2020年中考數(shù)學二輪復習 重難題型突破 類型一 圓的基本性質證明與計算

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1、類型一 圓的基本性質證明與計算命題點1垂徑定理例1、如圖,CD是O的直徑,AB是弦(不是直徑),ABCD于點E,則下列結論正確的是( )AAEBEB.CDAECDADECBE【答案】:D命題點2圓周角定理例2、如圖,點O為優(yōu)弧所在圓的圓心,AOC108,點D在AB的延長線上,BDBC,則D_【答案】:27重難點1垂徑定理及其應用例3、已知AB是半徑為5的O的直徑,E是AB上一點,且BE2.(1)如圖1,過點E作直線CDAB,交O于C,D兩點,則CD_; 圖1 圖2 圖3 圖4探究:如圖2,連接AD,過點O作OFAD于點F,則OF_;(2)過點E作直線CD交O于C,D兩點若AED30,如圖3,則

2、CD_;若AED45,如圖4,則CD_【答案】:(1)8 , (2) 【思路點撥】由于CD是O的弦,因此利用圓心到弦的距離(有時需先作弦心距),再利用垂徑定理,結合勾股定理,求出弦的一半,再求弦【變式訓練1】如圖,點A,B,C,D都在半徑為2的O上若OABC,CDA30,則弦BC的長為( )A4 B2 C. D2【答案】:D【變式訓練2】【分類討論思想】已知O的半徑為10 cm,AB,CD是O的兩條弦,ABCD,AB16 cm,CD12 cm,則弦AB和CD之間的距離是_【答案】:2cm或14cm1垂徑定理兩個條件是過圓心、垂直于弦的直線,三個結論是平分弦,平分弦所對的優(yōu)弧與劣弧2圓中有關弦的

3、證明與計算,通過作弦心距,利用垂徑定理,可把與圓相關的三個量,即圓的半徑,圓中一條弦的一半,弦心距構成一個直角三角形,從而利用勾股定理,實現(xiàn)求解3事實上,過點E任作一條弦,只要確定弦與AB的交角,就可以利用垂徑定理和解直角三角形求得這條弦長重難點2圓周角定理及其推論例3、已知O是ABC的外接圓,且半徑為4.(1)如圖1,若A30,求BC的長;(2)如圖2,若A45:求BC的長;若點C是的中點,求AB的長;(3)如圖3,若A135,求BC的長 圖1 圖2 圖3【答案】(1)4(2)4.,8(3)4.【點撥】連接OB,OC,利用同弧所對的圓心角等于圓周角的2倍,構建可解的等腰三角形求解【解析】解:

4、(1)連接OB,OC.BOC2A60,OBOC,OBC是等邊三角形BCOB4.(2)連接OB,OC.BOC2A90,OBOC,OBC是等腰直角三角形OBOC4,BC4.點C是的中點,ABCA45.ACB90.AB是O的直徑AB8.(3)在優(yōu)弧上任取一點D,連接BD,CD,連接BO,CO.A135,D45.BOC2D90.OBOC4,BC4.【變式訓練3】如圖,BC是O的直徑,A是O上的一點,OAC32,則B的度數(shù)是( )A58 B60 C64 D68【答案】:A【變式訓練4】將量角器按如圖所示的方式放置在三角形紙板上,使點C在半圓上點A,B的讀數(shù)分別為88,30,則ACB的大小為( )A15

5、B28 C29 D34【答案】C1在圓中由已知角求未知角,同(等)弧所對的圓心角和圓周角的關系是一個重要途徑,其關鍵是找到同一條弧2弦的求解可以通過連接圓心與弦的兩個端點,構建等腰三角形來解決3一條弦所對的兩種圓周角互補,即圓內接四邊形的對角互補在半徑已知的圓內接三角形中,若已知三角形一內角,可以求得此角所對的邊注意同弧所對的圓心角是圓周角的2倍,避免把數(shù)量關系弄顛倒重難點3圓內接四邊形例4、如圖,四邊形ABCD為O的內接四邊形延長AB與DC相交于點G,AOCD,垂足為E,連接BD,GBC50,則DBC的度數(shù)為( )A50 B60 C80 D90【答案】C【思路點撥】延長AE交O于點M,由垂徑

6、定理可得2,所以CBD2EAD.由圓內接四邊形的對角互補,可推得ADEGBC,而ADE與EAD互余,由此得解【變式訓練5】如圖所示,四邊形ABCD為O的內接四邊形,BCD120,則BOD的大小是( )A80 B120 C100 D90【答案】B【變式訓練6】如圖,四邊形ABCD內接于O,E為BC延長線上一點若An,則DCE_【答案】n1找圓內角(圓周角,圓心角)和圓外角(頂角在圓外,兩邊也在圓外或頂點在圓上,一邊在圓內,另一邊在圓外)的數(shù)量關系時,常常會用到圓內接四邊形的對角互補和三角形外角的性質2在同圓或等圓中,如果一條弧等于另一條弧的兩倍,則較大弧所對的圓周角是較小弧所對圓周角的兩倍能力提

7、升1如圖,在O中,如果2,那么( )AABAC BAB2AC CAB2AC DAB2AC【答案】C2如圖,在半徑為4的O中,弦ABOC,BOC30,則AB的長為( )A2 B2 C4 D4【答案】D3如圖,在平面直角坐標系中,O經(jīng)過原點O,并且分別與x軸、y軸交于點B,C,分別作OEOC于點E,ODOB于點D.若OB8,OC6,則O的半徑為( )A7 B6 C5 D4【答案】C4如圖,在O中,弦BC與半徑OA相交于點D,連接AB,OC.若A60,ADC85,則C的度數(shù)是( )A25 B27.5 C30 D35【答案】D5如圖,ABC是O的內接三角形,ABAC,BCA65,作CDAB,并與O相交

8、于點D,連接BD,則DBC的大小為( )A15 B35 C25 D45【答案】A 6如圖,分別延長圓內接四邊形ABDE的兩組對邊,延長線相交于點F,C.若F27,A53,則C的度數(shù)為( )A30 B43 C47 D53【答案】C7 如圖,小華為了求出一個圓盤的半徑,他用所學的知識,將一寬度為2 cm的刻度尺的一邊與圓盤相切,另一邊與圓盤邊緣兩個交點處的讀數(shù)分別是“4”和“16”(單位:cm),請你幫小華算出圓盤的半徑是_cm.【答案】10cm8如圖,BAC的平分線交ABC的外接圓于點D,ABC的平分線交AD于點E.(1)求證:DEDB;(2)若BAC90,BD4,求ABC外接圓的半徑【答案】:

9、(1)證明:AD平分BAC,BE平分ABC,BAECAD,ABECBE.DBCBAE.DBECBEDBC,DEBABEBAE, DBEDEB.DEDB.(2)連接CD.,CDBD4.BAC90,BC是直徑BDC90.BC4.ABC外接圓的半徑為2.9如圖,四邊形ABCD中,ADBC,ABC90,AB5,BC10,連接AC,BD,以BD為直徑的圓交AC于點E.若DE3,則AD的長為( )A5 B4 C3 D2提示:過點D作DFAC于點F,利用ADFCAB,DEFDBA可求解【答案】D10如圖,AB是半圓的直徑,AC是一條弦,D是的中點,DEAB于點E,且DE交AC于點F,DB交AC于點G.若,則

10、_【答案】11如圖1是小明制作的一副弓箭,點A,D分別是弓臂BAC與弓弦BC的中點,弓弦BC60 cm.沿AD方向拉動弓弦的過程中,假設弓臂BAC始終保持圓弧形,弓弦不伸長如圖2,當弓箭從自然狀態(tài)的點D拉到點D1時,有AD130 cm,B1D1C1120.(1)圖2中,弓臂兩端B1,C1的距離為30cm;(2)如圖3,將弓箭繼續(xù)拉到點D2,使弓臂B2AC2為半圓,則D1D2的長為(1010)cm.【答案】,12如圖所示,AB為O的直徑,CD為弦,且CDAB,垂足為H.(1)如果O的半徑為4,CD4,求BAC的度數(shù);(2)若點E為的中點,連接OE,CE.求證:CE平分OCD;(3)在(1)的條件下,圓周上到直線AC的距離為3的點有多少個?并說明理由【答案】:(1)AB為O的直徑,CDAB,CHCD2.在RtCOH中,sinCOH,COH60.BACCOH30.(2)證明:點E是的中點,OEAB.又CDAB,OECD.ECDOEC.又OEOC,OECOCE.OCEDCE,即CE平分OCD.(3)圓周上到直線AC的距離為3的點有2個因為上的點到直線AC的最大距離為2,上的點到直線AC的最大距離為6,236,根據(jù)圓的軸對稱性,到直線AC的距離為3的點有2個8

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