2020年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 重難題型突破 類(lèi)型一 數(shù)式規(guī)律

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1、類(lèi)型一 數(shù)式規(guī)律1、數(shù)列型數(shù)字問(wèn)題例1、有一組數(shù):1,2,5,10,17,26,請(qǐng)觀察這組數(shù)的構(gòu)成規(guī)律,用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律確定第8個(gè)數(shù)為_(kāi)【答案】:50【解析】:仔細(xì)觀察這一數(shù)列中的各個(gè)數(shù)字的構(gòu)成特點(diǎn),不難發(fā)現(xiàn)如下;第一個(gè)數(shù)是1,第二個(gè)數(shù)數(shù)1+1,第三個(gè)數(shù)是1+1+3,第四個(gè)數(shù)是1+1+3+5,第五個(gè)數(shù)是1+1+3+5+7,第六個(gè)數(shù)是1+1+3+5+7+9, 為了使規(guī)律凸顯的明顯,我們不妨把第一個(gè)數(shù)1也寫(xiě)成兩個(gè)數(shù)的和的形式,為1+0,這樣,就發(fā)現(xiàn)數(shù)字1是固定不變的,規(guī)律就蘊(yùn)藏在新數(shù)列0,1,4,9,16 中,而0,1,4,9,16 這些數(shù)都是完全平方數(shù),并且底數(shù)恰好等于這個(gè)數(shù)字對(duì)應(yīng)的序號(hào)與1的差,

2、即1=1+(1-1)2,2=1+(2-1)2,5=1+(3-1)2,10=1+(4-1)2,17=1+(5-1)2,26=1+(5-1)2,這樣,第n個(gè)數(shù)為1+(n-1)2,找到數(shù)列變化的一般規(guī)律后,就很容易求得任何一個(gè)序號(hào)的數(shù)字了。因此,第八個(gè)數(shù)就是當(dāng)n=8時(shí),代數(shù)式1+(n-1)2的值,此時(shí),代數(shù)式1+(n-1)2的值為1+(8-1)2=50。所以,本空填50。例2、 古希臘數(shù)學(xué)家把1,3,6,10,15,21,叫做三角形數(shù),根據(jù)它的規(guī)律,則第100個(gè)三角形數(shù)與第98個(gè)三角形數(shù)的差為_(kāi).【答案】:199【解析】:本題中數(shù)列的數(shù)字,不容易發(fā)現(xiàn)其變化的規(guī)律。我們不妨利用函數(shù)的思想去試一試。當(dāng)序

3、號(hào)為1時(shí),對(duì)應(yīng)的值是1,有序號(hào)和對(duì)應(yīng)的數(shù)值構(gòu)成的點(diǎn)設(shè)為A,則A(1,1);當(dāng)序號(hào)為2時(shí),對(duì)應(yīng)的值是3,有序號(hào)和對(duì)應(yīng)的數(shù)值構(gòu)成的點(diǎn)設(shè)為B,則B(2,3);當(dāng)序號(hào)為3時(shí),對(duì)應(yīng)的值是6,有序號(hào)和對(duì)應(yīng)的數(shù)值構(gòu)成的點(diǎn)設(shè)為C,則C(3,6);因?yàn)椋杂校撼闪?,所以,?duì)應(yīng)的數(shù)值y是序號(hào)n的二次函數(shù),因此,我們不妨設(shè)y=an2+bn+c,把A(1,1),B(2,3),C(3,6)分別代入y=an2+bn+c中,得:a+b+c=1,4a+2b+c=3,9a+3b+c=6,解得:a=,b=,c=0,所以,y= n2+n,因此,當(dāng)n=100時(shí),y= 1002+100,當(dāng)n=98時(shí),y= 982+98,因此(100

4、2+100)-(982+98)=199,所以該空應(yīng)該填199。2、圖示型數(shù)字問(wèn)題例3、為慶?!傲弧眱和?jié),某幼兒園舉行用火柴棒擺“金魚(yú)”比賽如圖所示:按照上面的規(guī)律,擺個(gè)“金魚(yú)”需用火柴棒的根數(shù)為( )A B C D【答案】:A【解析】:第一個(gè)圖需要火柴的根數(shù)是8,有序號(hào)和對(duì)應(yīng)的數(shù)值構(gòu)成的點(diǎn)設(shè)為A,則A(1,8);第二個(gè)圖需要火柴的根數(shù)是14,有序號(hào)和對(duì)應(yīng)的數(shù)值構(gòu)成的點(diǎn)設(shè)為B,則B(2,14);第三個(gè)圖需要火柴的根數(shù)是20,有序號(hào)和對(duì)應(yīng)的數(shù)值構(gòu)成的點(diǎn)設(shè)為C,則C(3,20);因?yàn)椋杂校撼闪?,所以,每個(gè)圖形中所需要的火柴的總根數(shù)y是這個(gè)圖形的序號(hào)n的一次函數(shù),因此,我們不妨設(shè)y=kn+b,

5、把A(1,8),B(2,14)分別代入y=kn+b中得:k+b=8,2k+b=14,解得:k=6,b=2,所以,y=6n+2。因此選A。例4、下列圖案是由邊長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度的小正方形按一定的規(guī)律拼接而成。依此規(guī)律,第5個(gè)圖案中小正方形的個(gè)數(shù)為_(kāi)。【答案】:50【解析】:仔細(xì)觀察第一個(gè)圖,正方形的個(gè)數(shù)為1,第二個(gè)圖形中正方形的特點(diǎn)是中間是3個(gè),左右兩邊各一個(gè),即為1+3+1個(gè),第三個(gè)圖形中正方形的特點(diǎn)是中間是5個(gè),左右分別是1+3個(gè),即為1+3+5+3+1,分析到這里,相信你一定想到了這里面的變化規(guī)律了吧。是的,第n個(gè)圖形中正方形的個(gè)數(shù)為1+3+5+ +(2n-1)+ +5+3+1=2n2-2n+1

6、,這樣,第5個(gè)圖形中正方形的個(gè)數(shù),也就是當(dāng)n=5時(shí),代數(shù)式2n2-2n+1的值,所以,代數(shù)式的值為:2n2-2n+1=252-25+1=41個(gè)。所以,本空填50。例5、按如下規(guī)律擺放三角形:則第(4)堆三角形的個(gè)數(shù)為_(kāi);第(n)堆三角形的個(gè)數(shù)為_(kāi).【答案】:14,3n+2【解析】:仔細(xì)觀察第一個(gè)圖形,三角形排列的特點(diǎn)是中間3=(1+2)個(gè),左右各1個(gè),即圖1中三角形的總數(shù)為1+(1+2)+1,第二個(gè)圖形中三角形形的特點(diǎn)是中間是4=(2+2)個(gè),左右兩邊各2個(gè),即為2+(2+2)+2個(gè),第三個(gè)圖形中三角形的特點(diǎn)是中間是5=(3+2)個(gè),左右分別是3個(gè),即為3+(3+2)+3,分析到這里,相信你一

7、定想到了這里面的變化規(guī)律了吧。是的,第n個(gè)圖形中三角形的個(gè)數(shù)為n+(n+2)+n =3n+2,這樣,第4個(gè)圖形中三角形正方形的個(gè)數(shù),也就是當(dāng)n=4時(shí),代數(shù)式3n+2的值,所以,代數(shù)式的值為:3n+2=34+2=14個(gè)。所以,本題的兩個(gè)空分別填14和3n+2。例6、柜臺(tái)上放著一堆罐頭,它們擺放的形狀見(jiàn)右圖:第一層有23聽(tīng)罐頭,第二層有34聽(tīng)罐頭,第三層有45聽(tīng)罐頭,根據(jù)這堆罐頭排列的規(guī)律,第n(n為正整數(shù))層有 聽(tīng)罐頭(用含n的式子表示)?!敬鸢浮浚簄2+3n+2【解析】:仔細(xì)觀察圖形,第一層有23聽(tīng)罐頭,對(duì)應(yīng)的序號(hào)為1,第一個(gè)數(shù)字2與序號(hào)1的關(guān)系是序號(hào)+1,第二個(gè)數(shù)字是3,它與序號(hào)的關(guān)系是序號(hào)

8、+2;第二層有34聽(tīng)罐頭,對(duì)應(yīng)的序號(hào)為2,第一個(gè)數(shù)字3與序號(hào)的關(guān)系是序號(hào)+1,第二個(gè)數(shù)字是4,它與序號(hào)的關(guān)系是序號(hào)+2;第三層有45聽(tīng)罐頭,對(duì)應(yīng)的序號(hào)為3,第一個(gè)數(shù)字4與序號(hào)的關(guān)系是序號(hào)+1,第二個(gè)數(shù)字是5,它與序號(hào)的關(guān)系是序號(hào)+2;分析到這里,相信你一定想到了這里面的變化規(guī)律了吧。是的,第n層中有(n+1)(n+2)聽(tīng)罐頭,即n2+3n+2。所以,本題的空填n2+3n+2。例7、下列圖中有大小不同的菱形,第1幅圖中有1個(gè),第2幅圖中有3個(gè),第3幅圖中有5個(gè),則第幅圖中共有 個(gè)。123【答案】:2n+1【解析】:仔細(xì)觀察第一個(gè)圖形,有一個(gè)菱形,第二個(gè)圖形中有3個(gè)菱形,第三個(gè)圖形中有5個(gè)菱形,仔

9、細(xì)觀察這些數(shù)的特點(diǎn),恰好是奇數(shù)構(gòu)成的數(shù)列,由此,就清楚了變化的規(guī)律了。所以,第n個(gè)圖形中有2n+1個(gè)菱形。3、恒等式型數(shù)字問(wèn)題例8、試觀察下列各式的規(guī)律,然后填空:則_?!敬鸢浮浚骸窘馕觥浚阂胝业绞阶拥淖兓?guī)律,同學(xué)們應(yīng)該仔細(xì)觀察式子的特點(diǎn),找出式子中,哪些量是在固定不變的,哪些量是在不斷變化。這對(duì)解題很關(guān)鍵。仔細(xì)觀察式子,不難發(fā)現(xiàn)等式左邊中的(x-1)是個(gè)固定不變的量。左邊式子中第二個(gè)括號(hào)中多項(xiàng)式的次數(shù)是不斷變化的,且多項(xiàng)式的次數(shù)等于對(duì)應(yīng)等式的序號(hào)數(shù),即第一個(gè)等式中的多項(xiàng)式的次數(shù)是1,第二個(gè)等式中的多項(xiàng)式的次數(shù)為2, 所以,第n個(gè)等式中的多項(xiàng)式的次數(shù)為n,這是等式左邊的變化規(guī)律;等式右邊的

10、規(guī)律,容易找些,多項(xiàng)式中的常數(shù)項(xiàng)是保持不變的,字母x的指數(shù)隨等式的序號(hào)變化而變化,且滿(mǎn)足字母x的指數(shù)等于等式的序號(hào)加1。所以,第10個(gè)等式的結(jié)果為。例9、觀察下列各式:依此規(guī)律,第n個(gè)等式(n為正整數(shù))為 ?!敬鸢浮浚海?0n+5)2=n(n+1)100+52?!窘馕觥浚阂胝业绞阶拥淖兓?guī)律,同學(xué)們應(yīng)該仔細(xì)觀察式子的特點(diǎn),找出式子中,哪些量是在固定不變的,哪些量是在不斷變化。這對(duì)解題很關(guān)鍵。等式左邊底數(shù)的特點(diǎn)是,個(gè)位數(shù)字都5,是個(gè)不變的量,十位數(shù)字與對(duì)應(yīng)的序號(hào)一致,分別是1、2、3、4;等式右邊的特點(diǎn)是:第一個(gè)數(shù)字與對(duì)應(yīng)的序號(hào)是一致的,括號(hào)里的數(shù)字的特點(diǎn)是對(duì)應(yīng)的序號(hào)與常數(shù)1的和;第三個(gè)數(shù)字又

11、是一個(gè)固定的常數(shù)100;第四個(gè)數(shù)字是常數(shù)5的平方,也是固定不變的。通過(guò)分析,我們知道在這里對(duì)應(yīng)的序號(hào)是問(wèn)題的根本。而第n個(gè)等式的序號(hào)為n,所以第n個(gè)等式應(yīng)該是:(10n+5)2=n(n+1)100+52。例10、觀察下列等式: 第一行 3=41 第二行 5=94 第三行 7=169 第四行 9=2516 按照上述規(guī)律,第n行的等式為_(kāi) 【答案】:2n+1=(n+1)2- n2?!窘馕觥浚旱仁降淖筮叺奶攸c(diǎn)是:奇數(shù)3、5、7、9 ,這些奇數(shù)可以用對(duì)應(yīng)的序號(hào)表示,3=21+1, 5=22+1,7=23+1,9=24+1,其中1、2、3、4等恰好是對(duì)應(yīng)的序號(hào),所以,第n 個(gè)奇數(shù)為2n+1,這樣,我們就

12、把等式左邊的規(guī)律找出來(lái)了;等式右邊的特點(diǎn)是:被減數(shù)為4、9、16、25、恰好是22,32,42,52,等對(duì)應(yīng)的冪,冪的底數(shù)與對(duì)應(yīng)的序號(hào)的關(guān)系是:底數(shù)=對(duì)應(yīng)序號(hào)+1,這樣,我們就又找到了一部分規(guī)律,第n 個(gè)被減數(shù)為(n+1)2;減數(shù)分別為1、4、9、16恰好是12,22,32,42,等對(duì)應(yīng)的冪,冪的底數(shù)與對(duì)應(yīng)的序號(hào)的關(guān)系是:底數(shù)=對(duì)應(yīng)序號(hào),這樣,我們就又找到了一部分規(guī)律,第n 個(gè)減數(shù)為n2;所以,本題的變化規(guī)律為:2n+1=(n+1)2- n2。例11、觀察下列各式:請(qǐng)你將發(fā)現(xiàn)的規(guī)律用含自然數(shù)n(n1)的等式表示出來(lái) ?!敬鸢浮浚?( n+1 )?!窘馕觥浚鹤屑?xì)觀察我們發(fā)現(xiàn),等式的左邊的特點(diǎn)是:

13、被開(kāi)方數(shù)中,第一個(gè)加數(shù)分別是1、2、3、等的自然數(shù),第二個(gè)加數(shù)是一個(gè)分?jǐn)?shù),且分子都是1,是固定不變的,這就是一條規(guī)律;分母分別是3、4、5、6,這些數(shù)與第一個(gè)加數(shù)的關(guān)系是:分母=第一個(gè)加數(shù)+2,這是第二規(guī)律;等式的右邊的特點(diǎn)是:二次根式的系數(shù)分別是2、3、4、5、,這些數(shù)與左邊的被開(kāi)方數(shù)中的第一個(gè)加數(shù)的關(guān)系是:二次根式系數(shù)=左邊的被開(kāi)方數(shù)中的第一個(gè)加數(shù)+1,這是右邊的第一個(gè)規(guī)律;而被開(kāi)方數(shù)也是一個(gè)分?jǐn)?shù),且分子是1,保持不變,這是一條規(guī)律,分?jǐn)?shù)中的分母與左邊分?jǐn)?shù)中分母一樣。這是第二條規(guī)律。這樣的話(huà),因?yàn)?,第n個(gè)等式中的第一個(gè)加數(shù)為n,所以,第n個(gè)等式為:=( n+1 )。4、冪指數(shù)型數(shù)字問(wèn)題例1

14、2、已知:21=2,22=4,23=8,24=16、25=32,仔細(xì)觀察,式子的特點(diǎn),根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律,則22008的個(gè)位數(shù)字是: A 2 B 4 C 6 D 8【答案】:C【解析】:仔細(xì)觀察,不難發(fā)現(xiàn),當(dāng)冪的指數(shù)能被4整除時(shí),這個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)字是6,當(dāng)被4除,余數(shù)是3時(shí),這個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)字為8,當(dāng)被4除,余數(shù)是2時(shí),這個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)字為4,當(dāng)被4除,余數(shù)是1時(shí),這個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)字為2, 所以,問(wèn)題解決的關(guān)鍵,就是看冪的指數(shù)被4除的情形就可了。我們知道2008是能被4整除的,所以,22008的個(gè)位數(shù)字是6,所以,選C。5 、排列型數(shù)字問(wèn)題例13、把正整數(shù)1,2,3,4,5,按如下規(guī)律排列:12,3,4

15、,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15, 按此規(guī)律,可知第n行有 個(gè)正整數(shù)【答案】:【解析】:仔細(xì)觀察各行數(shù)字的個(gè)數(shù),不難發(fā)現(xiàn),第一行有1個(gè)數(shù)字,第二行有2個(gè)數(shù)字,第三行有4個(gè)數(shù)字,第四行有8個(gè)數(shù)字,再用我們前面所用的方法,我們就不容易找到變化的規(guī)律了。我們不妨換一種思路。利用冪指數(shù)的思想試一試。由于第一個(gè)數(shù)字是1,聯(lián)想到任何不是零的數(shù)的任何次冪都是1,所以,指數(shù)0=序號(hào)1-1,又因?yàn)榈诙杏?個(gè)數(shù)字,第三行有4個(gè)數(shù)字,第四行有8個(gè)數(shù)字,這些數(shù)字都是偶數(shù),所以底數(shù)一定是偶數(shù),是2、或4或6等等,但是,第二個(gè)數(shù)為2,指數(shù)等于2-1=1,所以,底數(shù)為2,這樣,我們就找到規(guī)律,第n

16、行中的數(shù)字個(gè)數(shù)為。例14、將正整數(shù)按如圖所示的規(guī)律排列下去。若用有序?qū)崝?shù)對(duì)(,)表示第排,從左到右第個(gè)數(shù),如(4,3)表示實(shí)數(shù)9,則(7,2)表示的實(shí)數(shù)是 ?!敬鸢浮浚?3【解析】:仔細(xì)觀察各行數(shù)字的個(gè)數(shù),不難發(fā)現(xiàn),第一行有1個(gè)數(shù)字,第二行有2個(gè)數(shù)字,第三行有3個(gè)數(shù)字,第四行有4個(gè)數(shù)字,第n行有n 個(gè)數(shù)字,這是第一條變化規(guī)律;我們?cè)賮?lái)觀察一下,每一行最后的一個(gè)數(shù)字的特點(diǎn),不難發(fā)現(xiàn),第二行的最后一個(gè)數(shù)字3=第一行中的數(shù)字個(gè)數(shù)1+第二行數(shù)字個(gè)數(shù)2,第三行最后的數(shù)字6=第一行數(shù)字個(gè)數(shù)1+第二行數(shù)字2+第三行數(shù)字個(gè)數(shù)3;因此,第n行的最后一個(gè)數(shù)字=1+2+3+4+ +n=,所以,第六行最后的數(shù)字為:=

17、21,所以,第七行的第一個(gè)數(shù)字為22,第二個(gè)數(shù)字位23,因?yàn)椋?,2)的意義就是第七行第二個(gè)數(shù)的意思,所以,(7,2)表示的實(shí)數(shù)是23。6、圖表型數(shù)字問(wèn)題例15、觀察表1,尋找規(guī)律表2是從表1中截取的一部分,其中的值分別為( )。表1 表21234246836912481216162030A20,25,24B25,20,24C18,25,24D20,30,25【答案】:A【解析】:仔細(xì)觀察圖表的結(jié)構(gòu),發(fā)現(xiàn)第n行,第m列的交叉處的數(shù)恰好是n與m的積。結(jié)合表1,就知道數(shù)c在六行,四列的交叉處,所以c的數(shù)值為64=24;a 在四行,五列的交叉處,所以a的數(shù)值為45=20;b在五行,五列的交叉處,所以b的數(shù)值為55=25;所以,選A。8

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