（課標(biāo)通用）安徽省2019年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第一篇 知識 方法 固基 第四單元 圖形初步與三角形 考點(diǎn)強(qiáng)化練19 解直角三角形及其應(yīng)用試題

《（課標(biāo)通用）安徽省2019年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第一篇 知識 方法 固基 第四單元 圖形初步與三角形 考點(diǎn)強(qiáng)化練19 解直角三角形及其應(yīng)用試題》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（課標(biāo)通用）安徽省2019年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第一篇 知識 方法 固基 第四單元 圖形初步與三角形 考點(diǎn)強(qiáng)化練19 解直角三角形及其應(yīng)用試題（11頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、考點(diǎn)強(qiáng)化練19　解直角三角形及其應(yīng)用 夯實(shí)基礎(chǔ) 1.(2018·云南)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=1,BC=3,則∠A的正切值為(　　) 　　　　　　　　　　　　　 A.3 B.13 C.1010 D.31010 答案A 解析根據(jù)正切的意義得tanA=BCAC=31=3. 2. (2018·湖南益陽)如圖,小剛從山腳A出發(fā),沿坡角為α的山坡向上走了300米到達(dá)B點(diǎn),則小剛上升了(　　) A.300sin α B.300cos α C.300tan α D.300tanα 答案A 解析∵sinα=BCAB,∴BC=ABsinα=300sinα,故選A. 3

2、. (2018·吉林長春)如圖,某地修建高速公路,要從A地向B地修一條隧道(點(diǎn)A、B在同一水平面上).為了測量A、B兩地之間的距離,一架直升飛機(jī)從A地出發(fā),垂直上升800米到達(dá)C處,在C處觀察B地的俯角為α,則A、B兩地之間的距離為(　　) A.800sin α米 B.800tan α米 C.800sinα米 D.800tanα米 答案D 解析由題中條件可知,在Rt△ABC中,∠ABC=α,AC=800米,由tanα=ACAB,可得AB=800tanα米. 4. (2018·江蘇蘇州)如圖,某海監(jiān)船以20海里/時的速度在某海域執(zhí)行巡航任務(wù),當(dāng)海監(jiān)船由西向東航行至A處時,測

3、得島嶼P恰好在其正北方向,繼續(xù)向東航行1小時到達(dá)B處,測得島嶼P在其北偏西30°方向,保持航向不變又航行2小時到達(dá)C處,此時海監(jiān)船與島嶼P之間的距離(即PC的長)為(　　) A.40海里 B.60海里 C.203海里 D.403海里 答案D 解析本題解答時要利用直角三角形的邊角關(guān)系和勾股定理來進(jìn)行計算.由題意可知AB=20,∠APB=30°,∴PA=203, ∵BC=2×20=40,∴AC=60, ∴PC=PA2+AC2=(203)2+602=403(海里),故選D. 5.(2018·長豐一模)計算:2cos 60°+4sin 60°·tan 30°-cos245°=　　　　　.

4、? 答案52 解析原式=2×12+4×32×33-222=1+2-12=52. 6.(2018·山東棗莊)如圖,某商店?duì)I業(yè)大廳自動扶梯AB的傾斜角為31°,AB的長為12米,則大廳兩層之間的高度為　　　　　米.(結(jié)果保留兩個有效數(shù)字)? (參考數(shù)據(jù):sin 31°=0.515,cos 31°=0.857,sin 31°=0.601) 答案6.2 解析在Rt△ABC中,BCAB=sin∠BAC,即BC12=sin31°,BC=12×0.515=6.18≈6.2(米),故填6.2. 7.(2018·吉林)數(shù)學(xué)活動小組的同學(xué)為測量旗桿高度,先制定了如下測量方案,使用工具是測角儀和皮

5、尺.請幫助組長林平完成方格內(nèi)容,用含a,b,c的代數(shù)式表示旗桿AB的高度. 數(shù)學(xué)活動方案 　活動時間:2018年4月2日　活動地點(diǎn):學(xué)校操場　填表人:林平 課題 測量學(xué)校旗桿的高度 活動目的 運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識及方法解決實(shí)際問題 方案 示意圖 測量 步驟 (1)用　　測得∠ADE=α;? (2)用　　　測得BC=a米,CD=b米? 計算過程 解測量步驟:(1)測角儀　(2)皮尺 計算過程:如題圖,∠ADE=α,DE=BC=a,BE=CD=b, 在Rt△ADE中,∠AED=90°, ∵tan∠ADE=AEDE, ∴DE=AE·tan∠ADE=a·ta

6、nα. ∴AB=AE+BE=(b+a·tanα)(米). 8.(2018·遼寧撫順)如圖,BC是路邊坡角30°,長為10米的一道斜坡,在坡頂燈桿CD的頂端D處有一探射燈,射出的邊緣光線DA和DB與水平路面AB所成的夾角∠DAN和∠DBN分別是37°和60°(圖中的點(diǎn)A,B,C,D,M,N均在同一平面內(nèi),CM∥AN). (1)求燈桿CD的高度; (2)求AB的長度(結(jié)果精確到0.1米). (參考數(shù)據(jù):3=1.73,sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75) 解(1)延長DC交AN于E, ∵∠DBN=60°,BC=10米,∠CBN=30°,∠D

7、CM=90°,CM∥AN, ∴∠BDE=30°,∠DEB=90°.∴CE=12BC=5(米),BE=BC2-CE2=32BC=53(米). ∴tan∠DBE=DEBE=DC+CEBE=3, 解得CD=10(米). (2)由(1)可知,DE=15米,BE=53米. ∵AE=AB+BE, tan∠DAN=DEAE=DEAB+BE,∠DAN=37°, ∴15AB+53≈0.75,解得AB≈11.4(米). 9.(2018·江蘇徐州)如圖,1號樓在2號樓的南側(cè),兩樓的高度均為90 m,樓間距為AB.冬至日正午,太陽光線與水平面所成的角為32.3°,1號樓在2號樓墻面上的影高為CA;春分

8、日正午,太陽光線與水平面所成的角為55.7°,1號樓在2號樓墻面上的影高為DA.已知CD=42 m. (1)求樓間距AB; (2)若2號樓共有30層,層高均為3 m,則點(diǎn)C位于第幾層? (參考數(shù)據(jù):sin 32.3°≈0.53,cos 32.3°≈0.85,tan 32.3°≈0.63,sin 55.7°≈0.83,cos 55.7°≈0.56,tan 55.7°≈1.47) 解(1)過點(diǎn)C,D分別作CE⊥PB,DF⊥PB,垂足分別為E,F.則有AB=CE=DF,EF=CD=42. 由題意可知:∠PCE=32.3°,∠PDF=55.7°, 在Rt△PCE中,PE=CE×ta

9、n32.3°=0.63CE. 在Rt△PDF中,PF=CE×tan55.7°=1.47CE. ∵PF-PE=EF, ∴1.47CE-0.63CE=42, ∴AB=CE=50(m). 答:樓間距為50m. (2)由(1)得:PE=0.63CE=31.5(m), ∴AC=BP-PE=90-31.5=58.5(m), 58.5÷3=19.5, ∴點(diǎn)C位于第20層. 答:點(diǎn)C位于第20層. 10. (2017·內(nèi)蒙古包頭)如圖,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AD是△ABC的角平分線,DE∥BA交AC于點(diǎn)E,DF∥CA交AB于點(diǎn)F,已知CD=3. (1)求AD的

10、長; (2)求四邊形AEDF的周長.(注意:本題中的計算過程和結(jié)果均保留根號) 解(1)在△ABC中, ∵∠C=90°,∠B=30°,∴∠BAC=60°. ∵AD是△ABC的角平分線, ∴∠CAD=∠BAD=12∠BAC=30°. 在Rt△ACD中,∵∠CAD=30°,CD=3, ∴CD=12AD,∴AD=6. (2)∵DE∥BA,DF∥CA, ∴四邊形AEDF為平行四邊形,∠BAD=∠EDA. ∵∠CAD=∠BAD,∴∠CAD=∠EDA, ∴AE=DE. ∴四邊形AEDF為菱形. ∵DE∥BA,∴∠CDE=∠B=30°, 在Rt△CDE中,∠C=90°, ∴co

11、s∠CDE=CDED, ∴ED=3cos30°=23. ∴四邊形AEDF的周長為4ED=4×23=83. 提升能力 11.(2018·北京)如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格,∠BAC　　　　　∠DAE.(填“>”“=”或“<”)? 答案> 解析如圖,取格點(diǎn)N,點(diǎn)H,連接NH、BC,過N作NP⊥AD于P, S△ANH=2×2-12×1×2×2-12×1×1=12AH·NP, 32=52PN,PN=35,Rt△ANP中,sin∠NAP=PNAN=355=35=0.6, Rt△ABC中,sin∠BAC=BCAB=222=22>0.6, ∵正弦值隨著角度的增大而增大, ∴∠BA

12、C>∠DAE. 12.(2018·內(nèi)蒙古通遼)我市304國道通遼至霍林郭勒段在修建過程中經(jīng)過一座山峰,如圖所示,其中山腳A、C兩地的海拔高度約為1 000米,山頂B處的海拔高度約為1 400米,由B處望山腳A處的俯角為30°,由B處望山腳C處的俯角為45°,若在A、C兩地間打通一條隧道,求隧道最短為多少米(結(jié)果取整數(shù),參考數(shù)據(jù)3≈1.732). 解作BD⊥AC,垂足為D,如圖所示. 由題意可得BD=1400-1000=400(米), ∠BAC=30°,∠BCA=45°, 在Rt△ABD中,∵tan30°=BDAD,即400AD=33,∴AD=4003(米). 在Rt△BCD

13、中,∵∠BCA=45°, ∴DC=DB=400(米). ∴AC=AD+DC=4003+400≈1092.8≈1093(米). 答:隧道最短約為1093米. 13.(2018·山東萊蕪,20)在小水池旁有一盞路燈,已知支架AB的長是0.8 m,A端到地面的距離AC為4 m,支架AB與燈柱AC的夾角為65°.小明在水池的外沿D測得支架B端的仰角為45°,在水池的內(nèi)沿E測得支架A端的仰角為50°(點(diǎn)C,E,D在同一直線上),求小水池的寬DE.(結(jié)果精確到0.1 m)(sin 65°≈0.9,cos 65°≈0.4,tan 50°≈1.2) 解過點(diǎn)B作BF⊥AC于F,BG⊥CD于G.

14、在Rt△BAF中,∠BAF=65°, BF=ABsin∠BAF=0.8×0.9=0.72, AF=ABcos∠BAF=0.8×0.4=0.32, ∴FC=AF+AC=4.32. 由題意可知四邊形FCGB是矩形, ∴BG=FC=4.32,CG=BF=0.72. ∵∠BDG=45°,∴∠DBG=∠GDB, ∴GD=GB=4.32,∴CD=CG+GD=5.04. 在Rt△ACE中,∠AEC=50°, CE=ACtan∠AEC=41.2≈3.33, ∴DE=CD-CE=5.04-3.33=1.71≈1.7. 答:小水池的寬是1.7m.?導(dǎo)學(xué)號16734124? 14.(20

15、18·江蘇揚(yáng)州)問題呈現(xiàn):如圖1,在邊長為1的正方形網(wǎng)格中,連接格點(diǎn)D、N和E、C,DN和EC相交于點(diǎn)P,求tan∠CPN的值. 方法歸納:求一個銳角的三角函數(shù)值,我們往往需要找出(或構(gòu)造出)一個直角三角形.觀察發(fā)現(xiàn)問題中∠CPN不在直角三角形中,我們常常利用網(wǎng)格畫平行線等方法解決此類問題,比如連接格點(diǎn)M,N,可得MN∥EC,則∠DNM=∠CPN,連接DM,那么∠CPN就變換到Rt△DMN中. 問題解決 (1)直接寫出圖1中tan∠CPN的值為　;? (2)如圖2,在邊長為1的正方形網(wǎng)格中,AN與CM相交于點(diǎn)P,求cos∠CPN的值; 思維拓展 (3)如圖3,AB⊥BC,AB=

16、4BC,點(diǎn)M在AB上,且AM=BC,延長CB到N,使BN=2BC,連接AN交CM的延長線于點(diǎn)P,用上述方法構(gòu)造網(wǎng)格求∠CPN的度數(shù). 解(1)由勾股定理得:DM=22,MN=2,DN=10,∵(22)2+(2)2=(10)2, ∴DM2+MN2=DN2, ∴△DMN是直角三角形. ∵M(jìn)N∥EC,∴∠CPN=∠DNM. ∵tan∠DNM=DMMN=222=2, ∴tan∠CPN=2. (2)法1:如圖,cos∠CPN=cos∠QCM=22. 法2:如圖中,取格點(diǎn)D,連接CD,DM. ∵CD∥AN,∴∠CPN=∠DCM, ∵△DCM是等腰直角三角形, ∴∠DCM=∠C

17、DM=45°, ∴cos∠CPN=cos∠DCM=22. (3)法1:如圖,∠CPN=∠CMQ=45°. 法2:如圖,∠CPN=∠QAN=45°. 法3:如圖中,取格點(diǎn)Q,連接AQ、NQ. ∵PC∥QN,∴∠CPN=∠ANQ. ∵AQ=QN,∠AQN=90°, ∴∠ANQ=∠QAN=45°,∴∠CPN=45°.?導(dǎo)學(xué)號16734125? 15.(2018·山東萊蕪)如圖,若△ABC內(nèi)一點(diǎn)P滿足∠PAC=∠PCB=∠PBA,則稱點(diǎn)P為△ABC的布羅卡爾點(diǎn).三角形的布羅卡爾點(diǎn)是法國數(shù)學(xué)家和教育家克雷爾首次發(fā)現(xiàn),后來被數(shù)學(xué)愛好者法國軍官布羅卡爾重新發(fā)現(xiàn),并用他的名字命

18、名,布羅卡爾點(diǎn)的再次發(fā)現(xiàn),引發(fā)了研究“三角形幾何”的熱潮.已知△ABC中,CA=CB,∠ACB=120°,P為△ABC的布羅卡爾點(diǎn),若PA=3,則PB+PC=　　　　　.? 答案1+33 解析如圖, 由“布羅卡爾點(diǎn)”的定義,設(shè)∠PAC=∠PCB=∠PBA=α,又CA=CB,∠ACB=120°,∴∠ABC=∠BAC=30°,∴∠CBP=∠PAB=30°-α=β,∴△BCP∽△ABP, ∴PBPA=BCAB=PCPB,而在△ABC中,作CD⊥AB于D,則BD=12AB,而cosB=BDBC=32, ∴BCAB=13,∴PB3=13=PCPB, ∴PB=1,PC=33,∴PB+PC=

19、1+33.故答案為1+33. 創(chuàng)新拓展 16.在邊長為2的等邊三角形ABC中,P是BC邊上任意一點(diǎn),過點(diǎn)P分別作PM⊥AB,PN⊥AC,M,N分別為垂足. (1)求證:不論點(diǎn)P在BC邊的何處時都有PM+PN的長恰好等于三角形ABC一邊上的高; (2)求當(dāng)BP的長為何值時,四邊形AMPN的面積最大,并求出最大值. (1)證明連接AP,∵△ABC是等邊三角形,故不妨設(shè)AB=BC=AC=a,其中BC邊上的高記作h, ∵PM⊥AB,PN⊥AC, ∴S△ABC=S△ABP+S△ACP =12AB·MP+12AC·PN =12a(PM+PN), 又∵S△ABC=12BC·h=1

20、2ah, ∴PM+PN=h. 即不論點(diǎn)P在BC邊的何處時都有PM+PN的長恰好等于三角形ABC一邊上的高. (2)解設(shè)BP=x,在Rt△BNP中,∠BMP=90°,∠B=60°,BP=x,∴BM=BP·cos60°=12x, MP=BP·sin60°=32x, ∴S△BMP=12BM·MP=12·12x·32x=38x2; ∵PC=2-x,同理可得S△PNC=38(2-x)2, 又∵S△ABC=34×22=3, ∴S四邊形AMPN=S△ABC-S△BMP-S△PNC =3-38x2-38(2-x)2 =-34(x-1)2+334, ∴當(dāng)BP=1時,四邊形AMPN的面積最大,是334. 11