2020年中考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)題型提分講練 專(zhuān)題18 二次函數(shù)函數(shù)綜合題(含解析)

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1、專(zhuān)題18 二次函數(shù)綜合題考點(diǎn)分析【例1】(2019遼寧中考真題)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,一次函數(shù)yx+3的圖象與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于B點(diǎn),拋物線yx2+bx+c經(jīng)過(guò)A,B兩點(diǎn),在第一象限的拋物線上取一點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)D作DCx軸于點(diǎn)C,交直線AB于點(diǎn)E(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式(2)是否存在點(diǎn)D,使得BDE和ACE相似?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;(3)如圖2,F(xiàn)是第一象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)D重合),點(diǎn)G是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)連接DF,F(xiàn)G,當(dāng)四邊形DEGF是平行四邊形且周長(zhǎng)最大時(shí),請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)G的坐標(biāo)【答案】(1)yx2+x+3;(2)存在點(diǎn)D的坐標(biāo)為(,3)或(,)

2、;(3)G(,)【解析】解:(1)在中,令,得,令,得,將,分別代入拋物線中,得:,解得:,拋物線的函數(shù)表達(dá)式為:(2)存在如圖1,過(guò)點(diǎn)作于,設(shè),則,;,和相似,或當(dāng)時(shí),即:,解得:(舍去),(舍去),當(dāng)時(shí),即:,解得:(舍,(舍,;綜上所述,點(diǎn)的坐標(biāo)為,或,;(3)如圖3,四邊形是平行四邊形,設(shè),則:,即:,即:過(guò)點(diǎn)作于,則,即:,即:周長(zhǎng),當(dāng)時(shí),周長(zhǎng)最大值,【點(diǎn)睛】此題考查二次函數(shù)綜合題,綜合難度較大,解答關(guān)鍵在于結(jié)合函數(shù)圖形進(jìn)行計(jì)算,再利用待定系數(shù)法求解析式,配合輔助線利用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行解答.【例2】(2019山東中考模擬)如圖,已知直線AB經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,4),與拋物線y=x2交于A

3、,B兩點(diǎn),其中點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是(1)求這條直線的函數(shù)關(guān)系式及點(diǎn)B的坐標(biāo)(2)在x軸上是否存在點(diǎn)C,使得ABC是直角三角形?若存在,求出點(diǎn)C的坐標(biāo),若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由(3)過(guò)線段AB上一點(diǎn)P,作PMx軸,交拋物線于點(diǎn)M,點(diǎn)M在第一象限,點(diǎn)N(0,1),當(dāng)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為何值時(shí),MN+3MP的長(zhǎng)度最大?最大值是多少?【答案】(1)直線y=x+4,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(8,16);(2)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(,0),(0,0),(6,0),(32,0);(3)當(dāng)M的橫坐標(biāo)為6時(shí),MN+3PM的長(zhǎng)度的最大值是18 【解析】(1)點(diǎn)A是直線與拋物線的交點(diǎn),且橫坐標(biāo)為-2,,A點(diǎn)的坐標(biāo)為(-2,1),設(shè)直線的函數(shù)關(guān)系式為y=

4、kx+b,將(0,4),(-2,1)代入得解得yx4直線與拋物線相交,解得:x=-2或x=8,當(dāng)x=8時(shí),y=16,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(8,16);(2)存在由A(2,1),B(8,16)可求得AB2=325.設(shè)點(diǎn)C(m,0),同理可得AC2(m2)212m24m5,BC2(m8)2162m216m320, 若BAC90,則AB2AC2BC2,即325m24m5m216m320,解得m; 若ACB90,則AB2AC2BC2,即325m24m5m216m320,解得m0或m6; 若ABC90,則AB2BC2AC2,即m24m5m216m320325,解得m32, 點(diǎn)C的坐標(biāo)為(,0),(0,0),(6

5、,0),(32,0) (3)設(shè)M(a,a2), 則MN,又點(diǎn)P與點(diǎn)M縱坐標(biāo)相同,x4a2,x= ,點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為,MPa,MN3PMa213(a)a23a9 (a6)218,268,當(dāng)a6時(shí),取最大值18,當(dāng)M的橫坐標(biāo)為6時(shí),MN3PM的長(zhǎng)度的最大值是18考點(diǎn)集訓(xùn)1(2019湖南中考真題)已知拋物線過(guò)點(diǎn),兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,(1)求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo);(2)過(guò)點(diǎn)A作,垂足為M,求證:四邊形ADBM為正方形;(3)點(diǎn)P為拋物線在直線BC下方圖形上的一動(dòng)點(diǎn),當(dāng)面積最大時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo);(4)若點(diǎn)Q為線段OC上的一動(dòng)點(diǎn),問(wèn):是否存在最小值?若存在,求岀這個(gè)最小值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由【答

6、案】(1)拋物線的表達(dá)式為:,頂點(diǎn);(2)證明見(jiàn)解析;(3)點(diǎn);(4)存在,的最小值為【解析】 (1)函數(shù)的表達(dá)式為:,即:,解得:,故拋物線的表達(dá)式為:,則頂點(diǎn);(2),A(1,0),B(3,0), OB=3,OA=1,AB=2,又D(2,-1),AD=BD=,AM=MB=AD=BD,四邊形ADBM為菱形,又,菱形ADBM為正方形;(3)設(shè)直線BC的解析式為y=mx+n,將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入得:,解得:,所以直線BC的表達(dá)式為:y=-x+3,過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線交BC于點(diǎn)N,設(shè)點(diǎn),則點(diǎn)N,則,故有最大值,此時(shí),故點(diǎn);(4)存在,理由:如圖,過(guò)點(diǎn)C作與y軸夾角為的直線CF交x軸于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)A作

7、,垂足為H,交y軸于點(diǎn)Q, 此時(shí),則最小值,在RtCOF中,COF=90,F(xiàn)OC=30,OC=3,tanFCO=,OF=,F(xiàn)(-,0),利用待定系數(shù)法可求得直線HC的表達(dá)式為:,COF=90,F(xiàn)OC=30,CFO=90-30=60,AHF=90,F(xiàn)AH=90-60=30,OQ=AOtanFAQ=,Q(0,),利用待定系數(shù)法可求得直線AH的表達(dá)式為:,聯(lián)立并解得:,故點(diǎn),而點(diǎn),則,即的最小值為【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合題,涉及了待定系數(shù)法,解直角三角形的應(yīng)用,正方形的判定,最值問(wèn)題等,綜合性較強(qiáng),有一定的難度,正確把握相關(guān)知識(shí),會(huì)添加常用輔助線是解題的關(guān)鍵.2(2019遼寧中考模擬)如圖,

8、已知拋物線y=ax2+bx+c的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(0,3)、B(1,0),其對(duì)稱(chēng)軸為直線l:x=2,過(guò)點(diǎn)A作ACx軸交拋物線于點(diǎn)C,AOB的平分線交線段AC于點(diǎn)E,點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),設(shè)其橫坐標(biāo)為m.(1)求拋物線的解析式; (2)若動(dòng)點(diǎn)P在直線OE下方的拋物線上,連結(jié)PE、PO,當(dāng)m為何值時(shí),四邊形AOPE面積最大,并求出其最大值; (3)如圖,F(xiàn)是拋物線的對(duì)稱(chēng)軸l上的一點(diǎn),在拋物線上是否存在點(diǎn)P使POF成為以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形?若存在,直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)y=x2-4x+3.(2)當(dāng)m=時(shí),四邊形AOPE面積最大,最大值為.(

9、3)P點(diǎn)的坐標(biāo)為 :P1(,),P2(,),P3(,),P4(,). 【解析】(1)如圖1,設(shè)拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為D,由對(duì)稱(chēng)性得:D(3,0),設(shè)拋物線的解析式為:y=a(x-1)(x-3),把A(0,3)代入得:3=3a,a=1,拋物線的解析式;y=x2-4x+3;(2)如圖2,設(shè)P(m,m2-4m+3),OE平分AOB,AOB=90,AOE=45,AOE是等腰直角三角形,AE=OA=3,E(3,3),易得OE的解析式為:y=x,過(guò)P作PGy軸,交OE于點(diǎn)G,G(m,m),PG=m-(m2-4m+3)=-m2+5m-3,S四邊形AOPE=SAOE+SPOE,=33+PGAE,=+3(-

10、m2+5m-3),=-m2+m,=(m-)2+,-0,當(dāng)m=時(shí),S有最大值是;(3)如圖3,過(guò)P作MNy軸,交y軸于M,交l于N,OPF是等腰直角三角形,且OP=PF,易得OMPPNF,OM=PN,P(m,m2-4m+3),則-m2+4m-3=2-m,解得:m=或,P的坐標(biāo)為(,)或(,);如圖4,過(guò)P作MNx軸于N,過(guò)F作FMMN于M,同理得ONPPMF,PN=FM,則-m2+4m-3=m-2,解得:x=或;P的坐標(biāo)為(,)或(,);綜上所述,點(diǎn)P的坐標(biāo)是:(,)或(,)或(,)或(,)點(diǎn)睛:本題屬于二次函數(shù)綜合題,主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用,相似三角形的判定與性質(zhì)以及解一元二次方程的方法

11、,解第(2)問(wèn)時(shí)需要運(yùn)用配方法,解第(3)問(wèn)時(shí)需要運(yùn)用分類(lèi)討論思想和方程的思想解決問(wèn)題3(2019四川中考真題)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知拋物線與直線都經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn),該拋物線的頂點(diǎn)為C(1)求此拋物線和直線的解析式;(2)設(shè)直線與該拋物線的對(duì)稱(chēng)軸交于點(diǎn)E,在射線上是否存在一點(diǎn)M,過(guò)M作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)N,使點(diǎn)M、N、C、E是平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)?若存在,求點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;(3)設(shè)點(diǎn)P是直線下方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn),當(dāng)面積最大時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo),并求面積的最大值【答案】(1)拋物線的解析式為,直線的解析式為,(2)或(3)當(dāng)時(shí),面積的最大值是,此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為【解析】解:(1)

12、拋物線經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn),拋物線的解析式為,直線經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn),解得:,直線的解析式為,(2),拋物線的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為,軸,如圖,若點(diǎn)M在x軸下方,四邊形為平行四邊形,則,設(shè),則,解得:,(舍去),如圖,若點(diǎn)M在x軸上方,四邊形為平行四邊形,則,設(shè),則,解得:,(舍去),綜合可得M點(diǎn)的坐標(biāo)為或(3)如圖,作軸交直線于點(diǎn)G,設(shè),則,當(dāng)時(shí),面積的最大值是,此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題,考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式,二次函數(shù)求最值問(wèn)題,以及二次函數(shù)與平行四邊形、三角形面積有關(guān)的問(wèn)題4(2019內(nèi)蒙古中考真題)已知,如圖,拋物線的頂點(diǎn)為,經(jīng)過(guò)拋物線上的兩點(diǎn)和的直線交拋物線的對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)(1)求拋物線的

13、解析式和直線的解析式(2)在拋物線上兩點(diǎn)之間的部分(不包含兩點(diǎn)),是否存在點(diǎn),使得?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由(3)若點(diǎn)在拋物線上,點(diǎn)在軸上,當(dāng)以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí),直接寫(xiě)出滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)【答案】(1)拋物線的表達(dá)式為:,直線的表達(dá)式為:;(2)存在,理由見(jiàn)解析;點(diǎn)或或或【解析】解:(1)二次函數(shù)表達(dá)式為:,將點(diǎn)的坐標(biāo)代入上式并解得:,故拋物線的表達(dá)式為:,則點(diǎn),將點(diǎn)的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式并解得:直線的表達(dá)式為:;(2)存在,理由:二次函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸為:,則點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作軸的平行線交于點(diǎn),設(shè)點(diǎn),點(diǎn),則,解得:或5(舍去5),故點(diǎn);(3)設(shè)點(diǎn)、點(diǎn),當(dāng)是平行四邊形的一條邊

14、時(shí),點(diǎn)向左平移4個(gè)單位向下平移16個(gè)單位得到,同理,點(diǎn)向左平移4個(gè)單位向下平移16個(gè)單位為,即為點(diǎn),即:,而,解得:或4,故點(diǎn)或;當(dāng)是平行四邊形的對(duì)角線時(shí),由中點(diǎn)公式得:,而,解得:,故點(diǎn)或;綜上,點(diǎn)或或或【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用,涉及到一次函數(shù)、平行四邊形性質(zhì)、圖形的面積計(jì)算等,其中(3),要注意分類(lèi)求解,避免遺漏5(2019青海中考真題)如圖1(注:與圖2完全相同),在直角坐標(biāo)系中,拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)三點(diǎn),(1)求拋物線的解析式和對(duì)稱(chēng)軸;(2)是拋物線對(duì)稱(chēng)軸上的一點(diǎn),求滿足的值為最小的點(diǎn)坐標(biāo)(請(qǐng)?jiān)趫D1中探索);(3)在第四象限的拋物線上是否存在點(diǎn),使四邊形是以為對(duì)角線且面積為的平行四

15、邊形?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)坐標(biāo),若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由.(請(qǐng)?jiān)趫D2中探索)【答案】(1),函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為:;(2)點(diǎn);(3)存在,點(diǎn)的坐標(biāo)為或【解析】解:根據(jù)點(diǎn),的坐標(biāo)設(shè)二次函數(shù)表達(dá)式為:,拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn),則,解得:,拋物線的表達(dá)式為: ,函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為:;連接交對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn),此時(shí)的值為最小,設(shè)BC的解析式為:,將點(diǎn)的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式:得:解得:直線的表達(dá)式為:,當(dāng)時(shí),故點(diǎn); 存在,理由:四邊形是以為對(duì)角線且面積為的平行四邊形,則 ,點(diǎn)在第四象限,故:則,將該坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式得:,解得:或,故點(diǎn)的坐標(biāo)為或【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)綜合運(yùn)用,涉及到一次函數(shù)、平行四邊形性質(zhì)、圖形的面積計(jì)算等,其中,

16、求線段和的最小值,采取用的是點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)性求解,這也是此類(lèi)題目的一般解法6(2019遼寧中考模擬)如圖,拋物線(a0)交x軸于A、B兩點(diǎn),A點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0),與y軸交于點(diǎn)C(0,4),以O(shè)C、OA為邊作矩形OADC交拋物線于點(diǎn)G(1)求拋物線的解析式;(2)拋物線的對(duì)稱(chēng)軸l在邊OA(不包括O、A兩點(diǎn))上平行移動(dòng),分別交x軸于點(diǎn)E,交CD于點(diǎn)F,交AC于點(diǎn)M,交拋物線于點(diǎn)P,若點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m,請(qǐng)用含m的代數(shù)式表示PM的長(zhǎng);(3)在(2)的條件下,連結(jié)PC,則在CD上方的拋物線部分是否存在這樣的點(diǎn)P,使得以P、C、F為頂點(diǎn)的三角形和AEM相似?若存在,求出此時(shí)m的值,并直接判斷PCM的形狀;若不存

17、在,請(qǐng)說(shuō)明理由【答案】(1)拋物線的解析式為;(2)PM=(0m3);(3)存在這樣的點(diǎn)P使PFC與AEM相似此時(shí)m的值為或1,PCM為直角三角形或等腰三角形【解析】解:(1)拋物線(a0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(3,0),點(diǎn)C(0,4),解得拋物線的解析式為(2)設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b,A(3,0),點(diǎn)C(0,4),解得直線AC的解析式為點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m,點(diǎn)M在AC上,M點(diǎn)的坐標(biāo)為(m,)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m,點(diǎn)P在拋物線上,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m,)PM=PEME=()()=PM=(0m3)(3)在(2)的條件下,連接PC,在CD上方的拋物線部分存在這樣的點(diǎn)P,使得以P、C、F為頂點(diǎn)的三角形和AEM相似

18、理由如下:由題意,可得AE=3m,EM=,CF=m,PF=,若以P、C、F為頂點(diǎn)的三角形和AEM相似,分兩種情況:若PFCAEM,則PF:AE=FC:EM,即():(3m)=m:(),m0且m3,m=PFCAEM,PCF=AMEAME=CMF,PCF=CMF在直角CMF中,CMF+MCF=90,PCF+MCF=90,即PCM=90PCM為直角三角形若CFPAEM,則CF:AE=PF:EM,即m:(3m)=():(),m0且m3,m=1CFPAEM,CPF=AMEAME=CMF,CPF=CMFCP=CMPCM為等腰三角形綜上所述,存在這樣的點(diǎn)P使PFC與AEM相似此時(shí)m的值為或1,PCM為直角三

19、角形或等腰三角形7(2019貴州中考真題)如圖,拋物線C1:yx22x與拋物線C2:yax2+bx開(kāi)口大小相同、方向相反,它們相交于O,C兩點(diǎn),且分別與x軸的正半軸交于點(diǎn)B,點(diǎn)A,OA2OB(1)求拋物線C2的解析式;(2)在拋物線C2的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)P,使PA+PC的值最小?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo),若不存在,說(shuō)明理由;(3)M是直線OC上方拋物線C2上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接MO,MC,M運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí),MOC面積最大?并求出最大面積【答案】(1)yx2+4x;(2)線段AC的長(zhǎng)度;(3)SMOC最大值為【解析】(1)令:yx22x0,則x0或2,即點(diǎn)B(2,0),C1、C2:yax2+bx開(kāi)

20、口大小相同、方向相反,則a1,則點(diǎn)A(4,0),將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入C2的表達(dá)式得:016+4b,解得:b4,故拋物線C2的解析式為:yx2+4x;(2)聯(lián)立C1、C2表達(dá)式并解得:x0或3,故點(diǎn)C(3,3),作點(diǎn)C關(guān)于C1對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C(1,3),連接AC交函數(shù)C2的對(duì)稱(chēng)軸與點(diǎn)P,此時(shí)PA+PC的值最小為:線段AC的長(zhǎng)度;(3)直線OC的表達(dá)式為:yx,過(guò)點(diǎn)M作y軸的平行線交OC于點(diǎn)H,設(shè)點(diǎn)M(x,x2+4x),則點(diǎn)H(x,x),則SMOCMHxC(x2+4xx)x2,0,故x,SMOC最大值為【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求解析式,還考查了三角形的面積,要注意將三角形分解成兩個(gè)三角形求解;還要

21、注意求最大值可以借助于二次函數(shù)8(2019山東中考真題)若二次函數(shù)的圖象與軸分別交于點(diǎn)、,且過(guò)點(diǎn).(1)求二次函數(shù)表達(dá)式;(2)若點(diǎn)為拋物線上第一象限內(nèi)的點(diǎn),且,求點(diǎn)的坐標(biāo);(3)在拋物線上(下方)是否存在點(diǎn),使?若存在,求出點(diǎn)到軸的距離;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(l) ;(2)點(diǎn)的坐標(biāo)為;(3)點(diǎn)到軸的距離為 .【解析】(l)因?yàn)閽佄锞€過(guò)點(diǎn),又因?yàn)閽佄锞€過(guò)點(diǎn), 解,得 所以,拋物線表達(dá)式為 (2)連接,設(shè)點(diǎn).則 由題意得 或(舍) 點(diǎn)的坐標(biāo)為.(3)設(shè)直線的表達(dá)式為,因直線過(guò)點(diǎn)、,解,得 所以的表達(dá)式為 設(shè)存在點(diǎn)滿足題意,點(diǎn)的坐標(biāo)為,過(guò)點(diǎn)作軸,垂足為,作軸交于點(diǎn),則的坐標(biāo)為,.又軸 又

22、 .在中解得: 所以點(diǎn)到軸的距離為【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合性問(wèn)題,難度系數(shù)高,但是是中考的必考知識(shí)點(diǎn),應(yīng)當(dāng)熟練地掌握.9(2019江蘇中考模擬)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)交軸于點(diǎn)、,交軸于點(diǎn),在軸上有一點(diǎn),連接. (1)求二次函數(shù)的表達(dá)式;(2)若點(diǎn)為拋物線在軸負(fù)半軸上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求面積的最大值;(3)拋物線對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn),使為等腰三角形,若存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出所有點(diǎn)的坐標(biāo),若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)二次函數(shù)的解析式為;(2)當(dāng)時(shí),的面積取得最大值;(3)點(diǎn)的坐標(biāo)為,.【解析】(1)二次函數(shù)y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(4,0)、B(2,0),C(0,6)

23、,解得:,所以二次函數(shù)的解析式為:y=;(2)由A(4,0),E(0,2),可求AE所在直線解析式為y=,過(guò)點(diǎn)D作DNx軸,交AE于點(diǎn)F,交x軸于點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)E作EHDF,垂足為H,如圖, 設(shè)D(m,),則點(diǎn)F(m,),DF=()=,SADE=SADF+SEDF=DFAG+DFEH =DFAG+DFEH =4DF =2() =,當(dāng)m=時(shí),ADE的面積取得最大值為 (3)y=的對(duì)稱(chēng)軸為x=1,設(shè)P(1,n),又E(0,2),A(4,0),可求PA=,PE=,AE=,分三種情況討論:當(dāng)PA=PE時(shí),=,解得:n=1,此時(shí)P(1,1); 當(dāng)PA=AE時(shí),=,解得:n=,此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為(1,); 當(dāng)PE

24、=AE時(shí),=,解得:n=2,此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為:(1,2) 綜上所述:P點(diǎn)的坐標(biāo)為:(1,1),(1,),(1,2)點(diǎn)睛:本題主要考查二次函數(shù)的綜合問(wèn)題,會(huì)求拋物線解析式,會(huì)運(yùn)用二次函數(shù)分析三角形面積的最大值,會(huì)分類(lèi)討論解決等腰三角形的頂點(diǎn)的存在問(wèn)題時(shí)解決此題的關(guān)鍵10(2019四川中考真題)如圖,頂點(diǎn)為的二次函數(shù)圖象與x軸交于點(diǎn),點(diǎn)B在該圖象上,交其對(duì)稱(chēng)軸l于點(diǎn)M,點(diǎn)M、N關(guān)于點(diǎn)P對(duì)稱(chēng),連接、(1)求該二次函數(shù)的關(guān)系式(2)若點(diǎn)B在對(duì)稱(chēng)軸l右側(cè)的二次函數(shù)圖象上運(yùn)動(dòng),請(qǐng)解答下列問(wèn)題:連接,當(dāng)時(shí),請(qǐng)判斷的形狀,并求出此時(shí)點(diǎn)B的坐標(biāo)求證:【答案】(1)二次函數(shù)的關(guān)系式為;(2)是等腰直角三角形,此時(shí)點(diǎn)

25、B坐標(biāo)為;見(jiàn)解析【解析】解:(1)二次函數(shù)頂點(diǎn)為設(shè)頂點(diǎn)式二次函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn),解得:二次函數(shù)的關(guān)系式為(2)設(shè)直線解析式為:交對(duì)稱(chēng)軸l于點(diǎn)M當(dāng)時(shí),點(diǎn)M、N關(guān)于點(diǎn)P對(duì)稱(chēng),即解得:,B,是等腰直角三角形,此時(shí)點(diǎn)B坐標(biāo)為證明:如圖,設(shè)直線與x軸交于點(diǎn)D、設(shè)直線解析式為 解得:直線:當(dāng)時(shí),解得:,軸垂直平分【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)綜合,解題的關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法求解析式,再由題意得到等式進(jìn)行計(jì)算.11(2019山西中考真題)綜合與探究如圖,拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-2,0),B(4,0)兩點(diǎn),與軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)D是拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為.連接AC,BC,DB,DC,(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式;(2)BC

26、D的面積等于AOC的面積的時(shí),求的值;(3)在(2)的條件下,若點(diǎn)M是軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)N是拋物線上一動(dòng)點(diǎn),試判斷是否存在這樣的點(diǎn)M,使得以點(diǎn)B,D,M,N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,若存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1);(2)3;(3).【解析】 (1)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-2,0),B(4,0),解得,拋物線的函數(shù)表達(dá)式為;(2)作直線DE軸于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)G,作CFDE,垂足為F,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2,0),OA=2,由,得,點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,6),OC=6,SOAC=,SBCD=SAOC,SBCD =,設(shè)直線BC的函數(shù)表達(dá)式為,由B,C兩點(diǎn)的坐標(biāo)得,解得,直線

27、BC的函數(shù)表達(dá)式為,點(diǎn)G的坐標(biāo)為,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,0),OB=4,SBCD=SCDG+SBDG=,SBCD =,解得(舍),的值為3;(3)存在,如下圖所示,以BD為邊或者以BD為對(duì)角線進(jìn)行平行四邊形的構(gòu)圖,以BD為邊時(shí),有3種情況,D點(diǎn)坐標(biāo)為,點(diǎn)N點(diǎn)縱坐標(biāo)為,當(dāng)點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為時(shí),如點(diǎn)N2,此時(shí),解得:(舍),;當(dāng)點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為時(shí),如點(diǎn)N3,N4,此時(shí),解得:,;以BD為對(duì)角線時(shí),有1種情況,此時(shí)N1點(diǎn)與N2點(diǎn)重合,D(3,),N1D=4,BM1=N1D=4,OM1=OB+BM1=8,M1(8,0),綜上,點(diǎn)M的坐標(biāo)為:.【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)的綜合題,涉及了待定系數(shù)法、三角形的面積、

28、解一元二次方程、平行四邊形的性質(zhì)等知識(shí),運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合思想、分類(lèi)討論思想等數(shù)學(xué)思想,熟練掌握和靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.12(2019四川中考真題)如圖,拋物線過(guò)點(diǎn),且與直線交于B、C兩點(diǎn),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1)求拋物線的解析式;(2)點(diǎn)D為拋物線上位于直線上方的一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)D作軸交直線于點(diǎn)E,點(diǎn)P為對(duì)稱(chēng)軸上一動(dòng)點(diǎn),當(dāng)線段的長(zhǎng)度最大時(shí),求的最小值;(3)設(shè)點(diǎn)M為拋物線的頂點(diǎn),在y軸上是否存在點(diǎn)Q,使?若存在,求點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由【答案】(1)拋物線的解析式;(2)的最小值為;(3)點(diǎn)Q的坐標(biāo):、【解析】解:(1)將點(diǎn)B的坐標(biāo)為代入,B的坐標(biāo)為,將,代入,解得,拋物線的解析式;(2)

29、設(shè),則,當(dāng)時(shí),有最大值為2,此時(shí),作點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn),連接,與對(duì)稱(chēng)軸交于點(diǎn)P,此時(shí)最小,即的最小值為;(3)作軸于點(diǎn)H,連接、,拋物線的解析式,可知外接圓的圓心為H,設(shè),則,或符合題意的點(diǎn)Q的坐標(biāo):、【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù),熟練運(yùn)用二次函數(shù)的圖象的性質(zhì)與一次函數(shù)的性質(zhì)以及圓周角定理是解題的關(guān)鍵13(2019湖南中考真題)如圖,拋物線與x軸交于點(diǎn),點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,且過(guò)點(diǎn)點(diǎn)P、Q是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)(1)求拋物線的解析式;(2)當(dāng)點(diǎn)P在直線OD下方時(shí),求面積的最大值(3)直線OQ與線段BC相交于點(diǎn)E,當(dāng)與相似時(shí),求點(diǎn)Q的坐標(biāo)【答案】(1)拋物線的表達(dá)式為:;(2)有最大值,當(dāng)時(shí),其最大值

30、為;(3)點(diǎn)或【解析】解:(1)函數(shù)的表達(dá)式為:,將點(diǎn)D坐標(biāo)代入上式并解得:,故拋物線的表達(dá)式為:;(2)設(shè)直線PD與y軸交于點(diǎn)G,設(shè)點(diǎn),將點(diǎn)P、D的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式:并解得:直線PD的表達(dá)式為:,則,故有最大值,當(dāng)時(shí),其最大值為;(3),故與相似時(shí),分為兩種情況:當(dāng)時(shí),過(guò)點(diǎn)A作AHBC與點(diǎn)H,解得:,則,則,則直線OQ的表達(dá)式為:,聯(lián)立并解得:(舍去負(fù)值),故點(diǎn)時(shí),則直線OQ的表達(dá)式為:,聯(lián)立并解得:,故點(diǎn);綜上,點(diǎn)或【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用,涉及到解直角三角形、三角形相似、面積的計(jì)算等,其中(3),要注意分類(lèi)求解,避免遺漏14(2019山東中考模擬)已知:如圖,拋物線y=

31、ax2+bx+c與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A(0,6),B(6,0),C(2,0),點(diǎn)P是線段AB上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(1)求拋物線的解析式;(2)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí),PAB的面積有最大值?(3)過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線,交線段AB于點(diǎn)D,再過(guò)點(diǎn)P做PEx軸交拋物線于點(diǎn)E,連結(jié)DE,請(qǐng)問(wèn)是否存在點(diǎn)P使PDE為等腰直角三角形?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由【答案】(1)拋物線解析式為y=x2+2x+6;(2)當(dāng)t=3時(shí),PAB的面積有最大值;(3)點(diǎn)P(4,6)【解析】(1)拋物線過(guò)點(diǎn)B(6,0)、C(2,0),設(shè)拋物線解析式為y=a(x6)(x+2),將點(diǎn)A(0,6)代入,得:12a=6,

32、解得:a=,所以拋物線解析式為y=(x6)(x+2)=x2+2x+6;(2)如圖1,過(guò)點(diǎn)P作PMOB與點(diǎn)M,交AB于點(diǎn)N,作AGPM于點(diǎn)G,設(shè)直線AB解析式為y=kx+b,將點(diǎn)A(0,6)、B(6,0)代入,得:,解得:,則直線AB解析式為y=x+6,設(shè)P(t,t2+2t+6)其中0t6,則N(t,t+6),PN=PMMN=t2+2t+6(t+6)=t2+2t+6+t6=t2+3t,SPAB=SPAN+SPBN=PNAG+PNBM=PN(AG+BM)=PNOB=(t2+3t)6=t2+9t=(t3)2+,當(dāng)t=3時(shí),PAB的面積有最大值;(3)PDE為等腰直角三角形,則PE=PD,點(diǎn)P(m,-m2+2m+6),函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為:x=2,則點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為:4-m,則PE=|2m-4|,即-m2+2m+6+m-6=|2m-4|,解得:m=4或-2或5+或5-(舍去-2和5+)故點(diǎn)P的坐標(biāo)為:(4,6)或(5-,3-5)【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合問(wèn)題,涉及到待定系數(shù)法、二次函數(shù)的最值、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等,熟練掌握和靈活運(yùn)用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等是解題的關(guān)鍵.

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