備戰(zhàn)2020年中考數(shù)學(xué)十大題型專練卷 題型01 操作類試題（含解析）

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1、題型01 操作類試題 一、單選題 1．如圖，在中，，以點(diǎn)為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交于點(diǎn)，再分別以點(diǎn)為圓心，大于為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)，作射線交邊于點(diǎn)，則的面積是（　?。? A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本作圖得到AG平分∠BAC，利用角平分線的性質(zhì)得到G點(diǎn)到AC的距離為1，然后根據(jù)三角形面積公式計(jì)算△ACG的面積． 【詳解】解：由作法得平分， 點(diǎn)到的距離等于的長(zhǎng)，即點(diǎn)到的距離為， 所以的面積． 故選：C． 【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-基本作圖：熟練掌握基本作圖（作一條線段等于已知線段；作一個(gè)角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過

2、一點(diǎn)作已知直線的垂線）．也考查了交平分線的性質(zhì)． 2．如圖，在中，將沿AC折疊后，點(diǎn)D恰好落在DC的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)E處．若，，則的周長(zhǎng)為（　?。? A．12 B．15 C．18 D．21 【答案】C 【分析】依據(jù)平行四邊形的性質(zhì)以及折疊的性質(zhì)，即可得到，，，再根據(jù)是等邊三角形，即可得到的周長(zhǎng)為． 【詳解】由折疊可得，， ， 又， ， ， ， 由折疊可得，， ， 是等邊三角形， 的周長(zhǎng)為， 故選：C． 【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、軸對(duì)稱圖形性質(zhì)以及等邊三角形的判定．解題時(shí)注意折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和

3、對(duì)應(yīng)角相等． 3．如圖，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，使點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在邊上，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，連接．下列結(jié)論一定正確的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AC=CD，BC=EC，∠ACD=∠BCE，所以選項(xiàng)A、C不一定正確 再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得出，所以選項(xiàng)D正確；再根據(jù)∠EBC =∠EBC+∠ABC=∠A+∠ABC=-∠ACB判斷選項(xiàng)B不一定正確即可． 【詳解】解：∵繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到， ∴AC=CD，BC=EC，∠ACD=∠BCE， ∴∠A=∠CDA=；∠EBC=∠BEC=, ∴選項(xiàng)A、C不一定正確 ∴∠A =∠EBC ∴選

4、項(xiàng)D正確． ∵∠EBC=∠EBC+∠ABC=∠A+∠ABC=-∠ACB不一定等于， ∴選項(xiàng)B不一定正確； 故選：D． 【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了等腰三角形的性質(zhì)． 4．如圖，菱形的對(duì)角線，交于點(diǎn)，，將沿點(diǎn)到點(diǎn)的方向平移，得到，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離為( ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由菱形性質(zhì)得到AO，BO長(zhǎng)度，然后在利用勾股定理解出即可 【詳解】由菱形的性質(zhì)得 為直角三角形 故選C 【點(diǎn)睛】本題主要考查直角三角形勾股定理

5、以及菱形的性質(zhì)，本題關(guān)鍵在于利用菱形性質(zhì)求出直角三角形的兩條邊 5．4張長(zhǎng)為a、寬為的長(zhǎng)方形紙片，按如圖的方式拼成一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形，圖中空白部分的面積為，陰影部分的面積為．若，則a、b滿足（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先用a、b的代數(shù)式分別表示，，再根據(jù)，得，整理，得，所以． 【詳解】解：， ， ∵， ∴， 整理，得， ∴， ∴． 故選：D． 【點(diǎn)睛】本題考查了整式的混合運(yùn)算，熟練運(yùn)用完全平方公式是解題的關(guān)鍵． 6．將一張正方形紙片按如圖步驟，通過折疊得到圖④，再沿虛線剪去一個(gè)角，展開鋪平后得到圖⑤，其中是折痕．若正方形與五邊形的面

6、積相等，則的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】連接HF，設(shè)直線MH與AD邊的交點(diǎn)為P，根據(jù)剪紙的過程以及折疊的性質(zhì)得PH＝MF且正方形EFGH的面積＝×正方形ABCD的面積，從而用a分別表示出線段GF和線段MF的長(zhǎng)即可求解． 【詳解】連接HF，設(shè)直線MH與AD邊的交點(diǎn)為P，如圖： 由折疊可知點(diǎn)P、H、F、M四點(diǎn)共線，且PH＝MF， 設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2a， 則正方形ABCD的面積為4a2， ∵若正方形EFGH與五邊形MCNGF的面積相等 ∴由折疊可知正方形EFGH的面積＝×正方形ABCD的面積＝， ∴正方形EFGH的邊長(zhǎng)GF＝ ，

7、 ∴HF＝GF＝ ， ∴MF＝PH＝， ∴ . 故選A． 【點(diǎn)睛】本題考查了剪紙問題、正方形的性質(zhì)以及折疊的性質(zhì)，根據(jù)剪紙的過程得到圖形中邊的關(guān)系是解決問題關(guān)鍵． 7．如圖，矩形與菱形的對(duì)角線均交于點(diǎn)，且，將矩形折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，折痕過點(diǎn)．若，，，則的長(zhǎng)為（　?。? A． B． C． D． 【答案】A 【分析】延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接、；由四邊形是菱形，，得，，，，根據(jù)根據(jù)折疊性質(zhì)，再證四邊形為菱形，得是梯形的中位線，根據(jù)中位線性質(zhì)求解. 【詳解】延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接、；如圖所示： 則，為直角三角形， ∵四邊形是菱形，， ∴，，， ∴， 由折疊的性質(zhì)得：，，， ∴， ∵

8、， ∴， ∴， ∴， ∴四邊形為平行四邊形， ∵， ∴四邊形為菱形， ∴， 根據(jù)題意得：是梯形的中位線， ∴， ∴； 故選：A． 【點(diǎn)睛】考核知識(shí)點(diǎn)：矩形折疊，菱形判定和性質(zhì)，三角函數(shù).理解折疊的性質(zhì)是關(guān)鍵. 8．如圖，直線是矩形的對(duì)稱軸，點(diǎn)在邊上，將沿折疊，點(diǎn)恰好落在線段與的交點(diǎn)處，，則線段的長(zhǎng)是（　?。? A．8 B． C． D．10 【答案】A 【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)及折疊的特點(diǎn)得到，，再根據(jù)含30°的直角三角形的性質(zhì)即可求解. 【詳解】解：∵四邊形是矩形， ∴， 由題意得：，， ∴， 由折疊的性質(zhì)得：，， ∴，， ∴， ∴， 在

9、中，，， ∴，； 故選：A． 【點(diǎn)睛】此題主要考查正方形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知直角三角形的性質(zhì)與特點(diǎn). 9．如圖，將沿邊上的中線平移到的位置．已知的面積為16，陰影部分三角形的面積9．若，則等于（ ） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】B 【分析】由 S△ABC＝16、S△A′EF＝9且 AD為 BC邊的中線知 ， ，根據(jù)△DA′E∽△DAB知 ，據(jù)此求解可得． 【詳解】、，且為邊的中線， ，， 將沿邊上的中線平移得到， ， ， 則，即， 解得或（舍）， 故選：． 【點(diǎn)睛】本題主要平移的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平移變換的性質(zhì)與三角形中線的 性

10、質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)． 10．如圖，在△ABC中，D是AC邊上的中點(diǎn)，連結(jié)BD，把△BDC′沿BD翻折，得到△，DC與AB交于點(diǎn)E，連結(jié)，若AD=AC′=2，BD=3則點(diǎn)D到BC的距離為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】連接CC′，交BD于點(diǎn)M，過點(diǎn)D作DH⊥BC于點(diǎn)H，由翻折知，△BDC≌△BDC’，BD垂直平分CC，證△ADC為等邊三角形，利用解直角三角形求出DM=1，CM= =，BM=2，在Rt△BMC'中，利用勾股定理求出BC′的長(zhǎng)，在△BDC中利用面積法求出DH的長(zhǎng). 【詳解】 解：如圖，連接CC′，交BD于點(diǎn)M，過點(diǎn)D作DH⊥BC

11、′于點(diǎn)H， ∵AD=AC'=2，D是AC邊上的中點(diǎn)， ∴DC=AD=2， 由翻折知，△BDC≌△BDC′，BD垂直平分CC′， ∴DC=DC′=2，BC=BC′，CM=C′M， ∴AD=AC'=DC′=2， ∴△ADC′為等邊三角形， ∴∠ADC=∠AC′D=∠C′AC=60°， ∵DC=DC′， ∴∠DCC′=∠DC′C= ×60°=30°， 在Rt△CDM中，∠DC′C=30°，DC′=2， ∴DM=1，C′M=DM= ， ·.BM=BD-DM=3-1=2， 在Rt△BMC中，BC′= ∴.BM=BD-DM=3-1=2, 在Rt△C'DM中，

12、 ∴ ∴ 故選B. 【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理等，解題關(guān)鍵是會(huì)通過面積法求線段的長(zhǎng)度. 二、填空題 11．如圖，已知△ABC，通過測(cè)量、計(jì)算得△ABC的面積約為____cm2.（結(jié)果保留一位小數(shù)） 【答案】1.9 【分析】過點(diǎn)C作CD⊥AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，測(cè)量出AB，CD的長(zhǎng)，再利用三角形的面積公式即可求出△ABC的面積． 【詳解】解：過點(diǎn)C作CD⊥AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，如圖所示． 經(jīng)過測(cè)量，AB=2.2cm，CD=1.7cm， （cm2）． 故答案為：1.9． 【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的面積，牢記三角形的面積等于底邊長(zhǎng)與高線乘積

13、的一半是解題的關(guān)鍵． 12．如圖，把某矩形紙片ABCD沿EF、GH折疊（點(diǎn)E、H在AD邊上，點(diǎn)F、G在BC邊上），使得點(diǎn)B、點(diǎn)C落在AD邊上同一點(diǎn)P處，A點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，D點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，若，的面積為4，的面積為1，則矩形ABCD的面積等于_____. 【答案】. 【分析】根據(jù)相似三角形的判斷得到△A'EP～△D'PH，由三角形的面積公式得到S△A'EP，再由折疊的性質(zhì)和勾股定理即可得到答案. 【詳解】∵A'E∥PF ∴∠A'EP=∠D'PH 又∵∠A=∠A'=90°，∠D=∠D'=90° ∴∠A'=∠D' ∴△A'EP～△D'PH 又∵AB=CD，AB=A'P，CD=D

14、'P ∴A'P= D'P 設(shè)A'P=D'P=x ∵S△A'EP：S△D'PH=4：1 ∴A'E=2D'P=2x ∴S△A'EP= ∵ ∴ ∴A'P=D'P=2 ∴A'E=2D'P=4 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì). 13．用一條寬度相等的足夠長(zhǎng)的紙條打一個(gè)結(jié)（如圖1所示），然后輕輕拉緊、壓平就可以得到如圖2所示的正五邊形．圖中，____度． 【答案】36 【分析】利用多邊形的內(nèi)角和定理和等腰三角形的性質(zhì)即可解決問題． 【詳解】，是等腰三角形， 度． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了多

15、邊形的內(nèi)角和定理和等腰三角形的性質(zhì)． 解題關(guān)鍵在于知道n邊形的內(nèi)角和為：180°（n﹣2）． 14．如圖，有一張矩形紙片，．先將矩形紙片折疊，使邊落在邊上，點(diǎn)落在點(diǎn)處，折痕為；再將沿翻折，與相交于點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為_____． 【答案】 【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得到，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)周長(zhǎng)公式計(jì)算即可． 【詳解】解：由折疊的性質(zhì)可知，， ∴， ∴， 由題意得，四邊形為矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得，， 則的周長(zhǎng)， 故答案為： 【點(diǎn)睛】考核知識(shí)點(diǎn)：矩形的折疊問題.運(yùn)用矩形性質(zhì)分析問題是關(guān)鍵. 15．如圖，在△ABC中，∠BAC=

16、90°，AB=AC=10cm，點(diǎn)D為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠BAD=15°，AD=6cm，連接BD，將△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使AB與AC重合，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E，連接DE，DE交AC于點(diǎn)F，則CF的長(zhǎng)為________cm. 【答案】 【分析】過點(diǎn)A作AH⊥DE，垂足為H，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得 AE=AD=6，∠CAE=∠BAD=15°，∠DAE=∠BAC=90°，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠HAE=45°，AH=3，進(jìn)而得∠HAF=30°，繼而求出AF長(zhǎng)即可求得答案. 【詳解】過點(diǎn)A作AH⊥DE，垂足為H， ∵∠BAC=90°，AB=AC，將△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使AB與A

17、C重合，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E， ∴AE=AD=6，∠CAE=∠BAD=15°，∠DAE=∠BAC=90°， ∴DE=，∠HAE=∠DAE=45°， ∴AH=DE=3，∠HAF=∠HAE-∠CAE=30°， ∴AF=， ∴CF=AC-AF=， 故答案為：. 【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形等知識(shí)，正確添加輔助線構(gòu)建直角三角形、靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵. 16．如圖在正方形中，，將沿翻折，使點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)剛好落在對(duì)角線上，將沿翻折，使點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在對(duì)角線上，求______. 【答案】 【分析】作于點(diǎn)，構(gòu)造直角三角形，運(yùn)用勾股定理求解即可.

18、 【詳解】作于點(diǎn)， 由折疊可知：，， ∴正方形邊長(zhǎng) ∴. 故答案為：. 【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換、正方形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找直角三角形解決問題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題， 17．如圖，在中，，以頂點(diǎn)為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)度為半徑畫弧，分別交于點(diǎn)，再分別以點(diǎn)為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)，作射線交于點(diǎn)．若，則_____． 【答案】． 【分析】利用基本作圖得BD平分，再計(jì)算出，所以，利用得到，然后根據(jù)三角形面積公式可得到的值． 【詳解】解：由作法得平分， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴. 故答案為． 【點(diǎn)睛】本

19、題考查了作圖基本作圖：熟練掌握基本作圖作一條線段等于已知線段；作一個(gè)角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點(diǎn)作已知直線的垂線． 18．七巧板是我國(guó)祖先的一項(xiàng)卓越創(chuàng)造，被譽(yù)為“東方魔板”. 由邊長(zhǎng)為的正方形可以制作一副如圖1所示的七巧板，現(xiàn)將這副七巧板在正方形內(nèi)拼成如圖2所示的“拼搏兔”造型(其中點(diǎn)分別與圖2中的點(diǎn)重合，點(diǎn)在邊上)，則“拼搏兔”所在正方形的邊長(zhǎng)是_____. 【答案】 【分析】如圖3中，連接CE交MN于O，先利用相似求出OM、ON的長(zhǎng)，再利用勾股定理解決問題即可． 【詳解】如圖3， 連結(jié)交于. 觀察圖1、圖2可知， ，.

20、 圖3 ∴， ∴， ∴. 在中， ，同理可求得， ∴，即“拼搏兔”所在正方形的邊長(zhǎng)是. 故答案為：4 【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題． 19．如圖，過點(diǎn)C(3,4)的直線交軸于點(diǎn)A，∠ABC=90°，AB=CB，曲線過點(diǎn)B，將點(diǎn)A沿軸正方向平移個(gè)單位長(zhǎng)度恰好落在該曲線上，則的值為________． 【答案】4 【分析】分別過點(diǎn)B、點(diǎn)C作軸和軸的平行線，兩條平行線相交于點(diǎn)M，與軸的交點(diǎn)為N．將C(3,4)代入可得b=-2，然后求得A點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，證明△ABN≌△BCM，

21、可得AN=BM=3，CM=BN=1，可求出B(4,1)，即可求出k=4，由A點(diǎn)向上平移后落在上，即可求得a的值. 【詳解】分別過點(diǎn)B、點(diǎn)C作軸和軸的平行線，兩條平行線相交于點(diǎn)M，與軸的交點(diǎn)為N，則∠M=∠ANB=90°， 把C(3,4)代入，得4=6+b，解得：b=-2， 所以y=2x-2， 令y=0，則0=2x-2，解得：x=1， 所以A(1，0)， ∵∠ABC=90°， ∴∠CBM+∠ABN=90°， ∵∠ANB=90°， ∴∠BAN+∠ABN=90°， ∴∠CBM=∠BAN， 又∵∠M=∠ANB=90°，AB=BC， ∴△ABN≌△BCM， ∴AN=BM，BN=

22、CM， ∵C(3，4)，∴設(shè)AN=m，CM=n， 則有，解得， ∴ON=3+1=4，BN=1， ∴B(4，1)， ∵曲線過點(diǎn)B， ∴k=4， ∴， ∵將點(diǎn)A沿軸正方向平移個(gè)單位長(zhǎng)度恰好落在該曲線上，此時(shí)點(diǎn)A移動(dòng)后對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(1，a)， ∴a=4， 故答案為：4. 【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)與幾何圖形的綜合，涉及了待定系數(shù)法，全等三角形的判定與性質(zhì)，點(diǎn)的平移等知識(shí)，正確添加輔助線，利用數(shù)形結(jié)合思想靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵. 20．如圖，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，的頂點(diǎn)A在格點(diǎn)上，B是小正方形邊的中點(diǎn)，，，經(jīng)過點(diǎn)A，B的圓的圓心在邊AC上． （Ⅰ

23、）線段AB的長(zhǎng)等于_______________； （Ⅱ）請(qǐng)用無刻度的直尺，在如圖所示的網(wǎng)格中，畫出一個(gè)點(diǎn)P，使其滿足，并簡(jiǎn)要說明點(diǎn)P的位置是如何找到的（不要求證明）_____． 【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ）如圖，取圓與網(wǎng)格線的交點(diǎn)，連接與相交，得圓心；與網(wǎng)格線相交于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，與點(diǎn)的連線相交于點(diǎn)，連接，則點(diǎn)滿足． 【分析】（Ⅰ）根據(jù)勾股定理即可求出AB的長(zhǎng) （Ⅱ）先確定圓心，根據(jù)∠EAF=取格點(diǎn)E、F并連接可得EF為直徑，與AC相交即可確定圓心的位置，先在BO上取點(diǎn)P,設(shè)點(diǎn)P滿足條件，再根據(jù)點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，根據(jù)垂徑定理得出ODAB，再結(jié)合已知條

24、件，得出，設(shè)PC和DO的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)Q，根據(jù)ASA可得,可得OA=OQ，從而確定點(diǎn)Q在圓上，所以連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，與點(diǎn)的連線相交于點(diǎn)，連接即可找到點(diǎn)P 【詳解】（Ⅰ）解： 故答案為： （Ⅱ）取圓與網(wǎng)格線的交點(diǎn)，連接，與相交于點(diǎn)O， ∵∠EAF=，∴EF為直徑, ∵圓心在邊AC上∴點(diǎn)O即為圓心 ∵與網(wǎng)格線的交點(diǎn)D是AB中點(diǎn)，連接OD則ODAB， 連接OB，∵,OA=OB ∴∠OAB=∠OBA=，∠DOA=∠DOB=， 在BO上取點(diǎn)P ，并設(shè)點(diǎn)P滿足條件，∵ ∵， ∴∠APO=∠CPO=， 設(shè)PC和DO的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)Q，則∠DOA=∠DOB=∠POC=∠Q

25、OC= ∴∠AOP=∠QOP=， ∵OP=OP, ∴ ∴OA=OQ, ∴點(diǎn)Q在圓上，∴連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，與點(diǎn)的連線相交于點(diǎn)，連接,則點(diǎn)P即為所求 【點(diǎn)睛】本題主要考查了應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖、勾股定理、垂徑定理、三角形的全等的性質(zhì)與判定、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，是一道綜合性較強(qiáng)的題目，解題時(shí)首先要理解題意，弄清問題中對(duì)所作圖形的要求，結(jié)合對(duì)應(yīng)幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖的方法作圖． 三、解答題 21．按要求解答下列各題： （1）如圖①，求作一點(diǎn)，使點(diǎn)到的兩邊的距離相等，且在的邊上．（用直尺和圓規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法和證明）； （2）如圖②，表示兩個(gè)港口，

26、港口在港口的正東方向上．海上有一小島在港口的北偏東方向上，且在港口的北偏西方向上．測(cè)得海里，求小島與港口之間的距離．（結(jié)果可保留根號(hào)） 【答案】（1）見解析；（2）. 【分析】(1)作出∠ABC的平分線(以點(diǎn)B為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑畫弧，與AB、BC各交一點(diǎn)，然后分別以這兩個(gè)交點(diǎn)為圓心，以大于這兩點(diǎn)距離的一半為半徑畫弧，兩弧在三角形內(nèi)部交于一點(diǎn)，過點(diǎn)B及這個(gè)點(diǎn)作射線)交AC于點(diǎn)P即可； (2)過點(diǎn)作于點(diǎn)，由題意得，，在中，求出AD的長(zhǎng)，繼而在中，求出AC長(zhǎng)即可. 【詳解】(1)如圖所示： 作出的平分線 標(biāo)出點(diǎn). (2)過點(diǎn)作于點(diǎn)， 由題意得，， 在中， ， ，

27、 在中， ， (海里)， 答：小島與港口之間的距離是海里. 【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作圖——作角平分線，解直角三角形的應(yīng)用，正確掌握作角平分線的方法是解(1)的關(guān)鍵，添加輔助線構(gòu)建直角三角形是解(2)的關(guān)鍵. 22．圖①，圖②均為的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)．在圖①中已畫出線段，在圖②中已畫出線段，其中均為格點(diǎn)，按下列要求畫圖： ⑴在圖①中，以為對(duì)角線畫一個(gè)菱形，且為格點(diǎn)； ⑵在圖②中，以為對(duì)角線畫一個(gè)對(duì)邊不相等的四邊形，且為格點(diǎn)，. 【答案】（1）見解析；（2）見解析. 【分析】（1）根據(jù)菱形的定義畫出圖形即可（答案不唯一）． （2）利用數(shù)形結(jié)合的思想解決

28、問題即可． 【詳解】解：（1）如圖，菱形AEBF即為所求． （2）如圖，四邊形CGDH即為所求． 【點(diǎn)睛】本題考查作圖-應(yīng)用與設(shè)計(jì)，菱形的判定和性質(zhì)，直角三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考?？碱}型． 23．如圖，在的方格中，的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，試按要求畫出線段EF（E,F均為格點(diǎn)），各畫出一條即可． 【答案】見解析. 【分析】圖1，根據(jù)格點(diǎn)的特征，利用全等三角形畫出圖形即可；圖2：根據(jù)格點(diǎn)的特征，利用全等三角形及兩銳角互余的三角形為直角三角形畫出圖形即可；圖3：根據(jù)格點(diǎn)的特征，結(jié)合線段垂直平分線的判定定理畫出圖形即可. 【詳解】如圖所示

29、： 【點(diǎn)睛】本題考查了格點(diǎn)三角形中的作圖，正確利用格點(diǎn)的特征是解決問題的關(guān)鍵． 24．按要求作圖，不要求寫作法，但要保留作圖痕跡. （1）如圖1，A為圓E上一點(diǎn)，請(qǐng)用直尺（不帶刻度）和圓規(guī)作出圓內(nèi)接正方形； （2）我們知道，三角形具有性質(zhì)，三邊的垂直平分線相交于同一點(diǎn)，三條角平分線相交于一點(diǎn)，三條中線相交于一點(diǎn)，事實(shí)上，三角形還具有性質(zhì)：三條高交于同一點(diǎn)，請(qǐng)運(yùn)用上述性質(zhì)，只用直尺（不帶刻度）作圖： ①如圖2，在□ABCD中，E為CD的中點(diǎn)，作BC的中點(diǎn)F; ②圖3，在由小正方形組成的網(wǎng)格中，的頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)上，作△ABC的高AH 【答案】（1）見解析；（2

30、）①見解析；②見解析. 【分析】(1)作直徑AC，分別以A、C為圓心，以大于AC的一半長(zhǎng)為半徑畫弧，在AC的兩側(cè)分別交于點(diǎn)M、N，作直線MN交圓于點(diǎn)B，D，四邊形ABCD即為所求； (2)①連接AC、BD交于點(diǎn)O，則O為BD的中點(diǎn)，連接BE交CO于點(diǎn)G，連接DG并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)F，則F即為所求； ②如圖，利用網(wǎng)格特點(diǎn)連接BM，則可得直線BM⊥AC，連接CN，則可得直線CN⊥AB，兩線交于點(diǎn)E，連接AE并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)H，則AH即為所求. 【詳解】(1)如圖所示，四邊形ABCD即為所求； (2)①如圖所示，點(diǎn)F即為所求； ②如圖所示，AH即為所求. 【點(diǎn)睛】本題考查了尺

31、規(guī)作圖，無刻度直尺作圖，熟練掌握尺規(guī)作圖的方法以及無刻度直尺作圖的方法是解題的關(guān)鍵. 25．如圖，將平行四邊形紙片沿一條直線折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)落在點(diǎn)處，折痕為．求證： （1）； （2）． 【答案】（1）見解析；（2）見解析. 【分析】(1)依據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，即可得到，由折疊可得，，即可得到； (2)依據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，即可得出，，由折疊可得，，，即可得到，，進(jìn)而得出． 【詳解】(1)四邊形是平行四邊形， ， 由折疊可得， ， ， ， ； (2)四邊形是平行四邊形， ，， 由折疊可得，，， ，， 又， ． 【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，

32、折疊的性質(zhì)，全等三角形的判定，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)以及折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵. 26．圖①、圖②、圖③均是6×6的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，小正方形的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)均在格點(diǎn)上．在圖①、圖②、圖③中，只用無刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中按要求畫圖，所畫圖形的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，不要求寫出畫法． （1）在圖①中以線段為邊畫一個(gè)，使其面積為6． （2）在圖②中以線段為邊畫一個(gè)，使其面積為6． （3）在圖③中以線段為邊畫一個(gè)四邊形，使其面積為9，且． 【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）詳見解析. 【分析】（1）直接利用三角形的面積的計(jì)算方法得出符合題意的圖形； （

33、2）直接利用三角形面積求法得出答案； （3）根據(jù)矩形函數(shù)三角形的面積的求法進(jìn)而得出答案． 【詳解】解：（1）如圖①所示，即為所求； （2）如圖②所示，即為所求； （3）如圖③所示，四邊形即為所求； 【點(diǎn)睛】考核知識(shí)點(diǎn)：作三角形和四邊形.利用三角形面積公式求解是關(guān)鍵. 27．如圖，矩形中，點(diǎn)在邊上，將沿折疊，點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接． （1）求證：四邊形是菱形； （2）若，求四邊形的面積． 【答案】（1）詳見解析；（2） 【分析】（1）根據(jù)題意可得，因此可得，又，則可得四邊形是平行四邊形，再根據(jù)可得四邊形是菱形. （2）設(shè)，則，再根據(jù)勾股定理可得x的值，

34、進(jìn)而計(jì)算出四邊形的面積. 【詳解】（1）證明：由題意可得， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四邊形是平行四邊形， 又∵ ∴四邊形是菱形； （2）∵矩形中， ， ∴， ∴， ∴， 設(shè)，則， ∵， ∴， 解得， ， ∴， ∴四邊形的面積是：． 【點(diǎn)睛】本題主要考查菱形的判定，關(guān)鍵在于首先證明其是平行四邊形，再證明兩條臨邊相等即可. 28．綜合與實(shí)踐 動(dòng)手操作： 第一步：如圖1，正方形紙片ABCD沿對(duì)角線AC所在直線折疊，展開鋪平.在沿過點(diǎn)C的直線折疊，使點(diǎn)B，點(diǎn)D都落在對(duì)角線AC上.此時(shí)，點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，記為點(diǎn)N，且點(diǎn)E，點(diǎn)N，點(diǎn)F三點(diǎn)

35、在同一直線上，折痕分別為CE，CF.如圖2. 第二步：再沿AC所在的直線折疊，△ACE與△ACF重合，得到圖3 第三步：在圖3的基礎(chǔ)上繼續(xù)折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)F重合，如圖4，展開鋪平，連接EF，F(xiàn)G，GM，ME，如圖5，圖中的虛線為折痕. 問題解決： (1)在圖5中，∠BEC的度數(shù)是 ，的值是 ； (2)在圖5中，請(qǐng)判斷四邊形EMGF的形狀，并說明理由； (3)在不增加字母的條件下，請(qǐng)你以圖中5中的字母表示的點(diǎn)為頂點(diǎn)，動(dòng)手畫出一個(gè)菱形(正方形除外)，并寫出這個(gè)菱形： . 【答案】(1)67.5°；；(2)四邊形EMGF是矩形，理由見解析；(3

36、)菱形FGCH或菱形EMCH(一個(gè)即可). 【分析】(1)由正方形的性質(zhì)可得∠B=90°，∠ACB=∠BAC=45°，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得∠BCE =22.5°，繼而可求得∠BEC=67.5°，在Rt△AEN中，由sin∠EAN=可得AE=EN，即可求得； (2)四邊形EMGF是矩形，理由如下：由折疊的性質(zhì)可得∠1=∠2=∠3=∠4=22.5°，CM=CG，∠BEC=∠NEC=∠NFC=∠DFC=67.5°，MC=ME，GC=GF，∠5=∠1=22.5°，∠6=∠4=22.5°，繼而可得∠MEF=∠GFE=90°，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得 ∠CMG=45°，由三角形外角的性質(zhì)得∠BME

37、=∠1+∠5=45°，根據(jù)平角的定義求得∠EMG=90°，根據(jù)有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形即可得到四邊形EMGF是矩形； (3) 如圖所示，四邊形EMCH是菱形，理由如下：先證明四邊形EMCH是平行四邊形，再根據(jù)有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形即可證明平行四邊形EMCH是菱形.(同理四邊形FGCH也是菱形). 【詳解】(1)∵四邊形ABCD是正方形， ∴∠B=90°，∠ACB=∠BCD=45°，∠BAC=∠BAD=45°， ∵折疊， ∴∠BCE=∠BCE=22.5°，BE=EN，∠ENC=∠B=90°， ∴∠BEC=90°-22.5°=67.5°，∠ANE=90°， 在Rt△

38、AEN中，sin∠EAN=， ∴， ∴AE=EN， ∴， 故答案為：67.5°，； (2)四邊形EMGF是矩形，理由如下： ∵四邊形ABCD是正方形，∴∠B=∠BCD=∠D=90°， 由折疊可知：∠1=∠2=∠3=∠4=22.5°，CM=CG， ∠BEC=∠NEC=∠NFC=∠DFC=67.5°， 由折疊可知：MH、GH分別垂直平分EC，F(xiàn)C， ∴MC=ME，GC=GF， ∴∠5=∠1=22.5°，∠6=∠4=22.5°， ∴∠MEF=∠GFE=90°， ∵∠MCG=90°，CM=CG， ∴∠CMG=45°， 又∵∠BME=∠1+∠5=45°， ∴∠EMG=18

39、0°-∠CMG-∠BME=90°， ∴四邊形EMGF是矩形； (3) 如圖所示，四邊形EMCH是菱形，理由如下： 由(2)∠BME=45°=∠BCA， ∴EM//AC， ∵折疊， ∴CM=CH，EM=CM， ∴EM=CH， ∴EM CH， ∴四邊形EMCH是平行四邊形， 又CM=EM， ∴平行四邊形EMCH是菱形. (同理四邊形FGCH是菱形，如圖所示 ). 【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，矩形的判定，菱形的判定，解直角三角形等，正確把握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵. 29．（1）如圖1，菱形的頂點(diǎn)、在菱形的邊上，且，請(qǐng)直接寫出的結(jié)果（不必寫計(jì)算過

40、程） （2）將圖1中的菱形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度，如圖2，求； （3）把圖2中的菱形都換成矩形，如圖3，且，此時(shí)的結(jié)果與（2）小題的結(jié)果相比有變化嗎？如果有變化，直接寫出變化后的結(jié)果（不必寫計(jì)算過程）；若無變化，請(qǐng)說明理由． 【答案】（1）；（2）（3）有變化， 【分析】（1）連接，由菱形的頂點(diǎn)、在菱形的邊上，且，易得，，共線，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，則也為菱形，利用菱形對(duì)角線互相垂直，結(jié)合三角函數(shù)可得結(jié)論； （2）連接，，由和都是等腰三角形，易證與與，利用相似三角形的性質(zhì)及菱形的性質(zhì)可得結(jié)論； （3）連接，，易證和，利用相似三角形的性質(zhì)可得結(jié)論． 【詳解】（1

41、）連接， ∵菱形的頂點(diǎn)、在菱形的邊上，且， ，，， ，，共線，， ， 延長(zhǎng)交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，則也為菱形， ，， ， ∵， ， ∵為平行四邊形， ， ． （2）如圖，連接，， ∵和都是等腰三角形， ，， ， ， ， ∵， ， 在和中， ， ． （3）有變化． 如圖，連接，， ∵，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 【點(diǎn)睛】本題是菱形與相似三角形，全等三角形，三角函數(shù)等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用，難度較大． 30．如圖，等邊中，AB=6，點(diǎn)D在BC上，BD=4，點(diǎn)E為邊AC上一動(dòng)

42、點(diǎn)（不與點(diǎn)C重合），關(guān)于DE的軸對(duì)稱圖形為. （1）當(dāng)點(diǎn)F在AC上時(shí)，求證：DF//AB； （2）設(shè)的面積為S1，的面積為S2，記S=S1-S2，S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由； （3）當(dāng)B，F(xiàn)，E三點(diǎn)共線時(shí)。求AE的長(zhǎng)。 【答案】（1）見解析；（2）存在最大值，最大值為；（3）. 【分析】（1）由折疊的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)可得∠DFC=∠A，可證DF∥AB； （2）過點(diǎn)D作DM⊥AB交AB于點(diǎn)M，由題意可得點(diǎn)F在以D為圓心，DF為半徑的圓上，由△ACD的面積為S1的值是定值，則當(dāng)點(diǎn)F在DM上時(shí)，S△ABF最小時(shí)，S最大； （3）過點(diǎn)D作DG

43、⊥EF于點(diǎn)G，過點(diǎn)E作EH⊥CD于點(diǎn)H，由勾股定理可求BG的長(zhǎng)，通過證明△BGD∽△BHE，可求EC的長(zhǎng)，即可求AE的長(zhǎng)． 【詳解】解：（1）∵△ABC是等邊三角形， ∴∠A=∠B=∠C=60°， 由折疊可知：DF=DC，且點(diǎn)F在AC上， ∴∠DFC=∠C=60°， ∴∠DFC=∠A， ∴DF∥AB； （2）存在，如圖， 過點(diǎn)D作DM⊥AB交AB于點(diǎn)M， ∵AB=BC=6，BD=4，∴CD=2，∴DF=2， ∴點(diǎn)F在以D為圓心，DF為半徑的圓上， ∴當(dāng)點(diǎn)F在DM上時(shí)，S△ABF最小， ∵BD=4，DM⊥AB，∠ABC=60°， ∴MD=2 ， ∴S△ABF的最小

44、值= ， ∴S最大值=. （3）如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)G，過點(diǎn)E作EH⊥CD于點(diǎn)H， ∵△CDE關(guān)于DE的軸對(duì)稱圖形為△FDE， ∴DF=DC=2，∠EFD=∠C=60°， ∵GD⊥EF，∠EFD=60°， ∴FG=1，DG=FG=， ∵BD2=BG2+DG2， ∴16=3+（BF+1）2， ∴BF=-1， ∴BG=， ∵EH⊥BC，∠C=60°， ∴CH=，EH=HC=, ∵∠GBD=∠EBH，∠BGD=∠BHE=90°， ∴△BGD∽△BHE， ∴， ∴, ∴EC= ∴AE=AC-EC= 【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握是解題的關(guān)鍵. 33