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1、考點強化練17 直角三角形與銳角三角函數
基礎達標
一、選擇題
1.已知在△ABC中,∠C=∠A+∠B,則△ABC的形狀是( )
A.等邊三角形 B.銳角三角形
C.直角三角形 D.鈍角三角形
答案C
2.(2018湖北孝感)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,AC=8,則sin A等于( )
A.35 B.45
C.34 D.43
答案A
解析在Rt△ABC中,∵AB=10,AC=8,
∴BC=AB2-AC2=102-82=6,
∴sinA=BCAB=610=35,故選A.
二、
2、填空
3.
(2018浙江湖州)如圖,已知菱形ABCD,對角線AC,BD相交于點O.若tan ∠BAC=13,AC=6,則BD的長是 .?
答案2
解析∵四邊形ABCD是菱形,AC=6,
∴AC⊥BD,OA=12AC=3,BD=2OB.
在Rt△OAB中,∵∠AOD=90°,
∴tan∠BAC=OBOA=13,
∴OB=1,
∴BD=2.
4.
(2018浙江寧波)如圖,某高速公路建設中需要測量某條江的寬度AB,飛機上的測量人員在C處測得A,B兩點的俯角分別為45°和30°.若飛機離地面的高度CH為1 200米,且點H,A,B在同一水平直線上,則這條江的寬
3、度AB為 米(結果保留根號).?
答案1 200(3-1)
解析由于CD∥HB,
∴∠CAH=∠ACD=45°,∠B=∠BCD=30°,
在Rt△ACH中,∵∠CAH=45°
∴AH=CH=1200米,
在Rt△HCB中,∵tanB=CHHB,
∴HB=CHtanB=1200tan30°
=120033=12003(米).
∴AB=HB-HA
=12003-1200
=1200(3-1)米.
三、解答題
5.
(2018江蘇徐州)如圖,一座堤壩的橫截面是梯形,根據圖中給出的數據,求壩高和壩底寬.(精確到0.1 m)(參考數據:2≈1.414,3≈1.73
4、2)
解如圖所示,過點A,D分別作BC的垂線AE,DF交BC于點E,F,
所以△ABE,△CDF均為直角三角形,又因為CD=14m,∠DCF=30°,所以DF=7(m)=AE,且FC=73(m)≈12.1(m)
所以BC=7+6+12.1=25.1(m).
6.(2018四川南充)計算:(1-2)2-1-220+sin 45°+12-1.
解原式=2-1-1+22+2=322.
7.
小明在熱氣球A上看到正前方橫跨河流兩岸的大橋BC,并測得B,C兩點的俯角分別為45°,35°.已知大橋BC與地面在同一水平面上,其長度為100 m,請求出熱氣球離地面的高度.(結果保留整數)
5、(參考數據:sin 35°≈712,cos 35°≈56,tan 35°≈710)
解作AD⊥BC交CB的延長線于點D,設AD為xm,
由題意得,∠ABD=45°,∠ACD=35°,
在Rt△ADB中,∵∠ABD=45°,∴DB=x.
在Rt△ADC中,∵∠ACD=35°,
∴tan∠ACD=ADCD.
∴xx+100=710,解得,x≈233.
答:熱氣球離地面的高度約為233m.
能力提升
一、選擇題
1.已知α為銳角,且2cos (α-10°)=1,則α等于( )
A.50° B.60°
C.70° D.80°
答案C
2.(2018貴州貴陽)如圖,A,
6、B,C是小正方形的頂點,且每個小正方形的邊長為1,則tan ∠BAC的值為( )
A.12 B.1 C.33 D.3
答案B
解析連接BC,
由網格可得AB=BC=5,AC=10,
即AB2+BC2=AC2,
∴△ABC為等腰直角三角形,
∴∠BAC=45°,
則tan∠BAC=1.
3.(2018四川綿陽)一艘在南北航線上的測量船,于A點處測得海島B在點A的南偏東30°方向,繼續(xù)向南航行30海里到達C點時,測得海島B在C點的北偏東15°方向,則海島B離此航線的最近距離是( )(結果保留小數點后兩位)(參考數據:3≈1.732,2≈1.414)
A.4.64海里
7、 B.5.49海里
C.6.12海里 D.6.21海里
答案B
解析如圖所示,
由題意知,∠BAC=30°,∠ACB=15°,
作BD⊥AC于點D,以點B為頂點、BC為邊,在△ABC內部作∠CBE=∠ACB=15°,
則∠BED=30°,BE=CE,
設BD=x,
則AB=BE=CE=2x,AD=DE=3x,
∴AC=AD+DE+CE=23x+2x,
∵AC=30,
∴23x+2x=30,
解得:x=15(3-1)2≈5.49,
故選B.
二、填空題
4.(2018山東濱州)在△ABC中,∠C=90°,若tan A=12,則sin B= .?
答案25
8、5
解析如圖所示,
∵∠C=90°,tanA=12,
∴設BC=x,則AC=2x,故AB=5x,
則sinB=ACAB=2x5x=255.
5.(2018山東泰安)如圖,在△ABC中,AC=6,BC=10,tan C=34,點D是AC邊上的動點(不與點C重合),過點D作DE⊥BC,垂足為E,點F是BD的中點,連接EF,設CD=x,△DEF的面積為S,則S與x之間的函數關系式為 .?
答案S=-325x2+32x
解析(1)在Rt△CDE中,tanC=34,CD=x
∴DE=35x,CE=45x,
∴BE=10-45x,
∴S△BED=12×10-45x·
9、35x
=-625x2+3x.
∵DF=BF,
∴S=12S△BED=-325x2+32x.
6.(2018江蘇無錫)已知△ABC中,AB=10,AC=27,∠B=30°,則△ABC的面積等于 .?
答案153或103
解析作AD⊥BC交BC(或BC延長線)于點D,
①如圖1,當AB,AC位于AD異側時,
圖1
在Rt△ABD中,∵∠B=30°,AB=10,
∴AD=ABsinB=5,BD=ABcosB=53,
在Rt△ACD中,∵AC=27,
∴CD=AC2-AD2=(27)2-52=3,
則BC=BD+CD=63,
∴S△ABC=12·BC·AD=1
10、2×63×5=153;
②如圖2,當AB,AC在AD的同側時,
圖2
由①知,BD=53,CD=3,
則BC=BD-CD=43,
∴S△ABC=12·BC·AD=12×43×5=103.
綜上,△ABC的面積是153或103.
三、解答題
7.(2018山東臨沂)如圖,有一個三角形的鋼架ABC,∠A=30°,∠C=45°,AC=2(3+1)m.請計算說明,工人師傅搬運此鋼架能否通過一個直徑為2.1 m的圓形門?
解工人師傅搬運此鋼架能通過一個直徑為2.1m的圓形門.
理由是:過點B作BD⊥AC于點D,
∵AB>BD,BC>BD,AC>AB,
∴求出DB長和2.1
11、m比較即可,
設BD=xm,
∵∠A=30°,∠C=45°,
∴DC=BD=xm,AD=3BD=3xm,
∵AC=2(3+1)m,
∴x+3x=2(3+1),
∴x=2,
即BD=2m<2.1m,
∴工人師傅搬運此鋼架能通過一個直徑為2.1m的圓形門.
8.(2018廣西桂林)如圖所示,在某海域,一般指揮船在C處收到漁船在B處發(fā)出的求救信號,經確定,遇險拋錨的漁船所在的B處位于C處的南偏西45°方向上,且BC=60海里;指揮船搜索發(fā)現,在C處的南偏西60°方向上有一艘海監(jiān)船A,恰好位于B處的正西方向.于是命令海監(jiān)船A前往搜救,已知海監(jiān)船A的航行速度為30海里/小時,則漁船在B
12、處需要等待多長時間才能得到海監(jiān)船A的救援?(參考數據:2≈1.41,3=1.73,6≈2.45,結果精確到0.1小時)
解因為A在B的正西方,延長AB交南北軸于點D,則AB⊥CD于點D
∵∠BCD=45°,BD⊥CD,
∴BD=CD,
在Rt△BDC中,
∵cos∠BCD=CDBC,BC=60海里,
即cos45°=CD60=22,解得CD=302海里,
∴BD=CD=302海里.
在Rt△ADC中,∵tan∠ACD=ADCD,
即tan60°=AD302=3,解得AD=306海里.
∵AB=AD-BD,
∴AB=306-302=30(6-2)海里.
∵海監(jiān)船A的航行速度為30海里/小時,
∴漁船在B處需要等待的時間為AB30=30(6-2)30=6-2≈2.45-1.41=1.04≈1.0小時.
故漁船在B處需要等待約1.0小時.
?導學號13814055?
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（課標通用）甘肅省2019年中考數學總復習優(yōu)化設計 考點強化練17 直角三角形與銳角三角函數
