專題123導函數解答題突破第三季領軍高考數學理壓軸題必刷題

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1、專題12-3導函數解答題突破第三季 1．已知函數． 若，，試證明：當時，； 若對任意，均有兩個極值點， 試求b應滿足的條件； 當時，證明：． 【答案】（1）見解析（2），.見解析 ，． 設，則， ，，，， 故在遞減，在遞增， 故至多有2個零點； 當時，，， ，且， 又， 由可知， 是R上的連續(xù)函數， 在，上各有1個零點，， 此時，，為函數的2個不同的極值點， 故符合題意； 當時，取，則在遞減，在遞增， 故， 故時，， 故函數遞增，沒有極值點，不合題意， 綜上，當時，對任意，均有2個極值點； 由知，，為的兩個實數根， ，，在遞減， 下面先

2、證，只需證明， 得， ， 設，， 則， 故在遞減， ，，， 又，時，， 在遞減，， 問題轉化為只需證明， 即證明， 設函數，， 則， 設，則， 在遞增， ，即， 在遞增，， 當時，， 則， ， ． 2．已知函數. （1）當時，求函數的極值； （2）討論函數的單調性. 【答案】（1）見解析；（2）見解析 （2）由， 可得： ①當時，，在為減函數； ②當時，時，，故在為減函數；時，，故在為增函數. 3．已知，函數. （1）討論的單調性； （2）若有兩個零點，求實數的取值范圍. 【答案】（1）詳見解析；（2）. 【解析】 （1

3、）的定義域為，. ①當時，，令，得；令，得， 所以在上單調遞增，上單調遞減. ②當時，， 當，即時，因為，所以在上單調遞增； 當，即時，因為，所以在上單調遞增；在上單調遞減，在上單調遞增； 當，即時，因為，所以在上單調遞增；在上單調遞減，在上單調遞增. （2）由（1）知當時，在上單調遞增，在上單調遞減， 要使有兩個零點，只要，所以.（因為當時，，當時，） 下面我們討論當時的情形： 當，即時，在上單調遞增，不可能有兩個零點； 當，即時，因為， 所以在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增； 因為，，所以，沒有兩個零點； 當時，即時，因為， 所以在上單調遞增，在上單

4、調遞減，在上單調遞增， ，，沒有兩個零點. 綜上所述：當時，有兩個零點. 4．設函數. （Ⅰ）當時，求函數的單調區(qū)間； （Ⅱ）當時，若函數與函數的圖像總有兩個交點，設兩個交點的橫坐標分別為，. ①求的取值范圍； ②求證：. 【答案】（Ⅰ）當時，單調遞增區(qū)間是；單調遞減區(qū)間是. （Ⅱ）①，②見解析 【解析】 （Ⅰ）由已知得，， 由，，令得：， 令得， 所以，當時，單調遞增區(qū)間是；單調遞減區(qū)間是. 解法二：， 由得，；由得，易知，為極大值點. 而在時取得極小值， 由題意，只需滿足，解得. ②由題意知，，為函數的兩個零點，由①知，不妨設，則，且函數

5、在上單調遞增， 欲證，只需證明，而， 所以，只需證明. 令，則 ∴ ∵，∴，即 所以，，即在上為增函數，所以，， ∴成立，所以，. 5．已知函數（為常數）． （Ⅰ）討論函數的單調性； （Ⅱ）是否存在正實數，使得對任意，都有，若存在，求出實數的取值范圍；若不存在，請說明理由； (2)若函數有且只有三個不同的零點，分別記為x1，x2，x3，設x1＜x2＜x3，且的最大值是e2，求x1x3的最大值． 【答案】（1）當m≤0時，函數在區(qū)間(0，+∞)上單調遞增；當m>0時， 函數在(0，)上單調遞增，函數在(，+∞)上單調遞減；（2）. （2）∵ 函數g(x)=(x

6、-e)(lnx-mx)有且只有三個不同的零點， 顯然x=e是其零點， ∴ 函數存在兩個零點，即有兩個不等的實數根． 可轉化為方程在區(qū)間(0，+∞)上有兩個不等的實數根， 即函數y=m的圖象與函數的圖象有兩個交點. ∵， ∴ 由>0，解得，故在上單調遞增； 由<0，解得x>e，故在(e，+∞)上單調遞減； 故函數y=m的圖象與的圖象的交點分別在(0，e)，(e，+∞)上， 即lnx-mx=0的兩個根分別在區(qū)間(0，e)，(e，+∞)上， ∴ g(x)的三個不同的零點分別是x1，e，x3，且0e． 令，則t∈． 由，解得 故，t∈． 令，則． 令，則． 所以在區(qū)間上單調遞增，即>． 所以，即在區(qū)間上單調遞增， 即≤=， 所以，即x1x3≤， 所以x1x3的最大值為．學_科網