2021-2022年三年級數(shù)學 奧數(shù)講座 應(yīng)用同余問題

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1、2021-2022年三年級數(shù)學 奧數(shù)講座 應(yīng)用同余問題 專題簡析： 同余這個概念最初是由偉大的德國數(shù)學家高斯發(fā)現(xiàn)的。同余的定義是這樣的： 兩個整數(shù)a，b，如果它們除以同一自然數(shù)m所得的余數(shù)相同，則稱a，b對于模m同余。記作：a≡b（mod ｍ）。讀做：ａ同余于ｂ模ｍ。比如，12除以5，47除以5，它們有相同的余數(shù)2，這時我們就說，對于除數(shù)5，12和47同余，記做12≡47（mod　5）。 同余的性質(zhì)比較多，主要有以下一些： 性質(zhì)（1）：對于同一個除數(shù)，兩個數(shù)之和（或差）與它們的余數(shù)之和（或差）同余。比如：32除以5余數(shù)是2，19除以5余數(shù)是4，兩個余數(shù)的和是2+4=6?！?2+19”

2、除以5的余數(shù)就恰好等于它們的余數(shù)和6除以5的余數(shù)。也就是說，對于除數(shù)5，“32+19”與它們的余數(shù)和“2+4”同余，用符號表示就是：32≡2（mod　5），19≡4（mod　5），32+19≡2+4≡1（mod　5） 性質(zhì)（2）：對于同一個除數(shù)，兩個數(shù)的乘積與它們余數(shù)的乘積同余。 性質(zhì)（3）：對于同一個除數(shù)，如果有兩個整數(shù)同余，那么它們的差就一定能被這個除數(shù)整除。 性質(zhì)（4）：對于同一個除數(shù)，如果兩個整數(shù)同余，那么它們的乘方仍然同余。 應(yīng)用同余性質(zhì)解題的關(guān)鍵是要在正確理解的基礎(chǔ)上靈活運用同余性質(zhì)。把求一個較大的數(shù)除以某數(shù)的余數(shù)問題轉(zhuǎn)化為求一個較小的數(shù)除以這個數(shù)的余數(shù)，使復雜的題變簡單，

3、使困難的題變?nèi)菀住? 例題1： 求1992×59除以7的余數(shù)。 應(yīng)用同余性質(zhì)（2）可將1992×59轉(zhuǎn)化為求1992除以7和59除以7的余數(shù)的乘積，使計算簡化。1992除以7余4，59除以7余3。根據(jù)同余性質(zhì)，“4×3”除以7的余數(shù)與“1992×59”除以7的余數(shù)應(yīng)該是相同的，通過求“4×3”除以7的余數(shù)就可知道1992×59除以7的余數(shù)了。 因為1992×59≡4×3≡5（mod 7） 所以1992×59除以7的余數(shù)是5。 練習1： 1．求4217×364除以6的余數(shù)。 2．求1339655×12除以13的余數(shù)。 3．求879×4376×5283除以11的余數(shù)。 例題2：

4、 已知xx年的國慶節(jié)是星期一，求xx年的國慶節(jié)是星期幾？ 一星期有7天，要求xx年的國慶節(jié)是星期幾，就要求從xx年到xx年的國慶節(jié)的總天數(shù)被7除的余數(shù)就行了。但在計算中，如果我們能充分利用同余性質(zhì)，就可以不必算出這個總天數(shù)。 xx年國慶節(jié)到xx年國慶節(jié)之間共有2個閏年7個平年，即有“366×2+365×7”天。因為366×2≡2×2≡4（mod 7），365×7≡1×7≡0（mod 7），366×2+365×7≡2×2+1×7≡4+0≡4（mod 7） 答：xx年的國慶節(jié)是星期五。 練習2： 1．已知xx年元旦是星期二。求xx年元旦是星期幾？ 2．已知xx年的“七月一日”是星期一。

5、求xx年的“十月一日”是星期幾？ 3．今天是星期四，再過365的15次方是星期幾？ 例題3： 求xx的xx次方除以13的余數(shù)。 xx除以13余12，即xx≡12（mod 13）。根據(jù)同余性質(zhì)（4），可知xx的xx次方≡12的xx次方（mod 13），但12的xx次方仍然是一個很大的值，要求它的余數(shù)比較困難。這時的關(guān)鍵就是要找出12的幾次方對模13與1是同余的。經(jīng)試驗可知12的平方≡1（mod 13），而xx≡2×1001+1。所以（12的平方）的1001次方≡1的1001（mod 13），即12的xx次方≡1（mod 13），而12的xx次方≡12的xx次方×12。根據(jù)同余性質(zhì)（2）可

6、知12的xx次方×12≡1×12≡12（mod 13） 因為：xx的xx次方≡12的xx次方（mod 13） 12的平方≡1（mod 13），而xx≡2×1001+1 12的xx次方≡12的xx次方×12≡1×12≡12（mod 13） 所以xx的xx次方除以13的余數(shù)是12。 練習3： 1．求12的200次方除以13的余數(shù)。 2．求3的92次方除以21余幾。 3．9個小朋友坐成一圈，要把35的7次方粒瓜子平均分給他們，最后剩下幾粒？ 例題4： 自然數(shù)16520，14903，14177除以m的余數(shù)相同，m最大是多少？ 自然數(shù)16520，14903，14177除以m的余數(shù)相

7、同，換句話說就是16520≡14903≡14177（mod m）。根據(jù)同余性質(zhì)（3），這三個數(shù)同余，那么它們的差就能被m整除。要求m最大是多少，就是求它們差的最大公約數(shù)是多少？ 因為16520—14903=1617=3×7的平方×11 16520—14177=2343=3×11×71 14903—14177=726=2×3×11的平方 M是這些差的公約數(shù)，m最大是3×11=33。 練習4： 1．若2836、4582、5164、6522四個整數(shù)都被同一個兩位數(shù)相除，所得的余數(shù)相同。除數(shù)是多少？ 2．一個整數(shù)除226、192、141都得到相同的余數(shù)，且余數(shù)不為0，這個整數(shù)是

8、幾？ 3．當1991和1769除以某一個自然數(shù)m時，余數(shù)分別為2和1，那么m最小是多少？ 例題5： 某數(shù)用6除余3，用7除余5，用8除余1，這個數(shù)最小是幾？ 我們可從較大的除數(shù)開始嘗試。首先考慮與1模8同余的數(shù)，9≡1（mod 8），但9輸以7余數(shù)不是5，所以某數(shù)不是9。17≡1（mod 8），17除以7的余數(shù)也不是5。25≡1（mod 8），25除以7的余數(shù)也不是5。33≡1（mod 8），33除以7的余數(shù)正好是5，而且33除以6余數(shù)正好是3，所以這個數(shù)最小是33。上面的方法實際是一種列舉法，也可以簡化為下面的格式： 被8除余1的數(shù)有：9，17，25，33，41，49，57，65，

9、73，81，89，……其中被7除余5的數(shù)有：33，89，……這些數(shù)中被6除余3的數(shù)最小是33。 練習5： 1．某數(shù)除以7余1，除以5余1，除以12余9。這個數(shù)最小是幾？ 2．某數(shù)除以7余6，除以5余1，除以11余3，求此數(shù)最小值。 附送： 2021-2022年三年級數(shù)學 奧數(shù)講座 應(yīng)用題（一） 專題簡析： 應(yīng)用題是小學數(shù)學中非常重要的一部分內(nèi)容，它需要我們小朋友用學到的數(shù)學知識來解決生產(chǎn)、生活中的一些實際問題。學好應(yīng)用題的關(guān)鍵在于認真分析題意，掌握數(shù)量關(guān)系，找到問題的突破口。 在分析應(yīng)用題的數(shù)量關(guān)系時，我們可以從條件出發(fā)，逐步推出所求的問題；也可以從問題出發(fā)，找到必須的兩個

10、條件。在實際解答時，我們可以根據(jù)題目中的數(shù)量關(guān)系，靈活運用這兩種方法。有時，借助線段圖來分析應(yīng)用題的數(shù)量關(guān)系，解答就更容易了。 例題1 學校里有排球24只，足球的只數(shù)比排球的2倍少5只，學校有排球、足球共多少只？ 思路導航：根據(jù)題意畫出線段圖 從上圖可以看出，把24只排球看作1倍數(shù)，足球的只數(shù)比這樣的2倍還少5只，用24×2－5=43（只）可以求出足球的只數(shù)，再用43＋24=67只可以求出兩種球的總只數(shù)。 練 習 一 1．小紅每分鐘跳繩25下，小軍每分鐘跳的下數(shù)比小紅的3倍少16下，小軍每分鐘比小紅多跳幾下？ 2．王奶奶家養(yǎng)雞12只，養(yǎng)鵝的只數(shù)比雞的只數(shù)的4倍

11、還多7只。王奶奶家共養(yǎng)雞、鵝多少只？ 3．少先隊員種柳樹30棵，種的楊樹的棵數(shù)比柳樹棵數(shù)的3倍多14棵。少先隊員種的楊樹、柳樹共多少棵？ 例題2 人民廣場花圃中有180盆郁金香，比月季花盆數(shù)的3倍少15盆。月季花有多少盆？ 思路導航：從上圖可以看出，把月季花的盆數(shù)看作1倍數(shù)，郁金香的盆數(shù)是這樣的3倍少15盆。如果郁金香再增加15盆，就正好是月季花盆數(shù)的3倍。因此用（180＋15）÷3=65（盆）就可求出月季花的盆數(shù)。 練 習 二 1．小明的父親每月工資1000元，比小明母親每月工資的2倍少200元。小明母親每月工資多少元？ 2．飼養(yǎng)場養(yǎng)母鴨400只，比公鴨只數(shù)的7倍還

12、多36只。飼養(yǎng)場養(yǎng)公鴨多少只？ 3．水果店賣出9筐水果，平均每筐重45千克。賣出水果的千克數(shù)比剩下的3倍還多27千克，還剩多少千克水果？ 例題3 小林家養(yǎng)了一些雞，黃雞比黑雞多13只，白雞比黃雞多12只，白雞的只數(shù)正好是黑雞的2倍。白雞、黃雞、黑雞各多少只？ 思路導航：根據(jù)“黃雞比黑雞多13只，白雞比黃雞多12只”，從線段圖上我們可以看出白雞比黑雞多13＋12=25只，這相當于黑雞的2－1=1倍，這樣也就求出黑雞的只數(shù)為25÷1=25只，黃雞的只數(shù)是25＋13=38只，白雞的只數(shù)是25×2=50只。 練習三 1．商店里有紅、白、藍三種圍巾，其中紅圍巾比白圍巾多12條，藍圍巾

13、比紅圍巾多20條，藍圍巾的條數(shù)正好是白圍巾的5倍。紅圍巾、白圍巾、藍圍巾各多少條？ 2．有甲、乙、丙三筐蘋果，甲筐比乙筐多12只蘋果，丙筐比甲筐多15只蘋果，丙筐蘋果個數(shù)是乙筐的4倍。甲、乙、丙筐各有多少只蘋果？ 3．男女學生參加小組交流會，如果少去1名女生，男女生人數(shù)相等；如果少去一名男生，女生人數(shù)是男生的2倍。參加交流會的男女生各多少人？ 例題4 用一批紙裝訂同樣大小的練習本，如果每本16頁，可裝訂400本。如果每本20頁，可以少裝訂多少本？ 思路導航：根據(jù)“如果每本16頁，可裝訂400本”，可得這批紙的總頁數(shù)16×400=6400頁；再用總頁數(shù)6400÷20=320本求出如果每

14、本20頁可裝訂的本數(shù)，400－320=80本則表示少裝訂的本數(shù)。 練 習 四 1．水果市場要將一些水果裝箱，如果每箱10千克，可裝30箱。如果每箱15千克，可少裝多少箱？ 2．服裝廠有一些布料加工窗簾，如果把窗簾做成3米長，可做140幅。如果每幅窗簾做成2米長，則可多做多少幅？ 3．同一批紙裝訂同樣大小的練習本，如果每本16頁，可裝訂400本。如果每本多裝訂9頁，則少裝訂多少本？ 例題5 李師傅原計劃6小時加工零件480個，實際2小時加工192個。照這樣的效率，可以提前幾小時完成？ 思路導航：根據(jù)“實際2小時加工192個”，可以求出李師傅的實際工作效率為192÷2=96（個/小時），再用要加工的零件總數(shù)除以實際工作效率，即480÷96=5小時，求出實際完成的時間。6－5=1小時，則表示提前完成的時間。 練 習 五 1．王奶奶計劃10小時做紙盒400個，實際3小時已加工150個。照這樣的效率，可以提前幾小時完成？ 2．暑假中，小寧30天共要寫大字600個，實際12天已寫大字360個。照這樣的速度，小寧可以提前幾天寫完同樣多的字？ 3．自行車制造廠四月份（30天）共生產(chǎn)自行車3600輛，五月份改進技術(shù)后9天已生產(chǎn)自行車1350輛。照這樣的效率，可以提前幾天完成四月份的任務(wù)？