福建省長泰一中高中數(shù)學(xué) 232《拋物線的簡單幾何性質(zhì)》課件 新人教A版選修11

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1、新人教版選修1-1全套課件2.3.2拋物線的簡單幾何性質(zhì)教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo) 知識與技能目標(biāo)知識與技能目標(biāo) 使學(xué)生理解并掌握拋物線的幾何性質(zhì)，并能從拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程出發(fā)，推導(dǎo)這些性質(zhì) 從拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程出發(fā)，推導(dǎo)拋物線的性質(zhì)，從而培養(yǎng)學(xué)生分析、歸納、推理等能力 過程與方法目標(biāo) 復(fù)習(xí)與引入過程復(fù)習(xí)與引入過程 1拋物線的定義是什么？ 請一同學(xué)回答應(yīng)為：“平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡叫做拋物線” 2拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？ 再請一同學(xué)回答應(yīng)為：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2=2px(p0)，y2=-2px(p0)，x2=2py(p0)和x2=-2py(p0) 下面我們類比橢圓、雙曲線的幾

2、何性質(zhì)，從拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程y2=2px(p0)出發(fā)來研究它的幾何性質(zhì)板書拋物線的幾何性質(zhì)yxoMFdK復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)結(jié)合拋物線結(jié)合拋物線y2=2px(p0)的標(biāo)準(zhǔn)方程和圖形的標(biāo)準(zhǔn)方程和圖形,探索探索其的幾何性質(zhì)其的幾何性質(zhì):(1)范圍范圍(2)對稱性對稱性(3)頂點頂點類比探索類比探索x0,yR關(guān)于關(guān)于x軸對稱軸對稱,對稱軸對稱軸又叫拋物線的軸又叫拋物線的軸.拋物線和它的軸的交點拋物線和它的軸的交點.XY(4)離心率離心率(5)焦半徑焦半徑(6)通徑通徑始終為常數(shù)始終為常數(shù)1通過焦點且垂直對稱軸的直線，與拋物線相通過焦點且垂直對稱軸的直線，與拋物線相交于兩點，連接這兩點的線段叫做拋物線的交于兩點，連

3、接這兩點的線段叫做拋物線的通徑。通徑。|PF|=x0+p/2xOyFP通徑的長度通徑的長度：2P思考思考：通徑是拋物線的焦點弦中最短的弦嗎？利用拋物線的利用拋物線的頂點頂點、通徑的兩個、通徑的兩個端點端點可較準(zhǔn)確畫出可較準(zhǔn)確畫出反映拋物線基本特征的草圖。反映拋物線基本特征的草圖。特點特點1.拋物線只位于半個坐標(biāo)平面內(nèi)拋物線只位于半個坐標(biāo)平面內(nèi),雖然它可以無雖然它可以無限延伸限延伸,但它沒有漸近線但它沒有漸近線;2.拋物線只有一條對稱軸拋物線只有一條對稱軸,沒有對稱中心沒有對稱中心;3.拋物線只有一個頂點、一個焦點、一條準(zhǔn)線拋物線只有一個頂點、一個焦點、一條準(zhǔn)線;4.拋物線的離心率是確定的拋物線

4、的離心率是確定的,為為1;5.拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中的p對拋物線開口的影響對拋物線開口的影響.P越大越大,開口越開闊開口越開闊圖圖 形形方程方程焦點焦點準(zhǔn)線準(zhǔn)線 范圍范圍 頂點頂點 對稱軸對稱軸elFyxOlFyxOlFyxOlFyxOy2 = 2px（p0）y2 = -2px（p0）x2 = 2py（p0）x2 = -2py（p0）)0 ,2(pF)0 ,2(pF )2, 0(pF)2, 0(pF2px 2px 2py 2pyx0yRx0yRy0 xRy 0 xR(0,0)x軸軸y軸軸1變式變式: 頂點在坐標(biāo)原點頂點在坐標(biāo)原點,對稱軸是坐標(biāo)軸對稱軸是坐標(biāo)軸,并且過點并且過點M(2

5、, )的拋物線有幾條的拋物線有幾條,求它的標(biāo)準(zhǔn)方程求它的標(biāo)準(zhǔn)方程.2 2典型例題：典型例題：例例1.已知拋物線關(guān)于已知拋物線關(guān)于x軸對稱，軸對稱，頂點在坐標(biāo)頂點在坐標(biāo)原點原點,并且過點并且過點M(2, ),求它的標(biāo)準(zhǔn)方程求它的標(biāo)準(zhǔn)方程.2 2當(dāng)焦點在當(dāng)焦點在x(y)軸上軸上,開口方向不定時開口方向不定時,設(shè)為設(shè)為y2=2mx(m 0)(x2=2my (m0),可避免討論可避免討論)0(2),22, 2(2PPxyMx程為所以，可設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方點點，并且經(jīng)過軸對稱，它的頂點在原解：因為拋物線關(guān)于222)22(2pPM，即在拋物線上，所以因為點xy42準(zhǔn)方程是因此，所求拋物線的標(biāo)xyOFABBA22

6、4 ,(1)4 ,yxxx代代入入方方程程得得.0162xx化簡得84)(216212212121xxxxABxxxx。的長是所以，線段8AB例例2.斜率為斜率為1的直線的直線L經(jīng)過拋物線經(jīng)過拋物線 的焦點的焦點F,且與拋物線相交于且與拋物線相交于A,B兩點兩點,求線段求線段AB的長的長.y2 = 4x解法一解法一:由已知得拋物線的焦點由已知得拋物線的焦點為為F(1,0),所以直線所以直線AB的方程為的方程為y=x-1xyOFABBA.,),(),(2211BAddlBAyxByxA的距離分別為準(zhǔn)線到設(shè), 1, 121xdBFxdAFBA由拋物線的定義可知1228ABAFBFxx 所所以以例例

7、2.斜率為斜率為1的直線的直線L經(jīng)過拋物線經(jīng)過拋物線 的焦點的焦點F,且與拋物線相交于且與拋物線相交于A,B兩點兩點,求線段求線段AB的長的長.y2 = 4x2,1,2pp . 1:xl準(zhǔn)線解法二解法二:由題意可知由題意可知, 變式：變式： 過拋物線過拋物線y2=2px的焦點的焦點F任作一條直線任作一條直線m，交這拋物線于交這拋物線于A、B兩點，求證：以兩點，求證：以AB為直徑的圓為直徑的圓和這拋物線的準(zhǔn)線相切和這拋物線的準(zhǔn)線相切證明：如圖 所以所以EH是以是以AB為直徑的為直徑的圓圓E的半徑，且的半徑，且EHl，因，因而圓而圓E和準(zhǔn)線和準(zhǔn)線l相切相切設(shè)設(shè)AB的中點為的中點為E，過，過A、E、

8、B分別向準(zhǔn)線分別向準(zhǔn)線l引垂引垂線線AD，EH，BC，垂足為，垂足為D、H、C，則則AFAD，BFBCABAFBFADBC =2EH練習(xí)練習(xí):1.已知拋物線的頂點在原點，對稱軸為已知拋物線的頂點在原點，對稱軸為x軸，軸，焦點在直線焦點在直線3x-4y-12=0上，那么拋物線通徑上，那么拋物線通徑長是長是_.2.過拋物線過拋物線 的焦點的焦點,作傾斜角為作傾斜角為的直線的直線,則被拋物線截得的弦長為則被拋物線截得的弦長為_3.垂直于垂直于x軸的直線交拋物線軸的直線交拋物線y2=4x于于A、B,且且|AB|=4 ,求直線求直線AB的方程的方程.1616 y2 = 8x0453X=3例例3.過拋物線

9、焦點過拋物線焦點F的直線交拋物線于的直線交拋物線于A,B兩點兩點,通過點通過點A和拋物線頂點的直線交拋物線的準(zhǔn)線于和拋物線頂點的直線交拋物線的準(zhǔn)線于點點D,求證求證:直線直線DB平行于拋物線的對稱軸平行于拋物線的對稱軸.xOyFABD例例3 過拋物線焦點過拋物線焦點F的直線交拋物線于的直線交拋物線于A,B兩點，通過點兩點，通過點A和拋物線頂點的和拋物線頂點的直線交拋物線的準(zhǔn)線于點直線交拋物線的準(zhǔn)線于點D，求證：直線，求證：直線DB平行于拋物線的對稱軸。平行于拋物線的對稱軸。,22pxyx物線的方程為建立直角坐標(biāo)系。設(shè)拋軸，它的頂點為原點，軸為證明：以拋物線的對稱,2),2(0020 xypyO

10、AypyA的方程為則直線的坐標(biāo)為點2px拋物線的準(zhǔn)線是.02ypyD的縱坐標(biāo)為聯(lián)立可得點.222),0 ,2(200ppypxyyAFpF方程為的所以直線的坐標(biāo)是因為點.02ypyB的縱坐標(biāo)為聯(lián)立可得點軸。所以xDB/xyOFABD小結(jié)小結(jié):1.掌握拋物線的掌握拋物線的幾何性質(zhì)幾何性質(zhì):范圍、對稱性、頂點、范圍、對稱性、頂點、離心率、通徑離心率、通徑;2.會利用拋物線的幾何性質(zhì)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、會利用拋物線的幾何性質(zhì)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點坐標(biāo)及解決其它問題焦點坐標(biāo)及解決其它問題;圖形圖形標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程范圍范圍對稱性對稱性頂點頂點離心率離心率)0(2ppxy2 2)0(2ppyx2 2)0

11、(2ppyx2 2Ryx, 0)0,0(Ryx, 0Rxy, 0Rxy, 0)0,0()0,0()0,0(關(guān)于關(guān)于x 軸軸對稱，無對稱，無對稱中心對稱中心關(guān)于關(guān)于x 軸軸對稱，無對稱，無對稱中心對稱中心關(guān)于關(guān)于y 軸軸對稱，無對稱，無對稱中心對稱中心關(guān)于關(guān)于y 軸軸對稱，無對稱，無對稱中心對稱中心e=1e=1e=1e=1)0(2ppxy2 2 分析分析:直線與拋物直線與拋物線有一個公共點線有一個公共點的情況有兩種情的情況有兩種情形：一種是直線形：一種是直線平行于拋物線的平行于拋物線的對稱軸；對稱軸；另一種是直線與另一種是直線與拋物線相切拋物線相切 判斷直線與拋物線位置關(guān)系的操作程序判斷直線與拋

12、物線位置關(guān)系的操作程序把直線方程代入拋物線方程把直線方程代入拋物線方程得到一元一次方程得到一元一次方程得到一元二次方程得到一元二次方程直線與拋物線的直線與拋物線的對稱軸平行對稱軸平行相交（一個交點）相交（一個交點） 計計 算算 判判 別別 式式0=00 分析分析:直線與拋物線沒有公直線與拋物線沒有公共點時共點時0 個公共點。即直線與拋物線只有一時，或，或綜上所述，當(dāng)0211kkk公共點。即直線與拋物線有兩個時，且當(dāng)0,211kk共點。即直線與拋物線沒有公時，或當(dāng)211kk注注:在方程中在方程中,二次項系數(shù)含有二次項系數(shù)含有k,所以要對所以要對k進(jìn)行討論進(jìn)行討論作圖要點作圖要點:畫出直線與拋物線

13、只有一個公共點時的情畫出直線與拋物線只有一個公共點時的情形形,觀察直線繞點觀察直線繞點P轉(zhuǎn)動的情形轉(zhuǎn)動的情形變式一變式一:已知拋物線方程已知拋物線方程y2=4x,當(dāng)當(dāng)b為何值時為何值時,直線直線l:y=x+b與拋物線與拋物線(1)只有一個公共點只有一個公共點(2)兩個公共兩個公共點點(3)沒有公共點沒有公共點.當(dāng)直線與拋物線有公共點時當(dāng)直線與拋物線有公共點時,b的的最大值是多少最大值是多少?分析分析:本題與例本題與例1類型相似類型相似,方法一樣方法一樣,通通過聯(lián)立方程組求得過聯(lián)立方程組求得.(1)b=1 (2)b1,當(dāng)直線與拋物線有公共點時當(dāng)直線與拋物線有公共點時,b的的最大值當(dāng)直線與拋物線相

14、切時取得最大值當(dāng)直線與拋物線相切時取得.其值其值為為1變式二變式二:已知實數(shù)已知實數(shù)x、y滿足方程滿足方程y2=4x,求函數(shù)求函數(shù) 的最值的最值12yzx 變式三變式三:點點(x,y)在拋物線在拋物線y2=4x上運動上運動,求函數(shù)求函數(shù)z=x-y的最值的最值.本題轉(zhuǎn)化為過定點本題轉(zhuǎn)化為過定點(-2,1)的直線與拋物線有公共點時的直線與拋物線有公共點時斜率的最值問題斜率的最值問題.本題轉(zhuǎn)化為直線本題轉(zhuǎn)化為直線y=x-z與拋物線有公共點時與拋物線有公共點時z的最值的最值問題問題.min1z 無最大值無最大值1 21minmaxkkxyBAFO221122122(0)(,),(,),:.ypx pA

15、BA xyB xyy yp 例例2、2、過過拋拋物物線線焦焦點點作作直直線線交交拋拋物物線線于于， 兩兩點點，設(shè)設(shè)求求證證解：因為直線解：因為直線AB過定點過定點F且不與且不與x軸平軸平行行,設(shè)直線設(shè)直線AB的方程為的方程為222221222 ()2220ypxpyp mypxmyypmypy yp 即：（定值）2pxmyxyBAFO_?,:21221xxpyy，那么注意到在同樣的條件下聯(lián)想.4),(),()0(2:122122112pxxyxB、yxA，F(xiàn)ppxy則有交拋物線于點的直線焦點過拋物線變題221122122(0)(,),(,),:.ypx pABA xyB xyy yp 例例2、2、過過拋拋物物線線焦焦點點作作直直線線交交拋拋物物線線于于， 兩兩點點，設(shè)設(shè)求求證證xyBAFO?)0 ,2(:2221也成立那么反之是否成立時有過點焦點由于直線聯(lián)想，pyypFAB.,),(),()0(2:222122112FABpyyyx、ByxAppxy焦點過拋物線則直線若兩個動點上拋物線變題xyBAFO?:3結(jié)論又會怎樣呢般的點一對于在拋物線的軸上的由于焦點比較特殊聯(lián)想，.:,),(),()0(2)0 ,(:3212122112均為定值與求證兩點直線交拋物線于的過的軸上的一個定點是拋物線設(shè)變題xxyyyx、ByxAM，ppxyaM