，t2.綜上所述，滿足條件的點(diǎn)
3、P共有四個，分別為：P1(1，2)，P2(1，4)，P3(1，)，P4(1，)例2、如圖，拋物線yx2x4與x軸交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的對稱軸與x軸交于點(diǎn)M.P是拋物線在x軸上方的一個動點(diǎn)(點(diǎn)P、M、C不在同一條直線上)(1)求點(diǎn)A，B的坐標(biāo)；(2)連接AC、PB、BC，當(dāng)SPBCSABC時，求出此時點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)分別過點(diǎn)A、B作直線CP的垂線，垂足分別為點(diǎn)D、E，連接MD、ME.問MDE能否為等腰直角三角形？若能，求此時點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不能，說明理由第2題 【解析】解：(1)令yx2x40，解得x11，x25，A點(diǎn)的坐標(biāo)為(1，0)，B點(diǎn)的坐標(biāo)為(5，0)(2)如解圖，過點(diǎn)A
4、作APBC，與拋物線交于點(diǎn)P，則SPBCSABC，第1題解圖 第2題解圖第2題解圖當(dāng)x0時，yx2x4 4，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，4)，設(shè)過點(diǎn)B，C兩點(diǎn)的直線的解析式為ykxb(k0)，則有解得直線BC的解析式為yx4，由于PABC，設(shè)AP的解析式為yxm，代入點(diǎn)A(1，0)，解得m，直線AP的解析式為yx，聯(lián)立方程組得解得： P點(diǎn)的坐標(biāo)為(4，) (3)MDE能成為等腰直角三角形，理由：拋物線yx2x4(x3)2，對稱軸是直線x3.M(3，0)當(dāng)MED90時，點(diǎn)E，B，M在一條直線上，此種情況不成立；同理：當(dāng)MDE90時，不成立；當(dāng)DME90時，如解圖所示，設(shè)直線PC與對稱軸交于點(diǎn)N，EMDM，
5、MNAM，EMNDMA.MDE45，EDA90，MDA135.MED45，NEM135，ADMNEM135.在ADM與NEM中， ADMNEM(ASA)MNMA2，N(3，2)設(shè)直線PC的解析式為ykxb(k0)，將點(diǎn)N(3，2)，C(0，4)代入直線的解析式得： 解得： 直線PC的解析式為y2x4.將y2x4代入拋物線解析式得：2x4 x2x4，解得：x0或x，P(，3)綜上所述，MDE能成為等腰直角三角形，此時點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，3)例3、如圖，拋物線yax2bx4交x軸于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè))，交y軸于點(diǎn)C，連接AC、BC，其中COBO2AO.(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)Q為直線B
6、C上方的拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)Q作QEAC交BC于點(diǎn)E，作QNx軸于點(diǎn)N，交BC于點(diǎn)M，當(dāng)EMQ的周長L最大時，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)及L的最大值；(3)如圖，在(2)的結(jié)論下，連接AQ分別交BC于點(diǎn)F，交OC于點(diǎn)G，四邊形BOGF從F開始沿射線FC平移，同時點(diǎn)P從C開始沿折線COOB運(yùn)動，且點(diǎn)P的運(yùn)動速度為四邊形BOGF平移速度的倍，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)B點(diǎn)時，四邊形BOGF停止運(yùn)動，設(shè)四邊形BOGF平移過程中對應(yīng)的圖形為B1O1G1F1，當(dāng)PFF1為等腰三角形時，求B1F的長度第3題圖【解析】 解：(1)拋物線yax2bx4與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，4)COBO2AO，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2，0)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為
7、(4，0)，將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別代入拋物線解析式得解得拋物線的解析式為yx2x4.(2)點(diǎn)A(2，0)，點(diǎn)B(4，0)，點(diǎn)C(0，4)，直線AC的解析式為y2x4，直線BC的解析式為yx4.設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(q，q2q4)，QEAC，過點(diǎn)E作EFQM于點(diǎn)F，如解圖，第3題解圖則，QF2EF，QEEF，在RtEFM中，易得FEMFMEMBN45，EMEF，EFMF，QM3EF，當(dāng)EF最大時，EQM的周長最大，直線AC的解析式為y2x4，直線QEAC，設(shè)直線QE的解析式為y2xt，將Q點(diǎn)坐標(biāo)代入得，tq2q4，直線QE的解析式為y2x(q2q4)，與直線BC聯(lián)立解得點(diǎn)E的坐標(biāo)為(q2q，q2q4)E
8、Fqq2qq2q(q2)2，根據(jù)二次函數(shù)最值性質(zhì)可知，當(dāng)q2時，EF最大，為.此時點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(2，4)，L3EFEFEF(3)(3)由(2)知點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(2，4)，則直線QA的解析式為yx2，AQBC于F，且點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1，3)點(diǎn)B(4，0)，BF3.設(shè)四邊形BOGF平移的距離FF1t，則點(diǎn)P運(yùn)動的速度為2t.當(dāng)點(diǎn)P在OC上，此時0t2，則點(diǎn)B1在BF上此時易得點(diǎn)F1的坐標(biāo)為(1t，t3)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0，42t)PF21(12t)24t24t2，PF12(1t)2(3t42t)210t28t2，F(xiàn)F122t2.(i)當(dāng)PF2FF12時，4t24t22t2，解得t1t21，此時B1FB
9、1F1FF1BFFF12；(ii)當(dāng)PF2PF12時，4t24t210t28t2，解得t1，t20(舍)，此時B1FB1F1FF1； (iii)當(dāng)F1F2PF12時，2t210t28t2，解得t1t2，此時B1F；當(dāng)點(diǎn)P在OB上，此時2t4，當(dāng)2t3時，點(diǎn)B1在BF上，當(dāng)390，若PFF1是等腰三角形，則只能是PFFF1，即(2t41)292t2，解得t152，t252(舍)，此時t523，如解圖，第4題解圖第4題解圖第4題解圖SSCABSPAB3(31)(31)(m22m3)2m24m，SSBCD， 2m24m，整理得4m28m150，解得m1，m2(舍去)，P點(diǎn)坐標(biāo)為(，)；當(dāng)點(diǎn)P在x軸下
10、方時，即1m3，如解圖，連接OP，SSAOCSCOPSPOB313m3(m22m3)m2m6， SSBCD， m2m6，整理得m23m10，解得m1，m2(舍去)，P點(diǎn)坐標(biāo)為(，)，綜上所述，P點(diǎn)坐標(biāo)為(，)或(，)(3)存在直線x1交x軸于點(diǎn)F，BD2，如解圖，EQDB于點(diǎn)Q，DEQ沿EQ翻折得到DEQ，EDQBDF，RtDEQRtDBF，即，解得DQ，BQBDDQ2；如解圖，EDBD于H，EDHBDF，RtDEHRtDBF，即，解得DH，EH，在RtQHD中，設(shè)QHx，DQDQDHHQx，DHDEEHDEEH2，x2(2)2(x)2，解得x1，BQBDDQBD(DHHQ)BDDHHQ211
11、；如解圖，DQBC于點(diǎn)G，作EIBD于點(diǎn)I，由得EI，BI，第4題解圖第4題解圖DEQ沿邊EQ翻折得到DEQ，EQDEQD， EGEI，BE2， BGBEEG2，GBQIBE，RtBQGRtBEI，即， BQ，綜上所述，當(dāng)BQ為或1或時，將DEQ沿邊EQ翻折得到DEQ，使得DEQ與BEQ的重疊部分圖形為直角三角形例5、已知如圖，拋物線yx22x與x軸交于A，B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)，對稱軸交x軸于點(diǎn)E.(1)如圖，連接BD，試求出直線BD的解析式；(2)如圖，點(diǎn)P為拋物線第一象限上一動點(diǎn)，連接BP，CP，AC，當(dāng)四邊形PBAC的面積最大時，線段CP交BD于
12、點(diǎn)F，求此時DFBF的值；(3)如圖，已知點(diǎn)K(0，2)，連接BK，將BOK沿著y軸上下平移(包括BOK)，在平移的過程中直線BK交x軸于點(diǎn)M，交y軸于點(diǎn)N，則在拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)G，使得GMN是以MN為直角邊的等腰直角三角形，若存在，請直接寫出點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由第5題圖【解析】 解：(1)在yx22x中，令y0，則x22x0，解得x11，x25，則點(diǎn)A的坐標(biāo)是(1，0)，點(diǎn)B的坐標(biāo)是(5，0)拋物線yx22x的對稱軸是x2，把x2代入解析式得y，則點(diǎn)D的坐標(biāo)是(2，)設(shè)直線BD的解析式是ykxb(k0)，將B、D兩點(diǎn)坐標(biāo)代入得： 解得直線BD的解析式是yx.(2)連接B
13、C，如解圖，yx22x中，令x0，則y，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是(0，)設(shè)直線BC的解析式y(tǒng)mxn(m0)，則解得則直線BC的解析式是yx.S四邊形PBACSABCSBCP，SABCABOC6，BCP面積最大時，S四邊形PBAC有最大值，設(shè)與BC平行且與拋物線只有一個公共點(diǎn)的直線的解析式是yxd.則x22xxd，即x25x(2d5)0，當(dāng)0時，x，代入yx22x中得：y，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是(，)又點(diǎn)C的坐標(biāo)是(0，)，設(shè)直線CP的解析式是yexf，則解得則直線CP的解析式是yx.根據(jù)題意得解得則點(diǎn)F的坐標(biāo)是(，)DF，BF，則.(3)存在，點(diǎn)G的坐標(biāo)為(2，)，(2，)，(2，3)或(2，7)【解法提示】假
14、設(shè)存在設(shè)BK的解析式是ykxb(k0)，將點(diǎn)B(5，0)，K(0，2)代入得 解得直線BK的解析式是yx2，設(shè)直線MN的解析式為yxm，當(dāng)y0時，xm，即M(m，0)，當(dāng)x0時，ym，即N(0，m)GMN是以MN為直角邊的等腰直角三角形分兩種情況：MGMN，GMN90，如解圖.第5題解圖 第5題解圖 第5題解圖 第5題解圖MGEGME90，GMEOMN90，MGEOMN.在GME和MNO中GMEMNO(AAS)，MEON，EGOM，當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)E右側(cè)時，MEm2，ONm，OMm，m2m，解得m.EGOMm，G點(diǎn)的坐標(biāo)為(2，); 當(dāng)M在線段OE上時，如解圖，ME2m，ONm，EGOMm，2mm，
15、解得m， EGOMm，點(diǎn)G的坐標(biāo)為(2，)；當(dāng)M在點(diǎn)O左側(cè)時，易得MNMG，此時不存在點(diǎn)G使GMN為等腰直角三角形；NGMN，GNM90，過點(diǎn)N作NF拋物線對稱軸于點(diǎn)F，如解圖所示ONGMNO90，ONGGNF90，MNOGNF.在GNF和MNO中，GNFMNO(AAS)，NFON，F(xiàn)GOM，當(dāng)點(diǎn)N在y軸正半軸時，ONm，OMm，2m.FGOMm5，EGFGEFFGON3，G點(diǎn)的坐標(biāo)為(2，3)；當(dāng)點(diǎn)N在y軸負(fù)半軸時，如解圖，ONm，OMm，NF2，第5題解圖第6題解圖m2，OM(2)5(此時M與B重合，N與K重合)，EGEFFGONOM7，點(diǎn)G的坐標(biāo)為(2，7)綜上可知：在拋物線的對稱軸上存
16、在點(diǎn)G，使得GMN是以MN為直角邊的等腰直角三角形，點(diǎn)G的坐標(biāo)為(2，)，(2，)，(2，3)或(2，7)例6、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線yx2x3與x軸交于A，B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)E.(1)判斷ABC的形狀，并說明理由；(2)經(jīng)過B，C兩點(diǎn)的直線交拋物線的對稱軸于點(diǎn)D，點(diǎn)P為直線BC上方拋物線上的一動點(diǎn)，當(dāng)PCD的面積最大時，點(diǎn)Q從點(diǎn)P出發(fā)，先沿適當(dāng)?shù)穆窂竭\(yùn)動到拋物線的對稱軸上點(diǎn)M處，再沿垂直于拋物線對稱軸的方向運(yùn)動到y(tǒng)軸上的點(diǎn)N處，最后沿適當(dāng)?shù)穆窂竭\(yùn)動到點(diǎn)A處停止當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動路徑最短時，求點(diǎn)N的坐標(biāo)及點(diǎn)Q經(jīng)過的最短路徑的長；(3)如圖，平移拋物線
17、，使拋物線的頂點(diǎn)E在射線AE上移動，點(diǎn)E平移后的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)A.將AOC繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)至A1OC1的位置，點(diǎn)A，C的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)A1，C1，且點(diǎn)A1恰好落在AC上，連接C1A，C1E，AC1E是否能為等腰三角形？若能，請求出所有符合條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不能，請說明理由第6題圖 解：(1)ABC為直角三角形，理由如下：在拋物線yx2x3中，令y0，得x2x30，解得x1，x23，故A(，0)，B(3，0)令x0，得y3，故C(0，3)，AC212，BC236，AB248，AC2BC2AB2，ABC為直角三角形(2)設(shè)直線BC的解析式為ykxb，將B(3，0)，C(0，3)代
18、入，得解得直線BC的解析式為yx3，如解圖，過點(diǎn)P作PRy軸交BC于點(diǎn)R，設(shè)P(t，t2t3)，則R(t，t3)，PRt2t3(t3)t2t，則SPCDSPRCSPRDPRxR(xRxD)t2t(t)2， 0t3，當(dāng)t時，SPCD取得最大值，此時P(，)，將P(，)向左平移個單位，得P(，)，連接AP交y軸于點(diǎn)N，過點(diǎn)N作NM拋物線對稱軸于點(diǎn)M，連接PM，點(diǎn)Q沿PMNA運(yùn)動，所走的路徑最短，即最短路徑的長為PMMNAN.設(shè)直線AP的解析式為ymxn，將A(，0)，P(，)代入，得： 解得直線AP的解析式為yx， 令x0，得y，故N(0，)，AP， MN，點(diǎn)Q經(jīng)過的最短路徑等于PMMNANAPMN.(3)CAO60，OAOA1，AA1O為等邊三角形，C1OB30，C1(，)， E(，4)，A(，0)，直線AE的解析式為：yx2，設(shè)A(t，t2)，則E(t2，t6)，AE228，AC12t2t7，EC12t27t21，當(dāng)AC1EC1時，t2t7t27t21，解得t，故E(，5)；當(dāng)AEAC1時，28t2t7，解得t，t，t，故E(，7)；當(dāng)AEEC1時，t27t2128，解得t，t，t，故E(，3)綜上，所有符合條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)為(，5)或(，7)或(，3)17
2020年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 重難題型突破 類型四 二次函數(shù)與特殊三角形判定問題
