福建省高考數(shù)學理二輪專題總復習 專題3第2課時 不等式的證明與基本不等式課件

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1、專題一 函數(shù)與導數(shù)專題三 不等式1高考考點(1)了解基本不等式 的證明過程；(2)會用基本不等式解決簡單的最大(小)值問題2易錯易漏(1)應用基本不等式解決簡單的最大(小)值問題時，取“=”號條件的判斷；(2)不等式證明的書寫格式3歸納總結(1)“執(zhí)因索果”與“執(zhí)果索因”的分析問題能力；(2)解題中要貫穿轉化與化歸、數(shù)形結合、函數(shù)與方程的思想(0)2abab ab， 0() A. B.221.C. D. 2 2ababababaabbababababaabb已知 ，則下列不等式成立的是 B【解析】兩個不相等的正數(shù)的算術平均數(shù)大于幾何平均數(shù)2. 面積為225的矩形的周長的最小值為()A60 B3

2、0C100 D900Amin225244 156 060() xyxylxyxylxy設矩形的長為 ，寬為 ，則，所以周長，即當且僅當時取等號【解析】()1A01lg21B021C221D023.xxxlgxxxxxxxxxx下列結論正確的是 當且時，當時，當時，的最小值為當時，無最大值01lg0A115222C2211302222DBxxxxxxxx當時，所以 不對；當時，所以 不對；當時，的最大值為，所以 不對答案：【解析】 0014.234_()xyxypx yssxypsxyppxyspxys已知，給出下列命題：如果 是定值，那么當且僅當時， 的值最大；如果 是定值，那么當且僅當時，

3、的值最??；如果 是定值，那么當且僅當時， 的值最大；如果 是定值，那么當且僅當時， 的值最小其中正確命題的序號是填出所有正確命題的序號 23正確的【】是解析和5. 若正數(shù)a、b滿足ab=a+b+3則a+b的取值范圍是_2222 ()()3.22( )3-6)4 -1202-2()6(3)6ababababttabtttttaabb 【】答解案：，析因為，所以令，則，即，所以舍去 或，即當且僅當時取等號1比較法是最基本也是非常重要的方法作差比較法的步驟：作差、變形、判斷差的符號，變形是手段，判斷差的符號才是目的作商比較法的步驟：作商、變形、判斷商與1的大小2分析法與綜合法是對立統(tǒng)一的兩種方法分析

4、法是執(zhí)果索因，步步尋求上一步成立充分條件其邏輯關系是B(結論) B1 B2 Bn A(已知)綜合法是由因導果，利用已證明過的不等式或不等式的性質(zhì)，推導所要證明的不等式，其邏輯關系是A(條件)A1A2AnB(結論)，通常用分析法探索證題途徑，然后用綜合法表述證明過程，所以分析法和綜合法經(jīng)常合在一起使用3不等式的證明方法還有：放縮法、換元法、反證法、數(shù)學歸納法、利用函數(shù)的單調(diào)性證法、構造一元二次方程利用判別式證法、數(shù)形結合法等 222222222222120()0()2()12224() .22(00)2(0)22(0)3544aaaaabab abababababababababababbaab

5、 abababbaababababab RRR掌握并應用常用不等式及其變形：，它的變形由， ， 及其變形 ， 5以不等式為紐帶，體現(xiàn)了各數(shù)學分支之間的交叉和綜合，尤其是對變量的范圍和最大(小)值的研究，常常用到不等式的性質(zhì)以及平均值定理等題型一 不等式的證明【例1】 (1)證明：a2+b2+1a+b+ab.(2)一杯未飽和的糖水中加入一些糖，溶解后糖水更甜了請根據(jù)這個事實寫一個不等式，并證明【分析】 (1)不等式證明的常規(guī)方法：比較法，綜合法，分析法；(2)實際問題“糖水更甜”轉化為數(shù)學問題“濃度更大” 222222221 -13-1-1( -)-10241. (111)1 aba babba

6、babbababa babab ：，所以 當且僅當，時號證法取等【解析】證法2：因為a2+b22ab，b2+12b,1+a22a，所以2(a2+b2+1)2(a+b+ab)，所以a2+b2+1a+b+ab.(當且僅當a=1，b=1時取等號)證法3：(a2+b2+1)-(a+b+ab)=a2-(b+1)a+(b2-b+1)令g(a)=a2-(b+1)a+(b2-b+1)，則D=(b+1)2-4(b2-b+1)=-3b2+6b-3=-3(b-1)20，所以g(a)0，所以(a2+b2+1)-(a+b+ab)0，即a2+b2+1a+b+ab. 2(00)00(00)abmbmbabmabmamabm

7、babam ab bmam bmamabmbababmama設糖水的總質(zhì)量為 ，其中含糖為 ，加入糖為 ，則有 ， 因為 ， ，要證 ，只要證，即證，即證 ，這已知成立，所以 ， 【點評】 (1)證法1是比較法，證明的關鍵是設法把差變形，變形的常用方法是配方法和因式分解法；證法2是綜合法，其關鍵是利用某些已經(jīng)證明過的不等式作為基礎，再運用不等式的性質(zhì)推導出所要證的不等式；證法3構造一元二次方程，并利用判別式證法證明不等式(2)本題主要考查用分析法證明不等式及分析問題和解決問題的能力當要證明的不等式較為復雜時，兩端的差異難以消除或者已知信息量太少或者已知與待證間的聯(lián)系不明顯時，一般采用分析法題型

8、二 基本不等式的應用【分析】先找出定點A的坐標，再找出m、n的一個等量關系，最后進行求解log31(01)10012ayxaaAAmxnymnmn 函數(shù) ，的圖象恒過定點 ，若點 在直線上，其中 ，求的最小值 【例2】 log(01)1,0log3 -101(-2 -1)10-2-1021012124(2)()2242 4841142128.aayx aayxaaAAmxnym nmnmnmnmnmnmnnmmnmnnmmn 因為函數(shù) ，的圖象恒過定點，所以函數(shù) ，象恒過定點， 又若點 在直線上，所以，即，又因為 ，所以，當且僅當，即，時取等號，所以的最小值為【解析】【點評】(1)在使用基本不

9、等式求函數(shù)的最值時應注意條件“一正、二定、三相等”；(2)注意“1”的代換題型三 不等式與其他知識的結合 1|10“”4,16164,165yfxxabf xg xxabf xyfxyg xfxxxg xxx 已知函數(shù)， ，如果對任意的， ，都有，則就稱可以被函數(shù)替代 試判斷：函數(shù)，是否可以被函數(shù)，替代，并且說明理由！【例3】 |f xg xf x 【分析】求出的范圍再進行判斷165|=|16=|()1|562 664,164,1624661125426112 62xxf xg xf xxxxxxxxxxxxxxx 因為，當且僅當時取等號又因為，所以，當時，當時，所以，【解析】 2 61611()155102 61161|1|()1|5104,16164,1510106|15xxxxf xgf xxxxgxxxxf 所以函數(shù)，可以被函數(shù)，所以，又，所以，即，替代f xg xf x 本題主要是用不等式和函數(shù)單調(diào)性的方法求出的取值范圍，再進行判斷【點評】