（淄博地區(qū)）2018中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 專題八 閱讀理解試題

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1、 閱讀理解 1．(2017·威海)閱讀理解：如圖1，⊙O與直線a，b都相切．不論⊙O如何轉(zhuǎn)動(dòng)，直線a，b之間的距離始終保持不變(等于⊙O的直徑)．我們把具有這一特性的圖形稱為“等寬曲線”．圖2是利用圓的這一特性的例子．將等直徑的圓棍放在物體下面，通過(guò)圓棍滾動(dòng)，用較小的力就可以推動(dòng)物體前進(jìn)．據(jù)說(shuō)，古埃及人就是利用這樣的方法將巨石推到金字塔頂?shù)模? 圖1　　　　　　　　圖2 拓展應(yīng)用：如圖3所示的弧三角形(也稱為萊洛三角形)也是“等寬曲線”．如圖4，夾在平行線c，d之間的萊洛三角形無(wú)論怎么滾動(dòng)，平行線間的距離始終不變．若直線c，d之間的距離等于2 cm，則萊洛三角形的周長(zhǎng)為_(kāi)______

2、_cm. 圖3　　　　　　　　　圖4 2．(2017·棗莊)我們知道，任意一個(gè)正整數(shù)n都可以進(jìn)行這樣的分解：n＝p×q(p，q是正整數(shù)，且p≤q)，在n的所有這種分解中，如果p，q兩因數(shù)之差的絕對(duì)值最小，我們就稱p×q是n的最佳分解，并規(guī)定：F(n)＝. 例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因?yàn)?2－1＞6－2＞4－3，所以3×4是12的最佳分解，所以F(12)＝. (1)如果一個(gè)正整數(shù)m是另外一個(gè)正整數(shù)n的平方，我們稱正整數(shù)m是完全平方數(shù)． 求證：對(duì)任意一個(gè)完全平方數(shù)m，總有F(m)＝1； (2)如果一個(gè)兩位正整數(shù)t，t＝10x＋y(1≤x≤y≤9，x，y為自然數(shù))，

3、交換其個(gè)位上的數(shù)與十位上的數(shù)得到的新數(shù)減去原來(lái)的兩位正整數(shù)所得的差為36，那么我們稱這個(gè)數(shù)t為“吉祥數(shù)”，求所有“吉祥數(shù)”； (3)在(2)所得“吉祥數(shù)”中，求F(t)的最大值． 3．閱讀材料： 在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，＝＝. 利用上述結(jié)論可以求解如下題目： 在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別為a，b，c.若∠A＝45°，∠B＝30°，a＝6，求b. 解：在△ABC中，∵ ＝， ∴b＝＝＝＝3. 理解應(yīng)用： 如圖，甲船以每小時(shí)30海里的速度向正北方向航行，當(dāng)甲船位于A1處時(shí)，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1處

4、，且乙船從B1處按北偏東15°方向勻速直線航行，當(dāng)甲船航行20分鐘到達(dá)A2時(shí)，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2處，此時(shí)兩船相距10海里． (1)判斷△A1A2B2的形狀，并給出證明； (2)乙船每小時(shí)航行多少海里？ 4．(2017·臨沂)數(shù)學(xué)課上，張老師出示了問(wèn)題：如圖1，AC，BD是四邊形ABCD的對(duì)角線，若∠ACB＝∠ACD＝∠ABD＝∠ADB＝60°，則線段BC，CD，AC三者之間有何等量關(guān)系？ 經(jīng)過(guò)思考，小明展示了一種正確的思路：如圖2，延長(zhǎng)CB到E，使BE＝CD，連接AE.證得△ABE≌△ADC，從而容易證明△ACE是等邊三角形．故AC＝CE，所以AC＝BC＋CD.

5、 圖1　　　　　　　　圖2　　　　　　　　圖3 小亮展示了另一種正確的思路：如圖3，將△ABC繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，使AB與AD重合，從而容易證明△ACF是等邊三角形，故AC＝CF，所以AC＝BC＋CD. 在此基礎(chǔ)上，同學(xué)們做了進(jìn)一步的研究： (1)小穎提出：如圖4，如果把“∠ACB＝∠ACD＝∠ABD＝∠ADB＝60°”改為“∠ACB＝∠ACD＝∠ABD＝∠ADB＝45°”，其他條件不變，那么線段BC，CD，AC三者之間有何等量關(guān)系？針對(duì)小穎提出的問(wèn)題，請(qǐng)你寫出結(jié)論，并給出證明． 　　　　 圖4　　　　　　　　　　　圖5 (2)小華提出：如圖5，如果把“∠ACB＝

6、∠ACD＝∠ABD＝∠ADB＝60°”改為“∠ACB＝∠ACD＝∠ABD＝∠ADB＝α”，其他條件不變，那么線段BC，CD，AC三者之間有何等量關(guān)系？針對(duì)小華提出的問(wèn)題，請(qǐng)你寫出結(jié)論，不用證明． 5．(2017·濟(jì)寧)定義：點(diǎn)P是△ABC內(nèi)部或邊上的點(diǎn)(頂點(diǎn)除外)，在△PAB，△PBC，△PCA中，若至少有一個(gè)三角形與△ABC相似，則稱點(diǎn)P是△ABC的自相似點(diǎn)． 圖1 例如：如圖1，點(diǎn)P在△ABC的內(nèi)部，∠PBC＝∠A，∠BCP＝∠ABC，則△BCP∽△ABC，故點(diǎn)P是△ABC的自相似點(diǎn)． 請(qǐng)你運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，結(jié)合上述材料，解決下列問(wèn)題： 在平面直角坐標(biāo)

7、系中，點(diǎn)M是曲線y＝(x>0)上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)N是x軸正半軸上的任意一點(diǎn)． (1)如圖2，點(diǎn)P是OM上一點(diǎn)，∠ONP＝∠M，試說(shuō)明點(diǎn)P是△MON的自相似點(diǎn)；當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)是(，3)，點(diǎn)N的坐標(biāo)是(，0)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)； 圖2 圖3 (2)如圖3，當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)是(3，)，點(diǎn)N的坐標(biāo)是(2，0)時(shí)，求△MON的自相似點(diǎn)的坐標(biāo)； (3)是否存在點(diǎn)M和點(diǎn)N，使△MON無(wú)自相似點(diǎn)？若存在，請(qǐng)直接寫出這兩點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 參考答案 1．2π　 2．(1)證明：對(duì)任意一個(gè)完

8、全平方數(shù)m，設(shè)m＝n2(n為正整數(shù))． ∵|n－n|＝0為最小，∴n×n是m的最佳分解． ∴對(duì)任意一個(gè)完全平方數(shù)m，總有F(m)＝＝1. (2)解：設(shè)交換t的個(gè)位上的數(shù)與十位上的數(shù)得到的新數(shù)為t′， 則t′＝10y＋x， ∵t為“吉祥數(shù)”， ∴t′－t＝(10y＋x)－(10x＋y)＝9(y－x)＝36， ∴y＝x＋4. ∵1≤x≤y≤9，x，y為自然數(shù)， ∴滿足條件的“吉祥數(shù)”有：15，26，37，48，59. (3)解：F(15)＝，F(xiàn)(26)＝，F(xiàn)(37)＝， F(48)＝＝，F(xiàn)(59)＝， ∵>>>>， ∴所有“吉祥數(shù)”中，F(xiàn)(t)的最大值是. 3．解：(1

9、)△A1A2B2是等邊三角形．證明如下： 如圖，連接A1B2. ∵甲船以每小時(shí)30海里的速度向正北方向航行，航行20分鐘到達(dá)A2， ∴A1A2＝30×＝10. 又∵A2B2＝10，∠A1A2B2＝60°， ∴△A1A2B2是等邊三角形． (2)如圖，∵B1N∥A1A2， ∴∠A1B1N＝180°－∠B1A1A2＝180°－105°＝75°， ∴∠A1B1B2＝75°－15°＝60°. ∵△A1A2B2是等邊三角形， ∴∠A2A1B2＝60°， A1B2＝A1A2＝10， ∴∠B1A1B2＝105°－60°＝45°. 在△B1A1B2中， A1B2＝10，∠B1A

10、1B2＝45°，∠A1B1B2＝60°， 由閱讀材料可知，＝， 故B1B2＝＝， 所以乙船每小時(shí)航行÷＝20(海里)． 4．解：(1)BC＋CD＝AC. 證明：如圖，延長(zhǎng)CB到E，使BE＝CD，連接AE. ∵∠ACB＝∠ACD＝∠ABD＝∠ADB＝45°， ∴AB＝AD，∠BAD＋∠BCD＝180°， ∴∠ABC＋∠ADC＝180°. 又∠ABE＋∠ABC＝180°. ∴∠ABE＝∠ADC， ∴△ABE≌△ADC， ∴∠AEB＝∠ACD＝45°， ∴∠AEB＝∠ACB＝45°， ∴∠CAE＝90°， 即△ACE是等腰直角三角形， ∴CE＝AC，∴BC＋CD＝

11、AC. 5．解：(1)∵∠ONP＝∠M，∠NOP＝∠MON， ∴△ONP∽△OMN， ∴點(diǎn)P是△MON的自相似點(diǎn)． 如圖1，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥x軸于D點(diǎn)， 圖1 則tan∠POD＝＝， ∴∠MON＝60°. ∵△ONP∽△OMN， ∴∠OPN＝∠MNO＝90°. 在Rt△OPN中， OP＝ON·cos 60°＝， ∴OD＝OP·cos 60°＝×＝， PD＝OP·sin 60°＝×＝，∴P(，)． (2)如圖2，過(guò)點(diǎn)M作MH⊥x軸于H點(diǎn)， 圖2 ∵M(jìn)(3，)，N(2，0)， ∴OM＝2，直線OM的表達(dá)式為y＝x，ON＝MN＝2. ∵P1是△MON的自相似點(diǎn)， ∴①當(dāng)△P1ON∽△NOM時(shí)，P1O＝P1N， 過(guò)點(diǎn)P1作P1Q⊥x軸于Q點(diǎn)， ∴OQ＝ON＝1. 設(shè)P1(1，y)，∵點(diǎn)P1在直線OM上， ∴y＝×1＝，∴P1(1，)． ②當(dāng)△P2NM∽△NOM時(shí)，＝， ∴P2N＝ . 易知∠MON＝∠OMN＝30°，∠ONM＝120°， 且P2M＝P2N， ∴P2N⊥x軸，∴P2的縱坐標(biāo)為.設(shè)P2(x，)， ∵點(diǎn)P2在直線OM上，∴＝x， 解得x＝2，∴P2(2，)． 綜上所述，△MON的自相似點(diǎn)為(1，)或(2，)． (3)存在，M(，3)，N(2，0)． 7