浙江省2018年中考數(shù)學總復習 第四章 基本圖形(一)第21講 矩形講解篇

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1、 第21講　矩形、菱形與正方形 1．矩形 考試內(nèi)容 考試 要求 矩形的定義 有一個角是 的平行四邊形叫做矩形． b 矩形的性質 (1)矩形具有平行四邊形所有的性質． c (2)矩形的四個角都是 ，對角線互相平分并且 ． (3)矩形既是一個軸對稱圖形，它有兩條對稱軸；又是中心對稱圖形，它的對稱中心就是 ． 矩形的判定 (1)定義法. (2)有三個角是直角的四邊形是矩形． (3) 的平行四邊形是矩形． 2.菱形 考試內(nèi)容 考試 要

2、求 菱形的定義 有一組 的平行四邊形叫做菱形． b 菱形的性質 (1)菱形具有平行四邊形所有的性質． c (2)菱形的四條邊 ，對角線互相 ，并且每條對角線平分一組對角． (3)菱形既是一個軸對稱圖形，兩條對角線所在的直線是它的對稱軸；又是中心對稱圖形，它的對稱中心就是 ． (4)菱形的面積等于對角線乘積的 ． 菱形的判定 (1)定義法． (2)四條邊 的四邊形是菱形． (3)對角

3、線 的平行四邊形是菱形． 3.正方形 考試內(nèi)容 考試 要求 正方形 的定義 有一組鄰邊 ，并且有一個角是_______________的平行四邊形叫做正方形． b 正方形 的性質 (1)正方形的四條邊 ，四個角都是 ，對角線互相 且 ，并且每一條對角線平分一組對角，具有矩形和菱形的所有性質． c (2)正方形既是軸對稱圖形也是中心對稱圖形，對稱軸有_____________條，對稱中心是對角線的

4、交點． 正方形 的判定 (1)有一組鄰邊相等的____________________是正方形. (2)有一個角是直角的 是正方形． (3)對角線 的四邊形是正方形． 4.平行四邊形、矩形、菱形、正方形的關系 考試內(nèi)容 考試 要求 基本 方法 正方形的判定可簡記為：菱形＋矩形＝正方形，其證明思路有兩個：先證四邊形是菱形，再證明它有一個角是直角或對角線相等(即矩形)；或先證四邊形是矩形，再證明它有一組鄰邊相等或對角線互相垂直(即菱形)． c 1．(2016·杭州)在菱形ABCD中，∠A＝

5、30°，在同一平面內(nèi)，以對角線BD為底邊作頂角為120°的等腰三角形BDE，則∠EBC的度數(shù)為____________________． 2．(2016·衢州)如圖，已知BD是矩形ABCD的對角線． (1)用直尺和圓規(guī)作線段BD的垂直平分線，分別交AD、BC于E、F(保留作圖痕跡，不寫作法和證明)． (2)連結BE，DF，問四邊形BEDF是什么四邊形？請說明理由． 　　　　　　　　 【問題】矩形、菱形、正方形都是平行四邊形，但它們都是有特殊條件的平行四邊形．正方形不僅是特殊的平行四邊形，而且是鄰邊相等的特殊矩形，也是有一個角是直角的特殊菱形．因此，我們可以利用矩形

6、、菱形的性質來研究正方形的有關問題，回答下列問題： (1)將平行四邊形、矩形、菱形、正方形填入它們的包含關系圖中： (2)要證明一個四邊形是正方形，可以先證明四邊形是矩形，再證明這個矩形的________相等；或者先證明四邊形是菱形，再證明這個菱形有一角是________． (3)如圖菱形ABCD，某同學根據(jù)菱形面積計算公式推導出對角線長為a的正方形面積是S＝a2，對此結論，你認為是否正確？若正確，請給予證明；若不正確，舉出一個反例來說明． 【歸納】通過開放式問題，歸納、疏理平行四邊形、矩形、菱形、正方形的關系，以及性質與判定． 類型一

7、　矩形的性質與判定 　(1)如圖，四邊形ABCD的對角線互相平分，要使它變?yōu)榫匦危枰砑拥臈l件是(　) A．AB＝CD B．AC＝BD C．AB＝BC D．AC⊥BD (2)如圖，在矩形ABCD中，有以下結論： ①△AOB是等腰三角形；②S△ABO＝S△ADO；③AC＝BD；④AC⊥BD；⑤當∠ABD＝45°時，矩形ABCD會變成正方形；⑥AC所在直線為對稱軸；⑦矩形ABCD的周長是28，點E是CD的中點，AC＝10時，△DOE的周長是12.則正確結論的序號是________． 【解后感悟】(1)結合圖形，利用圖形條

8、件、已知條件綜合判定；(2)熟記各種特殊幾何圖形，利用性質、揭示圖形的數(shù)量關系是解題關鍵． 1． (1)(2015·南昌)如圖，小賢為了檢驗四邊形的不穩(wěn)定性，將四根木條用釘子釘成一個矩形框架ABCD，B與D兩點之間用一根橡皮筋拉直固定，然后向右扭動框架，觀察所得四邊形的變化，下列判斷錯誤的是(　　) A．四邊形ABCD由矩形變?yōu)槠叫兴倪呅? B．BD的長度增大 C．四邊形ABCD的面積不變 D．四邊形ABCD的周長不變 (2)(2015·臨沂)如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，延長AD到E，使DE＝AD，連結EB，EC，DB，添加一個條件，不能使四邊形DBCE成為矩形的是(　

9、　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．AB＝BE B．DE⊥DC C．∠ADB＝90° D．CE⊥DE 2．(2017·南京模擬)如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，M，N分別是AB，CD的中點，P是AD上的點，且∠PNB＝3∠CBN. (1)求證：∠PNM＝2∠CBN； (2)求線段AP的長． 類型二　菱形的性質與判定 　(1)如圖，菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，E是AD的中點，連結OE， ①若菱形的邊長是1

10、0，一條對角線長是12，則此菱形的另一條對角線長是______． ②若OE＝3，則菱形的周長是________． ③若∠ABC＝60°，周長是16，則菱形的面積是________． (2)已知四邊形ABCD是平行四邊形，再從①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD四個條件中，選一個作為補充條件后，使得四邊形ABCD是菱形，現(xiàn)有下列四種選法，其中都正確的是(　) A．①或② B．②或③ C．③或④ D．①或④ 【解后感悟】(1)熟記各種特殊幾何圖形，利用性質、揭示圖形的數(shù)量關系是解題關鍵；(2)結合圖形，利用

11、圖形條件、已知條件綜合判定． 3． (1)(2015·黔東南州)如圖，四邊形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于H，則DH＝(　　) A. B. C．12 D．24 (2)如圖，在△ABC中，點D是BC的中點，點E，F(xiàn)分別在線段AD及其延長線上，且DE＝DF.給出下列條件： ①BE⊥EC；②BF∥CE；③AB＝AC； 從中選擇一個條件使四邊形BECF是菱形，你認為這個條件是____________________(只填寫序號)． (3) (2016·梅州)如圖，在平行

12、四邊形ABCD中，以點A為圓心，AB長為半徑畫弧交AD于點F，再分別以點B、F為圓心，大于BF長為半徑畫弧，兩弧交于一點P，連結AP并延長交BC于點E，連結EF. ①四邊形ABEF是____________________；(選“矩形”、“菱形”、“正方形”或“無法確定”)(直接填寫結果) ②AE，BF相交于點O，若四邊形ABEF的周長為40，BF＝10，則AE的長為____________________，∠ABC＝____________________°.(直接填寫結果) 4．如圖，在△ABC中，D、E分別是AB、AC的中點，BE＝2DE，延長DE到點F，使得EF＝BE，連結C

13、F. (1)求證：四邊形BCFE是菱形； (2)若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面積． 類型三　正方形的性質與判定 　如圖，在正方形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，E、F分別在OD、OC上，且DE＝CF，連結DF、AE，AE的延長線交DF于點M.求證：AM⊥DF. 【解后感悟】正方形是特殊的平行四邊形，還是特殊的矩形，特殊的菱形，因此正方形具有這些圖形的所有性質．正方形的判定方法有兩條道路：(1)先判定四邊形是矩形，再判定這個矩形是菱形；(2)先判定四邊形是菱形，再判定這個菱形是矩形． 5． (1)(2015·

14、日照)小明在學習了正方形之后，給同桌小文出了道題，從下列四個條件：①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD中選兩個作為補充條件，使?ABCD為正方形(如圖)，現(xiàn)有下列四種選法，你認為其中錯誤的是(　　) A．①② B．②③ C．①③ D．②④ (2)如圖，四邊形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠CDA＝90°，BE⊥AD于點E，且四邊形ABCD的面積為8，則BE＝(　　) A．2 B．3 C．2 D．2 (3) (201

15、5·黃岡)如圖，在正方形ABCD中，點F為CD上一點，BF與AC交于點E.若∠CBF＝20°，則∠AED等于____________________度． 6．(2017·紹興模擬)如圖，正方形AEFG的頂點E、G在正方形ABCD的邊AB、AD上，連結BF、DF. (1)求證：BF＝DF； (2)連結CF，請直接寫出BE∶CF的值(不必寫出計算過程)． 　　　　　　　　 類型四　特殊平行四邊形的綜合運用 　(2016·臨沂)如圖1，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別是邊BC，AB上的點，且CE＝BF.連結DE，過點E作EG⊥DE，使EG＝DE，連結FG，F(xiàn)C. (1)

16、請判斷：FG與CE的數(shù)量關系是　　　　　　　　，位置關系是　　　　　　　?。? (2)如圖2，若點E，F(xiàn)分別是邊CB，BA延長線上的點，其他條件不變，(1)中結論是否仍然成立？請作出判斷并給予證明； (3)如圖3，若點E，F(xiàn)分別是邊BC，AB延長線上的點，其他條件不變，(1)中結論是否仍然成立？請直接寫出你的判斷． 【解后感悟】本題是三角形與四邊形綜合問題，涉及全等三角形、平行四邊形、矩形、正方形的判定與性質．解題的關鍵是利用全等三角形的對應邊相等進行線段的等量代換，從而求證出平行四邊形． 7． 如圖，點P是正方形ABCD的對角線BD上一點，P

17、E⊥BC于點E，PF⊥CD于點F，連結EF.給出下列五個結論：①AP＝EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE＝∠BAP；⑤PD＝EC.其中正確結論的序號是____________________． 8．(2016·荊州)如圖，將一張直角三角形ABC紙片沿斜邊AB上的中線CD剪開，得到△ACD，再將△ACD沿DB方向平移到△A′C′D′的位置，若平移開始后點D′未到達點B時，A′C′交CD于E，D′C′交CB于點F，連結EF，當四邊形EDD′F為菱形時，試探究△A′DE的形狀，并判斷△A′DE與△EFC′是否全等？請說明理由． 　　　　　　　　

18、 【課本改變題】 教材母題－－浙教版八下第147頁，作業(yè)題第5題 (1)如圖1，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，AE，BF交于點O，∠AOF＝90°. 求證：BE＝CF； 　 (2)如圖2，在正方形ABCD中，點E，H，F(xiàn)，G分別在邊AB，BC，CD，DA上，EF，GH交于點O，∠FOH＝90°，EF＝4.求GH的長； (3)已知點E，H，F(xiàn)，G分別在矩形ABCD的邊AB，BC，CD，DA上，EF，GH交于點O，∠FOH＝90°，EF＝4.直接寫出下列兩題的答案： ①如圖3，矩形ABCD由2個全等的正方形組成，求GH的長； ②如圖4，矩形ABCD由n個全等的

19、正方形組成，求GH的長(用n的代數(shù)式表示)． 【方法與對策】這題是從特殊到一般的規(guī)律探究題．從課本題出發(fā)逐步提出問題，解決問題，然后根據(jù)這些解題體驗，領悟解題方法，再來解決一般性問題，這是中考命題熱點之一，平時學習要重視一些典型的基本圖形． 【由于思維定勢，對問題考慮不全】 若正方形ABCD的邊長為4，E為BC邊上一點，BE＝3，M為線段AE上一點，射線BM交正方形的一邊于點F，且BF＝AE，則BM的長為________． 參考答案 第21講　矩形、菱形與正方形 【考點概要】 1．直角　直角　相等　對角線的交點　對角線相

20、等　2.鄰邊相等　相等　垂直平分　對角線的交點　一半 相等　互相垂直　3.相等　直角　相等　直角　垂直平分　相等　四　矩形　菱形　互相垂直平分且相等 4.兩組對邊分別平行　有一個角是直角　有一組鄰邊相等　有一組鄰邊相等　有一個角是直角 【考題體驗】 1．105°或45°　 2． (1)如圖，EF為所求直線；　(2)四邊形BEDF為菱形，理由為：證明：∵EF垂直平分BD，∴BE＝DE，∠DEF＝∠BEF，∵AD∥BC，∴∠DEF＝∠BFE，∴∠BEF＝∠BFE，∴BE＝BF，∵BF＝DF，∴BE＝ED＝DF＝BF，∴四邊形BEDF為菱形． 【知識引擎】 【解析】(1)根據(jù)

21、在平行四邊形中，鄰邊相等的是菱形，鄰邊垂直的是矩形，而既是矩形又是菱形的平行四邊形是正方形，可根據(jù)此關系來畫圖．如圖 (2)根據(jù)正方形的判定方法進行解答即可．即兩種常見的方法：①一組鄰邊相等的矩形是正方形．②一個角是直角的菱形是正方形．∴填：一組鄰邊，直角．(3)本題的證明方法有多種，可根據(jù)正方形的對角線互相垂直平分且相等，將正方形分成四個直角三角形的面積和來求證，也可通過對角線求出正方形的邊長來求證．∴結論正確．證明：S正方形ABCD＝S△AOB＋S△AOD＋S△COD＋S△BOC＝4××a×a＝a2. 【例題精析】 例1　(1)B；(2)①②③⑤⑦　例2　(1)①16?、?4　③

22、8　(2)D　 例3　證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴OD＝OC.又∵DE＝CF，∴OD－DE＝OC－CF，即OF＝OE，在Rt△AOE和Rt△DOF中，∴△AOE≌△DOF，∴∠OAE＝∠ODF.∵∠OAE＋∠AEO＝90°，∠AEO＝∠DEM，∴∠ODF＋∠DEM＝90°，即可得AM⊥DF.　 例4　(1)FG＝CE，F(xiàn)G∥CE；(2)過點G作GH⊥CB的延長線于點H，∵EG⊥DE，∴∠GEH＋∠DEC＝90°，∵∠GEH＋∠HGE＝90°，∴∠DEC＝∠HGE，在△HGE與△CED中，，∴△HGE≌△CED(AAS)，∴GH＝CE，HE＝CD，∵CE＝BF，∴GH＝BF，∵GH∥B

23、F，∴四邊形GHBF是矩形，∴GF＝BH，F(xiàn)G∥CH，∴FG∥CE，∵四邊形ABCD是正方形，∴CD＝BC，∴HE＝BC，∴HE＋EB＝BC＋EB，∴BH＝EC，∴FG＝EC.　(3)成立．∵四邊形ABCD是正方形，∴BC＝CD，∠FBC＝∠ECD＝90°，在△CBF與△DCE中，，∴△CBF≌△DCE(SAS)，∴∠BCF＝∠CDE，CF＝DE，∵EG＝DE，∴CF＝EG，∵DE⊥EG，∴∠DEC＋∠CEG＝90°，∵∠CDE＋∠DEC＝90°，∴∠CDE＝∠CEG，∴∠BCF＝∠CEG，∴CF∥EG，∴四邊形CEGF是平行四邊形，∴FG∥CE，F(xiàn)G＝CE. 【變式拓展】 1．

24、(1)C　(2)B　 2.(1)∵四邊形ABCD是矩形，M，N分別是AB，CD的中點，∴MN∥BC，∴∠CBN＝∠MNB，∵∠PNB＝3∠CBN，∴∠PNM＝2∠CBN； (2)連結AN，根據(jù)矩形的軸對稱性，可知∠PAN＝∠CBN，∵MN∥AD，∴∠PAN＝∠ANM，由(1)知∠PNM＝2∠CBN，∴∠PAN＝∠PNA，∴AP＝PN，∵AB＝CD＝4，M，N分別為AB，CD的中點，∴DN＝2，設AP＝x，則PD＝6－x，在Rt△PDN中，PD2＋DN2＝PN2，∴(6－x)2＋22＝x2，解得：x＝，所以AP＝. 　3.(1)A　(2)③　(3)①菱形　②10　120　 4. (1

25、)略；　(2)∵∠BCF＝120°，∴∠EBC＝60°，∴△EBC是等邊三角形，∴菱形的邊長為4，高為2，∴菱形的面積為4×2＝8.　 5. (1)B　(2)C (3)65　 6. (1)只要證明△BEF≌△DGF(SAS)，∴BF＝DF；　(2)∵BF＝DF，∴點F在對角線AC上，∵AD∥EF∥BC，∴BE∶CF＝AE∶AF＝AE∶AE＝，∴BE∶CF＝.　 7.①②④⑤　 8.當四邊形EDD′F為菱形時，△A′DE是等腰三角形，△A′DE≌△EFC′.理由：∵△BCA是直角三角形，∠ACB＝90°，AD＝DB，∴CD＝DA＝DB，∴∠DAC＝∠DCA，∵A′C′∥AC，∴∠

26、DA′E＝∠A，∠DEA′＝∠DCA，∴∠DA′E＝∠DEA′，∴DA′＝DE，∴△A′DE是等腰三角形，∵四邊形DEFD′是菱形，∴EF＝DE＝DA′，EF∥DD′，∴∠C′EF＝∠DA′E，∠EFC′＝∠C′D′A′，∵CD∥C′D′，∴∠A′DE＝∠A′D′C′＝∠EFC′，在△A′DE和△EFC′中∴△A′DE≌△EFC′. 【熱點題型】 【分析與解】(1)證明：如圖1，∵四邊形ABCD為正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°，∴∠EAB＋∠AEB＝90°.∵∠EOB＝∠AOF＝90°，∴∠FBC＋∠AEB＝90°，∴∠EAB＝∠FBC，∴△ABE≌△BCF，∴BE＝CF.　 (2)如圖，過點A作AM∥GH交BC于M，過點B作BN∥EF交CD于N，AM與BN交于點O′，則四邊形AMHG和四邊形BNFE均為平行四邊形，∴EF＝BN，GH＝AM，∵∠FOH＝90°，AM∥GH，EF∥BN，∴∠NO′A＝90°，故由(1)得，△ABM≌△BCN，∴AM＝BN，∴GH＝EF＝4.　(3)①8?、?n. 【錯誤警示】由題中射線BM交正方形的一邊于點F知有如下兩種情形： ∴BM＝或 14