2020年中考數(shù)學(xué)考點(diǎn)總動員 第12講 反比例函數(shù)(含解析)

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1、第12講反比例函數(shù)反比例函數(shù)解析式的確定(1)確定方法:待定系數(shù)法;(2)一般步驟:設(shè)所求的反比例函數(shù)解析式為y(k0);根據(jù)已知條件,得到反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)P(a,b);將點(diǎn)P(a,b)代入反比例函數(shù)的解析式得到關(guān)于系數(shù)k的方程;解方程得待定系數(shù)k的值;把k的值代入y即可得反比例函數(shù)解析式考點(diǎn)1: 反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)【例題1】如圖,四邊形ABCD是平行四邊形,點(diǎn)A(1,0),B(3,1),C(3,3)反比例函數(shù)y(x0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)D,點(diǎn)P是一次函數(shù)ykx33k(k0)的圖象與該反比例函數(shù)圖象的一個公共點(diǎn)(1)求反比例函數(shù)的解析式;(2)通過計算,說明一次函數(shù)ykx33k(k0)的圖象

2、一定經(jīng)過點(diǎn)C;(3)對于一次函數(shù)ykx33k(k0),當(dāng)y隨x的增大而增大時,確定點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍(不必寫出過程)【解析】:(1)B(3,1),C(3,3),四邊形ABCD是平行四邊形,ADBC2,BCx軸ADx軸又A(1,0),D(1,2)D在反比例函數(shù)y的圖象上,m122.反比例函數(shù)的解析式為y.(2)當(dāng)x3時,ykx33k3,一次函數(shù)ykx33k(k0)的圖象一定過點(diǎn)C.(3)設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為a,則a3.歸納:反比例函數(shù)中,y隨x的大小變化的情況,應(yīng)分x0與x0兩種情況討論,而不能籠統(tǒng)地說成“k0時,y隨x的增大而增大”雙曲線上的點(diǎn)在每個象限內(nèi),y隨x的變化是一致的運(yùn)用反比例函數(shù)的性

3、質(zhì)時,要注意在每一個象限內(nèi)的要求考點(diǎn)2: 反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合【例題2】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,反比例函數(shù)y(x0)的圖象與邊長是6的正方形OABC的兩邊AB,BC分別相交于M,N 兩點(diǎn)(1)若點(diǎn)M是AB邊的中點(diǎn),求反比例函數(shù)y的解析式和點(diǎn)N的坐標(biāo);(2)若AM2,求直線MN的解析式及OMN的面積【點(diǎn)撥】(1)由已知可知點(diǎn)M的坐標(biāo),求出k的值,從而求出點(diǎn)N的坐標(biāo);(2)確定點(diǎn)M ,點(diǎn)N的坐標(biāo),三角形面積就可求出【解答】解:(1)點(diǎn)M是AB邊的中點(diǎn),M(6,3)反比例函數(shù)y經(jīng)過點(diǎn)M,3.k18.反比例函數(shù)的解析式為y.當(dāng)y6時,x3,N(3,6)(2)由題意,知M(6,2),N(2,6)

4、設(shè)直線MN的解析式為yaxb,則解得直線MN的解析式為yx8.SOMNS正方形OABCSOAMSOCNSBMN3666816.【變式】在例2中,若OMN的面積為10,求點(diǎn)M,N的坐標(biāo)解:OAOC6,設(shè)M(6,y),則N(y,6)BMBN6y.SOMN10,366y2(6y)210,即y216.又y0,y4,M(6,4)N(4,6)歸納:1確定反比例函數(shù)解析式只要一個合適的條件(如圖象上一個點(diǎn)的坐標(biāo))即可另外將已知點(diǎn)的坐標(biāo)或部分坐標(biāo)代入解析式中,從而確定字母的值是我們經(jīng)常用的方法2雙曲線y中,根據(jù)k的幾何意義求圖形面積常用圖形有:S陰影|k|S陰影S陰影|k|3.第一象限內(nèi)的雙曲線本身是軸對稱圖

5、形,正方形也是軸對稱圖形,所以在本題中,圖形是關(guān)于直線yx的軸對稱圖形,對解答第(2)問提供解題思路考點(diǎn)3:反比例函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用【例題3】(2018樂山)某蔬菜生產(chǎn)基地的氣溫較低時,用裝有恒溫系統(tǒng)的大棚栽培一種新品種蔬菜如圖是試驗(yàn)階段的某天恒溫系統(tǒng)從開啟到關(guān)閉后,大棚內(nèi)的溫度y()與時間x(h)之間的函數(shù)關(guān)系,其中線段AB,BC表示恒溫系統(tǒng)開啟階段,雙曲線的一部分CD表示恒溫系統(tǒng)關(guān)閉階段請根據(jù)圖中信息解答下列問題:(1)求這天的溫度y與時間x(0x24)的函數(shù)關(guān)系式;(2)求恒溫系統(tǒng)設(shè)定的恒定溫度;(3)若大棚內(nèi)的溫度低于10 時,蔬菜會受到傷害問這天內(nèi),恒溫系統(tǒng)最多可以關(guān)閉多少小時,才能使蔬

6、菜避免受到傷害?【點(diǎn)撥】(1)用待定系數(shù)法分段求函數(shù)解析式;(2)觀察圖象可得;(3)代入臨界值y10即可【解答】解:(1)設(shè)線段AB解析式為yk1xb(k0),線段AB過點(diǎn)(0,10),(2,14),代入,得解得AB解析式為y2x10(0x5)B在線段AB上,當(dāng)x5時,y20.B坐標(biāo)為(5,20)線段BC的解析式為y20(5x10)設(shè)雙曲線CD的解析式為y(k20)C(10,20),k2200.雙曲線CD解析式為y(10x24)y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y(2)由(1)可知,恒溫系統(tǒng)設(shè)定恒定溫度為20 .(3)把y10代入y中,解得x20.201010.答:恒溫系統(tǒng)最多關(guān)閉10小時,蔬菜才能避免

7、受到傷害歸納:反比例函數(shù)實(shí)際應(yīng)用題是近年中考常見的題型,解題時首先要仔細(xì)審讀題目(或圖象)中給予的信息,挖掘題目(或圖象)中隱含的條件,提取有用信息,綜合運(yùn)用所學(xué)知識解決問題一、選擇題:1. (2018柳州)已知反比例函數(shù)的解析式為y=,則a的取值范圍是()Aa2Ba2Ca2Da=2【答案】C解析:可得:|a|20,解得:a2,故選:C2. (2019安徽)(4分)已知點(diǎn)A(1,3)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)A在反比例函數(shù)y的圖象上,則實(shí)數(shù)k的值為()A3BC3D【答案】A【解答】解:點(diǎn)A(1,3)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,3),把A(1,3)代入y得k133故選:A3. (2018德州)給出下列

8、函數(shù):y=3x+2;y=;y=2x2;y=3x,上述函數(shù)中符合條作“當(dāng)x1時,函數(shù)值y隨自變量x增大而增大“的是()ABCD【答案】B【解析】:y=3x+2,當(dāng)x1時,函數(shù)值y隨自變量x增大而減小,故此選項錯誤;y=,當(dāng)x1時,函數(shù)值y隨自變量x增大而減小,故此選項錯誤;y=2x2,當(dāng)x1時,函數(shù)值y隨自變量x增大而減小,故此選項正確;y=3x,當(dāng)x1時,函數(shù)值y隨自變量x增大而減小,故此選項正確;故選:B4. (2018聊城)春季是傳染病多發(fā)的季節(jié),積極預(yù)防傳染病是學(xué)校高度重視的一項工作,為此,某校對學(xué)生宿舍采取噴灑藥物進(jìn)行消毒在對某宿舍進(jìn)行消毒的過程中,先經(jīng)過5min的集中藥物噴灑,再封閉

9、宿舍10min,然后打開門窗進(jìn)行通風(fēng),室內(nèi)每立方米空氣中含藥量y(mg/m3)與藥物在空氣中的持續(xù)時間x(min)之間的函數(shù)關(guān)系,在打開門窗通風(fēng)前分別滿足兩個一次函數(shù),在通風(fēng)后又成反比例,如圖所示下面四個選項中錯誤的是()A經(jīng)過5min集中噴灑藥物,室內(nèi)空氣中的含藥量最高達(dá)到10mg/m3B室內(nèi)空氣中的含藥量不低于8mg/m3的持續(xù)時間達(dá)到了11minC當(dāng)室內(nèi)空氣中的含藥量不低于5mg/m3且持續(xù)時間不低于35分鐘,才能有效殺滅某種傳染病毒此次消毒完全有效D當(dāng)室內(nèi)空氣中的含藥量低于2mg/m3時,對人體才是安全的,所以從室內(nèi)空氣中的含藥量達(dá)到2mg/m3開始,需經(jīng)過59min后,學(xué)生才能進(jìn)入室

10、內(nèi)【答案】C【解答】解:A、正確不符合題意B、由題意x=4時,y=8,室內(nèi)空氣中的含藥量不低于8mg/m3的持續(xù)時間達(dá)到了11min,正確,不符合題意;C、y=5時,x=2.5或24,242.5=21.535,故本選項錯誤,符合題意;D、正確不符合題意,故選:C5. (2018遵義)如圖,直角三角形的直角頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),OAB=30,若點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=(x0)的圖象上,則經(jīng)過點(diǎn)B的反比例函數(shù)解析式為()Ay=By=Cy=Dy=【答案】C解析:點(diǎn)B作BCx軸于點(diǎn)C,過點(diǎn)A作ADx軸于點(diǎn)D,BOA=90,BOC+AOD=90,AOD+OAD=90,BOC=OAD,又BCO=ADO=90,BCO

11、ODA,=tan30=,=,ADDO=xy=3,SBCO=BCCO=SAOD=1,SAOD=2,經(jīng)過點(diǎn)B的反比例函數(shù)圖象在第二象限,故反比例函數(shù)解析式為:y=故選:C二、填空題:6. (2018四川宜賓3分)已知:點(diǎn)P(m,n)在直線y=x+2上,也在雙曲線y=上,則m2+n2的值為6【答案】6【解答】解:點(diǎn)P(m,n)在直線y=x+2上,n+m=2,點(diǎn)P(m,n)在雙曲線y=上,mn=1,m2+n2=(n+m)22mn=4+2=6故答案為:67. (2019浙江紹興5分)如圖,矩形ABCD的頂點(diǎn)A,C都在曲線y(常數(shù)是0,x0)上,若頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(5,3),則直線BD的函數(shù)表達(dá)式是yx【答

12、案】yx【解答】解:D(5,3),A(,3),C(5,),B(,),設(shè)直線BD的解析式為ymx+n,把D(5,3),B(,)代入得,解得,直線BD的解析式為yx故答案為yx8. (2018安順)如圖,已知直線y=k1x+b與x軸、y軸相交于P、Q兩點(diǎn),與y=的圖象相交于A(2,m)、B(1,n)兩點(diǎn),連接OA、OB,給出下列結(jié)論:k1k20;m+n=0;SAOP=SBOQ;不等式k1x+b的解集是x2或0x1,其中正確的結(jié)論的序號是 【答案】【解答】解:由圖象知,k10,k20,k1k20,故錯誤;把A(2,m)、B(1,n)代入y=中得2m=n,m+n=0,故正確;把A(2,m)、B(1,n

13、)代入y=k1x+b得,2m=n,y=mxm,已知直線y=k1x+b與x軸、y軸相交于P、Q兩點(diǎn),P(1,0),Q(0,m),OP=1,OQ=m,SAOP=m,SBOQ=m,SAOP=SBOQ;故正確;由圖象知不等式k1x+b的解集是x2或0x1,故正確;故答案為:9. (2019貴州畢節(jié)5分)如圖,在平面直角坐標(biāo)中,一次函數(shù)y4x+4的圖象與x軸、y軸分別交于A.B兩點(diǎn)正方形ABCD的頂點(diǎn)C.D在第一象限,頂點(diǎn)D在反比例函數(shù)y(k0)的圖象上若正方形ABCD向左平移n個單位后,頂點(diǎn)C恰好落在反比例函數(shù)的圖象上,則n的值是【答案】3【解答】解:過點(diǎn)D作DEx軸,過點(diǎn)C作CFy軸,ABAD,BA

14、ODAE,ABAD,BOADEA,ABODAE(AAS),AEBO,DEOA,易求A(1,0),B(0,4),D(5,1),頂點(diǎn)D在反比例函數(shù)y上,k5,y,易證CBFBAO(AAS),CF4,BF1,C(4,5),C向左移動n個單位后為(4n,5),5(4n)5,n3,故答案為3;三、解答題:10. 甲、乙兩家商場進(jìn)行促銷活動,甲商場采用“滿200減100”的促銷方式,即購買商品的總金額滿200元但不足400元,少付100元;滿400元但不足600元,少付200元乙商場按顧客購買商品的總金額打6折促銷(1)若顧客在甲商場購買了510元的商品,付款時應(yīng)付多少錢?(2)若顧客在甲商場購買商品的總

15、金額為x(400x600)元,優(yōu)惠后得到商家的優(yōu)惠率為p(p),寫出p與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并說明p隨x的變化情況;(3)品牌、質(zhì)量、規(guī)格等都相同的某種商品,在甲、乙兩商場的標(biāo)價都是x(200x400)元,你認(rèn)為選擇哪家商場購買商品花錢較少?請說明理由【解析】:(1)510200310(元)(2)p(400x600);p隨x的增大而減小(3)購x元(200x400)在甲商場的優(yōu)惠額是100元,乙商場的優(yōu)惠額是x0.6x0.4x.當(dāng)0.4x100,即200x250時,選甲商場優(yōu)惠;當(dāng)0.4x100,即x250時,選甲、乙商場一樣優(yōu)惠;當(dāng)0.4x100,即250x400時,選乙商場優(yōu)惠11. (2

16、018菏澤)如圖,已知點(diǎn)D在反比例函數(shù)y=的圖象上,過點(diǎn)D作DBy軸,垂足為B(0,3),直線y=kx+b經(jīng)過點(diǎn)A(5,0),與y軸交于點(diǎn)C,且BD=OC,OC:OA=2:5(1)求反比例函數(shù)y=和一次函數(shù)y=kx+b的表達(dá)式;(2)直接寫出關(guān)于x的不等式kx+b的解集【分析】(1)由OC、OA、BD之間的關(guān)系結(jié)合點(diǎn)A、B的坐標(biāo)可得出點(diǎn)C、D的坐標(biāo),由點(diǎn)D的坐標(biāo)利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出a值,進(jìn)而可得出反比例函數(shù)的表達(dá)式,再由點(diǎn)A、C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法,即可求出一次函數(shù)的表達(dá)式;(2)將一次函數(shù)表達(dá)式代入反比例函數(shù)表達(dá)式中,利用根的判別式0可得出兩函數(shù)圖象無交點(diǎn),再觀察圖形,利用

17、兩函數(shù)圖象的上下位置關(guān)系即可找出不等式kx+b的解集解:(1)BD=OC,OC:OA=2:5,點(diǎn)A(5,0),點(diǎn)B(0,3),OA=5,OC=BD=2,OB=3,又點(diǎn)C在y軸負(fù)半軸,點(diǎn)D在第二象限,點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,2),點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,3)點(diǎn)D(2,3)在反比例函數(shù)y=的圖象上,a=23=6,反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=將A(5,0)、B(0,2)代入y=kx+b,解得:,一次函數(shù)的表達(dá)式為y=x2(2)將y=x2代入y=,整理得: x22x+6=0,=(2)246=0,一次函數(shù)圖象與反比例函數(shù)圖象無交點(diǎn)觀察圖形,可知:當(dāng)x0時,反比例函數(shù)圖象在一次函數(shù)圖象上方,不等式kx+b的解集為x012

18、. (2018泰安)如圖,矩形ABCD的兩邊AD,AB的長分別為3,8,E是DC的中點(diǎn),反比例函數(shù)y的圖象經(jīng)過點(diǎn)E,與AB交于點(diǎn)F.(1)若點(diǎn)B坐標(biāo)為(6,0),求m的值及圖象經(jīng)過A,E兩點(diǎn)的一次函數(shù)的解析式;(2)若AFAE2,求反比例函數(shù)的解析式【解析】:(1)點(diǎn)B坐標(biāo)為(6,0),AD3,AB8,E為CD的中點(diǎn),點(diǎn)A(6,8),E(3,4)函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)E,m3412.設(shè)AE的解析式為ykxb,將點(diǎn)A,E坐標(biāo)代入,得解得一次函數(shù)的解析式為yx.(2)AD3,DE4,AE5.AFAE2,AF7,BF1.設(shè)點(diǎn)E坐標(biāo)為(a,4),則點(diǎn)F坐標(biāo)為(a3,1),E,F(xiàn)兩點(diǎn)在函數(shù)y圖象上,4aa3,解

19、得a1.E(1,4)m144.反比例函數(shù)的解析式為y.13. (2018山東青島8分)已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過三個點(diǎn)A(4,3),B(2m,y1),C(6m,y2),其中m0(1)當(dāng)y1y2=4時,求m的值;(2)如圖,過點(diǎn)B、C分別作x軸、y軸的垂線,兩垂線相交于點(diǎn)D,點(diǎn)P在x軸上,若三角形PBD的面積是8,請寫出點(diǎn)P坐標(biāo)(不需要寫解答過程)【分析】(1)先根據(jù)反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(4,3),利用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)的解析式為y=,再由反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得出y1=,y2=,然后根據(jù)y1y2=4列出方程=4,解方程即可求出m的值;(2)設(shè)BD與x軸交于點(diǎn)E根據(jù)三角形PBD的面

20、積是8列出方程PE=8,求出PE=4m,再由E(2m,0),點(diǎn)P在x軸上,即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)【解答】解:(1)設(shè)反比例函數(shù)的解析式為y=,反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(4,3),k=4(3)=12,反比例函數(shù)的解析式為y=,反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)B(2m,y1),C(6m,y2),y1=,y2= ,y1y2=4,=4,m=1;(2)設(shè)BD與x軸交于點(diǎn)E點(diǎn)B(2m,),C(6m,),過點(diǎn)B、C分別作x軸、y軸的垂線,兩垂線相交于點(diǎn)D,D(2m,),BD=三角形PBD的面積是8,BDPE=8,PE=8,PE=4m,E(2m,0),點(diǎn)P在x軸上,點(diǎn)P坐標(biāo)為(2m,0)或(6m,0)14.( 2018保定

21、二模)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),ABO的邊AB垂直于x軸,垂足為點(diǎn)B,反比例函數(shù)y(x0)的圖象經(jīng)過AO的中點(diǎn)C,且與AB相交于點(diǎn)D,OB4,AD3.(1)求反比例函數(shù)y的解析式;(2)求cosOAB的值;(3)求經(jīng)過C,D兩點(diǎn)的一次函數(shù)解析式【解析】:(1)設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(4,m)(m0),則點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4,3m)點(diǎn)C為線段AO的中點(diǎn),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2,)點(diǎn)C,D均在反比例函數(shù)y的圖象上,解得反比例函數(shù)的解析式為y.(2)m1,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4,4),OB4,AB4.RtAOB是等腰直角三角形cosOABcos45.(3)m1,點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2,2),點(diǎn)D的坐標(biāo)為(4,1)設(shè)經(jīng)過點(diǎn)C,D的一次函數(shù)的解析式為yaxb,則有解得經(jīng)過C,D兩點(diǎn)的一次函數(shù)解析式為yx3.16

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