2020年中考數(shù)學基礎(chǔ)題型提分講練 專題20 以相似三角形為背景的證明與計算(含解析)

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1、專題20 以相似三角形為背景的證明與計算考點分析【例1】(2019遼寧中考真題)已知,在RtABC中,ACB90,D是BC邊上一點,連接AD,分別以CD和AD為直角邊作RtCDE和RtADF,使DCEADF90,點E,F(xiàn)在BC下方,連接EF(1)如圖1,當BCAC,CECD,DFAD時,求證:CADCDF,BDEF;(2)如圖2,當BC2AC,CE2CD,DF2AD時,猜想BD和EF之間的數(shù)量關(guān)系?并說明理由【答案】(1)見解析;見解析;(2)BDEF,理由見解析.【解析】(1)證明:ACB90,CAD+ADC90,CDF+ADC90,CADCDF;作FHBC交BC的延長線于H,則四邊形FEC

2、H為矩形,CHEF,在ACD和DHF中,即,;(2),理由如下:作交的延長線于,則四邊形為矩形,即,GF2CD,BC2AC,CE2CD,BCDG,GFCE,BDCG,GFCE,GFCE,G90,四邊形FECG為矩形,CGEF,BDEF【點睛】此題考查相似三角形的判定與性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),矩形的判定與性質(zhì),解題關(guān)鍵在于作輔助線和掌握各判定定理.【例2】 (2019遼寧中考真題)如圖,中,DE垂直平分AB,交線段BC于點E(點E與點C不重合),點F為AC上一點,點G為AB上一點(點G與點A不重合),且(1)如圖1,當時,線段AG和CF的數(shù)量關(guān)系是 (2)如圖2,當時,猜想線段AG和CF的

3、數(shù)量關(guān)系,并加以證明(3)若,請直接寫出CF的長【答案】(1);(2),理由見解析;(3)2.5或5【解析】解:(1)相等,理由:如圖1,連接AE,DE垂直平分AB,;故答案為:;(2),理由:如圖2,連接AE,DE垂直平分AB,在中,;(3)當G在DA上時,如圖3,連接AE,DE垂直平分AB,過A作于點H,;當點G在BD上,如圖4,同(1)可得,綜上所述,CF的長為2.5或5【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì),線段垂直平分線的性質(zhì),全等三角形的判定和性質(zhì),相似三角形的判定和性質(zhì),正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵考點集訓1(2019山東中考真題)如圖1,在RtABC中,B=90,BC=2AB=8,

4、點D,E分別是邊BC,AC的中點,連接DE,將EDC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn),記旋轉(zhuǎn)角為.(1)問題發(fā)現(xiàn) 當時, ; 當時, (2)拓展探究試判斷:當0360時,的大小有無變化?請僅就圖2的情況給出證明.(3)問題解決當EDC旋轉(zhuǎn)至A、D、E三點共線時,直接寫出線段BD的長.【答案】(1),.(2)無變化;理由參見解析.(3),.【解析】(1)當=0時,RtABC中,B=90,AC=,點D、E分別是邊BC、AC的中點,,BD=82=4,如圖1,當=180時,可得ABDE,(2)如圖2,當0360時,的大小沒有變化,ECD=ACB,ECA=DCB,又,ECADCB,(3)如圖3,AC=4,CD=4

5、,CDAD,AD=AD=BC,AB=DC,B=90,四邊形ABCD是矩形,BD=AC=如圖4,連接BD,過點D作AC的垂線交AC于點Q,過點B作AC的垂線交AC于點P,AC=,CD=4,CDAD,AD=,點D、E分別是邊BC、AC的中點,DE=2,AE=AD-DE=8-2=6,由(2),可得,BD=綜上所述,BD的長為或2(2019江蘇初三期末)如圖,四邊形ABCD中,AC平分DAB,ADC=ACB=90,E為AB的中點,(1)求證:AC2=ABAD;(2)求證:CEAD;(3)若AD=4,AB=6,求的值【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【解析】解:(1)證明:AC平分DABDAC=CA

6、BADC=ACB=90ADCACB即AC2=ABAD(2)證明:E為AB的中點CE=AB=AEEAC=ECADAC=CABDAC=ECACEAD(3)CEADAFDCFECE=ABCE=6=3AD=43(2019四川中考真題)如圖,DB平分ADC,過點B作交AD于M連接CM交DB于N(1)求證:;(2)若,求MN的長【答案】(1)見解析;(2).【解析】證明:(1)DB平分,且,(2),且,且,且【點睛】考查了相似三角形的判定和性質(zhì),勾股定理,直角三角形的性質(zhì),求MC的長度是本題的關(guān)鍵4(2019江蘇泰州中學附屬初中初三月考)如圖,RtABC中,ACB=90,AC=6cm,BC=8cm動點M從

7、點B出發(fā),在BA邊上以每秒3cm的速度向定點A運動,同時動點N從點C出發(fā),在CB邊上以每秒2cm的速度向點B運動,運動時間為t秒(0t),連接MN(1)若BMN與ABC相似,求t的值;(2)連接AN,CM,若ANCM,求t的值【答案】(1)BMN與ABC相似時,t的值為或;(2)t=【解析】(1)由題意知,BM=3tcm,CN=2tcm,BN=(82t)cm,BA=10(cm),當BMNBAC時,解得:t=;當BMNBCA時,解得:t=,BMN與ABC相似時,t的值為或;(2)過點M作MDCB于點D,由題意得:DM=BMsinB=(cm),BD=BMcosB=(cm),BM=3tcm,CN=2

8、tcm,CD=()cm,ANCM,ACB=90,CAN+ACM=90,MCD+ACM=90,CAN=MCD,MDCB,MDC=ACB=90,CANDCM,解得t=考點:1相似三角形的判定與性質(zhì);2解直角三角形;3動點型;4分類討論;5綜合題;6壓軸題5(2019湖北中考真題)在中,是上一點,連接(1)如圖1,若,是延長線上一點,與垂直,求證:(2)過點作,為垂足,連接并延長交于點.如圖2,若,求證:如圖3,若是的中點,直接寫出的值(用含的式子表示)【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析;【解析】 (1)延長交于點,與垂直,;(2)過點作交的延長線于點,與垂直,由(1),得,即; 過點C作C

9、D/BP交AB的延長線于點D,延長AM交CD于點H,PCH=BPQ,BPM=CHM=90,又BMP=CMH,BM=CM,BPMCHM,BP=CH,PM=HM,PH=2PM,PMB=BMA,ABM=BPM=90,ABMBPM,在RtPCH中,tanPCH=,tanBPQ=,又BC=2BM,tanBPQ=.【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì),三角函數(shù),正確添加輔助線,熟練掌握和靈活運用相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.注意數(shù)形結(jié)合思想的運用.6(2019遼寧初三期中)如圖,在ABC中,AB=AC,點P、D分別是BC、AC邊上的點,且APD=B,(1)求證:ACCD=CPBP;(2

10、)若AB=10,BC=12,當PDAB時,求BP的長【答案】(1)證明見解析;(2). 【解析】解:(1)AB=AC,B=CAPD=B,APD=B=CAPC=BAP+B,APC=APD+DPC,BAP=DPC,ABPPCD,ABCD=CPBPAB=AC,ACCD=CPBP;(2)PDAB,APD=BAPAPD=C,BAP=CB=B,BAPBCA,AB=10,BC=12,BP=“點睛”本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)等知識,把證明ACCD=CPBP轉(zhuǎn)化為證明ABCD=CPBP是解決第(1)小題的關(guān)鍵,證到BAP=C進而得到BAPBCA是解決第

11、(2)小題的關(guān)鍵7(2019山西初三期末)如圖,ABC和ADE是有公共頂點的等腰直角三角形,BAC=DAE=90,點P為射線BD,CE的交點(1)求證:BD=CE;(2)若AB=2,AD=1,把ADE繞點A旋轉(zhuǎn),當EAC=90時,求PB的長;【答案】(1)證明見解析;(2)PB的長為或【解析】解:(1)ABC和ADE是等腰直角三角形,BAC=DAE=90,AB=AC,AD=AE,DAB=CAE,ADBAEC,BD=CE(2)解:當點E在AB上時,BE=ABAE=1EAC=90,CE=同(1)可證ADBAEC,DBA=ECAPEB=AEC,PEBAEC,PB=當點E在BA延長線上時,BE=3EA

12、C=90,CE=同(1)可證ADBAEC,DBA=ECABEP=CEA,PEBAEC,PB=綜上所述,PB的長為或【點睛】本題主要考查的是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定、相似三角形的性質(zhì)和判定,證明得PEBAEC是解題的關(guān)鍵8(2019山東初三)如圖,在四邊形ABCD中,ACBD于點E,AB=AC=BD,點M為BC中點,N為線段AM上的點,且MB=MN.(1)求證:BN平分ABE; (2)若BD=1,連結(jié)DN,當四邊形DNBC為平行四邊形時,求線段BC的長; (3)如圖,若點F為AB的中點,連結(jié)FN、FM,求證:MFNBDC【答案】(1)證明見解析;(2);(3)證明見解

13、析. 【解析】(1)AB=AC,ABC=ACB,M為BC的中點,AMBC,在RtABM中,MAB+ABC=90,在RtCBE中,EBC+ACB=90,MAB=EBC,又MB=MN,MBN為等腰直角三角形,MNB=MBN=45,EBC+NBE=45,MAB+ABN=MNB=45,NBE=ABN,即BN平分ABE;(2)設(shè)BM=CM=MN=a,四邊形DNBC是平行四邊形,DN=BC=2a,在ABN和DBN中,ABNDBN(SAS),AN=DN=2a,在RtABM中,由AM2+MB2=AB2可得(2a+a)2+a2=1,解得:a=(負值舍去),BC=2a=;(3)F是AB的中點,在RtMAB中,MF

14、=AF=BF,MAB=FMN,又MAB=CBD,F(xiàn)MN=CBD,MFNBDC點睛:本題主要考查相似形的綜合問題,解題的關(guān)鍵是掌握等腰三角形三線合一的性質(zhì)、直角三角形和平行四邊形的性質(zhì)及全等三角形與相似三角形的判定與性質(zhì)等知識點9(2019河南中考真題)在,點P是平面內(nèi)不與點A,C重合的任意一點連接AP,將線段AP繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段DP,連接AD,BD,CP(1)觀察猜想如圖1,當時,的值是 ,直線BD與直線CP相交所成的較小角的度數(shù)是 (2)類比探究如圖2,當時,請寫出的值及直線BD與直線CP相交所成的小角的度數(shù),并就圖2的情形說明理由(3)解決問題當時,若點E,F(xiàn)分別是CA,CB的中點

15、,點P在直線EF上,請直接寫出點C,P,D在同一直線上時的值【答案】(1)1,(2)45(3),【解析】解:(1)如圖1中,延長CP交BD的延長線于E,設(shè)AB交EC于點O,線BD與直線CP相交所成的較小角的度數(shù)是,故答案為1,(2)如圖2中,設(shè)BD交AC于點O,BD交PC于點E,直線BD與直線CP相交所成的小角的度數(shù)為(3)如圖31中,當點D在線段PC上時,延長AD交BC的延長線于H,A,D,C,B四點共圓,設(shè),則,c如圖32中,當點P在線段CD上時,同法可證:,設(shè),則,【點睛】本題屬于相似形綜合題,考查了旋轉(zhuǎn)變換,等邊三角形的性質(zhì),等腰直角三角形的性質(zhì),全等三角形的判定和性質(zhì),相似三角形的判

16、定和性質(zhì)等知識,解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形或相似三角形解決問題,學會用分類討論的思想思考問題,屬于中考壓軸題10(2019山東初三期中)如圖1,在四邊形ABCD中,點E、F分別是AB、CD的中點,過點E作AB的垂線,過點F作CD的垂線,兩垂線交于點G,連接AG、BG、CG、DG,且AGDBGC(1)求證:ADBC;(2)求證:AGDEGF;(3)如圖2,若AD、BC所在直線互相垂直,求的值【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3)【解析】(1)GE是AB的垂直平分線,GA=GB同理GD=GC在AGD和BGC中,GA=GB,AGD=BGC,GD=GC, AGDBGCAD=BC(2)AGD=B

17、GC, AGB=DGC在AGB和DGC中,AGB=DGC, AGBDGC,又AGE=DGF,AGD=EGF,AGDEGF(3)如圖,延長AD交GB于點M,交BC的延長線于點H,則AHBH由AGDBGC,知GAD=GBC,在GAM和HBM中,GAD=GBC,GMA=HMBAGB=AHB=90,AGE=AGB=45,又AGDEGF,11(2019溫江中學實驗學校初三期中)如圖,ABC與CDE是等腰直角三角形,直角邊AC、CD在同一條直線上,點M、N分別是斜邊AB、DE的中點,點P為AD的中點,連接AE、BD(1)猜想PM與PN的數(shù)量關(guān)系及位置關(guān)系,請直接寫出結(jié)論;(2)現(xiàn)將圖中的CDE繞著點C順時

18、針旋轉(zhuǎn)(090),得到圖,AE與MP、BD分別交于點G、H請判斷(1)中的結(jié)論是否成立?若成立,請證明;若不成立,請說明理由;(3)若圖中的等腰直角三角形變成直角三角形,使BC=kAC,CD=kCE,如圖,寫出PM與PN的數(shù)量關(guān)系,并加以證明【答案】(1)PM=PN,PMPN,理由見解析;(2)理由見解析;(3)PM=kPN;理由見解析【解析】(1)PM=PN,PMPN,理由如下:ACB和ECD是等腰直角三角形, AC=BC,EC=CD,ACB=ECD=90在ACE和BCD中, ACEBCD(SAS), AE=BD,EAC=CBD,點M、N分別是斜邊AB、DE的中點,點P為AD的中點, PM=

19、BD,PN=AE,PM=PM, NPD=EAC,MPN=BDC,EAC+BDC=90, MPA+NPC=90,MPN=90, 即PMPN;(2)ACB和ECD是等腰直角三角形, AC=BC,EC=CD,ACB=ECD=90ACB+BCE=ECD+BCE ACE=BCD ACEBCD AE=BD,CAE=CBD 又AOC=BOE,CAE=CBD, BHO=ACO=90點P、M、N分別為AD、AB、DE的中點, PM=BD,PMBD; PN=AE,PNAEPM=PN MGE+BHA=180 MGE=90 MPN=90 PMPN (3)PM=kPN ACB和ECD是直角三角形, ACB=ECD=90

20、 ACB+BCE=ECD+BCEACE=BCD BC=kAC,CD=kCE, =k BCDACE BD=kAE點P、M、N分別為AD、AB、DE的中點, PM=BD,PN=AE PM=kPN考點:相似形綜合題12(2019山東初三期中)(提出問題)(1)如圖1,在等邊ABC中,點M是BC上的任意一點(不含端點B、C),連結(jié)AM,以AM為邊作等邊AMN,連結(jié)CN求證:ABC=ACN(類比探究)(2)如圖2,在等邊ABC中,點M是BC延長線上的任意一點(不含端點C),其它條件不變,(1)中結(jié)論ABC=ACN還成立嗎?請說明理由(拓展延伸)(3)如圖3,在等腰ABC中,BA=BC,點M是BC上的任意

21、一點(不含端點B、C),連結(jié)AM,以AM為邊作等腰AMN,使頂角AMN=ABC連結(jié)CN試探究ABC與ACN的數(shù)量關(guān)系,并說明理由【答案】見解析【解析】解:(1)證明:ABC、AMN是等邊三角形,AB=AC,AM=AN,BAC=MAN=60BAM=CAN在BAM和CAN中,BAMCAN(SAS)ABC=ACN(2)結(jié)論ABC=ACN仍成立理由如下:ABC、AMN是等邊三角形,AB=AC,AM=AN,BAC=MAN=60BAM=CAN在BAM和CAN中,BAMCAN(SAS)ABC=ACN(3)ABC=ACN理由如下:BA=BC,MA=MN,頂角ABC=AMN,底角BAC=MANABCAMN又BA

22、M=BACMAC,CAN=MANMAC,BAM=CAN.BAMCANABC=ACN13(2019福建省莆田擢英中學初三月考)如圖,在RtABC中,C=90,點P為AC邊上的一點,將線段AP繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)(點P對應(yīng)點P),當AP旋轉(zhuǎn)至APAB時,點B、P、P恰好在同一直線上,此時作PEAC于點E(1)求證:CBP=ABP;(2)求證:AE=CP;(3)當,BP=時,求線段AB的長【解析】(1)證明:AP是AP旋轉(zhuǎn)得到,AP=AP,APP=APP,C=90,APAB,CBP+BPC=90,ABP+APP=90,又BPC=APP,CBP=ABP;(2)證明:如圖,過點P作PDAB于D,CBP=

23、ABP,C=90,CP=DP,PEAC,EAP+APE=90,又PAD+EAP=90,PAD=APE,在APD和PAE中,APDPAE(AAS),AE=DP,AE=CP;(3)解:,設(shè)CP=3k,PE=2k,則AE=CP=3k,AP=AP=3k+2k=5k,在RtAEP中,PE=4k,C=90,PEAC,CBP+BPC=90,EPP+EPP=90,BPC=EPP,CBP=EPP,又CBP=ABP,ABP=EPP,又BAP=PEP=90,ABPEPP,即,解得PA=AB,在RtABP中,AB2+PA2=BP2,即AB2+AB2=(5)2,解得AB=10考點:1.全等三角形的判定與性質(zhì);2.角平分

24、線的性質(zhì);3.勾股定理;4.相似三角形的判定與性質(zhì)14(2019遼寧中考真題)如圖1,在中,點M是AB的中點,連接MC,點P是線段BC延長線上一點,且,連接MP交AC于點H將射線MP繞點M逆時針旋轉(zhuǎn)交線段CA的延長線于點D(1)找出與相等的角,并說明理由(2)如圖2,求的值(3)在(2)的條件下,若,求線段AB的長【答案】(1);理由見解析;(2);(3).【解析】(1)理由如下:,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知,;(2)如圖,過點C作交MP于點G,點M是AB的中點,在與中,設(shè),則,在中,;(3)如圖,由(2)知則,由(2)知,則,即解得,(舍去)【點睛】考查了幾何變換綜合題解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定(ASA)與性質(zhì),旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),直角三角形的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)等知識點,解題過程中,注意方程思想在求相關(guān)線段長度時的靈活運用

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