2021版高考數(shù)學一輪復習 第十二章 計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布 12.7.2 離散型隨機變量與其他知識的綜合問題練習 理 北師大版

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1、 12.7.2 離散型隨機變量與其他知識的綜合問題 核心考點·精準研析 考點一　與函數(shù)、方程、不等式有關的綜合問題? 1.一批產品的不合格率為p(0

2、處理,以每瓶2元的價格當天全部處理完.根據(jù)往年銷售經驗,每天需求量與當天最高氣溫(單位:℃)有關.如果最高氣溫不低于25,需求量為500瓶;如果最高氣溫位于區(qū)間,需求量為300瓶;如果最高氣溫低于20,需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購方案,統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù),得下面的頻數(shù)分布表: 最高氣溫 天數(shù) , 2 , 16 , 36 , 25 , 7 , 4 以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率. (1)求六月份這種酸奶一天的需求量X(單位:瓶)的分布列. (2)設六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位:元),當六月份這種酸奶一

3、天的進貨量n(單位:瓶)為多少時,Y的數(shù)學期望到達最大值. 【解析】1.選A.根據(jù)題意得f(p)=p2(1-p)18, 因此f′(p)=[2p(1-p)18-18p2(1-p)17]=2p(1-p)17(1-10p)(00; 當p∈(0.1,1)時,f′(p)<0. 所以f(p)的最大值點為p0=0.1. 所以p=0.1. 2.因為+p=1,所以p=, 又因為E(X)=x1+x2=, D(X)=+=, 解得或所以px1x2=或px1x2=, 所以px1x2的最小值為. 答案: 3.(1

4、)由題意得,X的可能取值為200,300,500.根據(jù)題意,結合頻數(shù)分布表,用頻率估計概率可知 P(X=200)==,P(X=300)= =, P(X=500)==, 所以六月份這種酸奶一天的需求量X的分布列為: X 200 300 500 P (2)①當200≤n≤300時,假設X=200, 那么Y=(6-4)X+(2-4)(n-X)=4X-2n=800-2n, P(Y=800-2n)=. 假設X=300時,那么Y=(6-4)n=2n,P(Y=2n)=, 假設X=500時,那么Y=(6-4)n=2n,P(Y=2n)=. 所以Y的分布列為: Y 80

5、0-2n 2n 2n P 所以E(Y)=×(800-2n)+×2n+×2n =n+160,所以當n=300時,E(Y)max=520(元). ②當300

6、800-2n)+ ×(1 200-2n)+×2n=-n+640<-×300+640=520(元). 綜上,當n為300瓶時,Y的數(shù)學期望到達最大值. 與函數(shù)、方程、不等式有關的綜合問題的解法 1.與函數(shù)有關的問題,結合概率,方差,均值的公式列出函數(shù)表達式,再利用函數(shù)的性質(單調性、最值等)求解. 2.與方程、不等式有關的問題,結合均值、方差公式列出方程或不等式,解方程或不等式即可. 考點二　與數(shù)列有關的綜合問題? 【典例】(2021·全國卷Ⅰ)為治療某種疾病,研制了甲、乙兩種新藥,希望知道哪種新藥更有效,為此進行動物試驗.試驗方案如下:每一輪選取兩組白鼠對藥效進行比照試驗.對于

7、兩組白鼠,當其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時,就停止試驗,并認為治愈只數(shù)多的藥更有效.為了方便描述問題,約定:對于每輪試驗,假設施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈那么甲藥得1分,乙藥得-1分;假設施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈那么乙藥得1分,甲藥得-1分;假設都治愈或都未治愈那么兩種藥均得0分.甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β,一輪試驗中甲藥的得分記為X. (1)求X的分布列. (2)假設甲藥、乙藥在試驗開始時都賦予4分,pi(i=0,1,…,8)表示“甲藥的累計得分為i時,最終認為甲藥比乙藥更有效〞的概率,那么p0=0,p8=1,pi=api-1+bp

8、i+cpi+1(i=1,2,…,7),其中a=P(X=-1),b=P(X=0),c=P(X=1).假設α=0.5,β=0.8. ①證明:{pi+1-pi}(i=0,1,2,…,7)為等比數(shù)列; ②求p4,并根據(jù)p4的值解釋這種試驗方案的合理性. 【解析】(1)X的所有可能取值為-1,0,1. P(X=-1)=(1-α)β, P(X=0)=αβ+(1-α)(1-β), P(X=1)=α(1-β), 所以X的分布列為 X -1 0 1 P (1-α)β αβ+(1-α)(1-β) α(1-β) (2)①由(1)得a=0.4,b=0.5,c=0.1. 因此pi=0.

9、4pi-1+0.5pi+0.1pi+1, 故0.1(pi+1-pi)=0.4(pi-pi-1), 即pi+1-pi=4(pi-pi-1). 又因為p1-p0=p1≠0,所以{pi+1-pi}(i=0,1,2,…,7)為公比為4,首項為p1的等比數(shù)列. ②由①可得 p8=p8-p7+p7-p6+…+p1-p0+p0=(p8-p7)+(p7-p6)+…+(p1-p0)=p1. 由于p8=1,故p1=,所以p4=(p4-p3)+(p3-p2)+(p2-p1)+(p1-p0)=p1=. p4表示最終認為甲藥更有效的概率,由計算結果可以看出,在甲藥治愈率為0.5,乙藥治愈率為0.8時,認為

10、甲藥更有效的概率為p4=≈0.003 9,此時得出錯誤結論的概率非常小,說明這種試驗方案合理. 解決離散型隨機變量與數(shù)列交匯的綜合問題的方法 把離散型隨機變量的分布列、方差、均值用表達式表示出來,結合數(shù)列中等比數(shù)列、等差數(shù)列的定義、通項、求和等思想方法,分拆為一個個小問題,各個擊破,最后解答整個問題. 某情報站有A,B,C,D四種互不相同的密碼,每周都是從上周未使用的三種密碼中等可能地隨機選用一種.設第一周使用A種密碼,那么第7周也使用A種密碼的概率為________________.(用最簡分數(shù)表示)? 【解析】用Pk表示第k周用A種密碼的概率,那么第k周未用A種密碼的概率為1-

11、Pk, 所以Pk+1=,k∈N*, 所以Pk+1-=-. 由P1=1知,數(shù)列是首項為,公比為-的等比數(shù)列,所以Pk-=, 所以Pk=+,P7=+=. 答案: 考點三　與統(tǒng)計交匯的綜合問題? 命 題 精 解 讀 1.考什么:與統(tǒng)計知識交匯命題,考查統(tǒng)計背景下離散型隨機變量的分布列、均值、方差的計算問題. 2.怎么考:與統(tǒng)計中頻率分布直方圖、獨立性檢驗、線性回歸方程、莖葉圖等知識結合,綜合考查統(tǒng)計中的數(shù)字特征和概率分布中的均值、方差. 3.新趨勢:概率與統(tǒng)計結合,綜合考查離散型隨機變量的分布列、均值、方差等. 學 霸 好 方 法 與統(tǒng)計知識交匯問題的解

12、決方法: (1)熟練掌握統(tǒng)計中抽樣方法、用樣本估計總體的思想,掌握頻率分布直方圖、莖葉圖、條形圖等統(tǒng)計圖形的意義,熟記平均數(shù)、方差、標準差的公式. (2)正確求解離散型隨機變量的分布列、均值、方差,熟悉二項分布、正態(tài)分布的模型. 與統(tǒng)計中的頻率分布表、頻率分布直方圖等有關的綜合問題 【典例】一個不透明的袋子中裝有4個形狀相同的小球,分別標有不同的數(shù)字2,3,4,x,現(xiàn)從袋中隨機摸出2個球,并計算摸出的這2個球上的數(shù)字之和,記錄后將小球放回袋中攪勻,進行重復試驗.記A事件為“數(shù)字之和為7〞.試驗數(shù)據(jù)如表: 摸球總 次數(shù) “和為7〞出現(xiàn) 的頻數(shù) “和為7〞出現(xiàn) 的頻率 1

13、0 1 0.10 20 9 0.45 30 14 0.47 60 24 0.40 90 26 0.29 120 37 0.31 180 58 0.32 240 82 0.34 330 109 0.33 450 150 0.33 參考數(shù)據(jù):0.33≈ (1)如果試驗繼續(xù)下去,根據(jù)上表數(shù)據(jù),出現(xiàn)“數(shù)字之和為7〞的頻率將穩(wěn)定在它的概率附近.試估計“出現(xiàn)數(shù)字之和為7〞的概率,并求x的值. (2)在(1)的條件下,設定一種游戲規(guī)那么:每次摸2球,假設數(shù)字和為7,那么可獲得獎金7元,否那么需交5元.某人摸球3次,設其獲獎金額為隨機變量η元,求

14、η的數(shù)學期望和方差. 【解析】(1)由數(shù)據(jù)表可知,當試驗次數(shù)增加時,頻率穩(wěn)定在0.33附近, 所以可以估計“出現(xiàn)數(shù)字之和為7〞的概率為; 因為P(A)==,所以A事件包含兩種結果, 那么有3+4=2+x=7,解得x=5. (2)設ξ表示3次摸球中A事件發(fā)生的次數(shù), 那么ξ～A3,,E(ξ)=3× =1,D(ξ)=3××=; 那么η=7ξ-5(3-ξ)=12ξ-15, E(η)=E(12ξ-15)=12E(ξ)-15=12-15=-3, D(η)=D(12ξ-15)=144D(ξ)=144×=96. 與統(tǒng)計中的回歸直線方程、獨立性檢驗有關的綜合問題 【典例】隨著 的開

15、展,“微信〞逐漸成為人們交流的一種形式,某機構對“使用微信交流〞的態(tài)度進行調查,隨機抽取了50人,他們年齡的頻數(shù)分布及對“使用微信交流〞贊成人數(shù)如表: 年齡(單位:歲) 頻數(shù) 贊成人數(shù) , 5 5 , 10 10 , 15 12 , 10 7 , 5 2 , 5 1 (1)假設以“年齡55歲為分界點〞,由統(tǒng)計數(shù)據(jù)完成2×2列聯(lián)表,并判斷是否有99.9%的把握認為“使用微信交流〞的態(tài)度與人的年齡有關. 年齡不低于 55歲的人數(shù) 年齡低于 55歲的人數(shù) 總計 贊成 不贊成 總計 (2)假設從年齡不

16、低于55歲的被調查人中隨機選取3人進行追蹤調查,求3人中贊成“使用微信交流〞的人數(shù)的分布列和均值.參考數(shù)據(jù): P 0.05 0.010 0.001 x0 3.841 6.635 10.828 χ2= ,其中n=a+b+c+d. 【解析】(1)2×2列聯(lián)表如下: 年齡不低于 55歲的人數(shù) 年齡低于 55歲的人數(shù) 總計 贊成 3 34 37 不贊成 7 6 13 總計 10 40 50 χ2=≈12.578>10.828, 所以有99.9%的把握認為“使用微信交流〞的態(tài)度與人的年齡有關. (2)設3人中贊成“使用微信交流〞的人數(shù)為X

17、, 那么X的取值為0,1,2,3, 由(1)中數(shù)據(jù)可得年齡不低于55歲的人數(shù)為10,其中贊成“使用微信交流〞的人數(shù)為3,不贊成“使用微信交流〞的人數(shù)為7, 所以P==,P==, P==,P==, 所以X的分布列為 X 0 1 2 3 P 所以均值為E(X)=0×+1×+2×+3×=. 與統(tǒng)計中的平均數(shù)、方差等數(shù)字特征有關的綜合問題 【典例】為了保障某種藥品的主要藥理成分在國家藥品監(jiān)督管理局規(guī)定的范圍內,某制藥廠在該藥品的生產過程中,檢驗員在一天中按照規(guī)定每間隔2小時對該藥品進行檢測,每天檢測4次:每次檢測由檢驗員從該藥品生產線上隨機抽取20件藥品進

18、行檢測,測量其主要藥理成分含量(單位:mg).根據(jù)生產經驗,可以認為這條藥品生產線正常狀態(tài)下生產的藥品的主要藥理成分含量服從正態(tài)分布N(μ,σ2). (1)假設生產狀態(tài)正常,記X表示某次抽取的20件藥品中主要藥理成分含量在(μ-3σ,μ+3σ)之外的藥品件數(shù),求P(X=1) (精確到0. 000 1)及X的數(shù)學期望. (2)在一天內四次檢測中,如果有一次出現(xiàn)了主要藥理成分含量在(μ-3σ,μ+3σ)之外的藥品,就認為這條生產線在這一天的生產過程可能出現(xiàn)異常情況,需對本次的生產過程進行檢查;如果在一天中,有連續(xù)兩次檢測出現(xiàn)了主要藥理成分含量在(μ-3σ,μ+3σ)之外的藥品,那么需停止生

19、產并對原材料進行檢測. ①下面是檢驗員在某次抽取的20件藥品的主要藥理成分含量:10.02,9.78,10.04,9.92,10.14,10.04,9.22, 10.13,9.91,9.95,10.09,9.96,9.88,10.01,9.98,9.95,10.05,10.05,9.96,10.12. 經計算得=xi=9.96,s==≈0.19. 其中xi為抽取的第i件藥品的主要藥理成分含量,i=1,2,…,20,用樣本平均數(shù)作為μ的估計值μ′,用樣本標準差s作為σ的估計值σ′,利用估計值判斷是否需對本次的生產過程進行檢查. ②試確定一天中需停止生產并對原材料進行檢測的概率(精確到0

20、.001). 附:假設隨機變量Z服從正態(tài)分布N, 那么P(μ-3σ

21、 (2)①由=9.96,s=0.19,得μ的估計值為μ′=9.96,σ的估計值為σ′=0.19, 由樣本數(shù)據(jù)可以看出有一件藥品的主要藥理成分含量(9.22)在(μ′-3σ′, μ′+3σ′)=(9.39,10.53)之外, 因此需對本次的生產過程進行檢查. ②設“在一次檢測中,發(fā)現(xiàn)需要對本次的生產過程進行檢查〞為事件A,那么 P(A)=1-[P(X=0)]20≈1-(0.997 3)20≈1-0.947 4=0.052 6, 如果在一天中,需停止生產并對原材料進行檢測,那么在一天的四次檢測中,有連續(xù)兩次出現(xiàn)了主要藥理成分含量在(μ-3σ,μ+3σ)之外的藥品,故概率為 P=3

22、[P(A)]2×[1-P(A)]2≈3×(0.052 6)2×(0.947 4)2≈0.007, 所以一天中需停止生產并對原材料進行檢測的概率為0.007. 1.某地農民種植A種蔬菜,每畝每年生產本錢為7 000元,A種蔬菜每畝產量及價格受天氣、市場雙重影響,預計明年雨水正常的概率為,雨水偏少的概率為.假設雨水正常,A種蔬菜每畝產量為2 000千克,單價為6元/千克的概率為,單價為3元/千克的概率為; 假設雨水偏少,A種蔬菜每畝產量為1 500千克,單價為 6元/千克的概率為,單價為3元/千克的概率為. (1)計算明年農民種植A種蔬菜不虧本的概率. (2)在政府引導下,方案明年采

23、取“公司加農戶,訂單農業(yè)〞的生產模式,某公司未來不增加農民生產本錢,給農民投資建立大棚,建立大棚后,產量不受天氣影響,因此每畝產量為2 500千克,農民生產的A種蔬菜全部由公司收購,為保證農民的每畝預期收入增加1 000元,收購價格至少為多少? 【解析】(1)只有當價格為6元/千克時,農民種植A種蔬菜才不虧本,所以農民種植A種蔬菜不虧本的概率是P= ×+× =. (2)按原來模式種植,設農民種植A種蔬菜每畝收入為ξ元,那么ξ可能取值為: 5 000,2 000,-1 000,-2 500. P(ξ=5 000)=× =, P(ξ=2 000)=× =, P(ξ=-1 000)=×=

24、, P(ξ=-2 500)=×=, E(ξ)=5 000×+2 000×-1 000×-2 500×=500,設收購價格為a元/千克,農民每畝預期收入增加1 000元,那么2 500a≥7 000+1 500, 即a≥3.4,所以收購價格至少為3.4元/千克. 2.“黃梅時節(jié)家家雨〞“梅雨如煙暝村樹〞“梅雨暫收斜照明〞……江南梅雨的點點滴滴都流潤著濃烈的詩情.每年六、七月份,我國長江中下游地區(qū)進入持續(xù)25天左右的梅雨季節(jié),如圖是江南Q鎮(zhèn)2021～2021年梅雨季節(jié)的降雨量(單位:mm)的頻率分布直方圖,試用樣本頻率估計總體概率,解答以下問題: (1)“梅實初黃暮雨深〞.假設每年的

25、梅雨天氣相互獨立,求Q鎮(zhèn)未來三年里至少有兩年梅雨季節(jié)的降雨量超過350 mm的概率. (2)“江南梅雨無限愁〞.在Q鎮(zhèn)承包了20畝土地種植楊梅的老李也在犯愁,他過去種植的甲品種楊梅,平均每年的總利潤為28萬元.而乙品種楊梅的畝產量m(kg/畝)與降雨量之間的關系如下面統(tǒng)計表所示,又知乙品種楊梅的單位利潤為 32-0.01×m(元/kg),請你幫助老李排解憂愁,他來年應該種植哪個品種的楊梅可以使利潤ξ(萬元)的期望更大(需說明理由). 降雨量 畝產量 [100,200) 500 [200,300) 700 [300,400) 600 [400,500] 400 【解析】(

26、1)頻率分布直方圖中第四組的頻率為 1-100×=0.1. 江南Q鎮(zhèn)在梅雨季節(jié)時降雨量超過350 mm的概率為50×0.003+0.1=0.25. 所以Q鎮(zhèn)未來三年里至少有兩年梅雨季節(jié)的降雨量超過350 mm的概率為 ××+=+=(或0.156 25). (2)根據(jù)題意,總利潤為20m(元),其中m=500,700,600,400. 所以隨機變量ξ(萬元)的分布列如表. ξ 27 35 31.2 22.4 P 0.2 0.4 0.3 0.1 故總利潤ξ(萬元)的數(shù)學期望E(ξ)=27×0.2+35×0.4+31.2×0.3+22.4×0.1=5.4+14.0+9.36+2.24=31(萬元). 因為31>28,所以老李來年應該種植乙品種楊梅,可使總利潤的期望更大. - 13 -