2021版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十二章 計數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布 12.7.2 離散型隨機(jī)變量與其他知識的綜合問題練習(xí) 理 北師大版

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1、12.7.2 離散型隨機(jī)變量與其他知識的綜合問題核心考點(diǎn)精準(zhǔn)研析考點(diǎn)一與函數(shù)、方程、不等式有關(guān)的綜合問題1.一批產(chǎn)品的不合格率為p(0p1),從中任取20件檢驗(yàn),記20件產(chǎn)品中恰好有2件不合格品的概率為f(p),那么f(p)取到最大值時,p= ()A.0.1 B.0.2 C.0.5 D.0.92.離散型隨機(jī)變量X的分布列為Xx1x2PpE(X)=,D(X)=,那么px1x2的最小值為 _.3.某超市方案按月訂購一種酸奶,每天進(jìn)貨量相同,進(jìn)貨本錢每瓶4元,售價每瓶6元,未售出的酸奶降價處理,以每瓶2元的價格當(dāng)天全部處理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn),每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位:)有關(guān).如果最高氣溫不低

2、于25,需求量為500瓶;如果最高氣溫位于區(qū)間,需求量為300瓶;如果最高氣溫低于20,需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購方案,統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù),得下面的頻數(shù)分布表:最高氣溫天數(shù),2,16,36,25,7,4以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率.(1)求六月份這種酸奶一天的需求量X(單位:瓶)的分布列.(2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位:元),當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量n(單位:瓶)為多少時,Y的數(shù)學(xué)期望到達(dá)最大值.【解析】1.選A.根據(jù)題意得f(p)=p2(1-p)18,因此f(p)=2p(1-p)18-18p2(1-p)17=2p(1

3、-p)17(1-10p)(0p0;當(dāng)p(0.1,1)時,f(p)0.所以f(p)的最大值點(diǎn)為p0=0.1.所以p=0.1.2.因?yàn)?p=1,所以p=,又因?yàn)镋(X)=x1+x2=,D(X)=+=,解得或所以px1x2=或px1x2=,所以px1x2的最小值為.答案:3.(1)由題意得,X的可能取值為200,300,500.根據(jù)題意,結(jié)合頻數(shù)分布表,用頻率估計概率可知P(X=200)=,P(X=300)= =,P(X=500)=,所以六月份這種酸奶一天的需求量X的分布列為:X200300500P(2)當(dāng)200n300時,假設(shè)X=200,那么Y=(6-4)X+(2-4)(n-X)=4X-2n=80

4、0-2n,P(Y=800-2n)=.假設(shè)X=300時,那么Y=(6-4)n=2n,P(Y=2n)=,假設(shè)X=500時,那么Y=(6-4)n=2n,P(Y=2n)=.所以Y的分布列為:Y800-2n2n2nP所以E(Y)=(800-2n)+2n+2n=n+160,所以當(dāng)n=300時,E(Y)max=520(元).當(dāng)300n500時,假設(shè)X=200,那么Y=(6-4)X+(2-4)(n-X)=800-2n,P(Y=800-2n)=.假設(shè)X=300時,那么Y=(6-4)X+(2-4)(n-X)=1 200-2n,P(Y=1 200-2n)=.假設(shè)X=500時,那么Y=(6-4)n=2n,P(Y=2n

5、)=.所以Y的分布列為:Y800-2n1 200-2n2nP所以E(Y)= (800-2n)+ (1 200-2n)+2n=-n+64010.828,所以有99.9%的把握認(rèn)為“使用微信交流的態(tài)度與人的年齡有關(guān).(2)設(shè)3人中贊成“使用微信交流的人數(shù)為X,那么X的取值為0,1,2,3,由(1)中數(shù)據(jù)可得年齡不低于55歲的人數(shù)為10,其中贊成“使用微信交流的人數(shù)為3,不贊成“使用微信交流的人數(shù)為7,所以P=,P=, P=,P=,所以X的分布列為X0123P所以均值為E(X)=0+1+2+3=.與統(tǒng)計中的平均數(shù)、方差等數(shù)字特征有關(guān)的綜合問題【典例】為了保障某種藥品的主要藥理成分在國家藥品監(jiān)督管理局

6、規(guī)定的范圍內(nèi),某制藥廠在該藥品的生產(chǎn)過程中,檢驗(yàn)員在一天中按照規(guī)定每間隔2小時對該藥品進(jìn)行檢測,每天檢測4次:每次檢測由檢驗(yàn)員從該藥品生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取20件藥品進(jìn)行檢測,測量其主要藥理成分含量(單位:mg).根據(jù)生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn),可以認(rèn)為這條藥品生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的藥品的主要藥理成分含量服從正態(tài)分布N(,2). (1)假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常,記X表示某次抽取的20件藥品中主要藥理成分含量在(-3,+3)之外的藥品件數(shù),求P(X=1) (精確到0. 000 1)及X的數(shù)學(xué)期望.(2)在一天內(nèi)四次檢測中,如果有一次出現(xiàn)了主要藥理成分含量在(-3,+3)之外的藥品,就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)異常

7、情況,需對本次的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查;如果在一天中,有連續(xù)兩次檢測出現(xiàn)了主要藥理成分含量在(-3,+3)之外的藥品,那么需停止生產(chǎn)并對原材料進(jìn)行檢測.下面是檢驗(yàn)員在某次抽取的20件藥品的主要藥理成分含量:10.02,9.78,10.04,9.92,10.14,10.04,9.22,10.13,9.91,9.95,10.09,9.96,9.88,10.01,9.98,9.95,10.05,10.05,9.96,10.12.經(jīng)計算得=xi=9.96,s=0.19.其中xi為抽取的第i件藥品的主要藥理成分含量,i=1,2,20,用樣本平均數(shù)作為的估計值,用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為的估計值,利用估計值判斷是否需對本次的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查.試確定一天中需停止生產(chǎn)并對原材料進(jìn)行檢測的概率(精確到0.001).附:假設(shè)隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布N,那么P(-328,所以老李來年應(yīng)該種植乙品種楊梅,可使總利潤的期望更大.- 13 -