[自己整理]圓錐曲線常考題型總結(jié)-配有大題及練習(xí)

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1、. 圓錐曲線大綜合 第一部分 圓錐曲線?？碱}型和熱點(diǎn)問題 一．常考題型 題型一：數(shù)形結(jié)合確定直線和圓錐曲線的位置關(guān)系 題型二：弦的垂直平分線問題 題型三：動(dòng)弦過定點(diǎn)問題 題型四：過已知曲線上定點(diǎn)的弦的問題 題型五：共線向量問題 題型六：面積問題 題型七：弦或弦長(zhǎng)為定值的問題 題型八：角度問題 題型九：四點(diǎn)共線問題 題型十：范圍為題〔本質(zhì)是函數(shù)問題 題型十一：存在性問題〔存在點(diǎn),存在直線,存在實(shí)數(shù),三角形〔等邊、等腰、直角,四邊形〔矩形,菱形、正方形,圓 二．熱點(diǎn)問題 1.定義與軌跡方程問題 2.交點(diǎn)與中點(diǎn)弦問題 3.弦長(zhǎng)及面積問題 4.對(duì)稱問題

2、5.范圍問題 6.存在性問題 7.最值問題 8.定值,定點(diǎn),定直線問題 第二部分 知識(shí)儲(chǔ)備 一． 與一元二次方程相關(guān)的知識(shí)〔三個(gè)"二次"問題 1. 判別式： 2. 韋達(dá)定理：若一元二次方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根,則, 3. 求根公式：若一元二次方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根,則 二．與直線相關(guān)的知識(shí) 1. 直線方程的五種形式：點(diǎn)斜式,斜截式,截距式,兩點(diǎn)式,一般式 2. 與直線相關(guān)的重要內(nèi)容：①傾斜角與斜率：,； ②點(diǎn)到直線的距離公式：〔一般式或〔斜截式 3. 弦長(zhǎng)公式：直線上兩點(diǎn)間的距離： 4. 兩直線的位置關(guān)系： ① ② 5. 中點(diǎn)坐標(biāo)公式：已知兩點(diǎn),若點(diǎn)線段AB

3、的中點(diǎn),則 三．圓錐曲線的重要知識(shí) 考綱要求：對(duì)它們的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單性質(zhì),文理要求有所不同。 文科：掌握橢圓,了解雙曲線；理科：掌握橢圓及拋物線,了解雙曲線 1. 圓錐曲線的定義及幾何圖形：橢圓、雙曲線及拋物線的定義及幾何性質(zhì)。 2. 圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：①橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 ②雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 ③拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 3. 圓錐曲線的基本性質(zhì)：特別是離心率,參數(shù)三者的關(guān)系,的幾何意義等 4. 圓錐曲線的其他知識(shí)：①通徑：橢圓,雙曲線,拋物線 ②焦點(diǎn)三角形的面積：在橢圓上時(shí) 在雙曲線上時(shí) 四．常結(jié)合其他知識(shí)進(jìn)行綜合考查 1． 圓的相關(guān)知識(shí)：兩種方程,特別是直線

4、與圓,兩圓的位置關(guān)系 2． 導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)：求導(dǎo)公式及運(yùn)算法則,特別是與切線方程相關(guān)的知識(shí) 3． 向量的相關(guān)知識(shí)：向量的數(shù)量積的定義及坐標(biāo)運(yùn)算,兩向量的平行與垂直的判斷條件等 4． 三角函數(shù)的相關(guān)知識(shí)：各類公式及圖像與性質(zhì) 5． 不等式的相關(guān)知識(shí)：不等式的基本性質(zhì),不等式的證明方法,均值定理等 五．不同類型的大題 〔1圓錐曲線與圓 例1.〔本小題共14分 已知雙曲線的離心率為,右準(zhǔn)線方程為 〔Ⅰ求雙曲線的方程； 〔Ⅱ設(shè)直線是圓上動(dòng)點(diǎn)處的切線,與雙曲線交于不同的兩點(diǎn),證明的大小為定值… [解法1]本題主要考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、圓的切線方程等基礎(chǔ)知識(shí),考查曲線和方程 的關(guān)系

5、等解析幾何的基本思想方法,考查推理、運(yùn)算能力． 〔Ⅰ由題意,得,解得, ∴,∴所求雙曲線的方程為. 〔Ⅱ點(diǎn)在圓上, 圓在點(diǎn)處的切線方程為, 化簡(jiǎn)得. 由及得, ∵切線與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)A、B,且, ∴,且, 設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為, 則, ∵,且 , . ∴的大小為. [解法2]〔Ⅰ同解法1. 〔Ⅱ點(diǎn)在圓上,圓在點(diǎn)處的切線方程為,化簡(jiǎn)得.由及得 ① ② ∵切線與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)A、B,且, ∴,設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為, 則, ∴,∴的大小為. 〔∵且,∴,從而當(dāng)時(shí),方程①和方程②的判別式均大于零. 練習(xí)1：已知點(diǎn)是橢圓的左頂點(diǎn),直

6、線與橢圓相交于兩點(diǎn),與軸相交于點(diǎn).且當(dāng)時(shí),△的面積為. 〔Ⅰ求橢圓的方程； 〔Ⅱ設(shè)直線,與直線分別交于,兩點(diǎn),試判斷以為直徑的圓是否經(jīng)過點(diǎn)？并請(qǐng)說明理由. 〔2圓錐曲線與圖形形狀問題 例2.1已知A,B,C是橢圓W：＋y2＝1上的三個(gè)點(diǎn),O是坐標(biāo)原點(diǎn)． <1>當(dāng)點(diǎn)B是W的右頂點(diǎn),且四邊形OABC為菱形時(shí),求此菱形的面積； <2>當(dāng)點(diǎn)B不是W的頂點(diǎn)時(shí),判斷四邊形OABC是否可能為菱形,并說明理由． 解：<1>橢圓W：＋y2＝1的右頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為<2,0>． 因?yàn)樗倪呅蜲ABC為菱形,所以AC與OB相互垂直平分． 所以可設(shè)A<1,m>,代入橢圓方程得＋m2＝1,即m＝. 所以

7、菱形OABC的面積是|OB|·|AC|＝×2×2|m|＝. <2>假設(shè)四邊形OABC為菱形． 因?yàn)辄c(diǎn)B不是W的頂點(diǎn),且直線AC不過原點(diǎn),所以可設(shè)AC的方程為y＝kx＋m． 由消y并整理得<1＋4k2>x2＋8kmx＋4m2－4＝0. 設(shè)A,C, 則,. 所以AC的中點(diǎn)為M. 因?yàn)镸為AC和OB的交點(diǎn),所以直線OB的斜率為. 因?yàn)閗·≠－1,所以AC與OB不垂直． 所以O(shè)ABC不是菱形,與假設(shè)矛盾． 所以當(dāng)點(diǎn)B不是W的頂點(diǎn)時(shí),四邊形OABC不可能是菱形． 練習(xí)1：已知橢圓過點(diǎn)<,>,且以橢圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形

8、是等腰直角三角形. <Ⅰ>求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； <Ⅱ>設(shè)是橢圓上的動(dòng)點(diǎn),是軸上的定點(diǎn),求的最小值及取最小值時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo). 〔3圓錐曲線與直線問題 例3.1已知橢圓, （1） 求橢圓的離心率. （2） 設(shè)為原點(diǎn),若點(diǎn)在橢圓上,點(diǎn)在直線上,且,求直線與圓的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論. 解析：⑴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：, ,則,離心率; ⑵直線與圓相切.證明如下： 法一： 設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為,其中. 因?yàn)?所以,即,解得. 當(dāng)時(shí),,代入橢圓的方程,得, 故直線的方程為.圓心到直線的距離. 此時(shí)直線與圓相切. 當(dāng)時(shí),直線的方程為, 即. 圓心到直線的距離. 又,,故 . 此

9、時(shí)直線與圓相切. 法二： 由題意知,直線的斜率存在,設(shè)為,則直線的方程為,, ①當(dāng)時(shí),,易知,此時(shí)直線的方程為或, 原點(diǎn)到直線的距離為,此時(shí)直線與圓相切； ②當(dāng)時(shí),直線的方程為, 聯(lián)立得點(diǎn)的坐標(biāo)或； 聯(lián)立得點(diǎn)的坐標(biāo), 由點(diǎn)的坐標(biāo)的對(duì)稱性知,無妨取點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算, 于是直線的方程為：, 即, 原點(diǎn)到直線的距離, 此時(shí)直線與圓相切。 綜上知,直線一定與圓相切. 法三： ①當(dāng)時(shí),,易知,此時(shí), ,原點(diǎn)到直線的距離,、 此時(shí)直線與圓相切； ②當(dāng)時(shí),直線的方程為, 設(shè),則,, 聯(lián)立得點(diǎn)的坐標(biāo)或； 于是,, , 所以,直線與圓相切； 綜上知,直線一定與圓相切

10、練習(xí)1：已知橢圓過點(diǎn),且長(zhǎng)軸長(zhǎng)是焦距的倍. 過橢圓左焦點(diǎn)F的直線交橢圓于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn). 〔Ⅰ求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； 〔Ⅱ若直線AB垂直于x軸,判斷點(diǎn)O與以線段AB為直徑的圓的位置關(guān)系,并說明理由； 〔Ⅲ若點(diǎn)O在以線段AB為直徑的圓內(nèi),求直線AB的斜率的取值范圍. 〔4圓錐曲線定值與證明問題 例4.1已知橢圓的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上,離心率為,且橢圓上的點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為． 〔Ⅰ求橢圓的方程； 〔Ⅱ設(shè)為橢圓的左頂點(diǎn),過點(diǎn)的直線與橢圓交于點(diǎn),與軸交于點(diǎn),過原點(diǎn)與平行的直線與橢圓交于點(diǎn)．證明：． 解：〔Ⅰ設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為, 由題意知解得,． 所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

11、……………………………5分 〔Ⅱ設(shè)直線的方程為：,則． 由 得〔*． 設(shè),,則,是方程〔*的兩個(gè)根, 所以． 所以． ． ． ． 設(shè)直線的方程為：． 由 得． 設(shè),則,． 所以,． 所以． 例4.2:已知橢圓C：〔a>b>0的離心率為,A〔a,0,B<0,b>,O〔0,0,△OAB的面積為1. 〔I求橢圓C的方程； 設(shè)P的橢圓C上一點(diǎn),直線PA與Y軸交于點(diǎn)M,直線PB與x軸交于點(diǎn)N。 求證：為定值。 練習(xí)1：已知橢圓的離心率為,橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積為. <Ⅰ>求橢圓的方程; <Ⅱ>已知?jiǎng)又本€與橢圓相交