五年級上冊奧數(shù)專題系列-長方體和正方體的體積與表面積 滬教版（2015秋）（含答案）

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1、課程主題 ： 長方體和正方體的體積與表面積 課前熱身： 如右圖，長方體共有六個面(每個面都是長方形)，八個頂點，十二條棱． ①在六個面中，兩個對面是全等的，即三組對面兩兩全等． (疊放在一起能夠完全重合的兩個圖形稱為全等圖形．) ②長方體的表面積和體積的計算公式是： 長方體的表面積：； 長方體的體積：． ③正方體是各棱相等的長方體，它是長方體的特例，它的六個面都是正方形． 如果它的棱長為，那么：，． 知識精講： 長方體與正方體的表面積： 【例 1】 右圖中共有多少個面？多少條棱？ 【考點】長方體與正方體 【難度】1

2、星 【題型】解答 【解析】 如右圖所示，可以分前、后、左、右、上、下六個方向看這個立體圖形．前、后看各有1個面，左面看有1個面，右面看有2個面，上面看有2個面，下面看有1個面．所以共有(個)面．前后方向的棱有6條，左右方向的棱有6條，上下方向的棱也有6條，所以共有棱(條)． 【答案】8個面，18條棱 【例 2】 如右圖，在一個棱長為10的立方體上截取一個長為8，寬為3，高為2的小長方體，那么新的幾何體的表面積是多少？ 【考點】長方體與正方體 【難度】2星 【題型】

3、解答 【解析】 我們從三個方向(前后、左右、上下)考慮，新幾何體的表面積仍為原立方體的表面積：10106600． 【答案】600 【例 3】 如右圖，有一個邊長是5的立方體，如果它的左上方截去一個邊分別是5，3，2的長方體，那么它的表面積減少了多少? 【考點】長方體與正方體 【難度】2星 【題型】解答 【解析】 原來正方體的表面積為556150．現(xiàn)在立體圖形的表面積減少了前后兩個面中的部分面，它們的面積為(32)212，所以減少的面積就是12． 【答案】12 【例 4】 如圖，有一個邊長是5的立方體，如果它的左上方截去

4、一個邊分別是5，3，2的長方體，那么它的表面積減少了百分之幾? 【考點】長方體與正方體 【難度】2星 【題型】解答 【關鍵詞】1993年，奧林匹克，初賽，10題 【解析】 原來正方體的表面積為5 ×5×6=150，現(xiàn)在立體圖形的表面積截了兩個面向我們的側面，它們的面積為(3×2)×2=12，12÷150=0.08=8％．即表面積減少了百分之八． 【答案】百分之八 【例 5】 右圖是一個邊長為4厘米的正方體，分別在前后、左右、上下各面的中心位置挖去一個邊長l厘米的正方體，做成一種玩具．它的表面積是多少平方厘米?（圖中只畫出了前面、右面、上面

5、挖去的正方體） 【考點】長方體與正方體 【難度】2星 【題型】解答 【解析】 原正方體的表面積是44696(平方厘米)．每一個面被挖去一個邊長是1厘米的正方形，同時又增加了5個邊長是1厘米的正方體作為玩具的表面積的組成部分．總的來看，每一個面都增加了4個邊長是1厘米的正方形． 從而，它的表面積是：9646120平方厘米． 【答案】120 【例 6】 從一個棱長為10厘米的正方形木塊中挖去一個長10厘米、寬2厘米、高2厘米的小長方體，剩下部分的表面積是多少？(寫出符合要求的全部答案) 【考點】長方體與正方體 【難度

6、】3星 【題型】解答 【關鍵詞】小學生數(shù)學報 【解析】 按圖1所示沿一條棱挖，為592平方厘米； 按圖2所示在某一面上挖，為632平方厘米； 按圖3所示在某面上斜著挖，為648平方厘米； 按圖4所示挖通兩個對面，為672平方厘米． 圖1 圖2 圖3 圖4 【答案】按圖1所示沿一條棱挖，為592平方厘米； 按圖2所示在某一面上挖，為632平方厘米； 按圖3所示在某面上斜著挖，為648平方厘米； 按圖4所示挖通兩個對面，為672平方厘米．

7、 【例 7】 從一個長8厘米、寬7厘米、高6厘米的長方體中截下一個最大的正方體(如下圖)，剩下部分的表面積之和是 平方厘米． 【考點】長方體與正方體 【難度】3星 【題型】填空 【解析】 可以將這個圖形看作一個八棱柱，表面積和為： (平方厘米)． 也可以這樣想：由于截去后原來的長方體的表面少了3個的正方形，而新圖形凹進去的部分恰好是3個的正方形，所以新圖形的表面積與原圖形的表面積相等，為(平方厘米)． 【答案】292 【例 8】 右圖是一個表面被涂上紅色的棱長為10厘米的正方體木塊，如果把它沿虛線切成8個正方體，這些小

8、正方體中沒有被涂上紅色的所有表面的面積和是多少平方厘米？ 【考點】長方體與正方體 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 10106600(平方厘米)． 【答案】600 【例 9】 由六個棱長為1的小正方體拼成如圖所示立體，它的表面積是 ． 【考點】長方體與正方體 【難度】3星 【題型】填空 【關鍵詞】2006年，第四屆，走美杯，4年級，決賽，第3題，8分 【解析】 三視圖法：表面積為： 【答案】26 【例 10】 將個棱長為的正方體堆放在桌子上，噴上紅色后再將它們分開

9、。涂上紅色的部分，面積是（ ）平方厘米 【考點】長方體與正方體 【難度】3星 【題型】填空 【關鍵詞】2010年，第8屆，走美杯，3年級，初賽，第12題 【解析】 注意底面放在桌子上，不能被染到。從上向下看有10個：從左向右看有6個；從前向后看有7個。因此被染色的面有個面 【答案】36 【例 11】 用6塊右圖所示(單位：cm)的長方體木塊拼成一個大長方體，有許多種拼法，其中表面積最小的是多少平方厘米？最大是多少平方厘米？ 【考點】長方體與正方體 【難度】4星 【題型】解答 【解析】

10、 要使表面積最小，需重疊的面積最大，如圖⑴的拼接方式新的長方體長為，寬為，高為，所以表面積為；要使表面積最大需重疊的面積最小，如圖⑵所示，長為，寬為2，高為，所以最大的表面積為 【答案】112 【例 12】 要把12件同樣的長a、寬b、高h的長方體物品拼裝成一件大的長方體，使打包后表面積最小，該如何打包？ ⑴當 b2h時，如何打包？ ⑵當 b2h時，如何打包？ ⑶當 b2h時，如何打包？ 【考點】長方體與正方體 【難度】5星 【題型】解答 【解析】 圖2和圖3正面的面積相同，側面面積正面周長長方體長，所以正面的周長愈大表面積越大，圖

11、2的正面周長是8h6b，圖3的周長是12h4b.兩者的周長之差為2（b2h）. 當b2h時，圖2和圖3周長相等，可隨意打包；當b2h時，按圖2打包；當b2h時，按圖3打包. 【答案】當b2h時，圖2和圖3周長相等，可隨意打包； 當b2h時，按圖2打包； 當b2h時，按圖3打包. 【例 13】 如圖，把正方體用兩個與它的底面平行的平面切開，分成三個長方體，這三個長方體的表面積比是3：4：5時，用最簡單的整數(shù)比表示這三個長方體的體積比： ： ： 。 【考點】長方體與正方體 【難度】4星

12、 【題型】填空 【關鍵詞】2007年，第五屆，走美杯，初賽，六年級，第11題 【解析】 體積比為 【答案】 【例 14】 有30個邊長為1米的正方體，在地面上擺成右上圖的形式，然后把露出的表面涂成紅色．求被涂成紅色的表面積． 【考點】長方體與正方體 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 (平方米)． 【答案】56 【例 15】 如圖，這是一個用若干塊體積相同的小正方體粘成的模型．把這個模型的表面(包括底面)都涂成紅色，那么，把這個模型拆開以后，有三面涂上紅色的小正方體比有兩面涂上紅色的小正方體多______ 塊． 【考點

13、】長方體與正方體 【難度】4星 【題型】填空 【解析】 三面涂上紅色的小正方體有：個，兩面涂上紅色的小正方體有：個， 所以三面涂紅色的比兩面涂紅色的多塊． 【答案】12 【例 16】 小明用若干個大小相同的正方體木塊堆成一個幾何體，這個幾何體從正面看如圖1所示，從上面看如圖2，那么這個幾何體至少用了　　　　塊木塊．  【考點】長方體與正方體 【難度】4星 【題型】填空 【關鍵詞】2007年，迎春杯，中年級，復賽，9題 【解析】 這道題很多同學認為答案是26塊．這是受

14、思維定勢的影響,認為圖2中每一格都要至少放一塊．其實,有些格不放,看起來也是這樣的．如下圖，帶陰影的3塊不放時，小正方體塊數(shù)最少，為23塊． 【答案】23塊 【例 17】 右圖是正方體，如果將其表面涂成紅色，那么其中一面、二面、三面被涂成紅色的小正方體各有多少塊？ 【考點】長方體與正方體 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 三面涂紅色的只有8個頂點處的8個立方體； 兩面涂紅色的在棱長處，共塊； 一面涂紅的表面中間部分：塊． 【答案】52 【例 18】 如右圖，一個邊長為3a厘米的正方體，分別在它的前后、左右、上下各面的中心位

15、置挖去一個截口是邊長為a厘米的正方形的長方體（都和對面打通）．如果這個鏤空的物體的表面積為2592平方厘米，試求正方形截口a的邊長． 【考點】長方體與正方體 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 原來正方體的表面積為：63a3a69a2（平方厘米）， 六個邊長為a的小正方形的面積為（減少部分）：6aa6a2（平方厘米）； 　　 挖成的每個長方體空洞增加的側面積為：aa428a2（平方厘米）； 　　 根據(jù)題意可得：54a26a238a22592，解得a236（平方厘米），故a6厘米． 【答案】6 【例 19】 大正方體的

16、棱長是小正方體棱長的4倍，那么它的表面積是小正方體表面積的______倍． 【考點】長方體與正方體 【難度】3星 【題型】填空 【關鍵詞】2008年，迎春杯，六年級，初賽 【解析】 ． 【答案】 【例 20】 如圖所示，有大小不同的兩個正方體，大正方體的棱長是小正方體棱長的6倍．將大正方體的6個面都染上紅色，將小正方體的6個面都染上黃色，再將兩個正方體粘合在一起．那么這個立體圖形表面上紅色面積是黃色面積的 倍． 【考點】長方體與正方體 【難度】3星 【題型】填空 【關鍵

17、詞】2010年，迎春杯，高年級復賽，3題 【解析】 假設小正方體棱長是1，大正方體棱長就是6，大正方體露在外面的表面積是，小正方體露在外面的表面積是5，所以有倍． 【答案】43 【例 21】 如圖，棱長分別為1厘米、2厘米、3厘米的三個正方體緊貼在一起，則所得到的立體圖形的表面積是 平方厘米。 【考點】長方體與正方體 【難度】3星 【題型】填空 【關鍵詞】2009年，學而思杯，6年級，第3題 【解析】 把頂面往下補，把最下面的這個正方體補全了，上面兩個正方體各剩4個側面， 表面積一共是： =54+16+4=74 【答案】7

18、4 【例 22】 一個表面積為56 cm2的長方體如圖切成27個小長方體，這27個小長方體表面積的和是______cm2． 【考點】長方體與正方體 【難度】3星 【題型】填空 【關鍵詞】2008年，第六屆，走美杯，六年級，初賽，第2題 【解析】 每一刀增加兩個切面，增加的表面積等于與切面平行的兩個表面積, 所以每個方向切兩刀后，表面積增加到原來的3倍，即表面積的和為168cm2. 【答案】168 【例 23】 圖是一個正方體木塊。M是AB的中點，N是AD的中點。用一把鋒利的鋸，過M、N、G三個點將木塊鋸成兩塊，使截面是平的，這個截面是

19、______ 邊形。 【考點】長方體與正方體 【難度】3星 【題型】填空 【關鍵詞】2003年，第一屆，希望杯，4年級，初賽，23題 【解析】 應該是過M、N、G三點，那樣的話截面是一個五邊形，還會過BF、DH中點。 【答案】五邊形 課后作業(yè)： 作業(yè)1、有l(wèi)25個同樣大小的正方體木塊，木塊的每個面的面積均為1平方厘米，其中63個表面涂上白色，還有62個表面涂上藍色。將這l25個正方體木塊粘在一起，形成一個棱長為5厘米大正方體木塊。這個大正方體木塊的表面上，藍色的面積最多是 平方厘米。 【考點】長方體與正方體

20、 【難度】3星 【題型】填空 【關鍵詞】2008年，迎春杯，三年級，初賽，第10題 【解析】 8個頂點上的正方體木塊表面積是3平方厘米，棱上的正方體木塊表面積是2平方厘米，面上的正方體木塊表面積是1平方厘米，所以要先在頂點和棱上放藍色的正方體木塊，剩下的放在面上，不放在內部，藍色的面積最多是3×8+2×（5-2）×12+1×（62-8-36）=114 平方厘米. 【答案】114 作業(yè)2、有l(wèi)00個棱長為l厘米的正方體木塊，表面均為白色，還有25個棱長為l厘米的正方體木塊，表面均為藍色。將這125個正方體木塊粘在一起，形成一個大正方體。大正方體的表面為

21、白色的面積至少是 平方厘米。 【考點】長方體與正方體 【難度】3星 【題型】填空 【關鍵詞】2008年，迎春杯，四年級，初賽，8題 【解析】 將藍色正方體盡量依次往角上、棱上放，因為這三個位置上的正方體的裸露表面有3、2塊。這二個位置上的正方體依次有8、（5-1-1）×12=36個.所以25個正方體在角上放8個，棱上放17個，那么所占的表面積有8×3+17×2=58塊.白色面積為150-58=92塊，即92平方厘米. 【答案】92 作業(yè)3、64個同樣大小的小正方體，其中34個為白色的，30個為黑色的?，F(xiàn)將它們拼成一個4×4×4

22、的大正方體，在大正方體的表面上白色部分的面積與黑色部分的面積之比最大為 。 【考點】長方體與正方體 【難度】3星 【題型】填空 【關鍵詞】2004年，第二屆，走美杯，6年級，決賽，第6題，10分 【解析】 沒有露在表面的小正方體有(4-2)=8(個)，用黑色的。在面上但不在邊上的小正方體有(4-2)×6=24(個)，其中22個用黑色。這樣，在表面的4×4×6=96(個)小正方形中，22個是黑色，96-22=74(個)是白色，白色與黑色的面積比為74:2237:ll。 【答案】 作業(yè)4、將16個相同的小正方形拼成一個體積為16平方厘

23、米的長方體，將表面涂漆，然后分開，結果，其中2面涂漆的小正方體有8個，那么3面涂漆的小正方體有__________個，4面涂漆的小正方體有__________個。 【考點】長方體與正方體 【難度】3星 【題型】填空 【關鍵詞】2007年，希望杯，第五屆，四年級，復賽，第12題，5分 【解析】 16=1×1×16=1×2×8=1×4×4=2×2×4，其中只有2×2×4的長方體有8個小正方體2面涂漆，它的3面小正方體有8個（8個角），沒有4面都涂漆的. 【答案】三面涂漆的有8個，無四面涂漆的 作業(yè)5、由27個棱長為1的小正方體組成一個棱長為3

24、的大正方體，若自上而下去掉中間的3個小正方體，如圖所示，則剩下的幾何體的表面積是 。 【考點】長方體與正方體 【難度】3星 【題型】填空 【關鍵詞】2006年，希望杯，第四屆，五年級，初賽，第15題，5分 【解析】 64，沒去掉3個小正方體之前的表面積為3×3×6=54，去掉之后增加了3×1×4-1×1×2=10，所以剩下的表面積為54+10=64。 【答案】64 作業(yè)1、把三個完全相等的正方體拼成一個長方體，這個長方體的表面積是350平方米。這個正方形的表面積是多少平方米？ 答案：150平方厘米；

25、 作業(yè)2、用三個長5厘米、寬3厘米、高2厘米的長方體木塊拼成一個表面積最大的長方體，這個大長方體的表面積是多少平方厘米？ 答案：112平方厘米； 作業(yè)3、一個長方體，如果高增加3厘米，就成為一個正方體。這時表面積比原來增加了96平方厘米。原來的長方體的體積是多少立方厘米？ 答案：320平方厘米； 作業(yè)4、一個長方體棱長之和是36厘米，底面是一個邊長3.5厘米的正方形,這個長方體的高是多少厘米？ 答案：1厘米； 作業(yè)5、把一個長16厘米，寬6厘米，高8厘米的大長方體切成兩個小長方體，這兩個

26、小長方體的表面積的和最大是多少平方厘米，最小是多少？ 答案：992平方厘米；832平方厘米； 作業(yè)6、一個正方體的表面積是24平方分米，把它分成兩個完全相同的長方體，每個長方體的表面積是多少平方分米？ 答案：16平方厘米； 作業(yè)7、把一個棱長為5厘米的正方體木塊外表涂上紅色，然后切成棱長為1厘米的小正方體木塊。則三面涂色的小正方體有多少個？，兩面涂色的小正方體呢？一面涂色的小正方體呢？一面都沒有被涂色的小正方體呢？ 答案：3面：8塊；2面：36塊；1面：54塊；沒有涂色：27塊。 作業(yè)8、把一個長5厘米、寬4厘米、高4厘米的長方體木塊外表涂上紅色，然后切成棱長為1厘米的小正方體木塊。則三面涂色的小正方體有多少個？兩面涂色的小正方體有多少個？一面涂色的小正方體有多少個？一面都沒有被涂色的小正方體呢？ 答案：3面：8塊；2面：28塊；1面：32塊；沒有涂色：12塊。