2021版高考數(shù)學一輪復習 第二章 函數(shù)及其應用 2.4 指數(shù)與指數(shù)函數(shù)練習 理 北師大版

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1、2.4 指數(shù)與指數(shù)函數(shù)核心考點精準研析考點一指數(shù)冪的化簡與求值1.以下等式成立的是()A.(-2)-2=4B.2a-3=(a0)C.(-2)0=-1D.()4=(a0)2.(2021全國卷)2021年1月3日嫦娥四號探測器成功實現(xiàn)人類歷史上首次月球反面軟著陸,我國航天事業(yè)取得又一重大成就,實現(xiàn)月球反面軟著陸需要解決的一個關(guān)鍵技術(shù)問題是地面與探測器的通訊聯(lián)系.為解決這個問題,發(fā)射了嫦娥四號中繼星“鵲橋,鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日L2點的軌道運行.L2點是平衡點,位于地月連線的延長線上.設地球質(zhì)量為M1,月球質(zhì)量為M2,地月距離為R,L2點到月球的距離為r,根據(jù)牛頓運動定律和萬有引力定律,r滿足方程

2、:+=(R+r).設=,由于的值很小,因此在近似計算中33,那么r的近似值為()A.RB.RC.RD.R3.設2x=8y+1,9y=3x-9,那么x+y的值為_.4.f(x)=2x+2-x,假設f(a)=3,那么f(2a)等于_.【解析】1.選D.對于A,(-2)-2=,故A錯誤;對于B,2a-3=,故B錯誤;對于C,(-2)0=1,故C錯誤;對于D,()4=.2.選D.由題可知M1+M2=M1,把=代入得:M1+M2=M1,=-M1=M1=M1,由題中給出的33,所以3,r3R3,rR.3.因為2x=8y+1=23(y+1),所以x=3y+3,因為9y=3x-9=32y,所以x-9=2y,解

3、得x=21,y=6,所以x+y=27.答案:274.由f(a)=3得2a+2-a=3,所以(2a+2-a)2=9,即22a+2-2a+2=9.所以22a+2-2a=7,故f(2a)=22a+2-2a=7.答案:7指數(shù)冪運算的一般原那么(1)有括號的先算括號里的,無括號的先做指數(shù)運算.(2)先乘除后加減,負指數(shù)冪化成正指數(shù)冪的倒數(shù).(3)底數(shù)是負數(shù),先確定符號;底數(shù)是小數(shù),先化成分數(shù);底數(shù)是帶分數(shù)的,先化成假分數(shù).(4)假設是根式,應化為分數(shù)指數(shù)冪,盡可能用冪的形式表示,運用指數(shù)冪的運算性質(zhì)來解答.(5)運算結(jié)果不能同時含有根號和分數(shù)指數(shù),也不能既有分母又含有負指數(shù),形式力求統(tǒng)一.考點二指數(shù)函數(shù)

4、的圖像及應用【典例】1.0a1,b-1,那么函數(shù)y=ax+b的圖像必定不經(jīng)過()A.第一象限B.第二象限C.第三象限 D.第四象限2.函數(shù)f(x)=1-e|x|的圖像大致是()3.假設曲線|y|=2x+1與直線y=b沒有公共點,那么b的取值范圍為_.【解題導思】序號聯(lián)想解題1由0a1,b-1,y=ax+b,想到指數(shù)函數(shù)的圖像2由f(x)=1-e|x|,想到偶函數(shù)以及函數(shù)值小于等于03由|y|=2x+1,想到討論y0與y0【解析】1.選A.y=ax+b(0a1,b0,a1)的圖像,應抓住三個關(guān)鍵點:(1,a),(0,1),.(2)與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的圖像的研究,往往利用相應指數(shù)函數(shù)的圖像,通過

5、平移、對稱變換得到其圖像.(3)一些指數(shù)方程、不等式問題的求解,往往利用相應的指數(shù)型函數(shù)圖像數(shù)形結(jié)合求解.2.指數(shù)函數(shù)的圖像與底數(shù)大小的比較在第一象限內(nèi),指數(shù)函數(shù)y=ax(a0,a1)的圖像越高,底數(shù)越大.【秒殺絕招】T2可用排除法解決,T3可利用2x+1的取值范圍直接求解.1.不管a為何值,函數(shù)y=(a-1)2x-恒過定點,那么這個定點的坐標是()A.B.C.D.【解析】選C.y=(a-1)2x-=a-2x,令2x-=0,得x=-1,故函數(shù)y=(a-1)2x-恒過定點.2.函數(shù)y=ax-(a0,且a1)的圖像可能是()【解析】選D.假設a1,那么y=ax-在R上是增函數(shù),當x=0時,y=1-

6、(0,1),A,B不滿足.假設0a1,那么y=ax-在R上是減函數(shù),當x=0時,y=1-0,C錯,D項滿足.3.(2021吉安模擬)假設函數(shù)y=|2x-1|的圖像與直線y=b有兩個公共點,那么b的取值范圍為_.【解析】作出曲線y=|2x-1|的圖像與直線y=b如下列圖.由圖像可得b的取值范圍是(0,1).答案:(0,1)考點三指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應用命題精解讀1.考什么:(1)求指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小、求值或解不等式、求參數(shù)值等問題.(2)考查數(shù)學運算、直觀想象、邏輯推理等核心素養(yǎng).2.怎么考:指數(shù)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性,函數(shù)的周期性以及對稱性等知識單獨或交匯考查,也可能以分

7、段函數(shù)的形式呈現(xiàn).3.新趨勢:以指數(shù)函數(shù)為載體,單調(diào)性與比較大小、求參數(shù)值或范圍交匯考查,指數(shù)函數(shù)與其他根本初等函數(shù)交匯,指數(shù)函數(shù)的圖像與對稱性、交點個數(shù)、不等式交匯考查.學霸好方法1.比較指數(shù)式的大小的方法(1)能化成同底數(shù)的先化成同底數(shù)冪,再利用單調(diào)性比較大小.(2)不能化成同底數(shù)的,一般引入“1“0等中間量比較大小.(3)在研究指數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性時,當?shù)讛?shù)a與“1的大小關(guān)系不確定時,要分類討論.2.指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的判斷(1)求單調(diào)區(qū)間必須先求定義域.(2)根據(jù)底數(shù)a進行判斷,0a1為增函數(shù).(3)指數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性根據(jù)復合函數(shù)“同增異減.比較指數(shù)式的大小【典例】f(x)=2x-2-x,a

8、=,b=,那么f(a),f(b)的大小關(guān)系是_.【解析】易知f(x)=2x-2-x在R上為增函數(shù),又a=b.所以f(a)f(b).答案:f(b)f(a)如何比較指數(shù)式的大小?提示:首先將指數(shù)式化為同底,再考慮相應指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,最后得出結(jié)論.解簡單的指數(shù)方程或不等式【典例】1.實數(shù)a1,函數(shù)f(x)=假設f(1-a)=f(a-1),那么a的值為_.2.設函數(shù)f(x)=假設f(a)1,那么實數(shù)a的取值范圍是_.【解析】1.當a1時,代入不成立.故a的值為.答案:2.當a0時,不等式f(a)1可化為-71,即8,即,因為0-3,所以-3a0;當a0時,不等式f(a)1可化為1,所以0a1.故a的

9、取值范圍是(-3,1).答案:(-3,1)如何解簡單的指數(shù)方程或不等式?提示:充分利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),將指數(shù)方程或不等式轉(zhuǎn)化為一次、二次方程或不等式,即可解決.指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應用【典例】1.假設對于任意x(-,-1,都有(3m-1)2x0,所以不等式(3m-1)2x1對于任意x(-,-1恒成立,等價于3m-1=對于任意x(-,-1恒成立.因為x-1,所以=2.所以3m-12,解得m1,所以m的取值范圍是(-,1).2.選B.根據(jù)“局部奇函數(shù)的定義可知,方程f(-x)=-f(x)有解即可,即4-x-m2-x-3=-(4x-m2x-3),所以4-x+4x-m(2-x+2x)-6=0,化為(2-

10、x+2x)2-m(2-x+2x)-8=0有解,令2-x+2x=t(t2),那么有t2-mt-8=0在2,+)上有解,設g(t)=t2-mt-8,那么g(2)0,得m-2,綜上可得實數(shù)m的取值范圍為-2,+).任意x-2,-1,都有3m-1成立與存在x-2,-1,使得3m-1成立一樣嗎?提示:不一樣,前者3m-1比的最小值還要小,而后者只需小于它的最大值即可.1.(2021西安模擬)f(x)=2x-2-x,a=,b=,c=log2,那么f(a),f(b), f(c)的大小關(guān)系為()A.f(b)f(a)f(c)B.f(c)f(b)f(a)C.f(c)f(a)f(b) D.f(b)f(c)=b0,

11、c=log2bc,所以f(c)f(b)0,且a1)的值域為1,+),那么f(-4)與f(1)的關(guān)系是 ()A.f(-4)f(1)B.f(-4)=f(1)C.f(-4)1,所以f(-4)=a3,f(1)=a2,由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性知a3a2,所以f(-4)f(1).1.0ay1,那么以下各式中正確的選項是()A.xayaB.axayD.axya【解析】選B.對于A,因為1,所以=1,所以xaya,所以A錯誤; 0ay1,所以axay,B正確,C錯誤;對于D,因為axy0=1,所以axya,所以D錯誤.2.假設函數(shù)f(x)=的值域是,那么f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是_.【解析】令g(x)=ax2+2x+3,由于f(x)的值域是,所以g(x)的值域是2,+).因此有解得a=1,這時g(x)=x2+2x+3,f(x)=.由于g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(-,-1,所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-,-1.答案:(-,-1 可修改 歡迎下載 精品 Word