2020年中考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)題型提分講練 專題23 以圓為背景的證明與計(jì)算(含解析)

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1、專題23 以圓為背景的證明與計(jì)算考點(diǎn)分析【例1】(2019廣東中考模擬)已知四邊形ABCD是O的內(nèi)接四邊形,AC是O的直徑,DEAB,垂足為E(1)延長DE交O于點(diǎn)F,延長DC,F(xiàn)B交于點(diǎn)P,如圖1求證:PC=PB;(2)過點(diǎn)B作BGAD,垂足為G,BG交DE于點(diǎn)H,且點(diǎn)O和點(diǎn)A都在DE的左側(cè),如圖2若AB= ,DH=1,OHD=80,求BDE的大小【答案】(1)詳見解析;(2)BDE=20【解析】(1)如圖1,AC是O的直徑,ABC=90,DEAB,DEA=90,DEA=ABC,BCDF,F(xiàn)=PBC,四邊形BCDF是圓內(nèi)接四邊形,F(xiàn)+DCB=180,PCB+DCB=180,F(xiàn)=PCB,PBC

2、=PCB,PC=PB;(2)如圖2,連接OD,AC是O的直徑,ADC=90,BGAD,AGB=90,ADC=AGB,BGDC,BCDE,四邊形DHBC是平行四邊形,BC=DH=1,在RtABC中,AB=,tanACB=,ACB=60,BC=AC=OD,DH=OD,在等腰DOH中,DOH=OHD=80,ODH=20,設(shè)DE交AC于N,BCDE,ONH=ACB=60,NOH=180(ONH+OHD)=40,DOC=DOHNOH=40,OA=OD,OAD=DOC=20,CBD=OAD=20,BCDE,BDE=CBD=20【點(diǎn)睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理、平行四邊形的判定與性質(zhì)、等腰三

3、角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn),解決第(2)問,作出輔助線,求得ODH=20是解決本題的關(guān)鍵.【例2】 (2019湖南中考真題)如圖,點(diǎn)在半徑為8的上,過點(diǎn)作,交延長線于點(diǎn)連接,且(1)求證:是的切線;(2)求圖中陰影部分的面積【答案】(1)見解析;(2).【解析】(1)證明:連接,交于,即,是的切線;(2)解:,【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì),圓周角定理,扇形的面積,三角形的面積,解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用,題目比較好,難度適中考點(diǎn)集訓(xùn)1(2019遼寧中考真題)如圖,在中,點(diǎn)在的內(nèi)部,經(jīng)過,兩點(diǎn),交于點(diǎn),連接并延長交于點(diǎn),以,為鄰邊作(1)判斷與的位置關(guān)系,并說明理由(2)若點(diǎn)是的中點(diǎn),的半徑為2,

4、求的長【答案】(1)是的切線;理由見解析;(2)的長【解析】(1)是的切線;理由:連接,四邊形是平行四邊形,是的切線;(2)連接,點(diǎn)是的中點(diǎn),的長【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系,圓周角定理,平行四邊形的性質(zhì),正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵2(2019云南初三)如圖,在RtABC中,C=90,BE平分ABC交AC于點(diǎn)E,作EDEB交AB于點(diǎn)D,O是BED的外接圓(1)求證:AC是O的切線;(2)已知O的半徑為2.5,BE=4,求BC,AD的長【答案】(1)證明見解析;(2)BC=,AD=【解析】(1)如圖,連接OE,OB=OE,OBE=OEB,BE平分ABC,OBE=CBE,OEB=CBE,O

5、EBC,又C=90,AEO=90,即OEAC,AC為O的切線;(2)EDBE,BED=C=90,又DBE=EBC,BDEBEC,即,BC=;AEO=C=90,A=A,AOEABC,即,解得:AD=點(diǎn)睛:本題主要考查切線的判定與性質(zhì),解題的關(guān)鍵是掌握切線的判定與性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)3(2019連云港市新海實(shí)驗(yàn)中學(xué)初三月考)如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于O,對角線AC為O的直徑,過點(diǎn)C作AC的垂線交AD的延長線于點(diǎn)E,點(diǎn)F為CE的中點(diǎn),連接DB,DC,DF(1)求CDE的度數(shù);(2)求證:DF是O的切線;(3)若AC=DE,求tanABD的值【答案】(1)90;(2)證明見解析;(3)2【解析

6、】解:(1)解:對角線AC為O的直徑,ADC=90,EDC=90;(2)證明:連接DO,EDC=90,F(xiàn)是EC的中點(diǎn),DF=FC,F(xiàn)DC=FCD,OD=OC,OCD=ODC,OCF=90,ODF=ODC+FDC=OCD+DCF=90,DF是O的切線;(3)解:如圖所示:可得ABD=ACD,E+DCE=90,DCA+DCE=90,DCA=E,又ADC=CDE=90,CDEADC,DC2=ADDEAC=2DE,設(shè)DE=x,則AC=2x,則AC2AD2=ADDE,期(2x)2AD2=ADx,整理得:AD2+ADx20x2=0,解得:AD=4x或4.5x(負(fù)數(shù)舍去),則DC=,故tanABD=tanA

7、CD=4(2019江蘇初三月考)如圖,已知AB是O的直徑,點(diǎn)C、D在O上,點(diǎn)E在O外,EAC=D=60(1)求ABC的度數(shù);(2)求證:AE是O的切線;(3)當(dāng)BC=4時(shí),求劣弧AC的長【答案】(1)60;(2)證明略;(3)【解析】(1)ABC與D都是弧AC所對的圓周角,ABC=D=60; (2)AB是O的直徑,ACB=90BAC=30,BAE=BAC+EAC=30+60=90,即BAAE,AE是O的切線;(3)如圖,連接OC,OB=OC,ABC=60,OBC是等邊三角形,OB=BC=4,BOC=60,AOC=120,劣弧AC的長為=【點(diǎn)睛】本題考查了切線長定理及弧長公式,熟練掌握定理及公式

8、是解題的關(guān)鍵.5(2019江蘇中考真題)如圖,為的直徑,為上一點(diǎn),為的中點(diǎn)過點(diǎn)作直線的垂線,垂足為,連接(1)求證:;(2)與有怎樣的位置關(guān)系?請說明理由【答案】(1)見解析;(2)與相切,理由見解析.【解析】 (1)連接,為的中點(diǎn),;(2)與相切,理由如下: ,ODE+E=180,E=90,ODE=90,又OD是半徑,與相切【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系,圓心角、弧、弦的關(guān)系,圓周角定理,熟練掌握切線的判定定理是解題的關(guān)鍵6(2019湖北初三)如圖,AB為O的直徑,PD切O于點(diǎn)C,與BA的延長線交于點(diǎn)D,DEPO交PO延長線于點(diǎn)E,連接PB,EDB=EPB,(1)求證:PB是的切線(2

9、)若PB=6,DB=8,求O的半徑【答案】(1)證明見解析;(2)3【解析】(1)證明:在DEO和PBO中,EDB=EPB,DOE=POB,OBP=E=90,OB為圓的半徑,PB為圓O的切線;(2)解:在RtPBD中,PB=6,DB=8,根據(jù)勾股定理得:PD=,PD與PB都為圓的切線,PC=PB=6,DC=PD-PC=10-6=4,在RtCDO中,設(shè)OC=r,則有DO=8-r,根據(jù)勾股定理得:(8-r)2=r2+42,解得:r=3,則圓的半徑為3考點(diǎn):切線的判定與性質(zhì)7(2019廣西中考模擬)如圖,以AB邊為直徑的O經(jīng)過點(diǎn)P,C是O上一點(diǎn),連結(jié)PC交AB于點(diǎn)E,且ACP=60,PA=PD(1)

10、試判斷PD與O的位置關(guān)系,并說明理由;(2)若點(diǎn)C是弧AB的中點(diǎn),已知AB=4,求CECP的值【答案】(1)PD是O的切線證明見解析.(2)8.【解析】連結(jié)OP,ACP=60,AOP=120,OA=OP,OAP=OPA=30,PA=PD,PAO=D=30,OPD=90,PD是O的切線(2)連結(jié)BC,AB是O的直徑,ACB=90,又C為弧AB的中點(diǎn),CAB=ABC=APC=45,AB=4,AC=Absin45=C=C,CAB=APC,CAECPA,CPCE=CA2=()2=8考點(diǎn):相似三角形的判定與性質(zhì);圓心角、弧、弦的關(guān)系;直線與圓的位置關(guān)系;探究型8(2019湖南中考真題)如圖,點(diǎn)D在以AB

11、為直徑的O上,AD平分,過點(diǎn)B作O的切線交AD的延長線于點(diǎn)E(1)求證:直線CD是O的切線(2)求證:【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析.【解析】解:證明:(1)連接OD,AD平分,直線CD是O的切線;(2)連接BD,BE是O的切線,AB為O的直徑,【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì),角平分線的定義圓周角定理,切線的判定和性質(zhì),正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵9(2019山東中考真題)如圖,在中,以為直徑的分別與交于點(diǎn),過點(diǎn)作,垂足為點(diǎn)(1)求證:直線是的切線;(2)求證:;(3)若的半徑為4,求陰影部分的面積【答案】(1)詳見解析;(2)詳見解析;(3)解:(1)如圖所示,連接,而

12、,直線是的切線;(2)連接,則,則,則,而,即;(3)連接,【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的綜合性知識(shí),難度系數(shù)不大,應(yīng)該熟練掌握,關(guān)鍵在于做輔助線,這是這類題的難點(diǎn).10(2019江蘇中考真題)如圖,AB是O的直徑,AC與O交于點(diǎn)F,弦AD平分,垂足為E(1)試判斷直線DE與O的位置關(guān)系,并說明理由;(2)若O的半徑為2,求線段EF的長【答案】(1)直線DE與O相切;(2).【解析】(1)直線DE與O相切,連結(jié)ODAD平分,即,即,DE是O的切線;(2)過O作于G,四邊形AODF是菱形,【點(diǎn)睛】本題考查切線的判定和性質(zhì)、垂徑定理、勾股定理等知識(shí),解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線,屬于中考??碱}型11(

13、2019天津中考真題)已知,分別與相切于點(diǎn),為上一點(diǎn)()如圖,求的大??;()如圖,為的直徑,與相交于點(diǎn),若,求的大小【答案】();().【解析】解:()如圖,連接是的切線,即,在四邊形中,在中, ()如圖,連接為的直徑,由()知,在中,又是的一個(gè)外角,有,【點(diǎn)睛】本題考查的是切線的性質(zhì)、圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì),掌握圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑是解題的關(guān)鍵12(2019甘肅中考真題)如圖,在中,點(diǎn)在邊上,經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)且與邊相交于點(diǎn)(1)求證:是的切線;(2)若,求的半徑【答案】(1)見解析;(2) 【解析】 (1)證明:連接,是的切線;(2)解:連接,是等邊三角形,的半徑【點(diǎn)睛】本題考查了切

14、線的判定和性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),等邊三角形的判定和性質(zhì),正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵13(2019湖北中考真題)如圖,在中,為的中點(diǎn),以為直徑的分別交于點(diǎn)兩點(diǎn),過點(diǎn)作于點(diǎn).試判斷與的位置關(guān)系,并說明理由若求的長【答案】(1)切,理由見解析;(2)【解析】(1)相切,理由:如圖,連接,為的中點(diǎn),與相切;連接,為的直徑,即,【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系,平行線的判定和性質(zhì),勾股定理,解直角三角形,正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵14(2019山西初三期末)如圖,點(diǎn)O在APB的平分線上,O與PA相切于點(diǎn)C(1)求證:直線PB與O相切;(2)PO的延長線與O交于點(diǎn)E若O的半徑為3,PC=4求弦CE的長【答案】(1)證明見解析;(2)【解析】(1)證明:連接OC,作ODPB于D點(diǎn)O與PA相切于點(diǎn)C, OCPA(2)解:設(shè)PO交O于F,連接CFOC=3,PC=4,PO=5,PE=8O與PA相切于點(diǎn)C, PCF=E又CPF=EPC, PCFPEC, CF:CE=PC:PE=4:8=1:2EF是直徑, ECF=90設(shè)CF=x,則EC=2x則x2+(2x)2=62, 解得x= 則EC=2x=

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