2年中考1年模擬備戰(zhàn)2018年中考數(shù)學 第四篇 圖形的性質(zhì) 專題18 等腰三角形與直角三角形（含解析）

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1、第四篇 圖形的性質(zhì)專題18 等腰三角形與直角三角形 解讀考點知識點名師點晴等腰三角形等腰三角形的性質(zhì)理解等腰三角形的性質(zhì)，并能解決等腰三角形的有關(guān)計算等腰三角形的判定掌握等腰三角形的判定方法，會證明一個三角形是等腰三角形等邊三角形等邊三角形的性質(zhì)理解等邊三角形的性質(zhì)等邊三角形的判定掌握等邊三角形的判定方法，會證明一個三角形是等邊三角形直角三角形直角三角形的性質(zhì)理解直角三角形的有關(guān)性質(zhì)直角三角形的判定掌握直角三角形的判定方法，會證明一個三角形是直角三角形勾股定理理解并掌握勾股定理及其逆定理2年中考【2017年題組】一、選擇題1（2017內(nèi)蒙古包頭市）若等腰三角形的周長為10cm，其中一邊長為2c

2、m，則該等腰三角形的底邊長為（）A2cmB4cmC6cmD8cm【答案】A【解析】試題分析：若2cm為等腰三角形的腰長，則底邊長為1022=6（cm），2+26，不符合三角形的三邊關(guān)系；若2cm為等腰三角形的底邊，則腰長為（102）2=4（cm），此時三角形的三邊長分別為2cm，4cm，4cm，符合三角形的三邊關(guān)系；故選A考點：1等腰三角形的性質(zhì)；2三角形三邊關(guān)系；3分類討論2（2017天津）如圖，在ABC中，AB=AC，AD、CE是ABC的兩條中線，P是AD上一個動點，則下列線段的長度等于BP+EP最小值的是（）ABCBCECADDAC【答案】B【解析】考點：1軸對稱最短路線問題；2等腰三角

3、形的性質(zhì)；3最值問題3（2017山東省淄博市）如圖，在RtABC中，ABC=90，AB=6，BC=8，BAC，ACB的平分線相交于點E，過點E作EFBC交AC于點F，則EF的長為（）ABC D【答案】C【解析】考點：1相似三角形的判定與性質(zhì)；2角平分線的性質(zhì)；3等腰三角形的判定與性質(zhì)；4綜合題4（2017湖北省武漢市）如圖，在RtABC中，C=90，以ABC的一邊為邊畫等腰三角形，使得它的第三個頂點在ABC的其他邊上，則可以畫出的不同的等腰三角形的個數(shù)最多為（）A4B5C6D7【答案】D【解析】試題分析：如圖：故選D 考點：1等腰三角形的判定與性質(zhì)；2分類討論；3綜合題；4操作型5（2017湖

4、北省荊州市）如圖，在ABC中，AB=AC，A=30，AB的垂直平分線l交AC于點D，則CBD的度數(shù)為（）A30B45C50D75【答案】B【解析】考點：1等腰三角形的性質(zhì)；2線段垂直平分線的性質(zhì)6（2017湖北省鄂州市）如圖，ABCD，E為CD上一點，射線EF經(jīng)過點A，EC=EA若CAE=30，則BAF=（）A30B40C50D60【答案】D【解析】考點：1平行線的性質(zhì)；2等腰三角形的性質(zhì)7（2017貴州省畢節(jié)市）如圖，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在BC，CD上，且EAF=45，將ABE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90，使點E落在點E處，則下列判斷不正確的是（）AAEE是等腰直角三角形BAF垂直平分E

5、ECEECAFDDAEF是等腰三角形【答案】D【解析】試題分析：將ABE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90，使點E落在點E處，AE=AE，EAE=90，AEE是等腰直角三角形，故A正確；將ABE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90，使點E落在點E處，EAD=BAE，四邊形ABCD是正方形，DAB=90，EAF=45，BAE+DAF=45，EAD+FAD=45，EAF=EAF，AE=AE，AF垂直平分EE，故B正確；AFEE，ADF=90，F(xiàn)EE+AFD=AFD+DAF，F(xiàn)EE=DAF，EECAFD，故C正確； ADEF，但EAD不一定等于DAE，AEF不一定是等腰三角形，故D錯誤；故選D考點：1旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；2線段垂直平分線

6、的性質(zhì)；3等腰三角形的判定；4等腰直角三角形；5正方形的性質(zhì)；6相似三角形的判定8（2017遼寧省營口市）如圖，在ABC中，AB=AC，E，F(xiàn)分別是BC，AC的中點，以AC為斜邊作RtADC，若CAD=CAB=45，則下列結(jié)論不正確的是（）AECD=112.5BDE平分FDCCDEC=30DAB=CD【答案】C【解析】FEC=B=67.5，F(xiàn)ED=22.5，DEC=FECFED=45，故C錯誤，符合題意；RtADC中，ADC=90，AD=DC，AC=CD，AB=AC，AB=CD，故D正確，不符合題意故選C考點：1三角形中位線定理；2等腰三角形的性質(zhì)9（2017廣西河池市）已知等邊ABC的邊長為

7、12，D是AB上的動點，過D作DEAC于點E，過E作EFBC于點F，過F作FGAB于點G當G與D重合時，AD的長是（）A3B4C8D9【答案】B【解析】試題分析：設(shè)AD=x，ABC是等邊三角形，A=B=C=60，DEAC于點E，EFBC于點F，F(xiàn)GAB，ADF=DEB=EFC=90，AF=2x，CF=122x，CE=2CF=244x，BE=12CE=4x12，BD=2BE=8x24，AD+BD=AB，x+8x24=12，x=4，AD=4故選B考點：1等邊三角形的性質(zhì)；2含30度角的直角三角形；3動點型10（2017廣西玉林崇左市）如圖，大小不同的兩個磁塊，其截面都是等邊三角形，小三角形邊長是大

8、三角形邊長的一半，點O是小三角形的內(nèi)心，現(xiàn)將小三角形沿著大三角形的邊緣順時針滾動，當由位置滾動到位置時，線段OA繞點O順時針轉(zhuǎn)過的角度是（）A240B360C480D540【答案】C【解析】考點：1三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心；2等邊三角形的性質(zhì)；3旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)11（2017天門）如圖，P（m，m）是反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象上一點，以P為頂點作等邊PAB，使AB落在x軸上，則POB的面積為（）ABC D【答案】D【解析】考點：1反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義；2反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征；3等邊三角形的性質(zhì)12（2017內(nèi)蒙古包頭市）如圖，在RtABC中，ACB=90，CDAB，垂足為D，AF平分CA

9、B，交CD于點E，交CB于點F若AC=3，AB=5，則CE的長為（）A B C D【答案】A【解析】考點：1相似三角形的判定與性質(zhì)；2勾股定理；3角平分線的性質(zhì)；4綜合題13（2017山東省泰安市）如圖，正方形ABCD中，M為BC上一點，MEAM，ME交AD的延長線于點E若AB=12，BM=5，則DE的長為（）A18BC D【答案】B【解析】試題分析：四邊形ABCD是正方形，AB=12，BM=5，MC=125=7MEAM，AME=90，AMB+CMG=90AMB+BAM=90，BAM=CMG，B=C=90，ABMMCG，即，解得CG=，DG=12=AEBC，E=CMG，EDG=C，MCGEDG

10、，即，解得DE=故選B考點：1相似三角形的判定與性質(zhì)；2勾股定理；3正方形的性質(zhì)14（2017山東省聊城市）如圖是由8個全等的矩形組成的大正方形，線段AB的端點都在小矩形的頂點上，如果點P是某個小矩形的頂點，連接PA、PB，那么使ABP為等腰直角三角形的點P的個數(shù)是（）A2個B3個C4個D5個【答案】B【解析】考點：等腰直角三角形15（2017江蘇省無錫市）如圖，ABC中，BAC=90，AB=3，AC=4，點D是BC的中點，將ABD沿AD翻折得到AED，連CE，則線段CE的長等于（）A2BCD【答案】D【解析】試題分析：如圖連接BE交AD于O，作AHBC于H在RtABC中，AC=4，AB=3，

11、BC=5，CD=DB，AD=DC=DB=，BCAH=ABAC，AH=，AE=AB，DE=DB=DC，AD垂直平分線段BE，BCE是直角三角形，ADBO=BDAH，OB=，BE=2OB=，在RtBCE中，EC=，故選D考點：1翻折變換（折疊問題）；2直角三角形斜邊上的中線；3勾股定理16（2017浙江省紹興市）如圖，小巷左右兩側(cè)是豎直的墻，一架梯子斜靠在左墻時，梯子底端到左墻角的距離為0.7米，頂端距離地面2.4米，如果保持梯子底端位置不動，將梯子斜靠在右墻時，頂端距離地面2米，則小巷的寬度為（）A0.7米B1.5米C2.2米D2.4米【答案】C【解析】考點：勾股定理的應(yīng)用17（2017湖北省襄

12、陽市）“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學的驕傲，如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形，設(shè)直角三角形較長直角邊長為a，較短直角邊長為b，若，大正方形的面積為13，則小正方形的面積為（）A3B4C5D6【答案】C【解析】試題分析：如圖所示，=21，大正方形的面積為13，2ab=2113=8，小正方形的面積為138=5故選C考點：勾股定理的證明18（2017遼寧省大連市）如圖，在ABC中，ACB=90，CDAB，垂足為D，點E是AB的中點，CD=DE=a，則AB的長為（）ABC D【答案】B【解析】考點：直角三角形斜邊上的中線19（

13、2017遼寧省營口市）如圖，在ABC中，AC=BC，ACB=90，點D在BC上，BD=3，DC=1，點P是AB上的動點，則PC+PD的最小值為（）A4B5C6D7【答案】B【解析】考點：1軸對稱最短路線問題；2等腰直角三角形；3最值問題20（2017遼寧省葫蘆島市）如圖，將矩形紙片ABCD沿直線EF折疊，使點C落在AD邊的中點C處，點B落在點B處，其中AB=9，BC=6，則FC的長為（）AB4C4.5D5【答案】D【解析】試題分析：設(shè)FC=x，則FD=9x，BC=6，四邊形ABCD為矩形，點C為AD的中點，AD=BC=6，CD=3在RtFCD中，D=90，F(xiàn)C=x，F(xiàn)D=9x，CD=3，F(xiàn)C2

14、=FD2+CD2，即x2=（9x）2+32，解得：x=5故選D考點：1矩形的性質(zhì)；2勾股定理21（2017四川省雅安市）如圖，四邊形ABCD中，A=C=90，B=60，AD=1，BC=2，則四邊形ABCD的面積是 （）AB3CD4【答案】A【解析】考點：1勾股定理；2含30度角的直角三角形；3解直角三角形二、填空題22（2017吉林省長春市）如圖，這個圖案是我國漢代的趙爽在注解周髀算經(jīng)時給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”此圖案的示意圖如圖，其中四邊形ABCD和四邊形EFGH都是正方形，ABF、BCG、CDH、DAE是四個全等的直角三角形若EF=2，DE=8，則AB的長為 【答案】10【解析】考點：

15、勾股定理的證明23（2017吉林省長春市）如圖，在平面直角坐標系中，ABC的頂點A在第一象限，點B，C的坐標為（2，1），（6，1），BAC=90，AB=AC，直線AB交x軸于點P若ABC與ABC關(guān)于點P成中心對稱，則點A的坐標為 【答案】（2，3）【解析】試題分析：如圖，點B，C的坐標為（2，1），（6，1），得：BC=4由BAC=90，AB=AC，得AB=，ABD=45，BD=AD=2，A（4，3），設(shè)AB的解析式為y=kx+b，將A，B點坐標代入，得：，解得：，AB的解析式為y=x1，當y=1時，x=1，即P（1，0），由中點坐標公式，得xA=2xPxA=24=2，yA=2yAyA=03

16、=3，A（2，3）故答案為：（2，3）考點：1坐標與圖形變化旋轉(zhuǎn)；2等腰直角三角形24（2017四川省樂山市）點A、B、C在格點圖中的位置如圖5所示，格點小正方形的邊長為1，則點C到線段AB所在直線的距離是 【答案】【解析】考點：勾股定理25（2017山東省東營市）我國古代有這樣一道數(shù)學問題：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根纏繞而上，五周而達其頂，問葛藤之長幾何？”題意是：如圖所示，把枯木看作一個圓柱體，因一丈是十尺，則該圓柱的高為20尺，底面周長為3尺，有葛藤自點A處纏繞而上，繞五周后其末端恰好到達點B處，則問題中葛藤的最短長度是 尺【答案】25【解析】考點：1平面展開最短路徑

17、問題；2勾股定理的應(yīng)用；3壓軸題；4轉(zhuǎn)化思想26（2017山東省青島市）如圖，在四邊形ABCD中，ABC=ADC=90，E為對角線AC的中點，連接BE，ED，BD若BAD=58，則EBD的度數(shù)為 度【答案】32【解析】試題分析：ABC=ADC=90，點A，B，C，D在以E為圓心，AC為直徑的同一個圓上，BAD=58，DEB=116，DE=BE=AC，EBD=EDB=32，故答案為：32考點：直角三角形斜邊上的中線 27（2017江蘇省徐州市）如圖，已知OB=1，以O(shè)B為直角邊作等腰直角三角形A1BO，再以O(shè)A1為直角邊作等腰直角三角形A2A1O，如此下去，則線段OAn的長度為 【答案】【解析】

18、考點：1等腰直角三角形；2規(guī)律型；3綜合題28（2017河南?。┤鐖D，在RtABC中，A=90，AB=AC，BC=，點M，N分別是邊BC，AB上的動點，沿MN所在的直線折疊B，使點B的對應(yīng)點B始終落在邊AC上，若MBC為直角三角形，則BM的長為 【答案】或1【解析】試題分析：如圖1，當BMC=90，B與A重合，M是BC的中點，BM=BC=；如圖2，當MBC=90，A=90，AB=AC，C=45，CMB是等腰直角三角形，CM=MB，沿MN所在的直線折疊B，使點B的對應(yīng)點B，BM=BM，CM=BM，BC=+1，CM+BM=BM+BM=+1，BM=1，綜上所述，若MBC為直角三角形，則BM的長為或1

19、，故答案為：或1考點：1翻折變換（折疊問題）；2等腰直角三角形；3分類討論29（2017湖北省武漢市）如圖，在ABC中，AB=AC=，BAC=120，點D、E都在邊BC上，DAE=60若BD=2CE，則DE的長為 【答案】【解析】BAC=120，DAE=60，BAD+CAE=60，F(xiàn)AE=FAC+CAE=BAD+CAE=60在ADE和AFE中，AD=AF，DAE=FAE=60，AE=AE，ADEAFE（SAS），DE=FEBD=2CE，BD=CF，ACF=B=30，設(shè)CE=2x，則CM=x，EM=x，F(xiàn)M=4xx=3x，EF=ED=66x在RtEFM中，F(xiàn)E=66x，F(xiàn)M=3x，EM=x，EF

20、2=FM2+EM2，即，解得：x1=，x2=（不合題意，舍去），DE=66x=故答案為：考點：1全等三角形的判定與性質(zhì)；2勾股定理；3翻折變換（折疊問題）；4旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)30（2017寧夏）在ABC中，AB=6，點D是AB的中點，過點D作DEBC，交AC于點E，點M在DE上，且ME=DM當AMBM時，則BC的長為 【答案】8【解析】考點：1三角形中位線定理；2等腰三角形的判定與性質(zhì)31（2017浙江省紹興市）如圖，AOB=45，點M、N在邊OA上，OM=x，ON=x+4，點P是邊OB上的點若使點P、M、N構(gòu)成等腰三角形的點P恰好有三個，則x的值是 【答案】x=0或x= 或 【解析】試題分析：以M

21、N為底邊時，可作MN的垂直平分線，與OB的必有一個交點P1 ， 且MN=4，以M為圓心MN為半徑畫圓，以N為圓心MN為半徑畫圓，如下圖，當M與點O重合時，即x=0時，除了P1 ， 當MN=MP，即為P3；當NP=MN時，即為P2；只有3個點P；當0x4時，如下圖，圓N與OB相切時，NP2=MN=4，且NP2OB，此時MP3=4，則OM=ON-MN= NP2-4= 因為MN=4，所以當x0時，MNON，則MN=NP不存在，除了P1外，當MP=MN=4時，過點M作MDOB于D，當OM=MP=4時，圓M與OB剛好交OB兩點P2和P3；當MD=MN=4時，圓M與OB只有一個交點，此時OM=MD=，故4

22、x與OB有兩個交點P2和P3，故答案為：x=0或x=或4x考點：1等腰三角形的判定；2相交兩圓的性質(zhì)；3分類討論；4綜合題32（2017黑龍江省綏化市）在等腰ABC中，ADBC交直線BC于點D，若AD=BC，則ABC的頂角的度數(shù)為 【答案】30或150或90【解析】考點：1含30度角的直角三角形；2等腰三角形的性質(zhì)；3分類討論33（2017黑龍江省龍東地區(qū)）如圖，在ABC中，AB=BC=8，AO=BO，點M是射線CO上的一個動點，AOC=60，則當ABM為直角三角形時，AM的長為 【答案】或或4【解析】如圖3，當ABM=90時，BOM=AOC=60，BMO=30，MO=2BO=24=8，RtB

23、OM中，BM=，RtABM中，AM=綜上所述，當ABM為直角三角形時，AM的長為或或4故答案為：或或4考點：1勾股定理；2等腰三角形的性質(zhì)；3分類討論；4動點型；5綜合題34（2017遼寧省撫順市）如圖，等邊A1C1C2的周長為1，作C1D1A1C2于D1，在C1C2的延長線上取點C3，使D1C3=D1C1，連接D1C3，以C2C3為邊作等邊A2C2C3；作C2D2A2C3于D2，在C2C3的延長線上取點C4，使D2C4=D2C2，連接D2C4，以C3C4為邊作等邊A3C3C4；且點A1，A2，A3，都在直線C1C2同側(cè)，如此下去，則A1C1C2，A2C2C3，A3C3C4，AnCnCn+1的

24、周長和為 （n2，且n為整數(shù)）【答案】【解析】考點：1等邊三角形的性質(zhì)；2規(guī)律型；3綜合題35（2017遼寧省營口市）如圖，點A1（1，）在直線l1：y=x上，過點A1作A1B1l1交直線l2：y=x于點B1，A1B1為邊在OA1B1外側(cè)作等邊三角形A1B1C1，再過點C1作A2B2l1，分別交直線l1和l2于A2，B2兩點，以A2B2為邊在OA2B2外側(cè)作等邊三角形A2B2C2，按此規(guī)律進行下去，則第n個等邊三角形AnBnCn的面積為 （用含n的代數(shù)式表示）【答案】【解析】試題分析：點A1（1，），OA1=2直線l1：y=x，直線l2：y=x，A1OB1=30在RtOA1B1中，OA1=2，

25、A1OB1=30，OA1B1=90，A1B1=OB1，A1B1=A1B1C1為等邊三角形，A1A2=A1B1=1，OA2=3，A2B2=同理，可得出：A3B3=，A4B4=，AnBn=，第n個等邊三角形AnBnCn的面積為AnBn2=故答案為：考點：1一次函數(shù)圖象上點的坐標特征；2等邊三角形的性質(zhì)；3規(guī)律型；4綜合題三、解答題36（2017寧夏）在邊長為2的等邊三角形ABC中，P是BC邊上任意一點，過點 P分別作 PMA B，PNAC，M、N分別為垂足（1）求證：不論點P在BC邊的何處時都有PM+PN的長恰好等于三角形ABC一邊上的高；（2）當BP的長為何值時，四邊形AMPN的面積最大，并求出

26、最大值【答案】（1）證明見解析；（2）當BP=1時，四邊形AMPN的面積最大，最大值是【解析】（2）設(shè)BP=x，則CP=2x，由ABC是等邊三角形，得到B=C=60，解直角三角形得到BM=x，PM=x，CN=（2x），PN=（2x），根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論試題解析：（1）連接AP，過C作CDAB于D，ABC是等邊三角形，AB=AC，SABC=SABP+SACP， ABCD=ABPM+ACPN，PM+PN=CD，即不論點P在BC邊的何處時都有PM+PN的長恰好等于三角形ABC一邊上的高；（2）設(shè)BP=x，則CP=2x，ABC是等邊三角形，B=C=60，PMAB，PNAC，BM=x，PM=

27、x，CN=（2x），PN=（2x），四邊形AMPN的面積=（2x）x+2（2x） （2x）= =，當BP=1時，四邊形AMPN的面積最大，最大值是考點：1等邊三角形的性質(zhì)；2二次函數(shù)的最值；3定值問題；4動點型；5最值問題37（2017內(nèi)蒙古呼和浩特市）如圖，等腰三角形ABC中，BD，CE分別是兩腰上的中線（1）求證：BD=CE；（2）設(shè)BD與CE相交于點O，點M，N分別為線段BO和CO的中點，當ABC的重心到頂點A的距離與底邊長相等時，判斷四邊形DEMN的形狀，無需說明理由【答案】（1）證明見解析；（2）四邊形DEMN是正方形【解析】試題解析：（1）解：由題意得，AB=AC，BD，CE分別是

28、兩腰上的中線，AD=AC，AE=AB，AD=AE，在ABD和ACE中，AB=AC，A=A，AD=AE，ABDACE（ASA），BD=CE；（2）四邊形DEMN是正方形，證明：E、D分別是AB、AC的中點，AE=AB，AD=AC，ED是ABC的中位線，EDBC，ED=BC，點M、N分別為線段BO和CO中點，OM=BM，ON=CN，MN是OBC的中位線，MNBC，MN=BC，EDMN，ED=MN，四邊形EDNM是平行四邊形，由（1）知BD=CE，又OE=ON，OD=OM，OM=BM，ON=CN，DM=EN，四邊形EDNM是矩形，在BDC與CEB中，BE=CD，CE=BD，BC=CB，BDCCEB，

29、BCE=CBD，OB=OC，ABC的重心到頂點A的距離與底邊長相等，O到BC的距離=BC，BDCE，四邊形DEMN是正方形考點：1全等三角形的判定與性質(zhì)；2三角形的重心；3等腰三角形的性質(zhì)38（2017江蘇省連云港市）如圖，已知等腰三角形ABC中，AB=AC，點D、E分別在邊ABAC上，且AD=AE，連接BE、CD，交于點F（1）判斷ABE與ACD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）求證：過點A、F的直線垂直平分線段BC【答案】（1）ABE=ACD；（2）證明見解析【解析】（2）AB=AC，ABC=ACB，由（1）可知ABE=ACD，F(xiàn)BC=FCB，F(xiàn)B=FC，AB=AC，點A、F均在線段BC的垂直

30、平分線上，即直線AF垂直平分線段BC考點：1等腰三角形的性質(zhì)；2線段垂直平分線的性質(zhì)；3探究型39（2017北京市）在等腰直角ABC中，ACB=90，P是線段BC上一動點（與點B、C不重合），連接AP，延長BC至點Q，使得CQ=CP，過點Q作QHAP于點H，交AB于點M（1）若PAC=，求AMQ的大?。ㄓ煤氖阶颖硎荆?）用等式表示線段MB與PQ之間的數(shù)量關(guān)系，并證明【答案】（1）AMQ=45+；（2）PQ=MB【解析】試題分析：（1）由等腰直角三角形的性質(zhì)得出BAC=B=45，PAB=45，由直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；（2）連接AQ，作MEQB，由AAS證明APCQME，得出PC=ME

31、，AEB是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論試題解析：（1）AMQ=45+；理由如下：PAC=，ACB是等腰直角三角形，BAC=B=45，PAB=45，QHAP，AHM=90，AMQ=180AHMPAB=45+；（2）PQ=MB；理由如下：連接AQ，作MEQB，如圖所示：ACQP，CQ=CP，QAC=PAC=，QAM=45+=AMQ，AP=AQ=QM，在APC和QME中，MQE=PAC，ACP=QEM，AP=QM，APCQME（AAS），PC=ME，AEB是等腰直角三角形，PQ=MB，PQ=MB考點：1全等三角形的判定與性質(zhì)；2等腰直角三角形；3探究型；4動點型40（2017四

32、川省阿壩州）如圖，ABC和ADE是有公共頂點的等腰直角三角形，BAC=DAE=90，點P為射線BD，CE的交點（1）求證：BD=CE；（2）若AB=2，AD=1，把ADE繞點A旋轉(zhuǎn)，當EAC=90時，求PB的長；【答案】（1）證明見解析；（2）PB的長為或【解析】試題解析：（1）ABC和ADE是等腰直角三角形，BAC=DAE=90，AB=AC，AD=AE，DAB=CAE，ADBAEC，BD=CE（2）解：當點E在AB上時，BE=ABAE=1EAC=90，CE=同（1）可證ADBAEC，DBA=ECAPEB=AEC，PEBAEC，PB=當點E在BA延長線上時，BE=3EAC=90，CE=同（1）

33、可證ADBAEC，DBA=ECABEP=CEA，PEBAEC，PB=綜上所述，PB的長為或考點：1相似三角形的判定與性質(zhì)；2全等三角形的判定與性質(zhì)；3等腰直角三角形；4旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；5分類討論41（2017山西?。┚C合與實踐背景閱讀 早在三千多年前，我國周朝數(shù)學家商高就提出：將一根直尺折成一個直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三，股四，弦五”它被記載于我國古代著名數(shù)學著作周髀算經(jīng)中為了方便，在本題中，我們把三邊的比為3：4：5的三角形稱為（3，4，5）型三角形例如：三邊長分別為9，12，15或的三角形就是（3，4，5）型三角形用矩形紙片按下面的操作方法可以折出這種類型的三角形實

34、踐操作 如圖1，在矩形紙片ABCD中，AD=8cm，AB=12cm第一步：如圖2，將圖1中的矩形紙片ABCD沿過點A的直線折疊，使點D落在AB上的點E處，折痕為AF，再沿EF折疊，然后把紙片展平第二步：如圖3，將圖2中的矩形紙片再次折疊，使點D與點F重合，折痕為GH，然后展平，隱去AF第三步：如圖4，將圖3中的矩形紙片沿AH折疊，得到ADH，再沿AD折疊，折痕為AM，AM與折痕EF交于點N，然后展平問題解決（1）請在圖2中證明四邊形AEFD是正方形（2）請在圖4中判斷NF與ND的數(shù)量關(guān)系，并加以證明（3）請在圖4中證明AEN是（3，4，5）型三角形探索發(fā)現(xiàn)（4）在不添加字母的情況下，圖4中還有

35、哪些三角形是（3，4，5）型三角形？請找出并直接寫出它們的名稱【答案】（1）證明見解析；（2）NF=ND，證明見解析；（3）證明見解析；（4）MFN，MDH，MDA【解析】試題分析：（1）根據(jù)題中所給（3，4，5）型三角形的定義證明即可；（2）NF=ND，證明RtHNFRtHND即可；（3）根據(jù)題中所給（3，4，5）型三角形的定義證明即可；（4）由AEN是（3，4，5）型三角形，凡是與AEN相似的都是（3，4，5）型三角形四邊形AEFD是正方形，EFD=90ADH=90，HDN=90在RtHNF和RtHND中，HN=HN，HF=HD，RtHNFRtHND，NF=ND（3）四邊形AEFD是正方形

36、，AE=EF=AD=8cm，由折疊知：AD=AD=8cm，EN=EF-NF=（8-x）在RtAEN中，由勾股定理得： ，即，解得：x=2，AN=8+x=10（），EN=6（），AN=6：8：10=3：4：5，AEN是（3，4，5）型三角形（4）AEN是（3，4，5）型三角形，凡是與AEN相似的都是（3，4，5）型三角形，故答案為：MFN，MDH，MDA考點：1勾股定理的應(yīng)用；2新定義；3閱讀型；4探究型；5翻折變換（折疊問題）；6壓軸題42（2017甘肅省天水市）ABC和DEF是兩個全等的等腰直角三角形，BAC=EDF=90，DEF的頂點E與ABC的斜邊BC的中點重合，將DEF繞點E旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)

37、過程中，線段DE與線段AB相交于點P，線段EF與射線CA相交于點Q（1）如圖，當點Q在線段AC上，且AP=AQ時，求證：BPECQE；（2）如圖，當點Q在線段CA的延長線上時，求證：BPECEQ；并求當BP=2，CQ=9時BC的長【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析，【解析】試題解析：（1）證明：ABC是等腰直角三角形，B=C=45，AB=AC，AP=AQ，BP=CQ，E是BC的中點，BE=CE，在BPE和CQE中，BE=CE，B=C，BP=CQ，BPECQE（SAS）；（2）解：連接PQ，ABC和DEF是兩個全等的等腰直角三角形，B=C=DEF=45，BEQ=EQC+C，即BEP+DE

38、F=EQC+C，BEP+45=EQC+45，BEP=EQC，BPECEQ，BP=2，CQ=9，BE=CE，BE2=18，BE=CE=，BC=考點：1相似三角形的判定與性質(zhì)；2全等三角形的判定與性質(zhì)；3等腰直角三角形；4旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)43（2017重慶）在ABC中，ABM=45，AMBM，垂足為M，點C是BM延長線上一點，連接AC（1）如圖1，若AB=，BC=5，求AC的長；（2）如圖2，點D是線段AM上一點，MD=MC，點E是ABC外一點，EC=AC，連接ED并延長交BC于點F，且點F是線段BC的中點，求證：BDF=CEF【答案】（1）；（2）證明見解析【解析】試題解析：（1）ABM=45，AMB

39、M，AM=BM=ABcos45=3，則CM=BCBM=52=2，AC= = =；（2）延長EF到點G，使得FG=EF，連接BG由DM=MC，BMD=AMC，BM=AM，BMDAMC（SAS），AC=BD，又CE=AC，因此BD=CE，由BF=FC，BFG=EFC，F(xiàn)G=FE，BFGCFE，故BG=CE，G=E，所以BD=BG=CE，因此BDG=G=E考點：1全等三角形的判定與性質(zhì)；2勾股定理44（2017黑龍江省哈爾濱市）已知：ACB和DCE都是等腰直角三角形，ACB=DCE=90，連接AE，BD交于點O，AE與DC交于點M，BD與AC交于點N（1）如圖1，求證：AE=BD；（2）如圖2，若A

40、C=DC，在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖2中四對全等的直角三角形【答案】（1）證明見解析；（2）ACBDCE， EMCBCN， AONDOM， AOBDOE【解析】（2）AC=DC，AC=CD=EC=CB，ACBDCE（SAS）；由（1）可知：AEC=BDC，EAC=DBC，DOM=90，AEC=CAE=CBD，EMCBCN（ASA），CM=CN，DM=AN，AONDOM（AAS），DE=AB，AO=DO，AOBDOE（HL）考點：1全等三角形的判定與性質(zhì)；2等腰直角三角形45（2017黑龍江省龍東地區(qū)）已知：AOB和COD均為等腰直角三角形，AOB=COD=90連接AD，BC，點H

41、為BC中點，連接OH（1）如圖1所示，易證：OH=AD且OHAD（不需證明）（2）將COD繞點O旋轉(zhuǎn)到圖2，圖3所示位置時，線段OH與AD又有怎樣的關(guān)系，并選擇一個圖形證明你的結(jié)論【答案】（1）證明見解析；（2）圖2，圖3的結(jié)論都相同：OH=AD，OHAD【解析】試題解析：（1）證明：如圖1中，OAB與OCD為等腰直角三角形，AOB=COD=90，OC=OD，OA=OB，在AOD與BOC中，OA=OB，AOD=BOC，OD=OC，AODBOC（SAS），ADO=BCO，OAD=OBC，點H為線段BC的中點，OH=HB，OBH=HOB=OAD，又OAD+ADO=90，ADO+BOH=90，OHA

42、D；（2）解：結(jié)論：OH=AD，OHAD，如圖2中，延長OH到E，使得HE=OH，連接BE，易證BEOODA，OE=AD，OH=OE=AD由BEOODA，知EOB=DAO，DAO+AOH=EOB+AOH=90，OHAD如圖3中，結(jié)論不變延長OH到E，使得HE=OH，連接BE，延長EO交AD于G易證BEOODA，OE=AD，OH=OE=AD由BEOODA，知EOB=DAO，DAO+AOF=EOB+AOG=90，AGO=90，OHAD考點：1旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；2全等三角形的判定與性質(zhì)；3等腰直角三角形；4和差倍分；5探究型；6變式探究；7壓軸題46（2017山東省萊蕪市）已知ABC與DEC是兩個大小不同

43、的等腰直角三角形（1）如圖所示，連接AE，DB，試判斷線段AE和DB的數(shù)量和位置關(guān)系，并說明理由；（2）如圖所示，連接DB，將線段DB繞D點順時針旋轉(zhuǎn)90到DF，連接AF，試判斷線段DE和AF的數(shù)量和位置關(guān)系，并說明理由【答案】（1）AE=DB，AEDB；（2）DE=AF，DEAF【解析】試題解析：（1）AE=DB，AEDB證明如下：ABC與DEC是等腰直角三角形，AC=BC，EC=DC，在RtBCD和RtACE中，AC=BC，ACE=BCD，CE=CD，RtBCDRtACE，AE=BD，AEC=BDC，BCD=90，DHE=90，AEDB；（2）DE=AF，DEAF證明如下：設(shè)DE與AF交于

44、N，由題意得，BE=AD，EBD=C+BDC=90+BDC，ADF=BDF+BDC=90+BDC，EBD=ADF，在EBD和ADF中，BE=AD，EBD=ADF，DE=DF，EBDADF，DE=AF，E=FAD，E=45，EDC=45，F(xiàn)AD=45，AND=90，即DEAF考點：1旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；2全等三角形的判定與性質(zhì)；3等腰直角三角形；4探究型；5變式探究【2016年題組】一、選擇題1（2016內(nèi)蒙古赤峰市）等腰三角形有一個角是90，則另兩個角分別是（）A30，60B45，45C45，90D20，70【答案】B【解析】考點：等腰三角形的性質(zhì)2（2016四川省樂山市）如圖，C、D是以線段AB為直

45、徑的O上兩點，若CA=CD，且ACD=40，則CAB=（）A10B20C30D40【答案】B【解析】試題分析：ACD=40，CA=CD，CAD=CDA=（18040）=70，ABC=ADC=70，AB是直徑，ACB=90，CAB=90B=20，故選B考點：1圓周角定理；2等腰三角形的性質(zhì)3（2016四川省甘孜州）如圖，在ABC中，BD平分ABC，EDBC，已知AB=3，AD=1，則AED的周長為（）A2B3C4D5【答案】C【解析】考點：1等腰三角形的判定與性質(zhì)；2平行線的性質(zhì)4（2016四川省雅安市）如圖所示，底邊BC為，頂角A為120的等腰ABC中，DE垂直平分AB于D，則ACE的周長為（

46、）ABC4D【答案】A【解析】試題分析：過A作AFBC于F，AB=AC，A=120，B=C=30，AB=AC=2，DE垂直平分AB，BE=AE，AE+CE=BC=，ACE的周長=AC+AE+CE=AC+BC=，故選A考點：1等腰三角形的性質(zhì)；2線段垂直平分線的性質(zhì)5（2016陜西?。┤鐖D，在ABC中，ABC=90，AB=8，BC=6若DE是ABC的中位線，延長DE交ABC的外角ACM的平分線于點F，則線段DF的長為（）A7B8C9D10【答案】B【解析】考點：1三角形中位線定理；2等腰三角形的判定與性質(zhì)；3勾股定理6（2016貴州省六盤水市）如圖，已知AB=A1B，A1B1=A1A2，A2B2

47、=A2A3，A3B3=A3A4，若A=70，則An的度數(shù)為（）ABCD【答案】C【解析】考點：1等腰三角形的性質(zhì)；2規(guī)律型7（2016湖南省懷化市）等腰三角形的兩邊長分別為4cm和8cm，則它的周長為（）A16cmB17cmC20cmD16cm或20cm【答案】C【解析】試題分析：等腰三角形的兩邊長分別為4cm和8cm，當腰長是4cm時，則三角形的三邊是4cm，4cm，8cm，4cm+4cm=8cm不滿足三角形的三邊關(guān)系；當腰長是8cm時，三角形的三邊是8cm，8cm，4cm，三角形的周長是20cm故選C 考點：1等腰三角形的性質(zhì)；2三角形三邊關(guān)系；3分類討論8（2016四川省內(nèi)江市）已知等邊

48、三角形的邊長為3，點P為等邊三角形內(nèi)任意一點，則點P到三邊的距離之和為（）ABCD不能確定【答案】B【解析】試題分析：如圖，等邊三角形的邊長為3，高線AH=3=，SABC=BCAH=ABPD+BCPE+ACPF，3AH=3PD+3PE+3PF，PD+PE+PF=AH=，即點P到三角形三邊距離之和為故選B考點：1等邊三角形的性質(zhì)；2定值問題9（2016山東省臨沂市）如圖，將等邊ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)120得到EDC，連接AD，BD則下列結(jié)論：AC=AD；BDAC；四邊形ACED是菱形其中正確的個數(shù)是（）A0B1C2D3【答案】D【解析】考點：1旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；2等邊三角形的性質(zhì)；3菱形的判定10（2

49、016廣西梧州市）三張背面完全相同的數(shù)字牌，它們的正面分別印有數(shù)字“1”、“2”、“3”，將它們背面朝上，洗勻后隨機抽取一張，記錄牌上的數(shù)字并把牌放回，再重復(fù)這樣的步驟兩次，得到三個數(shù)字a、b、c，則以a、b、c為邊長正好構(gòu)成等邊三角形的概率是（）ABCD【答案】A【解析】考點：1列表法與樹狀圖法；2等邊三角形的判定11（2016廣西百色市）如圖，正ABC的邊長為2，過點B的直線lAB，且ABC與ABC關(guān)于直線l對稱，D為線段BC上一動點，則AD+CD的最小值是（）A4BCD【答案】A【解析】試題分析：作點A關(guān)于直線BC的對稱點A1，連接A1C交直線BC與點D，如圖所示由圖象可知當點D在CB的

50、延長線上時，AD+CD最小，而點D為線段BC上一動點，當點D與點B重合時AD+CD值最小，此時AD+CD=AB+CB=2+2=4故選A考點：1軸對稱-最短路線問題；2等邊三角形的性質(zhì)；3最值問題12（2016四川省南充市）如圖，在RtABC中，A=30，BC=1，點D，E分別是直角邊BC，AC的中點，則DE的長為（）A1B2CD1+【答案】A【解析】考點：1三角形中位線定理；2含30度角的直角三角形13（2016四川省達州市）如圖，在55的正方形網(wǎng)格中，從在格點上的點A，B，C，D中任取三點，所構(gòu)成的三角形恰好是直角三角形的概率為（）ABCD【答案】D【解析】考點：勾股定理的應(yīng)用14（2016

51、四川省達州市）如圖，在ABC中，BF平分ABC，AFBF于點F，D為AB的中點，連接DF延長交AC于點E若AB=10，BC=16，則線段EF的長為（）A2B3C4D5【答案】B【解析】試題分析：AFBF，AFB=90，AB=10，D為AB中點，DF=AB=AD=BD=5，ABF=BFD，又BF平分ABC，ABF=CBF，CBF=DFB，DEBC，ADEABC，即，解得：DE=8，EF=DEDF=3，故選B考點：1相似三角形的判定與性質(zhì)；2平行線的判定；3直角三角形斜邊上的中線15（2016山東省東營市）在ABC中，AB=10，AC=，BC邊上的高AD=6，則另一邊BC等于（）A10B8C6或1

52、0D8或10【答案】C【解析】試題分析：根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示，如圖1所示，AB=10，AC=，AD=6，在RtABD和RtACD中，根據(jù)勾股定理得：BD=8，CD=2，此時BC=BD+CD=8+2=10；如圖2所示，AB=10，AC=，AD=6，在RtABD和RtACD中，根據(jù)勾股定理得：BD=8，CD=2，此時BC=BDCD=82=6，則BC的長為6或10故選C考點：1勾股定理；2分類討論二、填空題16（2016內(nèi)蒙古赤峰市）如圖，正方形ABCD的面積為3cm2，E為BC邊上一點，BAE=30，F(xiàn)為AE的中點，過點F作直線分別與AB，DC相交于點M，N若MN=AE，則AM的長等于 cm

53、【答案】或【解析】考點：1正方形的性質(zhì)；2全等三角形的判定與性質(zhì)；3勾股定理；4分類討論17（2016天津市）如圖，在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，A，E為格點，B，F(xiàn)為小正方形邊的中點，C為AE，BF的延長線的交點（1）AE的長等于_；（2）若點P在線段AC上，點Q在線段BC上，且滿足AP = PQ = QB，請在如圖所示的網(wǎng)格中，用無刻度的直尺，畫出線段PQ，并簡要說明點P，Q的位置是如何找到的（不要求證明）_【答案】（1）；（2）答案見解析【解析】試題分析：（1）AE=；考點：1勾股定理；2作圖題18（2016四川省甘孜州）直角三角形斜邊長是5，一直角邊的長是3，則此直角三角形的面積為 【答案】6【解析】考點：勾股定理19（2016山東省煙臺市）如圖，O為數(shù)軸原點，A，B兩點分別對應(yīng)3，3，作腰長為4的等腰ABC，連接OC，以O(shè)為圓心，CO長為半徑畫弧交數(shù)軸于點M，則點M對應(yīng)的實數(shù)為 【答案】【解析