重慶市2018年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七章 圖形的變化 數(shù)學(xué)文化講堂（六）練習(xí)

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1、 數(shù)學(xué)文化講堂(六) 將軍飲馬問(wèn)題 唐朝詩(shī)人李頎的詩(shī)《古從軍行》開(kāi)頭兩句說(shuō)：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題． 如圖所示，詩(shī)中將軍在觀望烽火之后從山腳下的A點(diǎn)出發(fā)，走到河邊飲馬后再到B點(diǎn)宿營(yíng)，請(qǐng)問(wèn)怎樣走才能使總的路程最短？ 這個(gè)問(wèn)題早在古羅馬時(shí)代就有了，傳說(shuō)亞歷山大有一位精通數(shù)學(xué)和物理的學(xué)者，名叫海倫．一天，一位羅馬將軍專(zhuān)程去拜訪他，向他請(qǐng)教這個(gè)百思不得其解的問(wèn)題． 從此，這個(gè)被稱(chēng)為“將軍飲馬”的問(wèn)題廣泛流傳． 1. 你能解決上面的問(wèn)題嗎？請(qǐng)畫(huà)圖說(shuō)明． 2. 請(qǐng)利用將軍飲馬問(wèn)題的模型解決下列問(wèn)題： (1)幾何應(yīng)用：如圖①，等腰直角

2、三角形ABC的直角邊長(zhǎng)為2，E是斜邊AB的中點(diǎn)，P是AC邊上的一動(dòng)點(diǎn)，則PB＋PE的最小值為_(kāi)_______． (2)幾何拓展：如圖②，△ABC中，AB＝2，∠BAC＝30°，若在AC、AB上各取一點(diǎn)M、N，使BM＋MN的值最小，求這個(gè)最小值； (3)代數(shù)應(yīng)用：求代數(shù)式＋(0≤x≤4)的最小值． 第2題圖 答案 1. 解：如解圖所示，從A出發(fā)向河岸引垂線，垂足為D，在AD的延長(zhǎng)線上，取A關(guān)于河岸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′，連接A′B，與河岸線相交于C，則C點(diǎn)就是飲馬的地方，將軍只要從A出發(fā)，沿直線走到C，飲馬之后，再由C沿直線走到B，所走的路程就是最短的． 如果將軍在河邊的另外任一點(diǎn)C′

3、飲馬，所走的路程就是AC′＋C′B，但是，AC′＋C′B＝A′C′＋C′B>A′B＝A′C＋CB＝AC＋CB. 可見(jiàn)，在C點(diǎn)外任何一點(diǎn)C′飲馬，所走的路程都要遠(yuǎn)一些． 這有幾點(diǎn)需要說(shuō)明的： (1)由作法可知，河流l相當(dāng)于線段AA′的中垂線，所以AD＝A′D. (2)將軍走的路程是AC＋BC，就等于A′C＋BC，而兩點(diǎn)之間線段最短，所以C點(diǎn)為最優(yōu)． 第1題解圖 2. 解：(1)； 【解法提示】如解圖①所示，作點(diǎn)B關(guān)于AC對(duì)稱(chēng)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′，連接B′E交AC于點(diǎn)P， 第2題解圖① 此時(shí)PB＋PE的值最小．連接AB′. 在Rt△ACB中， AB′＝AB＝＝＝2. ∴AE

4、＝AB＝， ∵∠B′AC＝∠BAC＝45°， ∴∠B′AB＝90°， ∴PB＋PE的最小值＝B′E＝＝＝. (2)如解圖②，作點(diǎn)B關(guān)于AC對(duì)稱(chēng)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′，過(guò)B′作B′N(xiāo)⊥AB于N，交AC于M.連接BM，AB′，此時(shí)BM＋MN的值最小，即BM＋MN＝B′M＋MN＝B′N(xiāo). ∵點(diǎn)B′與B關(guān)于AC對(duì)稱(chēng)， ∴AB′＝AB， 又∵∠BAC＝30°， ∴∠B′AB＝60°， ∴△B′AB是等邊三角形， ∴B′B＝AB＝2，∠B′BN＝60°， 又∵B′N(xiāo)⊥AB， ∴B′N(xiāo)＝B′B·sin∠B′BN＝2×＝； 第2題解圖② (3)構(gòu)造圖形，如解圖③所示， 其中AB＝4，AC＝1，DB＝2，AP＝x，CA⊥AB于點(diǎn)A，DB⊥AB于點(diǎn)B. ∵PC＋PD＝＋， ∴所求的最小值就是求PC＋PD的最小值． 作點(diǎn)C關(guān)于AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C′，過(guò)C′作C′E⊥DB，交DB延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.則C′E＝AB＝4，DE＝2＋1＝3， ∴C′D＝＝＝5， ∴所求代數(shù)式的最小值是5. 第2題解圖③ 3