2020年中考數(shù)學考點總動員 第13講 二次函數(shù)及其應用（含解析）

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1、第13講　二次函數(shù)及其應用 1．二次函數(shù)的概念及解析式 (1)概念：形如y＝ax2＋bx＋c(其中a，b，c是常數(shù)，且a≠0) 的函數(shù)叫做二次函數(shù)，利用配方可以把二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c表示成y＝a(x＋)2＋. (2)二次函數(shù)解析式的三種形式： ①一般式y(tǒng)＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常數(shù)，a≠0)； ②交點式y(tǒng)＝a(x－x1)(x－x2)(a，x1，x2是常數(shù)，a≠0)(x1，0)、(x2，0)是函數(shù)與x軸的交點坐標； ③頂點式y(tǒng)＝a(x＋h)2＋k(a，h，k是常數(shù)，a≠0)，其頂點坐標為 ． ④三種解析式之間的關(guān)系： 頂點式一般式交點式 ⑤解

2、析式的求法： 確定二次函數(shù)的解析式，一般用待定系數(shù)法，由于二次函數(shù)解析式有三個待定系數(shù)a，b，c(或a，h，k或a，x1，x2)，因而確定二次函數(shù)解析式需要已知三個獨立的條件： a．已知拋物線上任意三個點的坐標時，選用一般式． b．已知拋物線的頂點坐標時，選用頂點式． c．已知拋物線與x軸兩個交點的坐標(或橫坐標x1，x2)時，選用交點式． 2．二次函數(shù)的圖象和性質(zhì) 二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(其中a，b，c是常數(shù)，且a≠0)的圖象是拋物線． (1)當a＞0時，拋物線的開口向上；對稱軸是直線x＝－； 當x＝－時，y有最小值，為； 在對稱軸左邊(即x＜－)時，y隨x的增大而減

3、??； 在對稱軸右邊(即x>－)時，y隨x的增大而增大； 頂點(－，)是拋物線上位置最低的點； (2)當a＜0時，拋物線的開口向下；對稱軸是直線x＝－； 當x＝－時，y有最大值，為，在對稱軸左邊(即x<－)時， y隨x的增大而增大．在對稱軸右邊(即x>－)時， y隨x的增大而減??；頂點(－，)是拋物線上位置最高的點． 4．二次函數(shù)函數(shù)的變換 (1)二次函數(shù)圖象的平移： ①二次函數(shù)的平移可看作是二次函數(shù)的頂點坐標的平移，即解決這類問題先把二次函數(shù)化為頂點式，由頂點坐標的平移確定函數(shù)的平移． ②平移規(guī)律：將拋物線y＝a(x－h(huán))2＋k向左移m個單位得y＝a(x－h(huán)＋m)2＋

4、k；向右平移m個單位得y＝a(x－h(huán)－m)2＋k；向上平移m個單位得y＝a(x－h(huán))2＋k＋m；向下平移m個單位得y＝a(x－h(huán))2＋k－m．簡記為“h：左加右減，k：上加下減”． (2)二次函數(shù)圖象的對稱： ①兩拋物線關(guān)于x 軸對稱，此時頂點關(guān)于 x 軸對稱，a 的符號相反； ②兩拋物線關(guān)于y 軸對稱，此時頂點關(guān)于y 軸對稱，a 的符號不變； (3)二次函數(shù)圖象的旋轉(zhuǎn)：開口反向(或旋轉(zhuǎn)180°)，此時頂點坐標不變，只是a的符號相反． 5．二次函數(shù)與一元二次方程之間的關(guān)系 方程ax2＋bx＋c＝0的解是二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c與x軸交點的橫坐標．解一元二次方程ax2＋

5、bx＋c＝k就是求二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c與直線y＝k的交點的橫坐標． (1)當b2＋4ac>0時，拋物線與x軸有兩個交點，方程有兩個不相等的實數(shù)根； (2)當b2－4ac＝0時，拋物線與x軸有一個交點，方程有兩個相等的實數(shù)根； (3)當b2－4ac<0時，拋物線與x軸沒有交點，方程無實數(shù)根． 6．二次函數(shù)與一元二次不等式之間的關(guān)系 “一元二次不等式” 實際上是指二次函數(shù)的函數(shù)值“y＞0, y＜0或y≥0，y≤0”，一元二次不等式的解集從圖象上看是指拋物線在x 軸上方或x 軸下方的部分對應x的取值范圍 考點1： 二次函數(shù)的圖象與性質(zhì) 【例題1】（2019?廣西

6、河池?3分）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c的對稱軸為直線x＝1，則下列結(jié)論中，錯誤的是（　?。? A．a(chǎn)c＜0 B．b2﹣4ac＞0 C．2a﹣b＝0 D．a(chǎn)﹣b+c＝0 【分析】由拋物線的開口方向判斷a與0的關(guān)系，由拋物線與y軸的交點判斷c與0的關(guān)系，然后根據(jù)對稱軸及拋物線與x軸交點情況進行推理，進而對所得結(jié)論進行判斷． 【解答】解：A.由拋物線的開口向下知a＜0，與y軸的交點在y軸的正半軸上，可得c＞0，因此ac＜0，故本選項正確，不符合題意； B.由拋物線與x軸有兩個交點，可得b2﹣4ac＞0，故本選項正確，不符合題意； C.由對稱軸為x＝﹣＝1，得2a＝﹣b，即2a+b＝

7、0，故本選項錯誤，符合題意； D.由對稱軸為x＝1及拋物線過（3，0），可得拋物線與x軸的另外一個交點是（﹣1，0），所以a﹣b+c＝0，故本選項正確，不符合題意． 故選：C． 歸納：本題考查二次函數(shù)的圖象性質(zhì)：(1)a的正負決定圖象的開口方向，c的正負決定圖象與y軸的交點位置，a和b的正負決定圖象對稱軸的位置；(2)二次函數(shù)與方程的關(guān)系，即二次函數(shù)圖象與坐標軸的交點情況可轉(zhuǎn)化為二次方程根的判別式的正負；(3)二次函數(shù)的開口方向與對稱軸決定其增減性． 考點2： 二次函數(shù)的實際應用 【例題2】（2019?湖北省鄂州市?10分）“互聯(lián)網(wǎng)+”時代，網(wǎng)上購物備受消費者青睞．某網(wǎng)店專售一款休閑

8、褲，其成本為每條40元，當售價為每條80元時，每月可銷售100條．為了吸引更多顧客，該網(wǎng)店采取降價措施．據(jù)市場調(diào)查反映：銷售單價每降1元，則每月可多銷售5條．設每條褲子的售價為x元（x為正整數(shù)），每月的銷售量為y條． （1）直接寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式； （2）設該網(wǎng)店每月獲得的利潤為w元，當銷售單價降低多少元時，每月獲得的利潤最大，最大利潤是多少？ （3）該網(wǎng)店店主熱心公益事業(yè)，決定每月從利潤中捐出200元資助貧困學生．為了保證捐款后每月利潤不低于4220元，且讓消費者得到最大的實惠，該如何確定休閑褲的銷售單價？ 【分析】（1）直接利用銷售單價每降1元，則每月可多銷售5條得出y與x的函

9、數(shù)關(guān)系式； （2）利用銷量×每件利潤＝總利潤進而得出函數(shù)關(guān)系式求出最值； （3）利用總利潤＝4220+200，求出x的值，進而得出答案． 【解答】解：（1）由題意可得：y＝100+5（80﹣x）整理得 y＝﹣5x+500； （2）由題意，得： w＝（x﹣40）（﹣5x+500） ＝﹣5x2+700x﹣20000 ＝﹣5（x﹣70）2+4500 ∵a＝﹣5＜0∴w有最大值 即當x＝70時，w最大值＝4500 ∴應降價80﹣70＝10（元） 答：當降價10元時，每月獲得最大利潤為4500元； （3）由題意，得： ﹣5（x﹣70）2+4500＝4220+200 解之，得：

10、x1＝66，x2 ＝74， ∵拋物線開口向下，對稱軸為直線x＝70， ∴當66≤x≤74時，符合該網(wǎng)店要求 而為了讓顧客得到最大實惠，故x＝66 ∴當銷售單價定為66元時，即符合網(wǎng)店要求，又能讓顧客得到最大實惠． 歸納: 用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，需根據(jù)已知條件，靈活選擇解析式：若已知圖象上三個點的坐標，可設一般式；若已知二次函數(shù)圖象與x軸兩個交點的橫坐標，可設交點式；若已知拋物線頂點坐標或?qū)ΨQ軸與最大(或小)值，可設頂點式． 考點3： 二次函數(shù)與幾何圖形的綜合應用 【例題3】(2018·唐山樂亭縣二模)如圖，直線y＝x＋2與拋物線y＝ax2＋bx＋6相交于A(，)和B(4，

11、m)，點P是線段AB上異于A，B的動點，過點P作PC⊥x軸，交拋物線于點C. (1)點B坐標為(4，6)，并求拋物線的解析式； (2)求線段PC長的最大值． 【點撥】　(1)點B坐標代入一次函數(shù)解析式可得m＝6，將A，B坐標代入y＝ax2＋bx＋6，可求出拋物線的解析式；(2)垂直于x軸的線段PC的長就是將二次函數(shù)的解析式減去一次函數(shù)的解析式，整理后會發(fā)現(xiàn)仍然是二次函數(shù)的形式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得最大值． 【解答】　解：(1)∵A(，)，B(4，6)在拋物線y＝ax2＋bx＋6上， ∴解得 ∴拋物線的解析式為y＝2x2－8x＋6. (2)設動點P的坐標為(n，n＋2)，

12、則點C的坐標為(n，2n2－8n＋6)． ∴PC＝(n＋2)－(2n2－8n＋6)＝－2n2＋9n－4＝－2(n－)2＋. ∵－2<0，

13、解析式． 一、選擇題： 1. ( 2019甘肅省蘭州市) （5分）已知，點A（1，y1），B（2，y2）在拋物線y＝－（x+1）2 +2上，則下列結(jié)論正確的是（ ） A. 2> y1> y2 B. 2 > y2 > y1 C. y1> y2>2 D. y2 > y1>2 【答案】A． 【解析】根據(jù)二次函數(shù)頂點式得到函數(shù)的開口向下，對稱軸為直線x＝1，頂點坐標（－1，2 ），根據(jù)函數(shù)增減性可以得到，當x>－1時，y隨x的增大而減小.因為－1<1<2.，所以2> y1> y2 .故選A. 2. （2018?廣西）將拋物線y=x2﹣6x+21

14、向左平移2個單位后，得到新拋物線的解析式為（　　） A．y=（x﹣8）2+5 B．y=（x﹣4）2+5 C．y=（x﹣8）2+3 D．y=（x﹣4）2+3 【答案】D． 【解答】y=x2﹣6x+21 =（x2﹣12x）+21 = [（x﹣6）2﹣36]+21 =（x﹣6）2+3， 故y=（x﹣6）2+3，向左平移2個單位后， 得到新拋物線的解析式為：y=（x﹣4）2+3． 故選：D． 3. （2019?江蘇連云港?3分）如圖，利用一個直角墻角修建一個梯形儲料場ABCD，其中∠C＝120°．若新建墻BC與CD總長為12m，則該梯形儲料場ABCD的最大面積是（　?。? A．

15、18m2 B．18 m2 C．24 m2 D．m2 【答案】C 【解答】解：如圖，過點C作CE⊥AB于E， 則四邊形ADCE為矩形，CD＝AE＝x，∠DCE＝∠CEB＝90°， 則∠BCE＝∠BCD﹣∠DCE＝30°，BC＝12﹣x， 在Rt△CBE中，∵∠CEB＝90°， ∴BE＝BC＝6﹣x， ∴AD＝CE＝BE＝6﹣x，AB＝AE+BE＝x+6﹣x＝x+6， ∴梯形ABCD面積S＝（CD+AB）?CE＝（x+x+6）?（6﹣x）＝﹣x2+3x+18＝﹣（x﹣4）2+24， ∴當x＝4時，S最大＝24． 即CD長為4m時，使梯形儲料場ABCD的面積最大為24m2； 故

16、選：C． 4. （2018?濱州）如圖，若二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）圖象的對稱軸為x=1，與y軸交于點C，與x軸交于點A、點B（﹣1，0），則 ①二次函數(shù)的最大值為a+b+c； ②a﹣b+c＜0； ③b2﹣4ac＜0； ④當y＞0時，﹣1＜x＜3，其中正確的個數(shù)是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B． 解：①∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）圖象的對稱軸為x=1，且開口向下， ∴x=1時，y=a+b+c，即二次函數(shù)的最大值為a+b+c，故①正確； ②當x=﹣1時，a﹣b+c=0，故②錯誤； ③圖象與x軸有2個交點，故b2﹣4ac＞

17、0，故③錯誤； ④∵圖象的對稱軸為x=1，與x軸交于點A、點B（﹣1，0）， ∴A（3，0）， 故當y＞0時，﹣1＜x＜3，故④正確． 故選：B． 二、填空題： 5. （2018·四川自貢·4分）若函數(shù)y=x2+2x﹣m的圖象與x軸有且只有一個交點，則m的值為　﹣1?。? 【分析】由拋物線與x軸只有一個交點，即可得出關(guān)于m的一元一次方程，解之即可得出m的值． 【解答】解：∵函數(shù)y=x2+2x﹣m的圖象與x軸有且只有一個交點， ∴△=22﹣4×1×（﹣m）=0， 解得：m=﹣1． 故答案為：﹣1． 6. (2018四川省綿陽市)右圖是拋物線型拱橋，當拱頂離水面2m時，水面寬

18、4m，水面下降2m，水面寬度增加________m。 【答案】4-4 【解答】解：根據(jù)題意以AB為x軸，AB的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系（如圖）， 依題可得：A（-2,0），B（2,0），C（0,2）， 設經(jīng)過A、B、C三點的拋物線解析式為：y=a（x-2）（x+2）, ∵C（0,2）在此拋物線上， ∴a=- ， ∴此拋物線解析式為：y=- （x-2）（x+2）, ∵水面下降2m， ∴- （x-2）（x+2）=-2, ∴x1=2，x2=-2， ∴下降之后的水面寬為：4. ∴水面寬度增加了：4-4. 故答案為：4-4. 7. （2019?四川省涼山

19、州?5分）當0≤x≤3時，直線y＝a與拋物線y＝（x﹣1）2﹣3有交點，則a的取值范圍是　﹣3≤a≤1　． 【答案】：﹣3≤a≤1 【解答】解：法一：y＝a與拋物線y＝（x﹣1）2﹣3有交點 則有a＝（x﹣1）2﹣3，整理得x2﹣2x﹣2﹣a＝0 ∴△＝b2﹣4ac＝4+4（2+a）≥0 解得a≥﹣3， ∵0≤x≤3，對稱軸x＝1 ∴y＝（3﹣1）2﹣3＝1 ∴a≤1 法二：由題意可知， ∵拋物線的 頂點為（1，﹣3），而0≤x≤3 ∴拋物線y的取值為﹣3≤y≤1 ∵y＝a，則直線y與x軸平行， ∴要使直線y＝a與拋物線y＝（x﹣1）2﹣3有交點， ∴拋物線y的取值

20、為﹣3≤y≤1，即為a的取值范圍， ∴﹣3≤a≤1，故答案為：﹣3≤a≤1 9. 在平面直角坐標系中，拋物線y＝x2的圖象如圖所示．已知A點坐標為（1，1），過點A作AA1∥x軸交拋物線于點A1，過點A1作A1A2∥OA交拋物線于點A2，過點A2作A2A3∥x軸交拋物線于點A3，過點A3作A3A4∥OA交拋物線于點A4……，依次進行下去，則點A2019的坐標為?。ī?010，10102）　． 【答案】（﹣1010，10102）． 【解答】解：∵A點坐標為（1，1）， ∴直線OA為y＝x，A1（﹣1，1）， ∵A1A2∥OA， ∴直線A1A2為y＝x+2， 解得或， ∴A2

21、（2，4）， ∴A3（﹣2，4）， ∵A3A4∥OA， ∴直線A3A4為y＝x+6， 解得或， ∴A4（3，9）， ∴A5（﹣3，9） …， ∴A2019（﹣1010，10102）， 故答案為（﹣1010，10102）． 三、解答題： 10. 某商人將進價為每件8元的某種商品按每件10元出售，每天可銷出100件．他想采用提高售價的辦法來增加利潤．經(jīng)試驗，發(fā)現(xiàn)這種商品每件每提價1元，每天的銷售量就會減少10件． （1）請寫出售價x（元/件）與每天所得的利潤y（元）之間的函數(shù)關(guān)系式； （2）每件售價定為多少元，才能使一天的利潤最大？ 【分析】（1）題中等量關(guān)系為：利潤=

22、（售價﹣進價）×售出件數(shù)，根據(jù)等量關(guān)系列出函數(shù)關(guān)系式； （2）將（1）中的函數(shù)關(guān)系式配方，根據(jù)配方后的方程式即可求出y的最大值． 【解答】解：（1）根據(jù)題中等量關(guān)系為：利潤=（售價﹣進價）×售出件數(shù)， 列出方程式為：y=（x﹣8）[100﹣10（x﹣10）]， 即y=﹣10x2+280x﹣1600（10≤x≤20）； （2）將（1）中方程式配方得： y=﹣10（x﹣14）2+360， ∴當x=14時，y最大=360元， 答：售價為14元時，利潤最大． 11. (2018·石家莊十八縣大聯(lián)考)如圖，曲線BC是反比例函數(shù)y＝(4≤x≤6)的一部分，其中點B(4，1－m)，C(6，

23、－m)，拋物線y＝－x2＋2bx的頂點記作A. (1)求k的值； (2)判斷點A是否與點B重合； (3)若拋物線與BC有交點，求b的取值范圍． 【解析】：(1)∵B(4，1－m)，C(6，－m)在反比例函數(shù)y＝的圖象上， ∴k＝4(1－m)＝6×(－m)． 解得m＝－2. ∴k＝4×[1－(－2)]＝12. (2)∵m＝－2，∴B(4，3)． ∵拋物線y＝－x2＋2bx＝－(x－b)2＋b2， ∴A(b，b2)． 若點A與點B重合，則有b＝4，且b2＝3，顯然不成立， ∴點A不與點B重合． (3)當拋物線經(jīng)過點B(4，3)時，有3＝－42＋2b×4. 解得b＝.

24、 顯然拋物線右半支經(jīng)過點B； 當拋物線經(jīng)過點C(6，2)時，有2＝－62＋2b×6. 解得b＝. 這時仍然是拋物線右半支經(jīng)過點C， ∴b的取值范圍為≤b≤. 12. （2019?貴州畢節(jié)12分）某山區(qū)不僅有美麗風光，也有許多令人喜愛的土特產(chǎn)，為實現(xiàn)脫貧奔小康，某村織村民加工包裝土特產(chǎn)銷售給游客，以增加村民收入．已知某種士特產(chǎn)每袋成本10元．試銷階段每袋的銷售價x（元）與該士特產(chǎn)的日銷售量y（袋）之間的關(guān)系如表： x（元） 15 20 30 … y（袋） 25 20 10 … 若日銷售量y是銷售價x的一次函數(shù)，試求： （1）日銷售量y（袋）與銷售價x（元）的函

25、數(shù)關(guān)系式； （2）假設后續(xù)銷售情況與試銷階段效果相同，要使這種土特產(chǎn)每日銷售的利潤最大，每袋的銷售價應定為多少元？每日銷售的最大利潤是多少元？ 【分析】（1）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，利用待定系數(shù)法，求出日銷售量y（袋）與銷售價x（元）的函數(shù)關(guān)系式即可 （2）利用每件利潤×總銷量＝總利潤，進而求出二次函數(shù)最值即可． 【解答】解： （1）依題意，根據(jù)表格的數(shù)據(jù)，設日銷售量y（袋）與銷售價x（元）的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx+b得 ，解得 故日銷售量y（袋）與銷售價x（元）的函數(shù)關(guān)系式為：y＝﹣x+40 （2）依題意，設利潤為w元，得 w＝（x﹣10）（﹣x+40）＝﹣x2+50x+400

26、整理得w＝﹣（x﹣25）2+225 ∵﹣1＜0 ∴當x＝2時，w取得最大值，最大值為225 故要使這種土特產(chǎn)每日銷售的利潤最大，每袋的銷售價應定為25元，每日銷售的最大利潤是225元． 13. （2019?湖北省咸寧市?12分）如圖，在平面直角坐標系中，直線y＝﹣x+2與x軸交于點A，與y軸交于點B，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過A，B兩點且與x軸的負半軸交于點C． （1）求該拋物線的解析式； （2）若點D為直線AB上方拋物線上的一個動點，當∠ABD＝2∠BAC時，求點D的坐標； （3）已知E，F(xiàn)分別是直線AB和拋物線上的動點，當B，O，E，F(xiàn)為頂點的四邊形是平行四邊形時，直接寫

27、出所有符合條件的E點的坐標． 【分析】（1）求得A.B兩點坐標，代入拋物線解析式，獲得B.c的值，獲得拋物線的解析式． （2）通過平行線分割2倍角條件，得到相等的角關(guān)系，利用等角的三角函數(shù)值相等，得到點坐標． （3）B.O、E.F四點作平行四邊形，以已知線段OB為邊和對角線分類討論，當OB為邊時，以EF＝OB的關(guān)系建立方程求解，當OB為對角線時，OB與EF互相平分，利用直線相交獲得點E坐標． 【解答】解：（1）在中，令y＝0，得x＝4，令x＝0，得y＝2 ∴A（4，0），B（0，2） 把A（4，0），B（0，2），代入，得 ，解得 ∴拋物線得解析式為 （2）如圖，過點B作

28、x軸得平行線交拋物線于點E，過點D作BE得垂線，垂足為F ∵BE∥x軸，∴∠BAC＝∠ABE ∵∠ABD＝2∠BAC，∴∠ABD＝2∠ABE 即∠DBE+∠ABE＝2∠ABE ∴∠DBE＝∠ABE ∴∠DBE＝∠BAC 設D點的坐標為（x，），則BF＝x，DF＝ ∵tan∠DBE＝，tan∠BAC＝ ∴＝，即 解得x1＝0（舍去），x2＝2 當x＝2時，＝3 ∴點D的坐標為（2，3） （3） 當BO為邊時，OB∥EF，OB＝EF 設E（m，），F(xiàn)（m，） EF＝|（）﹣（）|＝2 解得m1＝2，， 當BO為對角線時，OB與EF互相平分 過點O作OF∥AB，直線OF交拋物線于點F（）和（） 求得直線EF解析式為或 直線EF與AB的交點為E，點E的橫坐標為或 ∴E點的坐標為（2，1）或（，）或（）或（）或（） 15