2020年中考數(shù)學基礎題型提分講練 專題22 以特殊的平行四邊形為背景的證明與計算(含解析)

上傳人:Sc****h 文檔編號:81858856 上傳時間:2022-04-28 格式:DOC 頁數(shù):26 大?。?40KB
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1、專題22 以特殊的平行四邊形為背景的證明與計算考點分析【例1】(2020安徽初三)(已知:如圖所示的一張矩形紙片ABCD(ADAB),將紙片折疊一次,使點A與點C重合,再展開,折痕EF交AD邊于點E,交BC邊于點F,分別連結AF和CE(1)求證:四邊形AFCE是菱形;(2)若AE=10cm,ABF的面積為24cm2,求ABF的周長;(3)在線段AC上是否存在一點P,使得2AE2=ACAP?若存在,請說明點P的位置,并予以證明;若不存在,請說明理由【答案】(1)證明見解析;(2)24cm;(3)存在,過E作EPAD交AC于P,則P就是所求的點,證明見解析.【解析】解:(1)四邊形ABCD是矩形,

2、ADBC,EAO=FCO,由折疊的性質可得:OA=OC,ACEF,在AOE和COF中,AOECOF(ASA),AE=CF,四邊形AFCE是平行四邊形,ACEF,四邊形AFCE是菱形;(2)四邊形AFCE是菱形,AF=AE=10cm,四邊形ABCD是矩形,B=90,SABF=ABBF=24cm2,ABBF=48(cm2),AB2+BF2=(AB+BF)2-2ABBF=(AB+BF)2-248=AF2=100(cm2),AB+BF=14(cm)ABF的周長為:AB+BF+AF=14+10=24(cm)(3)證明:過E作EPAD交AC于P,則P就是所求的點當頂點A與C重合時,折痕EF垂直平分AC,O

3、A=OC,AOE=COF=90,在平行四邊形ABCD中,ADBC,EAO=FCO,AOECOF,OE=OF四邊形AFCE是菱形AOE=90,又EAO=EAP,由作法得AEP=90,AOEAEP,則AE2=AOAP,四邊形AFCE是菱形,AOAC,AE2=ACAP,2AE2=ACAP【點睛】本題考查翻折變換(折疊問題);菱形的判定;矩形的性質,相似三角形的判定和性質,綜合性較強,掌握相關性質定理,正確推理論證是解題關鍵【例2】(2019江蘇泰州中學附屬初中初三月考)如圖,正方形ABCD的邊長為6,把一個含30的直角三角形BEF放在正方形上,其中FBE30,BEF90,BEBC,繞B點轉動FBE,

4、在旋轉過程中,(1)如圖1,當F點落在邊AD上時,求EDC的度數(shù);(2)如圖2,設EF與邊AD交于點M,F(xiàn)E的延長線交DC于G,當AM2時,求EG的長;(3)如圖3,設EF與邊AD交于點N,當tanECD時,求NED的面積【答案】(1)15;(2)3;(3)【解析】解:(1)如圖1中,作EHBC于H,EMCD于M則四邊形EMCH是矩形四邊形ABCD是正方形,BABCCD,ABCBCD90,BCBE,ABBECD,在RtBFA和RtBFE中,RtBFARtBFE(HL),ABFEBF30,ABC90,EBC30,EHMCBECD,DMCM,EMCD,EDEC,BCE(18030)75,EDCEC

5、D15(2)如圖2中,連接BM、BGAM2,DMADAM4,由(1)可知BMABME,BGEBGC,AMEM2,EGCG,設EGCGx,則DG6x在RtDMG中,MG2DG2+DM2,(2+x)2(6x)2+42,x3,EG3(3)如圖3中,連接BN,延長FE交CD于G,連接BGANNE,EGCG,BEBC,BG垂直平分CE,ECG+BCG90,GBC+ECB90,ECDGCB,tanGBCtanECD,CGBC2,CD6,DGCDCG4,設ANENy,則DN6y,在RtDNG中,(6y)2+42(2+y)2,解得:y3,ANNE3,DN3,NG5,SNEDSDNG34【點睛】本題是四邊形綜合

6、題,考查了正方形的性質、全等三角形的判定和性質、勾股定理、銳角三角函數(shù)等知識,解題的關鍵是學會添加常用輔助線,構造全等三角形解決問題,學會利用參數(shù)構建方程解決問題,屬于中考壓軸題考點集訓1(2020陜西初三期中)問題:如圖,在等邊三角形ABC內有一點P,且PA2,PB=,PC1,求BPC的度數(shù)和等邊三角形ABC的邊長李明同學的思路是:將BPC繞點B逆時針旋轉60,畫出旋轉后的圖形(如圖),連接PP,可得PPB是等邊三角形,而PPA又是直角三角形(由勾股定理的逆定理可證),可得APB ,所以BPCAPB ,還可證得ABP是直角三角形,進而求出等邊三角形ABC的邊長為 ,問題得到解決(1)根據(jù)李明

7、同學的思路填空:APB ,BPCAPB ,等邊三角形ABC的邊長為 (2)探究并解決下列問題:如圖,在正方形ABCD內有一點P,且PA,PB,PC1.求BPC的度數(shù)和正方形ABCD的邊長【答案】(1)APB150,BPCAPB150,等邊三角形ABC的邊長為;(2)BPC135,正方形ABCD的邊長為.【解析】(1)等邊ABC,ABC=60,將BPC繞點B逆時針旋轉60得出ABP,AP=CP=1,BP=BP=,PBC=PBA,APB=BPC,PBC+ABP=ABC=60,ABP+ABP=ABC=60,BPP是等邊三角形,PP=,BPP=60,AP=1,AP=2,AP2+PP2=AP2,APP=

8、90,BPC=APB=90+60=150,過點B作BMAP,交AP的延長線于點M,MPB=30,BM=,由勾股定理得:PM=,AM=1+=,由勾股定理得:AB=,故答案為:150,(2)將BPC繞點B逆時針旋轉90得到AEB,與(1)類似:可得:AE=PC=1,BE=BP=,BPC=AEB,ABE=PBC,EBP=EBA+ABP=ABC=90,BEP=(180-90)=45,由勾股定理得:EP=2,AE=1,AP=,EP=2,AE2+PE2=AP2,AEP=90,BPC=AEB=90+45=135,過點B作BFAE,交AE的延長線于點F;FEB=45,F(xiàn)E=BF=1,AF=2;在RtABF中,

9、由勾股定理,得AB=;BPC=135,正方形邊長為答:BPC的度數(shù)是135,正方形ABCD的邊長是【點睛】本題主要考查對勾股定理及逆定理,等邊三角形的性質和判定,等腰三角形的性質,含30度角的 直角三角形的性質,正方形的性質,旋轉的性質等知識點的理解和掌握,正確作輔助線并能根據(jù)性質進行證明是解此題的關鍵2(2019云南初三月考)如圖,矩形ABCD中,AB4,AD3,E是邊AB上一點,將CBE沿直線CE對折,得到CFE,連接DF(1)當D、E、F三點共線時,證明:DECD;(2)當BE1時,求CDF的面積;(3)若射線DF交線段AB于點P,求BP的最大值【答案】(1)見解析;(2);(3)4【解

10、析】證明:(1)四邊形ABCD是矩形ABCD4,ADBC3,ABCD,DCECEBCBE翻折得到CFEFECCEBDCEFECDECD(2)如圖1,延長EF交CD的延長線于點G,四邊形ABCD是矩形ABCD4,ADBC3,ABCD,DCECEBCBE翻折得到CFEFECCEB,CFBC3,EFBE1,CFE90DCEFEC,CFG90CGEG,GFGEEFCG1在RtCGF中,CG2CF2+GF2,CG29+(CG1)2,解得:CG5CDF與CGF分別以CD、CG為底時,高相等SCDFSCGF(3)如圖2,過點C作CHDP于點H,連接CP,CDABCDPAPD,且ACHD90ADPHCD,CH

11、CF,CFBCAD3CH3當點H與點F重合時,CH最大,DH最小,AP最小,BP最大,此時,在ADP與HCDADPHCD(AAS)CDDP4,APDFAPBP的最大值為4【點睛】此題主要考查相似三角形的判定與性質,解題的關鍵是熟知矩形的性質、勾股定理及相似三角形的判定與性質3(2019江蘇初二期末)如圖1,正方形ABCD的邊長為4,對角線AC、BD交于點M(1)直接寫出AM=;(2)P是射線AM上的一點,Q是AP的中點,設PQ=xAP= ,AQ= ;以PQ為對角線作正方形,設所作正方形與ABD公共部分的面積為S,用含x的代數(shù)式表示S,并寫出相應的x的取值范圍(直接寫出,不需要寫過程)【答案】(

12、1);(2)2x,x;S(0x)【解析】解:(1)正方形ABCD的邊長為4,對角線AC4,又AM2故答案為:2(2)Q是AP的中點,設PQ=x,AP=2PQ=2x,AQ=x故答案為:2x;x如圖:以PQ為對角線作正方形,GQM=FQM=45正方形ABCD對角線AC、BD交于點M,F(xiàn)MQ=GMQ=90,F(xiàn)MQ和GMQ均為等腰直角三角形,F(xiàn)M=QM=MGQM=AMAQ=2x,SFGQM,S,依題意得:,0x2,綜上所述:S(0x2),【點睛】本題考查了正方形的性質:正方形的四條邊都相等,四個角都是直角;正方形的兩條對角線相等,互相垂直平分,并且每條對角線平分一組對角解答本題要充分利用等腰直角三角形

13、性質解答4(2019江蘇初二期末)(1)如圖1,已知正方形ABCD,點M和N分別是邊BC,CD上的點,且BM=CN,連接AM和BN,交于點P猜想AM與BN的位置關系,并證明你的結論;(2)如圖2,將圖(1)中的APB繞著點B逆時針旋轉90,得到APB,延長AP交AP于點E,試判斷四邊形BPEP的形狀,并說明理由【答案】(1)AMBN,證明見解析;(2)四邊形BPEP是正方形,理由見解析.【解析】(1)AMBN 證明:四邊形ABCD是正方形,AB=BC,ABM=BCN=90BM=CN,ABMBCN BAM=CBNCBN+ABN=90,ABN+BAM=90,APB=90AMBN (2)四邊形BPE

14、P是正方形. APB是APB繞著點B逆時針旋轉90所得,BP= BP,PBP=90.又由(1)結論可知APB=APB=90,BPE=90.所以四邊形BPEP是矩形.又因為BP= BP,所以四邊形BPEP是正方形.【點睛】此題主要考查特殊平行四邊形的性質與判定,解題的關鍵是熟知正方形的性質與判定.5(2020山東初三期末)如圖,正方形ABCD的邊CD在正方形ECGF的邊CE上,連接DG,過點A作AHDG,交BG于點H連接HF,AF,其中AF交EC于點M(1)求證:AHF為等腰直角三角形(2)若AB3,EC5,求EM的長【答案】(1)見解析;(2)EM【解析】證明:(1)四邊形ABCD,四邊形EC

15、GF都是正方形DABC,ADCD,F(xiàn)GCG,BCGF90ADBC,AHDG,四邊形AHGD是平行四邊形AHDG,ADHGCD,CDHG,ECGCGF90,F(xiàn)GCG,DCGHGF(SAS),DGHF,HFGHGDAHHF,HGD+DGF90,HFG+DGF90DGHF,且AHDG,AHHF,且AHHFAHF為等腰直角三角形(2)AB3,EC5,ADCD3,DE2,EF5ADEF,且DE2EM【點睛】本題考查了正方形的性質,平行四邊形的判定和性質,全等三角形的判定和性質,平行線分線段成比例等知識點,綜合性較強難度大靈活運用這些知識進行推理是本題的關鍵6(2020深圳市龍崗區(qū)石芽嶺學校初三月考)如圖

16、,將一張矩形紙片ABCD沿直線MN折疊,使點C落在點A處,點D落在點E處,直線MN交BC于點M,交AD于點N(1)求證:CM=CN;(2)若CMN的面積與CDN的面積比為3:1,求的值【答案】(1)證明見解析;(2)【解析】解:(1)證明:由折疊的性質可得:ANM=CNM,四邊形ABCD是矩形,ADBCANM=CMNCMN=CNMCM=CN(2)過點N作NHBC于點H,則四邊形NHCD是矩形HC=DN,NH=DCCMN的面積與CDN的面積比為3:1,MC=3ND=3HCMH=2HC設DN=x,則HC=x,MH=2x,CM=3x=CN在RtCDN中,HN=在RtMNH中,7(2020河南初三)如

17、下圖1,將三角板放在正方形上,使三角板的直角頂點與正方形的頂點重合,三角板的一邊交于點另一邊交的延長線于點(1)觀察猜想:線段與線段的數(shù)量關系是 ;(2)探究證明:如圖2,移動三角板,使頂點始終在正方形的對角線上,其他條件不變,(1)中的結論是否仍然成立?若成立,請給予證明:若不成立請說明理由:(3)拓展延伸:如圖3,將(2)中的“正方形”改為“矩形”,且使三角板的一邊經過點,其他條件不變,若、,求的值【答案】(1);(2)成立,證明過程見解析;(3).【解析】(1),理由如下:由直角三角板和正方形的性質得在和中,;(2)成立,證明如下:如圖,過點分別作,垂足分別為,則四邊形是矩形由正方形對角

18、線的性質得,為的角平分線則在和中,;(3)如圖,過點分別作,垂足分別為同(2)可知,由長方形性質得:,即在和中,.【點睛】本題考查了正方形的性質、矩形的性質、三角形全等的判定定理與性質、相似三角形的判定定理與性質,較難的是題(3),通過作輔助線,構造兩個相似三角形是解題關鍵.8(2020江蘇初二期中)如圖,長方形紙片ABCD中,AB8,將紙片折疊,使頂點B落在邊AD上的E點處,折痕的一端G點在邊BC上(1)如圖1,當折痕的另一端F在AB邊上且AE4時,求AF的長;(2)如圖2,當折痕的另一端F在AD邊上且BG10時,求證:EFG是等腰三角形;求AF的長;(3)如圖3,當折痕的另一端F在AD邊上

19、,B點的對應點E到AD的距離是4,且BG5時,求AF的長【答案】(1)AF3;(2)見解析;AF6;(3)AF1【解析】(1)解:紙片折疊后頂點B落在邊AD上的E點處,BFEF,AB8,EF8AF,在RtAEF中,AE2+AF2EF2,即42+AF2(8AF)2,解得AF3;(2)證明:紙片折疊后頂點B落在邊AD上的E點處,BGFEGF,長方形紙片ABCD的邊ADBC,BGFEFG,EGFEFG,EFEG,EFG是等腰三角形;解:紙片折疊后頂點B落在邊AD上的E點處,EGBG10,HEAB8,F(xiàn)HAF,EFEG10,在RtEFH中,F(xiàn)H6, AFFH6;(3)解:如圖3,設EH與AD相交于點K

20、,過點E作MNCD分別交AD、BC于M、N,E到AD的距離為4,EM4,EN844,在RtENG中,EG=BG=5,GN3, GEN+KEM180GEH1809090,GEN+NGE1809090,KEMNGE,又ENGKME90,GENEKM,即, 解得EK,KM, KHEHEK8, FKHEKM,HEMK90,F(xiàn)KHEKM,即, 解得FH1,AFFH1【點睛】此題考查折疊的性質,勾股定理,相似三角形的判定及性質定理,每個小問的問題都是求AF的長度,故解題中注意思路和方法的總結,(3)中的解題思路與(2)相類似,求出FH問題得解,故將問題轉化是解題的一種特別重要的思路.9(2019河南初三期

21、中)正方形ABCD與正方形DEFG按如圖1放置,點A,D,G在同一條直線上,點E在CD邊上,AD3,DE,連接AE,CG(1)線段AE與CC的關系為_;(2)將正方形DEFG繞點D順時針旋轉一個銳角后,如圖2,請問(1)中的結論是否仍然成立?請說明理由(3)在正方形DEFG繞點D順時針旋轉一周的過程中,當AEC90時,請直接寫出AE的長【答案】(1)AECG,AECG;(2)仍然成立;理由見解析;(3)AE的長為2+1或21【解析】(1)線段AE與CG的關系為:AECG,AECG,理由如下:如圖1,延長AE交CG于點H,四邊形ABCD和四邊形DGFE是正方形,ADCD,EDGD,ADECDG9

22、0,ADECDG(SAS),AECG,EADGCD,EAD+AED90,AEDCEH,GCD+CEH90,CHE90,即AECG,故答案為:AECG,AECG;(2)結論仍然成立,理由如下:如圖2,設AE與CG交于點H,四邊形ABCD和四邊形DGFE是正方形,ADCD,EDGD,ADCEDG90,ADC+CDEEDG+CDE,即ADECDG,ADECDG(SAS),AECG,EADGCD,EAD+APD90,APDCPH,GCD+CPH90,CHP90,即AECG,AECG,AECG,中的結論仍然成立;(3)如圖31,當點E旋轉到線段CG上時,過點D作DMAE于點M,AEC90,DEG45,A

23、ED45,RtDME是等腰直角三角形,MEMDDE1,在RtAMD中,ME1,AD3,AM2,AEAM+ME2+1;如圖32,當點E旋轉到線段CG的延長線上時,過點D作DNCE于點N,則END90,DEN45,EDN45,RtDNE是等腰直角三角形,NENDDE1,在RtCND中,ND1,CD3,CN2,CENE+CN2+1,ACAD3,在RtAEC中,AE21,綜上所述,AE的長為2+1或21 【點睛】本題考查全等三角形的判定(SAS)與性質,正方形的性質,旋轉的性質以及勾股定理,解題關鍵是在第(3)問中能夠根據(jù)題意分情況討論并畫出圖形,才能保證解答的完整性10(2019云南初三)如圖,在矩

24、形ABCD中,E是AB邊的中點,沿EC對折矩形ABCD,使B點落在點P處,折痕為EC,連結AP并延長AP交CD于F點,(1)求證:CBECPE;(2)求證:四邊形AECF為平行四邊形;(3)若矩形ABCD的邊AB6,BC4,求CPF的面積【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3)【解析】(1)解:由折疊可知,EPEB,CPCB,ECEC,ECPECB(SSS)(2)證明:由折疊得到BEPE,ECPB,E為AB的中點,AEEBPE,APBP,AFEC,AEFC,四邊形AECF為平行四邊形;(3)過P作PMDC,交DC于點M,在RtEBC中,EB3,BC4,根據(jù)勾股定理得: ,由折疊得:BP2BQ

25、,在RtABP中,AB6,BP,根據(jù)勾股定理得: ,四邊形AECF為平行四邊形,AFEC5,F(xiàn)CAE3,PF5,PMAD,F(xiàn)PMFAD,即解得:PM,則SPFCFCPM3【點睛】本題考查的是利用折疊性質來證明三角形全等和平行四邊形四邊形,還考查了利用勾股定理、面積公式來求三角形的邊長,利用相似三角形的性質對應邊成比例來求出三角形的高,進而求出三角形的面積本題第(3)中求也可利用APBEBC,對應邊成比例,求AP,這樣比較簡便11(2019江西初三期中)在正方形ABCD中,點P是CD上一動點,連結PA,分別過點B、D作BEPA、DFPA,垂足為E、F,如圖(1)請?zhí)剿鰾E、DF、EF這三條線段長

26、度具有怎樣的數(shù)量關系,若點P在DC的延長線上(如圖),那么這三條線段的長度之間又有怎樣的數(shù)量關系?若點P在CD的延長線上呢(如圖)?請分別直接寫出結論(2)請在(1)中的三個結論中選擇一個加以證明【答案】(1)圖中,BE=DF+EF;圖中,BE=DF-EF;圖中,BE=EF-DF;(2)見解析【解析】解:(1)在正方形ABCD中,AB=AD,BAD=90,BAE+DAF=90,BEPA,DFPA,AEB=DFA=90,ABE+BAE=90,ABE=DAF,在ABE和DAF中,ABEDAF(AAS),AE=DF,AF=BE,如圖,AF=AE+EF,BE=DF+EF,如圖,AE=AF+EF,BE

27、= DF -EF,如圖,EF=AE+AF,BE = EF -DF(2)證明:如圖題,ABCD是正方形,AB=AD,BEPA,DFPA,AEB=AFD=90,ABE+BAE=90DAF+BAE=90,ABE=DAF,RtABERtDAF,BE=AF,AE=DF,而AF=AE+EF,BE=DF+EF;【點睛】本題主要考查了正方形的性質,全等三角形的判定與性質,掌握正方形的性質,全等三角形的判定與性質是解題的關鍵12(2020河北初三期末)如圖,在正方形中,點是邊上的一點(不與、重合),點在的延長線上,且滿足,連接、,與邊交于點(1)求證:;(2)如果,求證:【答案】(1)見解析;(2)見解析【解析】解:證明(1)四邊形ABCD是正方形,ABAD,CADACB45,BADCDAB90,BAMMAD90,ADN90MAN90,MADDAN90,BAMDAN,且ADAB,ABCADN90ABMADN(ASA)AMAN,(2)AMAN,MAN90,MNA45, CAD2NAD45,NAD22.5CAMMANCADNAD22.5CAMNAD,ACBMNA45, AMCAEN ,且ANAM,AN2AEAC【點睛】本題主要考查正方形的性質,全等三角形和相似三角形的判定及性質,掌握正方形的性質,全等三角形和相似三角形的判定及性質是解題的關鍵

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