備戰(zhàn)2020年中考數(shù)學(xué)十大題型專練卷 題型08 與圓有關(guān)的證明與計算題（含解析）

《備戰(zhàn)2020年中考數(shù)學(xué)十大題型專練卷 題型08 與圓有關(guān)的證明與計算題（含解析）》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《備戰(zhàn)2020年中考數(shù)學(xué)十大題型專練卷 題型08 與圓有關(guān)的證明與計算題（含解析）（32頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、題型08 與圓有關(guān)的證明與計算題 一、單選題 1．如圖，是的弦，交于點，點是上一點，，則的度數(shù)為（ ）． A．30° B．40° C．50° D．60° 【答案】D 【分析】由垂徑定理、等腰三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)證出∠OAC=∠OCA=∠AOC，得出△OAC是等腰三角形，得出∠BOC=∠AOC=60°即可． 【詳解】解：如圖，∵， ∴． ∵是的弦，交于點， ∴． ∴． 故選：D． 【點睛】本題考查垂徑定理，解題關(guān)鍵證明. 2．如圖，為的切線，切點為，連接，與交于點，延長與交于點，連接，若，則的度數(shù)為( ) A． B． C． D． 【答案

2、】D 【分析】由切線性質(zhì)得到，再由等腰三角形性質(zhì)得到，然后用三角形外角性質(zhì)得出 【詳解】切線性質(zhì)得到 故選D 【點睛】本題主要考查圓的切線性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)等，掌握基礎(chǔ)定義是解題關(guān)鍵 3．如圖，是的內(nèi)接三角形，，過點的圓的切線交于點，則的度數(shù)為（ ） A．32° B．31° C．29° D．61° 【答案】A 【分析】根據(jù)題意連接OC，為直角三角形，再根據(jù)BC的優(yōu)弧所對的圓心角等于圓周角的2倍，可計算的的度，再根據(jù)直角三角形可得的度數(shù). 【詳解】根據(jù)題意連接OC.因為 所以可得BC所對的大圓心角為 因為BD為直徑，所以可得 由

3、于為直角三角形 所以可得 故選A. 【點睛】本題主要考查圓心角的計算，關(guān)鍵在于圓心角等于同弧所對圓周角的2倍. 4．如圖，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弧，點是這段弧所在圓的圓心，，點是的中點，且，則這段彎路所在圓的半徑為（　?。? A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根據(jù)題意，可以推出AD＝BD＝20，若設(shè)半徑為r，則OD＝r﹣10，OB＝r，結(jié)合勾股定理可推出半徑r的值． 【詳解】解：， ， 在中，， 設(shè)半徑為得：， 解得：， 這段彎路的半徑為 故選：A． 【點睛】本題主要考查垂徑定理的應(yīng)用、勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵在于設(shè)出半徑為r后，用r表示出OD、OB的

4、長度． 5．如圖，點為扇形的半徑上一點，將沿折疊，點恰好落在上的點處，且（表示的長），若將此扇形圍成一個圓錐，則圓錐的底面半徑與母線長的比為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】連接OD，求出∠AOB，利用弧長公式和圓的周長公式求解即可. 【詳解】解：連接交AC于． 由折疊的知識可得：，， ， ， 且， 設(shè)圓錐的底面半徑為，母線長為， ， ． 故選：． 【點睛】本題考查的是扇形，熟練掌握圓錐的弧長公式和圓的周長公式是解題的關(guān)鍵. 6．如圖，邊長為的等邊的內(nèi)切圓的半徑為( ) A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分

5、析】連接AO、CO，CO的延長線交AB于H，如圖，利用內(nèi)心的性質(zhì)得CH平分∠BCA，AO平分∠BAC，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得∠CAB=60°，CH⊥AB，則∠OAH=30°，AH=BH= AB=3，然后利用正切的定義計算出OH即可． 【詳解】設(shè)的內(nèi)心為O，連接AO、BO，CO的延長線交AB于H，如圖， ∵為等邊三角形， ∴CH平分，AO平分，∵為等邊三角形， ∴，， ∴，， 在中，∵， ∴， 即內(nèi)切圓的半徑為1． 故選A． 【點睛】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心：三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等；三角形的內(nèi)心與三角形頂點的連線平分這個內(nèi)角．也考查了等邊三角形的性質(zhì)．

6、 7．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=，BC=2，以AB的中點為圓心，OA的長為半徑作半圓交AC于點D，則圖中陰影部分的面積為( ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】連接OD，過點O作OH⊥AC，垂足為 H，則有AD=2AH，∠AHO=90°，在Rt△ABC中，利用∠A的正切值求出∠A=30°，繼而可求得OH、AH長，根據(jù)圓周角定理可求得∠BOC =60°，然后根據(jù)S陰影=S△ABC-S△AOD-S扇形BOD進行計算即可. 【詳解】連接OD，過點O作OH⊥AC，垂足為 H， 則有AD=2AH，∠AHO=90°， 在Rt△ABC中，∠ABC=

7、90°，AB=，BC=2，tan∠A=， ∴∠A=30°， ∴OH=OA=，AH=AO?cos∠A=，∠BOC=2∠A=60°， ∴AD=2AH=， ∴S陰影=S△ABC-S△AOD-S扇形BOD==， 故選A. 【點睛】本題考查了垂徑定理，圓周角定理，扇形面積，解直角三角形等知識，正確添加輔助線，熟練掌握和靈活運用相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵. 8．如圖，△ABC的內(nèi)切圓⊙O與BC、CA、AB分別相切于點D、E、F，且AB＝5，BC＝13，CA＝12，則陰影部分(即四邊形AEOF)的面積是( ) A．4 B．6.25 C．7.5 D．9 【答案】A 【分析】先利用勾

8、股定理判斷△ABC為直角三角形，且∠BAC=90°，繼而證明四邊形AEOF為正方形，設(shè)⊙O的半徑為r，利用面積法求出r的值即可求得答案. 【詳解】∵AB=5，BC=13，CA=12， ∴AB2+AC2=BC2， ∴△ABC為直角三角形，且∠BAC=90°， ∵⊙O為△ABC內(nèi)切圓， ∴∠AFO=∠AEO=90°，且AE=AF， ∴四邊形AEOF為正方形， 設(shè)⊙O的半徑為r， ∴OE=OF=r， ∴S四邊形AEOF=r2， 連接AO，BO，CO， ∴S△ABC=S△AOB+S△AOC+S△BOC， ∴， ∴r=2， ∴S四邊形AEOF=r2=4， 故選A. 【

9、點睛】本題考查了三角形的內(nèi)切圓，勾股定理的逆定理，正方形判定與性質(zhì)，面積法等，正確把握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵. 9．如圖，是的直徑，，是上的兩點，且平分，分別與，相交于點，，則下列結(jié)論不一定成立的是（　?。? A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由圓周角定理和角平分線得出，，由等腰三角形的性質(zhì)得出，得出，證出，選項A成立；由平行線的性質(zhì)得出，選項B成立；由垂徑定理得出，選項D成立；和中，沒有相等的邊，與不全等，選項C不成立，即可得出答案． 【詳解】∵是的直徑，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，選項A成立； ∴，選項B成立； ∴，選項D成立； ∵和中

10、，沒有相等的邊， ∴與不全等，選項C不成立， 故選C． 【點睛】本題考查了圓周角定理，垂徑定理，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是熟練掌圓周角定理和垂徑定理． 10．如圖，在中，以BC為直徑的半圓O交斜邊AB于點D，則圖中陰影部分的面積為（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到，根據(jù)圓周角定理得到，根據(jù)扇形和三角形的面積公式即可得到結(jié)論． 【詳解】解：∵在中，， ， ， ，BC為半圓O的直徑， ， ， ， 圖中陰影部分的面積 故選：A． 【點睛】本題考查扇形面積公式、直角三角形的性質(zhì)、解題

11、的關(guān)鍵是學(xué)會分割法求面積。 二、填空題 11．如圖，的兩條相交弦、，，，則的面積是_______． 【答案】． 【分析】由，而，所以，得到為等邊三角形，又，從而求得半徑，即可得到的面積． 【詳解】解：∵， 而， ∴， ∴為等邊三角形， ∵， ∴圓的半徑為2， ∴的面積是， 故答案為． 【點睛】本題考查了圓周角定理，解題的關(guān)鍵是能夠求得圓的半徑，難度不大． 12．如圖,邊長為2的正方形ABCD中心與半徑為2的⊙O的圓心重合,E、F分別是AD、BA的延長與⊙O的交點,則圖中陰影部分的面積是______.(結(jié)果保留) 【答案】－1 【分析】延長DC，CB交⊙O

12、于M，N，根據(jù)圓和正方形的面積公式即可得到結(jié)論． 【詳解】解：延長DC，CB交⊙O于M，N， 則圖中陰影部分的面積＝×（S圓O?S正方形ABCD）＝×（4π?4）＝π?1， 故答案為：π?1． 【點睛】本題考查了圓中陰影部分面積的計算，正方形的性質(zhì)，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵． 13．如圖，為的直徑，弦，垂足為，，，，則弦的長度為______． 【答案】 【分析】連接、，交于，如圖，利用垂徑定理得到，設(shè)的半徑為，則，，根據(jù)勾股定理得到，解得，再利用垂徑定理得到，，則，，然后解方程組求出，從而得到的長． 【詳解】連接、，交于，如圖， ∵， ， 設(shè)⊙的半徑為，則，

13、， 在中，，解得， ∵， ，， 在中，，① 在中，，② 解由①②組成的方程組得到， ． 故答案為． 【點睛】本題考查了圓周角、弧、弦的關(guān)系：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等．也考查了垂徑定理． 14．如圖，分別以等邊三角形的每個頂點以圓心、以邊長為半徑，在另兩個頂點間作一段圓弧，三段圓弧圍成的曲邊三角形稱為勒洛三角形.若等邊三角形的邊長為，則勒洛三角形的周長為__________． 【答案】 【分析】勒洛三角形的周長為3段相等的弧，計算弧長即可. 【詳解】勒洛三角形的周長為3段相等的弧，每段弧的長度

14、為： 則勒洛三角形的周長為： 故答案為： 【點晴】考查弧長公式，熟記弧長公式是解題的關(guān)鍵. 15．如圖，在平面直角坐標系中，已知經(jīng)過原點，與軸、軸分別交于、兩點，點坐標為，與交于點，，則圓中陰影部分的面積為_____． 【答案】 【分析】由圓周角定理可得，在Rt△AOB中，利用解直角三角形求出OA、AB的長，然后根據(jù)S陰=S半-S△ABO求解即可. 【詳解】連接， ∵， ∴是直徑， 根據(jù)同弧對的圓周角相等得， ∵， ∴，，即圓的半徑為2， ∴． 故答案為：． 【點睛】本題考查了：①同弧對的圓周角相等；②90°的圓周角對的弦是直徑；③銳角三角函數(shù)的概念；④

15、圓、直角三角形的面積分式．熟練掌握圓周角定理是解答本題的關(guān)鍵. 16．如圖，是圓的弦，，垂足為點，將劣弧沿弦折疊交于的中點，若，則圓的半徑為_____． 【答案】． 【分析】連接OA，設(shè)半徑為x，用x表示OC，根據(jù)勾股定理建立x的方程，便可求得結(jié)果． 【詳解】解：連接OA，設(shè)半徑為x， 將劣弧沿弦AB折疊交于OC的中點D， ，， ， ， ， 解得，． 故答案為． 【點睛】本題主要考查了圓的基本性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理列出半徑的方程． 17．如圖，扇形中，.為弧上的一點，過點作，垂足為，與交于點，若，則該扇形的半徑長為___________

16、 【答案】5 【分析】連接OP，設(shè)半徑為r，在直角三角形OCP中利用勾股定理將CO用r表示，得到AC，又有△ACD∽△AOB，利用，解出r即可 【詳解】連接OP，設(shè)半徑為r，則OP=OA=OB=r，PC=PD+CD=3, 在直角三角形OCP中，，即得OC2=r2-9，得到OC= 得到AC=，又易知△ACD∽△AOB，所以，即， 得到，解出r=5；故填5 【點睛】本題主要考查勾股定理及相似三角形的證明與性質(zhì)，本題關(guān)鍵在于能夠連OP，表示出AC 18．如圖，在圓心角為90°的扇形中，，為上任意一點，過點作于點，設(shè)為的內(nèi)心，當(dāng)點從點運動到點時，則內(nèi)心所經(jīng)過的路徑長為_____．

17、 【答案】 【分析】以為斜邊在的右邊作等腰，以為圓心為半徑作⊙，在優(yōu)弧上取一點H，連接，，，．求出，證，得，由，證四點共圓，故點的運動軌跡是，由弧長公式可得. 【詳解】如圖，以為斜邊在的左邊作等腰，以為圓心為半徑作⊙，在優(yōu)弧上取一點H，連接，，，． ∵， ∴， ∵點是內(nèi)心， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四點共圓， ∴點的運動軌跡是， ∴內(nèi)心所經(jīng)過的路徑長， 故答案為． 【點睛】本題考查了弧長的計算公式：l= ，其中l(wèi)表示弧長，n表示弧所對的圓心角的度數(shù)．同時考查了三角形內(nèi)心的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)、圓周角定理和圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．

18、 19．如圖，，，以點為圓心，為半徑作弧交于點，點，交于點，若，則陰影部分的面積為_____. 【答案】 【分析】根據(jù)題意連接OC，可得陰影部分的面積等于兩個陰影部分面積之和，再根據(jù)弧AC所對的陰影部分面積等于弧AC所對圓心角的面積減去的面積，而不規(guī)則圖形BCD的面積等于的面積減去弧DC所對圓心角的面積.進而可得陰影部分的面積. 【詳解】解：根據(jù)題意連接OC 為等邊三角形 陰影部分面積1= 陰影部分面積2= 陰影部分面積=陰影部分面積1+陰影部分面積2= 故答案為。 【點睛】本題只要考查圓弧的面積計算，關(guān)鍵在于陰影部分面積的分割. 20．如圖，在扇

19、形AOB中，，半徑OC交弦AB于點D，且．若，則陰影部分的面積為_____． 【答案】 【分析】根據(jù)題意，作出合適的輔助線，然后根據(jù)圖形可知陰影部分的面積是的面積與扇形OBC的面積之和再減去的面積，本題得以解決． 【詳解】 解：作于點F， 在扇形AOB中，，半徑OC交弦AB于點D，且．， ，，， ， ，，，， ， 陰影部分的面積是：， 故答案為：． 【點睛】本題考查扇形面積的計算，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答． 三、解答題 21．如圖，內(nèi)接于，直徑交于點E，延長至點F，使，連接并延長交過點A的切線于點G，且滿足，連接，若，． （1）求證：；

20、 （2）求的半徑； （3）求證：是的切線． 【答案】（1）見解析；（2）的半徑為；（3）見解析. 【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)和圓周角定理，結(jié)合題意進行計算，即可得到答案； （2）根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)，得到，從而得出答案； （3）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)進行計算，即可得到答案. 【詳解】解：（1）∵是的切線，是的直徑， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）∵， ∴， ∴設(shè)，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（負值舍去）， ∴， ∴的半徑為； （3）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的切線． 【點睛】本題考查平行

21、線的性質(zhì)、圓周角定理、三角函數(shù)、相似三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)、圓周角定理、三角函數(shù)、相似三角形的性質(zhì). 22．如圖,內(nèi)接于，.將斜邊繞點順時針旋轉(zhuǎn)一定角度得到，過點作于點，連接交于點. （1）求證：是的切線; （2）連接交于點，連接 求證：. 【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析 【分析】（1）因為直角三角形的外心為斜邊中點，所以點O在AB上，AB為⊙O直徑，故只需證AD⊥AB即可．由∠ABC+∠BAC=90°和∠DAE=∠ABC可證得∠DAE+∠BAC=90°，而E、A、C在同一直線上，用180°減去90°即為∠BAD=90°，得證． （2）由

22、（1）利用勾股定理得出，公積金圖形得出，可知，即可得到，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，又因為，即可解答 【詳解】（1）證明：且 為的半徑 為的切線 （2）證明：由①知 由模型可知， 【點睛】此題考查三角形相似，圓切線證明，解題關(guān)鍵在于證明AD⊥AB 23．如圖1，有一個殘缺的圓，請做出殘缺圓的圓心（保留作圖痕跡，不寫做法） 如圖2，設(shè)是該殘缺圓的直徑，是圓上一點，的角平分線交于點，過點作的切線交的延長線于點． （1）求證：；（2）若，，求殘缺圓的半圓面積． 【答案】圖1做圖題作法：詳見解析；圖2解答過程：（1）詳見解析；（2

23、）5π 【分析】作弦，，再作兩弦的垂直平分線，兩垂直平分線的交點O即為圓心． （1）連接交于，由切線的性質(zhì)可得，然后證明∥即可； （2）首先證明四邊形是矩形，然后求出BC，再利用勾股定理求出AB即可解決問題． 【詳解】解：圖1做圖題作法： ①在殘缺的圓上取兩條不平行的弦和； ②以點為圓心大于一半長為半徑在兩側(cè)作圓??； ③以點為圓心，同樣長的半徑在兩側(cè)作圓弧與②中的圓弧交于，兩點； ④作直線即為線段的垂直平分線； ⑤以同樣的方法做線段的垂直平分線與直線交于點即為該殘缺圓的圓心. 圖2解答過程： （1）證明：連接交于 ∵為的切線 ∴ ∵平分 ∴ ∵ ∴ ∴∥

24、 ∴ （2）解： ∵是的直徑 ∴ ∵∥ ∴ ∴，四邊形為矩形 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 【點睛】本題考查作圖?復(fù)雜作圖，切線的性質(zhì)，垂徑定理，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，屬于中考?？碱}型． 24．如圖1，已知⊙O外一點P向⊙O作切線PA，點A為切點，連接PO并延長交⊙O于點B，連接AO并延長交⊙O于點C，過點C作，分別交PB于點E，交⊙O于點D，連接AD． （1）求證：△APO～△DCA； （2）如圖2，當(dāng)時 ①求的度數(shù)； ②連接AB，在⊙O上是否存在點Q使得四邊形APQB是菱形．若存在，請直接寫出的值；若不存在，請

25、說明理由． 【答案】（1）見解析；（2）①；②存在，. 【分析】（1）由切線性質(zhì)和直徑AC可得，由可得，即可得：； （2）①連接OD，由可得△OAD是等邊三角形，由此可得，； ②作交⊙O于Q，可證ABQP為菱形，求可轉(zhuǎn)化為求． 【詳解】（1）∵PA切⊙O于點A，AC是⊙O的直徑， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， （2）如圖2，連接OD， ①∵ ，， ∴△是等邊三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ②存在．如圖2，過點B作交⊙O于Q，連接PQ，BC，CQ， 由①得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴

26、∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四邊形ABQP是平行四邊形， ∵， ∴四邊形ABQP是菱形， ∴ ∴， 【點睛】本題是有關(guān)圓的綜合題，難度不大；主要考查了切線性質(zhì)，圓周角與圓心角，等邊三角形性質(zhì)，特殊角三角函數(shù)值，菱形性質(zhì)等． 25．四邊形是的圓內(nèi)接四邊形，線段是的直徑，連結(jié)．點是線段上的一點，連結(jié)，且，的延長線與的延長線相交與點． （1）求證：四邊形是平行四邊形； （2）若， ①求證：為等腰直角三角形； ②求的長度． 【答案】（1）見解析;（2）①見解析;②. 【分析】（1）由圓周角的定理可得，可證，由一組對邊平行且相等的是四邊形是平行四邊形可證四邊形

27、是平行四邊形； （2）①由平行線的性質(zhì)可證，由，可證為等腰直角三角形； ②通過證明，可得，可得，通過證明，可得，可得，可求，由等腰直角三角形的性質(zhì)可求的長度． 【詳解】證明：（1）∵， ∴， ∴，且， ∴四邊形是平行四邊形， （2）①∵是直徑， ∴，且， ∴， ∴， ∵， ∴，且， ∴， ∴，且， ∴為等腰直角三角形； ②∵四邊形是的圓內(nèi)接四邊形， ∴，且， ∴， ∴，且， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，且為等腰直角三角形， ∴， 【點睛】本題是圓的綜合題，考查了圓的有關(guān)知識，平行四邊形的判定和性質(zhì)，相似三角形

28、的判定和性質(zhì)等知識，求的長度是本題的關(guān)鍵． 26．如圖，點是的內(nèi)心，的延長線與的外接圓交于點，與交于點，延長、相交于點，的平分線交于點. （1）求證：； （2）求證：； （3）若，，求的長. 【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）3 【分析】(1)根據(jù)三角形內(nèi)心的性質(zhì)得，再利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得，則，從而得到，則可判斷； (2)根據(jù)三角形內(nèi)心的性質(zhì)得，然后證明得到； (3)證明，利用相似比得到，則，然后計算即可． 【詳解】(1)∵點是的內(nèi)心， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； (2)∵點是的內(nèi)心， ∴， ∵， 即，

29、 ∴； (3)∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 【點睛】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心、三角形的外心、圓周角定理等知識，熟練掌握和靈活運用相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用. 27．如圖，在矩形中，，，點在上，將沿折疊，點恰好落在對角線上的點.為上一點，經(jīng)過點，. (1)求證：是的切線； (2)在邊上截取，點是線段的黃金分割點嗎？請說明理由. 【答案】(1)證明見解析；(2)點是線段的黃金分割點. 【分析】(1)連接，由等腰三角形性質(zhì)和折疊性質(zhì)證，根據(jù)矩形性質(zhì)證；（2）根據(jù)矩形性質(zhì)和勾股定理求CE,CF,由得出結(jié)論. 【詳解】解：(1)證明：連接

30、， ∵， ∴. 由折疊可知， ∴. ∴. ∴. ∵四邊形是矩形， ∴. ∴.即. ∴是的切線； (2)點是線段的黃金分割點. ∵四邊形是矩形， ∴，. ∴. ∵， ∴. ∴. ∴. ∴點是線段的黃金分割點. 【點睛】考核知識點：矩形性質(zhì)，切線判定.根據(jù)需要尋找條件是關(guān)鍵. 28．宿遷市政府為了方便市民綠色出行，推出了共享單車服務(wù)．圖①是某品牌共享單車放在水平地面上的實物圖，圖②是其示意圖，其中、都與地面l平行，車輪半徑為，，，坐墊與點的距離為. （1）求坐墊到地面的距離； （2）根據(jù)經(jīng)驗，當(dāng)坐墊到的距離調(diào)整為人體腿長的0.8時，坐騎比較舒適

31、．小明的腿長約為，現(xiàn)將坐墊調(diào)整至坐騎舒適高度位置，求的長． （結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，，） 【答案】（1）99.5（2）3.9 【分析】（1）作于點，由可得答案； （2）作于點，先根據(jù)求得的長度，再根據(jù)可得答案 【詳解】（1）如圖1，過點E作于點， 由題意知、， ∴， 則單車車座到地面的高度為； （2）如圖2所示，過點作于點， 由題意知， 則， ∴. 【點睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是明確題意，利用銳角三角函數(shù)進行解答． 29．（材料閱讀）:地球是一個球體，任意兩條相對的子午線都組成一個經(jīng)線圈（如圖中的）．人們在北半球可觀測到北極星，我國古人在

32、觀測北極星的過程中發(fā)明了如圖所示的工具尺（古人稱它為“復(fù)矩”），尺的兩邊互相垂直，角頂系有一段棉線，棉線末端系一個銅錘，這樣棉線就與地平線垂直．站在不同的觀測點，當(dāng)工具尺的長邊指向北極星時，短邊與棉線的夾角的大小是變化的． （實際應(yīng)用）:觀測點在圖1所示的上，現(xiàn)在利用這個工具尺在點處測得為，在點所在子午線往北的另一個觀測點，用同樣的工具尺測得為．是的直徑，． （1）求的度數(shù)； （2）已知km，求這兩個觀測點之間的距離即上的長．（?。? 【答案】（1）；（2）（km）． 【分析】（1）設(shè)點B的切線CB交ON延長線于點E，HD⊥BC于D，CH⊥BH交BC于點C，則∠DHC=67°，證出

33、∠HBD=∠DHC=67°，由平行線的性質(zhì)得出∠BEO=∠HBD=67°，由直角三角形的性質(zhì)得出∠BOE=23°，得出∠POB=90°-23°=67°； （2）同（1）可證∠POA=31°，求出∠AOB=∠POB-∠POA=36°，由弧長公式即可得出結(jié)果． 【詳解】（1）設(shè)點的切線交延長線于點，于，交于點，如圖所示： 則， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）同（1）可證， ， （km）． 【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、弧長公式等知識；熟練掌握切線的性質(zhì)和弧長公式是解題的關(guān)鍵． 30．如圖，是上的5等分點，連接，得到一個五角星圖形和五邊形

34、． （1）計算的度數(shù)； （2）連接，證明：； （3）求證：． 【答案】(1)36°;(2)見解析;(3)見解析. 【分析】（1）由題意可得∠COD=70°，由圓周角的定理可得∠CAD=36°； （2）由圓周角的定理可得∠CAD=∠DAE=∠AEB=36°，可求∠AME=∠CAE=72°，可得AE=ME； （3）通過證明△AEN∽△BEA，可得，可得ME2=BE?NE，通過證明BM=NE，即可得結(jié)論． 【詳解】（1）∵是上的5等分點， ∴的度數(shù) ∴ ∵ ∴ （2）連接 ∵是上的5等分點， ∴ ∴ ∴，且 ∴ ∴ ∴ （3）連接 ∵ ∴，且 ∴ ∴ ∴，且 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴，且 ∴ ∴ ∴ 【點睛】本題是圓的綜合題，考查了圓的有關(guān)知識，相似三角形的性質(zhì)和判定，證明△AEN∽△BEA是本題的關(guān)鍵． 32