內蒙古2018年中考數學重點題型專項訓練 二次函數綜合題

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1、二次函數綜合題 類型一 與角度有關的問題 ★1.拋物線y＝－x2＋2x＋3與x軸交于點A，B(A在B 的左側)，與y軸交于點C. (1)求直線BC的解析式； (2)拋物線的對稱軸上存在點P，使∠APB＝∠ABC，利用圖 ①求點 P 的坐標； (3)點Q在y軸右側的拋物線上，利用圖②比較∠OCQ與 ∠OCA 的大小，并說明理由． 第 1 題圖 解：(1)當y＝0時，得0＝－x2＋2x＋3，解得x1＝－1，x2＝3， ∴B 點的坐標為(3，0)， 60

2、當 x＝0，得 y＝3，即 C 點坐標為(0，3)，設直線 BC 的解析式為 y＝kx＋3(k≠0)， 將點 B(3，0)代入得0＝3k＋3，解得 k＝－1， ∴直線 BC 的解析式為 y＝－x＋3； (2)由(1)可知OB＝OC＝3， ∴△BOC 為等腰直角三角形， ∴∠ABC＝45°， 拋物線對稱軸為 x＝1， 設拋物線對稱軸交直線 BC 于點 D，交 x 軸于點 E， 當點 P 在 x 軸上方時，如解圖①， 第 1 題解圖① ∵∠APB＝∠ABC

3、＝45°，且 PA＝PB， ∴∠PBA＝180°－45°＝67.5°， 2 ∠DPB＝12∠APB＝22.5°， ∴∠PBD＝67.5°－45°＝22.5°， ∴∠DPB＝∠DBP， ∴DP＝DB， 在 Rt△BDE中，BE＝DE＝2，由勾股定理可得，BD＝22， ∴PE＝2＋22， ∴P(1，2＋22)； 當點 P 在 x 軸下方時，由對稱性可知 P 點坐標為(1，－2－ 22)， 綜上可知，拋物線的對稱軸上存在點 P,使∠APB=∠ABC，P 點坐標為(1，2＋22)或(1，－2－22)；

4、（3）如解圖②，作點A關于y軸對稱的點F， 點 F 的坐標為(1，0)， 則∠OCA＝∠OCF， 設直線 CF 的解析式為 y＝kx＋b， 把點 C(0，3)，F(xiàn)(1，0)代入求得 k＝－3，b＝3， 則直線 CF 的解析式為 y＝－3x＋3， y＝－3x＋3 聯(lián)立y＝－x2＋2x＋3， x1＝0 解 得 y1＝3 ， x2＝5 y2＝－12， 直線 CF 與拋物線的交點坐標為 (0，3)、(5，－12)，第1題解圖②設點 Q 的坐標為 (a，－a2＋2a＋3)， 當 0＜a＜5 時，∠

5、OCF＜∠OCQ，則∠OCA＜∠OCQ； 當 a＝5時，∠OCF＝∠OCQ，則∠OCA＝∠OCQ； 當 a＞5時，∠OCF＞∠OCQ，則∠OCA＞∠OCQ. 類型二 線段及周長問題 ★1. 如圖，拋物線y＝－14x2＋bx＋c的圖象過點A(4，0)， B(－4，－4)，且拋物線與 y 軸交于點 C，連接 AB，BC，AC. (1)求拋物線的解析式； (2)點P是拋物線對稱軸上的點，求△PBC周長的最小值及此 時點 P 的坐標； (3)若E是線段AB上的一個動點(不與A、B重合)，過E作y軸的平行線，分別交拋物線及 x 軸于 F、D 兩點

6、.請問是否存 在這樣的點 E，使 DE＝2DF？若存在，請求出點 E 的坐標；若不存在，請說明理由. 第 1 題圖 解：(1)∵拋物線y＝－14x2＋bx＋c的圖象經過點A(4，0)，B(－4，－4)， ì － 1 ′16 + 4b+c= 0 ì 1 ? 4 ?b = ， 2 ∴ í 1 ，解得 í ? ? ?－ ′16 - 4b+c= -4 ?c =2 ?

7、 4 ∴拋物線的解析式為 y＝－14 x2＋12 x＋2； （2）由拋物線y＝－14x2＋12x＋2 可得其對稱軸為直線x＝ 1 2 － 1 ＝1，點 C 的坐標為(0，2)， 2 ′(－4) 如解圖，作點 C 關于對稱軸 x＝1的點 C′，則 C′的坐標為(2，2)，連接 BC’； 即 BC′＝ (2 + 4)2+ (2 + 4)2＝62， BC′與對稱軸的交點即為所求點 P，連 第 1 題解圖 接 CP， 此時△PBC 的周長最?。? 設直線 BC′的解析式為 y＝kx＋m， ∵點

8、 B(－4，－4)，C′(2，2)， ∴íì 2k+m= 2 ，解得íì k =1 ， ?-4k+m= -4 ?m =0 ∴直線 BC′的解析式為 y＝x， 將 x＝1代入 y＝x，得 y＝1， ∴點 P 坐標為(1，1)． ∴BC＝ 42+ (2 + 4)2= 213 . ∵△PBC 的周長為 CP＋BC＋PB＝BC＋BC′， ∴△PBC 周長的最小值為213＋62； (3)由點A(4，0)，B(－4，－4)可得直線AB的解析式為y＝12x－2，設點E(x，12x－2)，其中－4

9、x＋2)，DE＝|12x－2|＝2－12x，DF＝|－14 x2＋12x＋2|， 當 2－12x＝－12x2＋x＋4，即點F位于x軸上方，解得 x1＝－1，x2＝4(舍去)， 將 x＝－1代入 y＝ 1 x －2，得到y(tǒng)＝－ 5 ，∴E(－1，－ 5 )， 2 2 2 當 2－12x＝12x2－x－4，即點F位于x軸下方， 解得 x1＝－3，x2＝4(舍去)，將 x＝－3代入 y＝12x－2，得到 y＝－72，∴E(－3，－72)． 綜上所述：點 E 的坐標為：(－1，－52)，(－3，－72)． ★2.如圖

10、，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，直線 y＝－x＋4與 x 軸交于點 A，過點 A 的拋物線 y＝ax2＋bx與直線 y＝－x＋4交于另一點 B，且點 B 的橫坐標為1. (1)求拋物線的解析式； (2)點P是線段AB上一個動點(點P不與點A、B重合)，過點 P 作 PM∥OB 交第一象限內的拋物線于點 M ，過點 M 作 MC⊥x 軸于點 C，交 AB 于點 N，過點 P 作 PF⊥MC 于點 F， 設 PF 的長為 t， ①求 MN 與 t 之間的函數關系式(不要求寫出自變量 t 的取值 范圍)； ②當 MN 取最大值時，連接 ON，

11、直接寫出sin∠BON 的值． 第 2 題圖 解：(1)∵y＝－x＋4與x軸交于點A， ∴A(4，0)， ∵點 B 的橫坐標為1，且直線 y＝－x＋4經過點 B，∴B(1，3)， ∵拋物線 y＝ax2＋bx 經過 A(4，0)，B(1，3)， ì16a+ 4b= 0 ， ∴ í 3 ?a + b = ìa = -1 解得 í . ?b =4 ∴拋物線的解析式為 y＝－x2＋4x； (2)①如解圖①，作BD⊥x軸于點D，延長MP交x軸于點E， 第 2

12、∵B(1，3)，A(4，0)， ∴OD＝1，BD＝3，OA＝4， ∴AD＝3， ∴AD＝BD， ∵∠BDA＝90°，∴∠BAD＝∠ABD＝45°， ∵MC⊥x 軸， ∴∠ANC＝∠BAD＝45°， ∴∠PNF＝∠ANC＝45°， ∵PF⊥MC， ∴∠FPN＝∠PNF＝45°， ∴NF＝PF＝t， ∵∠PFM＝∠ECM＝90°， 第 2 題解圖① ∴PF∥EC， ∴∠MPF＝∠MEC， ∵ME∥OB， ∴∠MEC＝∠BOD， ∴∠MPF＝∠BOD， ∴tan∠BOD＝tan∠MPF，

13、 ∴ODBD＝MFPF＝3， ∴MF＝3PF＝3t， ∵MN＝MF＋FN， ∴MN＝3t＋t＝4t； ②如解圖②，作 BG⊥ON 于 G 點， 第 2 題解圖② 當過點 M 的直線與直線 AB 平行且與拋物線只有一個交點時， MN 取最大， ∴設與 AB 平行的直線 y＝－x＋b， 當－x2＋4x＝－x＋b；即 x2－5x＋b＝0， 25 ＝25－4b＝0，解b＝4 . 25 ∴直線 y＝－x＋4， ∴拋物線 y＝－x2＋4x 與 y＝－x＋254的交點 M(52，15

14、4)， ∴N 點的橫坐標為52，N 點的縱坐標為－52＋4＝32，即 N(52， 32 )， ∴ON 的解析式為 y＝53 x， ∵BG⊥ON， 5 設 BG 的解析式為 y＝－3 x＋b， 將 B(1，3)代入 y＝－ 5 x＋b，解得 b＝ 14 ， 3 3 5 14 ∴BG 的解析式為 y＝－3 x＋3， ìy = 3 x ìx = 35 5 17 ? ? 聯(lián)立 í 5

15、 14 ，解得 í 21 ， ? ? ?y = - x + ? y = 3 3 17 ? ? 35 21 即 G(17，17)． ∴由勾股定理，得 OB＝ 12+ 32＝ 10 ， BG＝ (1735-1)2+ (1721- 3)2＝61734， 634 ∴sin∠BON＝BG＝ 17 ＝ 685 . OB 10 85 ★3 如圖，拋物線y＝x2＋bx＋c過點A(3，

16、0)，B(1，0)， 交 y 軸于點 C，點 P 是該拋物線上一動點，點 P 從 C 點沿拋物線向 A 點運動(點 P 不與點 A 重合)，過點 P 作 PD∥y 軸交直線 AC 于點 D. (1)求拋物線的解析式； (2)求點P在運動的過程中線段PD長度的最大值； (3)在拋物線對稱軸上是否存在點M，使|MA－MC|最大？若 存在，請求出點 M 的坐標，若不存在，請說明理由． 解：(1)∵拋物線y＝x2＋bx＋c過點A(3，0)，B(1，0)， ì9 + 3b+c= 0 ìb =－4 ， ∴ í ，解得 í

17、?1+b+c= 0 ?c =3 ∴拋物線解析式為 y＝x2－4x＋3； (2)令x＝0，則y＝3， ∴點 C(0，3)， 則直線 AC 的解析式為 y＝－x＋3， 設點 P(x，x2－4x＋3)， ∵PD∥y 軸， ∴點 D(x，－x＋3)， 3 9 ∴PD＝(－x＋3)－(x2－4x＋3)＝－x2＋3x＝－(x－2)2＋4，∵a＝－1<0， ∴當 x＝32時，線段 PD 的長度有最大值94； (3)由拋物線的對稱性，對稱軸垂直平分AB， ∴MA＝MB， 由三角形的三邊關系，|MA－MC|

18、M、B、C 三點共線時，|MA－MC|最大，即為 BC 的長 度， 設直線 BC 的解析式為 y＝kx＋m(k≠0)， ìk + m =0 ì k = -3 ， 則 í ，解得 í ?m =3 ?m =3 ∴直線 BC 的解析式為 y＝－3x＋3， ∵拋物線 y＝x2－4x＋3的對稱軸為直線 x＝2， ∴當 x＝2時，y＝－3×2＋3＝－3， ∴點 M(2，－3)， 即拋物線對稱軸上存在點 M(2，－3)，使|MA－MC|最大．類型三 面積問題 ★1.如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸交于A、B

19、兩點，與 y 軸交于點 C(0，3)，且此拋物線的頂點坐標為 M(－1， 4)． (1)求此拋物線的解析式； (2)設點D為已知拋物線對稱軸上的任意一點，當△ACD與 △ACB 面積相等時，求點 D 的坐標； (3)點P在線段AM上，當PC與y軸垂直時，過點P作x軸的垂線，垂足為 E，將△PCE 沿直線 CE 翻折，使點 P 的對應點 P′與 P、E、C 處在同一平面內，請求出點 P′坐標，并判斷點 P′是否在該拋物線上． 第 1 題圖 解：(1)∵拋物線y＝ax2＋bx＋c經過點C(0，

20、3)，頂點為 M(－1，4)， ìc =3 ìa = -1 ? b ?b = -2 ?- = -1 ， ∴ í 2a ，解得 í ? ? ?a - b + c =4 ?c =3 ? ∴所求拋物線的解析式為 y＝－x2－2x＋3. (2)令y＝－x2－2x＋3＝0，解得x＝－3或x＝1， 故 A(－3，0)，B(1，0)．∴AB＝4， ∴OA＝OC＝3，△AOC 為等腰直角三角形．∴直線 AC 的解析式為 y＝x＋3， 如解圖①，設 AC 交對稱軸

21、 x＝－1于 點 F(－1，yF)． 易得 yF＝2，故點 F(－1，2)． 設點 D 坐標為(－1，yD)， 則 S△ADC＝12|DF|·|AO|＝12×|yD－2|×3. 又 S△ABC＝1|AB|·|OC|＝1×4×3＝6. 第 1 題解圖① 2 2 由12×|yD－2|×3＝6 得：|yD－2|＝4， 故 yD＝－2或 yD＝6. ∴點 D 坐標為(－1，－2)或(－1，6)． (3)如解圖②，點P′為點P關于直線CE的對稱點．過點 P′作 P′H⊥y 軸于點 H，設 P′E 交 y 軸于點 N.在△EON 和△

22、CP′N 中 ìDCNP￠ = DENO ? íDCP￠N = DEON =90， 故△CP′N≌△EON(AAS)． ∴CN＝EN， 設 NC＝m，則 NE＝m， 第 1 題解圖② 易得直線 AM 的解析式為 y＝2x＋6， 當 y＝3時，x＝－32，故點 P(－32，3)． ∴P′C＝PC＝32，P′N＝3－m， 在 Rt△P′NC中，由勾股定理，得(32)2＋(3－m)2＝m2， 解得 m＝158，則3－m＝98.即 CN＝158，P′N＝98， ∵S△P′NC＝12|CN|·|P′

23、H|＝12|P′N|·|P′C|， ∴P′H＝109. 由△CHP′∽△CP′N 可得CHCP￠=CPCN￠，故 CH＝CPCN￠2＝65. ∴OH＝3－65＝95， ∴P′的坐標是(109，95)． 將點 P′(109，95)的坐標代入拋物線解析式，等式不成立，所以 點 P′不在該拋物線上． ★2. 如圖，在平面直角坐標系xOy中，二次函數y＝－x2＋2x＋8的圖象與一次函數 y＝－x＋b 的圖象交于 A、B 兩點，點 A 在 x 軸上，點 B 的縱坐標為－7.點 P 是二次函數圖象上 A、B 兩點之間的一個動點(不與點 A、B

24、重合)，設點 P 的橫坐標為 m，過點 P 作 x 軸的垂線交 AB 于點 C，作 PD⊥AB 于點 D. (1)求b及 sin∠ACP的值； (2)用含m的代數式表示線段PD的長； (3)連接PB，線段PC把△PDB分成兩個三角形，是否存在適 合的 m 值，使這兩個三角形的面積之比為1∶2？如果存在， 直接寫出 m 的值；如果不存在，請說明理由． 第 2 題圖 解：(1)∵當y＝0時，－x2＋2x＋8＝0， ∴x1＝－2，x2＝4. ∵點 A 在 x 軸負半軸上， ∴A(－2，0)，OA＝2，

25、 ∵點 A 在一次函數 y＝－x＋b 的圖象上， ∴2＋b＝0， ∴b＝－2， ∴一次函數表達式為 y＝－x－2， 如解圖，設直線 AB 交 y 軸于點 E，則 E(0，－2)，OE＝OA ＝2， ∴△AOE 為等腰直角三角形，∠AEO＝45°， ∵PC⊥x 軸交 AB 于點 C， ∴PC∥y 軸， ∴∠AEO＝∠ACP＝45°， ∴sin∠ACP＝sin45°＝ 22； 第 2 題解圖 (2)∵點P在二次函數y＝－x2＋2x＋8圖象上且橫坐標為m，

26、 ∴P(m，－m2＋2m＋8)， ∵PC⊥x 軸且點 C 在一次函數 y＝－x－2的圖象上， ∴C(m，－m－2)， ∴PC＝－m2＋3m＋10， ∵PD⊥AB 于點 D， ∴在 Rt△CDP中，sin∠ACP＝PDPC＝22， ∴PD＝－22 m2＋322 m＋52 ； (3)存在，m的值為－1或2. 理由如下：如解圖，分別過點 D、B 作 DF⊥PC，BG⊥PC， 垂足分別為 F、G. ∵sin∠ACP＝ 22，∴cos∠ACP＝ 22，又∵∠FDP＝∠ACP，∴cos∠FDP＝ 22， 在 Rt△PDF中

27、，DF＝22PD＝－12m2＋32m＋5， ∵點 B 縱坐標為－7，且點 B 在直線 AB：y＝－x－2上， ∴點 B(5，－7)，∴BG＝5－m， ∵P 不與 A、B 兩點重合，∴－2

28、 (2)在拋物線的對稱軸上是否存在一點P，使△PAB的周長最 ??？若存在，請求出點 P 的坐標；若不存在，請說明理由； (3)連接AC，在直線AC下方的拋物線上，是否存在一點N，使△NAC 的面積最大？若存在，請求出點 N 的坐標；若不存在，請說明理由． 第 3 題圖 解：(1)設拋物線的解析式為y＝a(x－1)(x－5)(a≠0)， 把點 A(0，4)代入上式，解得 a＝54， ∴y＝54 (x－1)(x－5)＝54x2－245x＋4＝54 (x－3)2－165，∴拋物線的對稱軸是直

29、線 x＝3. (2)存在，P點坐標為(3，85)．理由如下如解圖①，連接 AC 交對稱軸于點 P，連接 BP，BA， ∵點 B 與點 C 關于對稱軸對稱， ∴PB＝PC， 第 3 題解圖① ∴C△PAB＝AB＋AP＋PB＝AB＋AP＋PC＝AB＋AC， ∴此時△PAB 的周長最小， 設直線 AC 的解析式為 y＝kx＋b(k≠0)， 把 A(0，4)，C(5，0)代入 y＝kx＋b 中， ìb =4 ì 4 ?k =－ 5 ， 得 í ，解得 í ?5k+b= 0 ?

30、 ?b =4 ∴直線 AC 的解析式為 y＝－45x＋4， ∵點 P 的橫坐標為3， ∴y＝－45×3＋4＝85， ∴P 點坐標為(3，85)． (3)在直線AC下方的拋物線上存在點N，使△NAC面積最大，理由如下： 如解圖②，設 N 點的橫坐標為 t， 第 3 題解圖② 此時點 N(t，45t2－245t＋4)(0

31、的解析式為y＝－45x＋4， 把 x＝t 代入 y＝－45x＋4得 y＝－45t＋4，則 G(t，－45t＋4)． 此時 NG＝－45t＋4－(45t2－245t＋4)＝－45t2＋4t， ∵AD＋CF＝OC＝5， ∴S△NAC＝ S△ANG＋ S△CNG＝12 NG·AD ＋12 NG·CF ＝12 NG·OC ＝ 12×(－45t2＋4t)×5＝－2t2＋10t＝－2(t－52)2＋252， ∴當 t＝52時，△NAC 的面積最大，最大值為252， 由 t＝52，得 y＝45t2－245t＋4＝－3， ∴N 點坐標為(52，－3)．

32、 類型四 特殊三角形存在問題 ★1.如圖，已知拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的對稱軸為直 線 x＝－1，且經過 A(1，0)，C(0，3)兩點，與 x 軸的另一個交點為 B. (1)若直線y＝mx＋n經過B，C兩點，求拋物線和直線BC的 解析式； (2)在拋物線的對稱軸x＝－1 上找一點M，使點M到點A的 距離與到點 C 的距離之和最小，求點 M 的坐標； (3)設點P為拋物線的對稱軸x＝－1 上的一個動點，求使 △BPC 為直角三角形的點 P 的坐標． 第

33、1 題圖 ì b =－1 ?－ ìa =－1 2a 解： (1) ? ? ， 依題意，得ía + b + c =0 ，解得íb =－2 ? ? ?c =3 ?c =3 ? ∴拋物線解析式為 y＝－x2－2x＋3. ∵對稱軸為直線 x＝－1，拋物線經過 A(1，0)， ∴B(－3，0)． 把 B(－3，0)，C(0，3)分別代入 y＝mx＋n， ì-3m+n= 0

34、 ì m =1 ， 得 í ，解得 í ?n =3 ?n =3 ∴直線 BC 的解析式為 y＝x＋3. （2）如解圖，連接MA， 第 1 題解圖 ∵MA＝MB，∴MA＋MC＝MB＋MC＝BC. ∴使 MA＋MC 值最小的點 M 應為直線 BC 與對稱軸 x＝－1 的交點． 設直線 BC 與對稱軸 x＝－1的交點為 M，把 x＝－1，代入直 線 y＝x＋3，得 y＝2. ∴M(－1，2)． (3)設P(－1，t)，結合B(－3，0)，C(0，3)，得

35、BC2＝18， PB2＝(－1＋3)2＋t2＝4＋t2，PC2＝(－1)2＋(t－3)2＝t2－6t＋ 10. ①若 B 為直角頂點，則 BC2＋PB2＝PC2，即18＋4＋t2＝t2－ 6t＋10，解得t＝－2； ②若 C 為直角頂點，則 BC2＋PC2＝PB2，即18＋t2－6t＋10＝4＋t2，解得t＝4； ③若 P 為直角頂點，則 PB2＋PC2＝BC2，即： 4＋t2＋t2－6t＋10＝18.解得t1＝3+217 ，t2＝3-217 . 綜上所述，滿足條件的 P 點共有四個，分別為： P1(－1，－2)，P2(－1，4)，P3

36、(－1，3+217 )，P4(－1，3-217 )． ★2.如圖，拋物線L：y＝ax2＋bx＋c與x軸交于A，B(3，0)兩點(A在B的左側)，與y軸交于點C(0，3)，已知對稱軸直線 x＝1. (1)求拋物線L的解析式； (2)將拋物線L向下平移h個單位長度，使平移后所得拋物線的頂點落在△OBC 內(包括△OBC 的邊界)，求 h 的取值范圍； (3)設點P是拋物線L上任意一點，點Q在直線l：x＝－3 上，△PBQ 能否成為以點 P 為直角頂點的等腰直角三角形？若能，求出符合條件的點 P 的坐標；若不能，請說明理由．

37、 第 2 題圖 解：(1)把C(0，3)代入y＝ax2＋bx＋c得c＝3. 把 B(3，0)代入 y＝ax2＋bx＋3，得 9a＋3b＋3＝0， 又－2ba＝1，∴解得a＝－1，b＝2. ∴解析式是：y＝－x2＋2x＋3； 【一題多解】設所求解析式為：y＝m(x－1)2＋n， ì4m+n= 0 ì m = -1 ， 則把 B(3，0)，C(0，3)代入得í ，解得 í ?m + n =3 ?n =4 解析式是：y＝－(x－1)2＋4，即 y＝－x2＋2x＋3. (2)由y＝－(x－1)2＋4得拋

38、物線的頂點D(1，4)， 如解圖①，過點 D 作 y 軸的平行線分別交 CB，OB 于點 E， F， ∴△BEF∽△BCO， 則OCEF＝BOBF， ∴EF＝2， ∴4－2≤h≤4，即 2≤h≤4. 【一題多解】由 y＝－(x－1)2 ＋4 得拋物線頂點D(1，4)， ∵△OBC 是等腰直角三角形， ∠OBC＝45°， 第 2 題解圖① ∴EF＝BF＝2， ∴4－2≤h≤4，即 2≤h≤4. (3)設P(x，－x2＋2x＋3)，如解圖②，過點P分別作x軸與l 的垂線， 垂足分別是點 M ， N ，

39、∠PMB ＝∠PNQ ＝90°，∠BPM ＝ ∠QPN，PB＝PQ， ∴△PMB≌△PNQ， PM＝PN. 第 2 題解圖② ①當點 P 在 x 軸上方時，有－x2＋2x＋3＝x＋3， 即：x2－x＝0，解得 x1＝0，x2＝1， ∴P1(0，3)，P2(1，4)． ②當點 P 在 x 軸的下方時，有：－x2＋2x＋3＝－(x＋3)，即：x2－3x－6＝0， 解得 x＝ 3 ± (-

40、3)2- 4 ′1′ (-6) ＝ 3 ± 33 ， 2 2 ∴P3( 3－ 33 ，－ 9－ 33 )，P4( 3 + 33 ，－ 9 + 33 )， 2 2 2 2 ∴

41、滿足條件的點 P 有四個點，分別是 P1(0，3)，P2(1，4)， P3(3－233 ，－9－233 )，P4(3+233 ，－9+233 )． ★3. 如圖，已知二次函數y＝－x2＋bx＋c(c>0)的圖象與x 軸交于 A、B 兩點(點 A 在點 B 的左側)，與 y 軸交于點 C， 且 OB＝OC＝3，頂點為 M. (1)求二次函數的解析式； (2)點P為線段BM上的一個動點，過點P作x軸的垂線PQ，垂足為 Q，若 OQ＝m，四邊形 ACPQ 的面積為 S，求 S 關于 m 的函數解析式，并寫出 m 的取值范圍； (3)探索：線段BM上是否存在點N

42、，使△NMC為等腰三角形？ 如果存在，求出點 N 的坐標；如果不存在，請說明理由． 第 3 題圖 解：(1)∵OB＝OC＝3， ∴B(3，0)，C(0，3)， ì0 = -9 + 3b+c ìb =2 ， ∴ í ，解得 í ?3 =c ?c =3 二次函數的解析式為：y＝－x2＋2x＋3； (2)如解圖所示，連接AC，y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4， 則 M(1，4)， 設直線 MB 的解析式為 y＝kx＋n， ì 4 =k+n ，

43、 則有 í ?0 = 3k+n ì k = -2 ， 解得 í ?n =6 ∴直線 MB 的解析式為 y＝－2x＋6， ∵PQ⊥x 軸，OQ＝m， 第 3 題解圖 ∴點 P 的坐標為(m，－2m＋6)， ∴S 四 邊 形ACPQ＝ SRt△AOC＋ S 梯 形 PQOC ＝ 1

44、 AO·CO ＋ 1 (PQ＋ 2 2 CO)·OQ ＝12×1×3＋12(－2m ＋6＋3)·m ＝－ m2＋92 m ＋32(1≤m<3)； 7 16 2 10 10 (3) 線段 BM 上存在點 N( ， )，(2，2)，(1＋ ，4－ ) 5 5 5 5 使△NMC 為等腰三角形． 理由如下：如解圖，連接 MC， 由于 N 是直線

45、BM 上一點，由(2)知：直線 BM 的解析式為： y＝－2x＋6，因此設 N(x，－2x＋6)且1

46、 10 ，4－210 )； 5 5 ③當 CN＝MN 時， x2+(-2x +3)2＝ (x-1)2+ (-2x+ 2)2， 解得 x＝2，此時 N(2，2)． 類型五 特殊四邊形的存在問題 ★1.如圖，拋物線y＝－x2＋bx＋c經過A(－1，0)，B(3，0)兩點，且與y軸交于點C，點D是拋物線的頂點，拋物線的對稱軸 DE 交 x 軸于點 E，連接 BD. (1)求經過A，B，C三點的拋物線的函數表達式； (2)點P是線段BD上一點，當PE＝PC時，求點P的坐標； (3)在(2)的條件下，過點P作PF⊥x軸于點F，G為拋物線上一動點，

47、M 為 x 軸上一動點，N 為直線 PF 上一動點，當以 F、M、N、G 為頂點的四邊形是正方形時，請求出點 M 的坐標． 第 1 題圖 備用圖 解：(1)∵拋物線y＝－x2＋bx＋c經過A(－1，0)，B(3，0)兩 點， ì-1 -b+c= 0 ìb =2 ， ∴ í 0 ，解得 í ?-9 + 3b+c= ?c =3 ∴經過 A，B，C 三點的拋物線的函數表達式為 y＝－x2＋2x ＋3； (2)如解圖①，連接PC、PE. 拋物線對稱軸為直線

48、x＝－2ba＝ 2 － ＝1， 2×（－1） 當 x＝1時，y＝－1＋2＋3＝4， ∴點 D 坐標為(1，4)，第1題解圖①設直線 BD 的解析式為：y＝mx＋n， ìm = -2 將 B、D 分別代入表達式，解得í?n=6 ，則 y＝－2x＋6， 設點 P 的坐標為(x，－2x＋6)，∵C(0，3)，E(1，0)，∴由勾股定理可得 PC2＝x2＋[3－(－2x＋6)]2， PE2＝(x－1)2＋(－2x＋6)2， ∵PC＝PE， ∴x2＋(3＋2x－6)2＝(x－1)2＋(－2x＋6)2， 解得 x＝2，y＝－2×2＋6

49、＝2， ∴點 P 坐標為(2，2)； (3)依題意可設點M的坐標為(a，0)，則G坐標為(a，－a2＋ 2a＋3), 如解圖②，以 F、M、N、G 為頂點的四邊形是正方形時，必 有 FM＝MG， |2－a|＝|－a2＋2a＋3|， ①2－a＝－(－a2＋2a＋3)， 解得 a＝1± 21 ， 2 ②2－a＝－a2＋2a＋3，解得a＝ 第 1 題解圖② 3 ± 13 ， 2 ∴M 點的坐標為( 1－ 21

50、 ，0)，( 1 + 21 ，0)，( 3－ 13 ，0)， 2 2 2 ( 3+ 13 ，0)． 2 ★2.如圖，拋物線y＝ax2＋3x＋c經過A(－1，0)，B(4，0)兩點，與y軸交于點C. (1)求拋物線的解析式； (2)若點P在第一象限的拋物線上，且點P的橫坐標為t，過 點 P 向 x 軸作垂線交直線 BC 于點 Q，設線段 PQ 的長為 m，求 m 與 t 之間的函數關系式，并求出 m 的最大值； (3)在(2)在條件下，m

51、的最大值為拋物線上點D的縱坐標(D 不與 C 重合)，在 x 軸上找一點 E，使點 B、C、D、E 為頂點 的四邊形是平行四邊形，請直接寫出 E 點坐標． 第 2 題圖 解：(1)∵拋物線y＝ax2＋3x＋c經過A(－1，0)，B(4，0)兩點， ìa -3+ c =0 ∴í?16a+12 +c= 0 ， 解得：a＝－1，c＝4. ∴拋物線的解析式為 y＝－x2＋3x＋4. (2)∵將x＝0代入拋物線的解析式得：y＝4， ∴C(0，4)． 設直線 BC 的解析式為 y＝kx＋b.

52、 ì 4k+b= 0 ，解得：k＝－1，b 將 B(4，0)，C(0，4)代入得：í = 4 ?b ＝4， ∴直線 BC 的解析式為：y＝－x＋4. 過點 P 作 x 的垂線與直線 BC 交于點 Q，如解圖： 第 2 題解圖 ∵點 P 的橫坐標為 t， ∴P(t，－t2＋3t＋4)，Q(t，－t＋4)．∴PQ＝－t2＋3t＋4－(－t＋4)＝－t2＋4t.∴m＝－t2＋4t＝－(t－2)2＋4(0

53、，0)． 【解法提示】將 y＝4代入拋物線的解析式得：－x2＋3x＋4 ＝4. 解得：x1＝0，x2＝3. ∵點 D 與點 C 不重合， ∴點 D 的坐標為(3，4)． 又∵C(0，4)， ∴CD∥x 軸，CD＝3. ∴當 BE＝CD＝3時，B、C、D、E 為頂點的四邊形是平行四 邊形． ∴點 E(1，0)或(7，0)． 1 ★3.如圖，拋物線y＝4x2＋bx＋c經過原點O和點A(4， 0)． (1)求該拋物線的函數解析式； (2)若該拋物線的對稱軸交x軸于點B，拋物線頂點為C，點 P 為拋物線上任

54、意一點，設點 P 的橫坐標為 x，當 S△ABP＝1 時，請求出滿足條件的所有的點 P 的坐標； (3)點M為拋物線對稱軸上一個動點，點N為平面內任一點， 能否滿足以 M、N、A、C 為頂點的四邊形為菱形，若滿足， 請直接寫出 M 點的坐標；若不滿足，請說明理由． 第 3 題圖 解：(1)∵拋物線y＝14x2＋bx＋c經過原點O和點A(4，0)， ∴y＝14x(x－4)，即 y＝14x2－x. (2)如解圖①，由題意，拋物線對稱軸為直線x＝2，∴B(2，0), 又∵A(4，0)， ∴AB＝2，

55、 ∵S△ABP＝1， ∴1AB·|yP|＝1， 2 ∴1×2·|yP|＝1， 2 ∴|yP|＝1， 第 3 題解圖① ∴yP＝±1， 當 yP＝1時，代入 y＝14x2－x 中解得：x＝2±22 ； 當 yP＝－1時，代入 y＝14x2－x 中解得：x＝2， ∴P1(－22 ＋2，1)，P2( 22 ＋2，1)，P3(2，－1)； (3)M1(2， 5 －1)；M2(2，－ 5 －1)；M3(2，1)；M4(2，32) 【解法提示】如解圖②，連接 AC，∵A(4，0)，B(2

56、，0)，點 C 是拋物線 y＝14x2－x 的頂點， ∴C(2，－1)， ∴AC＝ 5 ， 以 M、N、A、C 為頂點的四邊形為菱形時，分兩種情況討論： Ⅰ、當 AC 為菱形的邊時： 第 3 題解圖② ①∵四邊形 ACM1N1為菱形，AM1、CN1為對角線， ∴AC＝CM1＝ 5 ， ∴BM1＝ 5 －1， ∴M1的坐標為(2， 5 －1)； ②∵四邊形 ACM2N2為菱形，AM2、CN2為對角線，AC＝ 5 ， ∴AC＝CM2＝ 5

57、， ∴BM2＝ 5 ＋1， ∴M2的坐標為(2，－ 5 －1)； ③∵四邊形 ACN3M3為菱形，CM3、AN3為對角線， 且根據拋物線和菱形的對稱性得：N3與 O 點重合， ∴CB＝BM3＝1， ∴M3的坐標為(2，1)； Ⅱ、當 AC 為菱形的對角線時，D 為 AC 中點， ∵四邊形 AN4CM4為菱形，AC＝ 5 ， 5 ∴CD＝2， ∵S△ACM4＝12AB·CM4＝12AC·DM4，設 CM4長為 x， ∴12×2x＝25 × x2-(25)2， 解得 x＝52. ∴BM4＝CM4

58、－1＝32， ∴M4的坐標為(2，32)． 綜上所述，存在點 M，點 M1(2，5 －1)；M2(2，－ 5 －1)；M3(2，1)；M4(2，32)． 類型六 三角形相似問題 ★1. 如圖，直線y＝－x＋3與x軸，y軸分別相交于點B、 C，經過 B、C 兩點的拋物線 y＝ax2＋bx＋c 與 x 軸的另一個 交點為 A，頂點為 P，且對稱軸為直線 x＝2. (1)求該拋物線的解析式； (2)連接PB、PC，求△PBC的面積； (3)連接AC，在x軸上是否存在一點Q，使得以點P、B、Q 為頂點的三角形與△ABC 相似，若存在，求

59、出點 Q 的坐標； 若不存在，請說明理由． 第 1 題圖 解：(1)∵y＝－x＋3與x軸、y軸相交于B、C兩點， ∴C(0，3)，B(3，0)， ∵拋物線的對稱軸為：x＝2， ∴可設二次函數的解析式為：y＝a(x－2)2＋k(a≠0)， ì3 = 4a+k 把 B(3，0)、C(0，3)兩點代入，得í ， ?0 =a+k ìa =1 解得， í?k= -1 ， ∴拋物線的解析式為：y＝(x－2)2－1，即 y＝x2－4x＋3. (2)∵y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－

60、1， ∴P(2，－1)， 又∵B(3，0)、C(0，3)， ∴PC＝ 2 2+ 4 2＝ 20 ＝ 25 ，PB＝ (3 - 2)2+12＝ 2 ，BC＝ 3 2+ 3 2＝ 18 ＝ 32 ， 又∵PB2＋BC2＝2＋18＝20，PC2＝20，∴PB2＋BC2＝PC2，∴△PBC 是直角三角形． ∴S△PBC＝12PB·BC＝12× 2 × 32 ＝3. (3)設存在點Q(m，0)，使得以點P、B、Q為頂點的三角形與 △ABC 相似， 易證∠ABC＝∠ABP＝45°，∴Q 點在 B 點左邊，則 m<3， 于是 AB＝2，

61、BC＝32 ，BQ＝3－m，BP＝ 2 ， ①當 BC ＝ BA 時，△QBP∽△ABC，則 3 2 ＝ 2 ，解得， 3 -m BP BQ 2 m＝73，∴Q(73，0)； ②當BQBC＝BABP時，△PBQ∽△ABC，則33-2m＝22，解得，m ＝0，∴Q(0，0)， 故存在點 Q，使得以點 P、B、Q 為頂點的三角形與△ABC 相 似．Q 點的坐標為 Q(73，0)或 Q(0，0)． ★2.如圖，已知拋物線經過原點O，頂點為A(1

62、，1)，且與直線 y＝x－2交于 B，C 兩點． (1)求拋物線的解析式及點C的坐標； (2)求證：△ABC是直角三角形； (3)若點N為x軸上的一個動點，過點N作MN⊥x軸與拋物 線交于點 M，則是否存在以 O，M，N 為頂點的三角形與△ABC 相似，若存在，請求出點 N 的坐標；若不存在，請說明理由． 第 2 題圖 (1)解：∵頂點坐標為(1，1)， ∴設拋物線解析式為 y＝a(x－1)2＋1(a≠0)， 又∵拋物線過原點， ∴0＝a(0－1)2＋1，解得a＝－1，∴拋物線解析式

63、為 y＝－(x－1)2＋1，即 y＝－x2＋2x， ì 2 聯(lián)立拋物線和直線解析式可得 íy= -x + 2 x ， ?y = x -2 ìx =2 ì x = -1 ， 解得 í 或 í ?y =0 ? y = -3 ∴B(2，0)，C(－1，－3)； （2）證明：如解圖，分別過A、C兩點作x軸的垂線，交x 軸于 D、E 兩點， 第 2 題解圖 則 AD＝OD＝BD＝1，BE＝OB＋OE＝2＋1＝3，EC＝3， ∴∠ABO＝∠CB

64、O＝45°， 即∠ABC＝90°，∴△ABC 是直角三角形； (3)解：假設存在滿足條件的點N，設N(x，0)，則M(x，－x2 ＋2x)， ∴ON＝|x|，MN＝|－x2＋2x|， 由(2)知，在 Rt△ABD和 Rt△CEB中，可分別求得AB＝ 2 ， BC＝32 ， ∵MN⊥x 軸于點 N， ∴∠ABC＝∠MNO＝90°， ∴當△ABC 和△MNO 相似時有MNAB＝ONBC或MNBC＝ONAB， MN ON -x2+2x x

65、 ①當△MNO∽△ABC， ＝ 時，則有 ＝ ， AB CB 2 3 2 即|x||－x＋2|＝13|x|， ∵當 x＝0時，M、O、N 不能構成三角形，∴x≠0， ∴|－x＋2|＝13，即－x＋2＝±13，解得x＝53或x＝73； 此時 N 點坐標為( 5 ，0)或( 7 ，0)； 3 3 ②當△MNO∽△CBA， MN ＝ ON 時，則有 -x2+2 x ＝ x ， CB AB 3 2 2 即|x||－x＋2|＝3|x|， ∴|－x＋2|＝3，即－x＋2＝±3，解得x＝5 或x＝－1， 此時 N 點坐標為(－1，0)或(5，0)， 綜上可知存在滿足條件的 N 點，其坐標為(53，0)或(73，0)或(－1，0)或(5，0)．