知識(shí)點(diǎn)127直接開(kāi)平方法 解答題

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1、1．（2010?三明）（1）請(qǐng)從三個(gè)代數(shù)式4x2﹣y2，2xy+y2，4x2+4xy+y2中，任選兩個(gè)構(gòu)造一個(gè)分式，并化簡(jiǎn)該分式； （2）解方程：（x﹣1）2+2x﹣3=0． 考點(diǎn)：解一元二次方程-直接開(kāi)平方法；分式的混合運(yùn)算；分式的化簡(jiǎn)求值。 分析：（1）根據(jù)所給代數(shù)式的特點(diǎn)，三個(gè)代數(shù)式分解因式后都有公因式，因而可以任意進(jìn)行組合． （2）對(duì)方程進(jìn)行變形后，再應(yīng)用直接開(kāi)平方法解答． 解答：解：（1）本題答案不唯一． （2分） =（6分） =（8分） ②=； ③=； ④； ⑤； ⑥． （2）x2﹣2x+1+2x﹣3=0（3分） x2﹣2=0 x2=2（6分）

2、 ∴x1=，x2=﹣．（8分） 點(diǎn)評(píng)：（1）用直接開(kāi)方法求一元二次方程的解的類型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同號(hào)且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同號(hào)且a≠0）．法則：要把方程化為“左平方，右常數(shù)，先把系數(shù)化為1，再開(kāi)平方取正負(fù)，分開(kāi)求得方程解”． （2）運(yùn)用整體思想，會(huì)把被開(kāi)方數(shù)看成整體． （3）用直接開(kāi)方法求一元二次方程的解，要仔細(xì)觀察方程的特點(diǎn)． 2．（2010?鞍山）解方程： （1）（2x+3）2﹣25=0 （2）3x2﹣5x+5=7． 考點(diǎn)：解一元二次方程-直接開(kāi)平方法；解一元二次方程-因式分解法。 分析：（1）把常數(shù)

3、項(xiàng)25移到方程的右邊，運(yùn)用直接開(kāi)平方法解方程，注意把2x+3看作一個(gè)整體； （2）可以運(yùn)用因式分解法解方程． 解答：解：（1）（2x+3）2=25， 2x+3=±5， 2x=±5﹣3， x1=1，x2=﹣4． （2）3x2﹣5x﹣2=0 （x﹣2）（3x+1）=0， x1=2，x2=﹣． 點(diǎn)評(píng)：此題考查了運(yùn)用直接開(kāi)平方法解方程和運(yùn)用因式分解法解方程的方法． （1）用直接開(kāi)方法求一元二次方程的解的類型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同號(hào)且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同號(hào)且a≠0）． 法則：要把方程化為“左平方，右常數(shù)，先把系

4、數(shù)化為1，再開(kāi)平方取正負(fù)，分開(kāi)求得方程解”． （2）運(yùn)用整體思想，會(huì)把被開(kāi)方數(shù)看成整體． （3）用直接開(kāi)方法求一元二次方程的解，要仔細(xì)觀察方程的特點(diǎn)． 3．（2009?定西）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)定義運(yùn)算“⊕”，其法則為：a⊕b=a2﹣b2，求方程（4⊕3）⊕x=24的解． 考點(diǎn)：解一元二次方程-直接開(kāi)平方法。 專題：新定義。 分析：此題是新定義題型，應(yīng)該嚴(yán)格按照題中給出的計(jì)算法則進(jìn)行運(yùn)算，其中有小括號(hào)的要先算小括號(hào)． 解答：解：∵a⊕b=a2﹣b2， ∴（4⊕3）⊕x=（42﹣32）⊕x=7⊕x=72﹣x2 ∴72﹣x2=24 ∴x2=25． ∴x=±5． 點(diǎn)評(píng)：考查了學(xué)生

5、的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力和解題技能，這是典型的新定義題型，解這類題應(yīng)該嚴(yán)格按照題中給出的計(jì)算法則進(jìn)行運(yùn)算．易錯(cuò)點(diǎn)是要把小括號(hào)里算出的代數(shù)式看做是整體代入下一步驟中計(jì)算． 4．（2008?長(zhǎng)春）解方程：x2﹣6x+9=（5﹣2x）2 考點(diǎn)：解一元二次方程-直接開(kāi)平方法。 專題：計(jì)算題。 分析：把方程左邊化成一個(gè)完全平方式，那么將出現(xiàn)兩個(gè)完全平方式相等，則這兩個(gè)式子相等或互為相反數(shù)，據(jù)此即可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程即可求解． 解答：解：∵（x﹣3）2=（5﹣2x）2， ∴x﹣3=5﹣2x或x﹣3=2x﹣5 解之得：x1=2，x2=． 點(diǎn)評(píng)：解一元二次方程的基本思想是降次，把一元二次方程轉(zhuǎn)化

6、為一元一次方程，從而求解． 5．（2005?濟(jì)南）解一元二次方程：（x﹣1）2=4． 考點(diǎn)：解一元二次方程-直接開(kāi)平方法。 專題：計(jì)算題。 分析：方程左邊為完全平方的形式，開(kāi)方直接解答便可得出x﹣1的值，進(jìn)而求x． 解答：解：（x﹣1）2=4，x﹣1=±2，x=3或x=﹣1． 點(diǎn)評(píng)：（1）用直接開(kāi)方法求一元二次方程的解的類型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同號(hào)且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同號(hào)且a≠0）．法則：要把方程化為“左平方，右常數(shù)，先把系數(shù)化為1，再開(kāi)平方取正負(fù)，分開(kāi)求得方程解”． （2）運(yùn)用整體思想，會(huì)把被開(kāi)方數(shù)看成整體

7、． （3）用直接開(kāi)方法求一元二次方程的解，要仔細(xì)觀察方程的特點(diǎn)． 6．在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)定義一種運(yùn)算“※”，其規(guī)則是a※b=a2﹣b2，根據(jù)這個(gè)規(guī)則，求方程（x+2）※5=0的解． 考點(diǎn)：解一元二次方程-直接開(kāi)平方法。 專題：新定義。 分析：本題可根據(jù)所給的條件，將（x+2）※5=0變形，再對(duì)方程左邊進(jìn)行因式分解得到兩個(gè)相乘的式子，再根據(jù)“兩式相乘值為0，這兩式中至少有一式值為0”來(lái)解題． 解答：解：∵a※b=a2﹣b2 ∴（x+2）※5=（x+2）2﹣25， 原方程轉(zhuǎn)化為（x+2）2﹣25=0，即（x+2）2=25 ∴x+2=5或x+2=﹣5 x1=﹣7，x2=3 點(diǎn)評(píng)：

8、本題考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接開(kāi)平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根據(jù)方程的提點(diǎn)靈活選用合適的方法．本題運(yùn)用的是因式分解法． 7．解方程：64（1+x）2=100 考點(diǎn)：解一元二次方程-直接開(kāi)平方法。 分析：先把方程系數(shù)化為1，再開(kāi)平方取正負(fù)，分開(kāi)求得方程解． 解答：解：原式可化為（1+x）2= 解得：x1=，x2=﹣． 點(diǎn)評(píng)：解這類問(wèn)題要移項(xiàng)，把所含未知數(shù)的項(xiàng)移到等號(hào)的左邊，把常數(shù)項(xiàng)移項(xiàng)等號(hào)的右邊，化成x2=a（a≥0）的形式，利用數(shù)的開(kāi)方直接求解． （1）用直接開(kāi)方法求一元二次方程的解的類型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同號(hào)且

9、a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同號(hào)且a≠0）．法則：要把方程化為“左平方，右常數(shù)，先把系數(shù)化為1，再開(kāi)平方取正負(fù)，分開(kāi)求得方程解”． （2）運(yùn)用整體思想，會(huì)把被開(kāi)方數(shù)看成整體． （3）用直接開(kāi)方法求一元二次方程的解，要仔細(xì)觀察方程的特點(diǎn)． 8．解方程： （1）（x+1）2=9； （2）2x2+5x﹣3=0． 考點(diǎn)：解一元二次方程-直接開(kāi)平方法；解一元二次方程-因式分解法。 分析：先觀察再確定各方程的解法；（1）用直接開(kāi)平方法，（2）用因式分解法解方程． 解答：解：（1）直接開(kāi)平方，得：x+1=±3， 解得：x1=2，x2=﹣4； （

10、2）因式分解，得：（x+3）（2x﹣1）=0， x+3=0或2x﹣1=0， 解得：x1=﹣3，x2=． 點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接開(kāi)平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根據(jù)方程的特點(diǎn)靈活選用合適的方法． 9．已知方程x2+（m﹣1）x+m﹣10=0的一個(gè)根是3，求m的值及方程的另一個(gè)根． 考點(diǎn)：解一元二次方程-直接開(kāi)平方法；一元二次方程的解。 專題：計(jì)算題。 分析：一元二次方程的根就是能夠使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，即用這個(gè)數(shù)代替未知數(shù)所得式子仍然成立；將x=3代入原方程即可求得m及另一根的值． 解答：解：∵方程x2+（m﹣1）

11、x+m﹣10=0的一個(gè)根是3， ∴方程9+3（m﹣1）+m﹣10=0， 即4m﹣4=0， 解得m=1； 有方程x2﹣9=0， 解得x=±3， 所以另一根為﹣3． 點(diǎn)評(píng)：本題考查的是一元二次方程的根的定義． 10．解方程：（3y﹣1）2=（y﹣3）2． 考點(diǎn)：解一元二次方程-直接開(kāi)平方法。 專題：計(jì)算題。 分析：由于方程兩邊都是完全平方式，這兩個(gè)式子相等或互為相反數(shù)，據(jù)此即可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程，即可求解． 解答：解：∵（3y﹣1）2=（y﹣3）2∴3y﹣1=±（y﹣3）， 解得y1=1，y2=﹣1． 點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了直接開(kāi)平方法，解一元二次方程的基本思想是

12、降次，把一元二次方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程，從而求解． 11．解方程16（x﹣2）2=64． 考點(diǎn)：解一元二次方程-直接開(kāi)平方法。 專題：計(jì)算題。 分析：將系數(shù)化為1后方程左邊為完全平方式，然后利用數(shù)的開(kāi)方來(lái)解答． 解答：解：∵（x﹣2）2=4， ∴x﹣2=2或﹣2， ∴x1=4，x2=0． 點(diǎn)評(píng)：（1）用直接開(kāi)方法求一元二次方程的解的類型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同號(hào)且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同號(hào)且a≠0）．法則：要把方程化為“左平方，右常數(shù)，先把系數(shù)化為1，再開(kāi)平方取正負(fù)，分開(kāi)求得方程解”． （2）運(yùn)用整體思想，會(huì)把

13、被開(kāi)方數(shù)看成整體． （3）用直接開(kāi)方法求一元二次方程的解，要仔細(xì)觀察方程的特點(diǎn)． 12．解方程： （1）（x﹣1）2=4 （2）（x+2）（x﹣1）=0 （3）x2﹣2x﹣3=0 （4）x2+4x+2=0． 考點(diǎn)：解一元二次方程-直接開(kāi)平方法；解一元二次方程-公式法；解一元二次方程-因式分解法。 分析：（1）運(yùn)用直接開(kāi)平方法解方程； （2）（3）運(yùn)用因式分解法解方程； （4）運(yùn)用公式法解方程． 解答：解：（1）開(kāi)方得x﹣1=±2 即x﹣1=2或x﹣1=﹣2． 解得x1=3，x2=﹣1． （2）∵（x+2）（x﹣1）=0 ∴x+2=0或x﹣1=0 ∴x1=

14、﹣2，x2=1． （3）∵x2﹣2x﹣3=0 ∴（x+1）（x﹣3）=0，即x+1=0或x﹣3=0 解得x1=﹣1，x2=3． （4）∵a=1，b=4，c=2 ∴b2﹣4ac=16﹣8=8． ∴x= 即x1=﹣2+，x2=﹣2﹣． 點(diǎn)評(píng)：針對(duì)不同的方程的特點(diǎn)，選擇合適的解方程的方法，可以簡(jiǎn)化計(jì)算． 13．用適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠蹋? （1）（3x﹣1）2=49； （2）． 考點(diǎn)：解一元二次方程-直接開(kāi)平方法；解一元二次方程-因式分解法。 專題：計(jì)算題。 分析：（1）把3x﹣1看作整體直接開(kāi)方即可求解． （2）移項(xiàng)以后，提公因式2x﹣3，利用提公因式法可以把等號(hào)

15、左邊的式子分解，即可利用因式分解法解方程． 解答：解：（1）3x﹣1=±7 3x﹣1=7或3x﹣1=﹣7 ∴x1=，x2=﹣2； （2）（2x﹣3）2﹣（2x﹣3）=0 （2x﹣3）（2x﹣3﹣）=0 2x﹣3=0或2x﹣3﹣=0 ∴x1=，x2=． 點(diǎn)評(píng)：主要考查直接開(kāi)平方法和因式分解法解方程． （1）用直接開(kāi)方法求一元二次方程的解的類型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同號(hào)且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同號(hào)且a≠0）． 法則：要把方程化為“左平方，右常數(shù)，先把系數(shù)化為1，再開(kāi)平方取正負(fù)，分開(kāi)求得方程解”． 14．請(qǐng)從

16、以下一元二次方程中任選3個(gè)，并用適當(dāng)?shù)姆椒ń膺@3個(gè)方程， （1） x2﹣3x﹣3=0； （2）（y+2）2=5； （3）4（x+1）2=x+1； （4）y（y﹣2）=2． 你選擇的是第?。?）（2）（3）　小題． 考點(diǎn)：解一元二次方程-直接開(kāi)平方法；解一元二次方程-配方法；解一元二次方程-公式法；解一元二次方程-因式分解法。 分析：（1）是一元二次方程的一般形式，可用公式法求解； （2）方程左邊為完全平方式，右邊為非負(fù)數(shù)，可用直接開(kāi)平方法求解； （3）方程兩邊都含有公因式（x+1），先移項(xiàng)，再用提取公因式法求解． 解答：解：（1）用公式法：a=1，b=﹣3，c=﹣3， ∵

17、△=b2﹣4ac=21 ∴x=， 即，； （2）用直接開(kāi)平方法， 由（y+2）2=5開(kāi)平方，得 y+2=± 解得：y1=﹣2+，y2=﹣2﹣； （3）用因式分解法， 原方程移項(xiàng)，得4（x+1）2﹣（x+1）=0 提公因式，得（x+1）[4（x+1）﹣1]=0 解得x1=﹣1，x2=． 點(diǎn)評(píng)：本題考查了解一元二次方程常用的幾種方法，需要根據(jù)方程的特點(diǎn)，選擇合理的方法；熟練掌握各種解題方法的步驟． 15．①計(jì)算 ②解方程：4x2﹣9=0 考點(diǎn)：解一元二次方程-直接開(kāi)平方法；實(shí)數(shù)的運(yùn)算。 分析：①根據(jù)二次根式的加減運(yùn)算，先化為最簡(jiǎn)二次根式，再將被開(kāi)方數(shù)相同的

18、二次根式進(jìn)行合并，即合并同類項(xiàng)； ②用直接開(kāi)平方法解一元二次方程． 解答：解：①原式=﹣（﹣2） =+2 =； ②由原方程，得 4x2=9，即x2=， ∴，即． 點(diǎn)評(píng)：同類二次根式是指幾個(gè)二次根式化簡(jiǎn)成最簡(jiǎn)二次根式后，被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式；二次根式的加減運(yùn)算，先化為最簡(jiǎn)二次根式，再將被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并；合并同類二次根式的實(shí)質(zhì)是合并同類二次根式的系數(shù)，根指數(shù)與被開(kāi)方數(shù)不變． 16．解方程 （1）x2=49 （2）3x2﹣7x=0 （3）（2x﹣1）2=9（直接開(kāi)平方法） （4）x2+3x﹣4=0（用配方法） （5）（x+4）2=5（x+4）（因式

19、分解法） （6）（x+1）2=4x． 考點(diǎn)：解一元二次方程-直接開(kāi)平方法；解一元二次方程-配方法；解一元二次方程-因式分解法。 專題：計(jì)算題。 分析：要靈活運(yùn)用解方程的方法． （1）（3）（6）可用直接開(kāi)平方法； （2）（5）運(yùn)用因式分解法； （4）配方法． 解答：解：（1）x2=49，解得x=±7． （2）3x2﹣7x=0，提取公因式x（3x﹣7）=0，解得x1=0，x2=． （3）（2x﹣1）2=9，2x﹣1=±3，則x=2或，﹣1． （4）x2+3x﹣4=0利用配方法得x2+3x+=4+，（x+）2=，x+=±，解得x=﹣4或1． （5）方程（x+4）2=5（x+

20、4）提取公因式得（x+4）（x+4﹣5）=0，解得x=﹣4或1． （6）方程（x+1）2=4x可轉(zhuǎn)化為x2+2x+1﹣4x=0，即（x﹣1）2=0，解得x=1． 點(diǎn)評(píng)：（1）用直接開(kāi)平方求解時(shí)，一定要正確運(yùn)用平方根的性質(zhì)，即正數(shù)的平方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)； （2）用配方法解方程“方程的兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方”是配方法的關(guān)鍵，“二次項(xiàng)系數(shù)化為1”是進(jìn)行這一關(guān)鍵步驟的重要前提； （3）將多項(xiàng)式分解成兩個(gè)因式的積，每個(gè)因式分別等于零，將方程降為兩個(gè)一元一次方程為求解． 17．解方程：（3x﹣2）2=9（2x+1）2 考點(diǎn)：解一元二次方程-直接開(kāi)平方法。 專題：計(jì)算題。

21、 分析：本題兩邊都是完全平方式，所以用直接開(kāi)平方再移項(xiàng)合并即可解答． 解答：解：∵（3x﹣2）2=9（2x+1）2∴3x﹣2=±3（2x+1）， 解之得：． 點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了直接開(kāi)平方，解一元二次方程的基本思想是降次，把一元二次方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程，從而求解．本題難易程度適中． 18．解方程： ①（2x﹣1）2=9（直接開(kāi)平方法） ②x2+3x﹣4=0（用配方法） ③x2﹣2x﹣8=0（用因式分解法） ④（x+4）2=5（x+4） ⑤（x+1）2=4x ⑥（x+1）（x+2）=2x+4 ⑦2x2﹣10x=3 ⑧（x﹣2）（x﹣5）=﹣2 考點(diǎn)：解一元二次方程

22、-直接開(kāi)平方法；解一元二次方程-配方法；解一元二次方程-公式法；解一元二次方程-因式分解法。 專題：計(jì)算題。 分析：要根據(jù)方程形式的不同靈活運(yùn)用不同的方法來(lái)解方程：（1）直接開(kāi)平方法；（2）用配方法；（3）用因式分解法；（4）提取公因式；（5）（6）（7）（8）去括號(hào)，移項(xiàng)化為一般形式，進(jìn)而求解． 解答：解：①2x﹣1=±3， ∴x1=2，x2=﹣1； ②， ∴x+=±，∴x1=1，x2=﹣4； ③（x+2）（x﹣4）=0， ∴x1=﹣2，x2=4； ④（x+4）2﹣5（x+4）=0， ∴（x+4）（x+4﹣5）=0， ∴x1=﹣4，x2=1； ⑤x2+2x+1﹣4x=

23、0， ∴x2﹣2x+1=0 （x﹣1）2=0， ∴x1=x2=1； ⑥x2+x﹣2=0， ∴（x﹣1）（x+2）=0， ∴x1=1，x2=﹣2； ⑦2x2﹣10x﹣3=0， ∴， ∴x1=，x2=； ⑧x2﹣7x+12=0， ∴（x﹣3）（x﹣4）=0， ∴x1=3，x2=4． 點(diǎn)評(píng)：（1）用直接開(kāi)平方求解時(shí)，一定要正確運(yùn)用平方根的性質(zhì)，即正數(shù)的平方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)； （2）用配方法解方程“方程的兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方”是配方法的關(guān)鍵，“二次項(xiàng)系數(shù)化為1”是進(jìn)行這一關(guān)鍵步驟的重要前提； （3）將多項(xiàng)式分解成兩個(gè)因式的積，每個(gè)因式分別等于零，將方程降

24、為兩個(gè)一元一次方程為求解． 19．用恰當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠蹋?x﹣2）2=（x+4）2 考點(diǎn)：解一元二次方程-直接開(kāi)平方法。 專題：計(jì)算題。 分析：本題左右兩邊都是完全平方式，所以可用直接開(kāi)平方法進(jìn)行解答． 解答：解：∵（3x﹣2）2=（x+4）2 ∴3x﹣2=x+4或3x﹣2=﹣x﹣4， 解之得x1=﹣，x2=3． 點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了直接開(kāi)平方法解一元二次方程，難易程度適中． 20．用指定的方法解方程 （1）（x+2）2﹣25=0（直接開(kāi)平方法） （2）x2+4x﹣5=0（配方法） （3）（x+2）2﹣10（x+2）+25=0（因式分解法） （4）2x2﹣7x+

25、3=0（公式法） 考點(diǎn)：解一元二次方程-直接開(kāi)平方法；解一元二次方程-配方法；解一元二次方程-公式法；解一元二次方程-因式分解法。 專題：計(jì)算題。 分析：（1）首先移項(xiàng)變形為（x+2）2=25的形式，根據(jù)平方根的定義即可求解； （2）首先移項(xiàng)，把常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)的右邊，方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半，則左邊是完全平方的形式，右邊是常數(shù)，再利用直接開(kāi)平方法即可求解； （3）把x+2當(dāng)作一個(gè)整體，則方程左邊就是一個(gè)完全平方式，即可利用因式分解法求解； （4）首先確定a，b，c的值，再檢驗(yàn)方程是否有解，若有解代入公式即可求解． 解答：解：（1）（x+2）2﹣25=0（直接開(kāi)平方法）

26、x+2=±5 ∴x1=3，x2=﹣7． （2）x2+4x﹣5=0（配方法） （x+2）2=9 x+2=±3 ∴x1=﹣5，x2=1； （3）（x+2）2﹣10（x+2）+25=0（因式分解法） （x+2﹣5）（x+2﹣5）=0 ∴x1=x2=3； （4）2x2﹣7x+3=0（公式法） x=± x1=+，x2=﹣． 點(diǎn)評(píng)：本題考查了解一元二次方程的方法，因式分解法是解一元二次方程的一種簡(jiǎn)便方法，要會(huì)靈活運(yùn)用．當(dāng)化簡(jiǎn)后不能用分解因式的方法即可考慮求根公式法，此法適用于任何一元二次方程． 21．計(jì)算： （1）（2x﹣1）2﹣16=0； （2）． 考點(diǎn)：解一元二次方

27、程-直接開(kāi)平方法；解二元一次方程組。 分析：（1）先移項(xiàng)，再運(yùn)用直接開(kāi)平方法解方程； （2）可用代入消元法解這個(gè)二元一次方程組． 解答：解：（1）移項(xiàng)，得：（2x﹣1）2=16， 直接開(kāi)平方，得：2x﹣1=±4， 解得：x1=，x2=﹣； （2）將②代入①得：2x﹣（﹣x﹣5）﹣2=0，解得：x=﹣1； 當(dāng)x=﹣1時(shí)，y=﹣x﹣5=1﹣5=﹣4； 故原方程組的解為：． 點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了一元二次方程的解法，以及用代入消元法解二元一次方程組的方法． 22．已知實(shí)數(shù)a、b滿足b=+﹣1，解方程ax2+b=0． 考點(diǎn)：解一元二次方程-直接開(kāi)平方法；二次根式有意義的條件

28、。 分析：根據(jù)二次根式有意義的條件，即可求得a的值，進(jìn)而可以求得b的值，則方程的解即可求得． 解答：解：根據(jù)題意得： 解得：a=， 則b=﹣1． 方程是：x2﹣1=0 解得：x=±． 點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次根式有意義的條件，正確求得a、b的值是解決本題的關(guān)鍵． 23．附加題． （1）計(jì)算：=　7??； （2）已知方程：x2﹣1=0，則x=　±1?。? 考點(diǎn)：解一元二次方程-直接開(kāi)平方法；二次根式的加減法。 分析：（1）根據(jù)二次根式的加減運(yùn)算，先化為最簡(jiǎn)二次根式，再將被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并； （2）移項(xiàng)后直接開(kāi)方． 解答：解：（1）原式=7 （2）x2﹣1

29、=0 x2=1 x=±1． 點(diǎn)評(píng)：（1）合并同類二次根式的實(shí)質(zhì)是合并同類二次根式的系數(shù)，根指數(shù)與被開(kāi)方數(shù)不變； （2）利用了直接開(kāi)方法解方程，就是依據(jù)平方根的定義，注意一個(gè)正數(shù)的平方根有兩個(gè)，這兩個(gè)互為相反數(shù)． 24．已知關(guān)于x的方程（a2﹣4a+5）x2+2ax+4=0 （1）當(dāng)a=2時(shí)，解這個(gè)方程； （2）試證明：無(wú)論a為何實(shí)數(shù)，這個(gè)方程都是一元二次方程． 考點(diǎn)：解一元二次方程-直接開(kāi)平方法；一元二次方程的定義。 專題：計(jì)算題；證明題。 分析：該題在解析的過(guò)程中應(yīng)理解一元二次方程的定義和一般形式，主要考查二次項(xiàng)系數(shù)不為零，由這個(gè)條件即可解出． 解答：解：（1）當(dāng)a

30、=2時(shí)，原方程化簡(jiǎn)為：x2+4x+4=0 解得：x1=x2=﹣2（4分） （2）∵a2﹣4a+5=（a﹣2）2+1≥1＞0 ∴a2﹣4a+5≠0 故這個(gè)方程都是一元二次方程（4分） 點(diǎn)評(píng)：要特別注意二次項(xiàng)系數(shù)a≠0這一條件，當(dāng)a=0時(shí)，方程就不是一元二次方程了．也要注意不等式的解析過(guò)程． 25．用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋? （1）（y﹣3）2﹣5=0； （2）3（x﹣3）2+x（x﹣3）=0． 考點(diǎn)：解一元二次方程-直接開(kāi)平方法；解一元二次方程-因式分解法。 分析：（1）先移項(xiàng)，然后用直接開(kāi)平方法解方程； （2）方程左邊含有公因式（x﹣3），可先提取公因式，然后再分解

31、因式求解． 解答：解：（1）移項(xiàng)，得：（y﹣3）2=5， y﹣3=或y﹣3=﹣； 解得：y1=3+，y2=3﹣； （2）因式分解，得：（x﹣3）（3x﹣9+x）=0， x﹣3=0或4x﹣9=0， 解得：x1=3，x2=． 點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接開(kāi)平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根據(jù)方程的特點(diǎn)靈活選用合適的方法． 26．解下列方程（組）： （1）． （2）4x2=（x﹣1）2 考點(diǎn)：解一元二次方程-直接開(kāi)平方法；解二元一次方程組。 專題：計(jì)算題。 分析：（1）先把方程組化簡(jiǎn)后再用加減法或代入法求解； （2）4x

32、2可以看作（2x）2，因而這個(gè)方程表示兩個(gè)式子的平方相等，則這兩個(gè)式子相等或互為相反數(shù)，這樣就可把方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程，即可求解． 解答：解：（1）原方程組可化為 ①﹣②，得 ﹣4x+28=0，解得x=7， 代入①，得 7﹣3y+8=0，即y=5． 原方程組的解為．（4分） （2）原式可化為（2x）2=（x﹣1）2解得2x=x﹣1， x=﹣1， 或2x=1﹣x， x=． 原方程的解為x1=﹣1，x2=． 點(diǎn)評(píng)：解答此類題目的關(guān)鍵是先把方程組中的方程去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)后用相應(yīng)的方法求解；能直接開(kāi)平方的用直接開(kāi)方法即可． 27．用直接開(kāi)平方法解下列方程： （

33、1）（x+）2=（1﹣）2 （2）（t﹣2）2+（t+2）2=10 （3）（y﹣2）2+（2y+1）2=25 （4）（ax+b）2=c（a≠0，c≥0，且a，b，c是常數(shù)） 考點(diǎn)：解一元二次方程-直接開(kāi)平方法。 專題：計(jì)算題。 分析：由于（1）、（4）左邊為完全平方的形式，直接開(kāi)平方即可；（2）、（3）先將左邊化成完全平方的形式，再開(kāi)方運(yùn)算． 解答：（1）解：（x+）2=（1﹣）2， x+=±（1﹣）， ∴x1=﹣1，x2=1﹣2． （2）解：（t﹣2）2+（t+2）2=10 原方程可化為： t2+4﹣4t+t2+4+4t=10， t2=1， ∴t1=1，t2=

34、﹣1． （3）解：（y﹣2）2+（2y+1）2=25 原方程可化為： y2+4﹣4y+4y2+1+4y=25， 5y2=20， y2=4， ∴y1=2，y2=﹣2． （4）解：（ax+b）2=c（a≠0，c≥0，且a，b，c是常數(shù)） 開(kāi)方得：ax+b=±， 移項(xiàng)得：ax=﹣b±， 系數(shù)化為1得：x=， 即x1=，x2=． 點(diǎn)評(píng)：（1）用直接開(kāi)方法求一元二次方程的解的類型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同號(hào)且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同號(hào)且a≠0）．法則：要把方程化為“左平方，右常數(shù)，先把系數(shù)化為1，再開(kāi)平方取正負(fù)，

35、分開(kāi)求得方程解”． （2）運(yùn)用整體思想，會(huì)把被開(kāi)方數(shù)看成整體． （3）用直接開(kāi)方法求一元二次方程的解，要仔細(xì)觀察方程的特點(diǎn)． 28．計(jì)算或解方程： （1）x2+8x=﹣16； （2）（2﹣（﹣）（+）． 考點(diǎn)：解一元二次方程-直接開(kāi)平方法；實(shí)數(shù)的運(yùn)算。 專題：計(jì)算題。 分析：（1）先移項(xiàng)再利用完全平方公式計(jì)算，然后開(kāi)方即可； （2）利用完全平方公式和平方差公式計(jì)算． 解答：解：（1）移項(xiàng)得，x2+8x+16=0 即（x+4）2=0 ∴x1=x2=﹣4． （2）原式=6﹣12+18+1=25﹣12． 點(diǎn)評(píng)：這兩道題主要考查了學(xué)生的完全平方公式和平方差公式及學(xué)生的開(kāi)

36、平方能力． 29．用適當(dāng)方法解下列方程 （1）（2y﹣1）2= （2）x﹣=5x（﹣x） （3）（x﹣3）2+（x+4）2﹣（x﹣5）2=17x+24 （4）（2x+1）2+3（2x+1）﹣4=0 考點(diǎn)：解一元二次方程-直接開(kāi)平方法；解一元二次方程-因式分解法；換元法解一元二次方程。 專題：計(jì)算題。 分析：要根據(jù)方程的本題，靈活運(yùn)用解方程的方法：（1）直接開(kāi)平方法，移項(xiàng)后可以變形為（2y﹣1）2=，利用直接開(kāi)平方法即可求解； （2）移項(xiàng)把方程右邊變成0，提取公因式，即可變形為左邊是整式相乘，右邊是0的形式，根據(jù)兩個(gè)式子的積是0，兩個(gè)中至少有一個(gè)是0，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程

37、求解； （3）去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，把方程化為一般形式，利用因式分解法即可； （4）把2x+1當(dāng)作一個(gè)整體，即可利用換元法求解． 解答：解：（1）方程原式兩邊同乘以2得（2y﹣1）2=， ∴2y﹣1=±， y=±； （2）移項(xiàng)、提取公因式得（x﹣）（5x+1）=0， 解得x1=，x2=﹣； （3）去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)得（x+3）（x﹣8）=0， 解得x1=﹣3，x2=8； （4）解方程（2x+1）2+3（2x+1）﹣4=0可以用換元法和配方法， 設(shè)2x+1為y，得y2+3y﹣4=0， 利用配方法得（y+）2=4+， y+=±， 得y=1或﹣4， 設(shè)2x+1

38、為y， 則x1=0，x2=﹣． 點(diǎn)評(píng)：（1）用直接開(kāi)平方求解時(shí)，一定要正確運(yùn)用平方根的性質(zhì)，即正數(shù)的平方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)； （2）用配方法解方程“方程的兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方”是配方法的關(guān)鍵，“二次項(xiàng)系數(shù)化為1”是進(jìn)行這一關(guān)鍵步驟的重要前提； （3）將多項(xiàng)式分解成兩個(gè)因式的積，每個(gè)因式分別等于零，將方程降為兩個(gè)一元一次方程為求解． 30．設(shè)方程x2+kx﹣2=0和方程2x2+7kx+3=0有一個(gè)根互為倒數(shù)，求k的值及兩個(gè)方程的根． 考點(diǎn)：解一元二次方程-直接開(kāi)平方法；一元二次方程的解。 專題：分類討論。 分析：先設(shè)出方程的一個(gè)根為a，則另一個(gè)方程的根就是它的

39、倒數(shù)，然后代入計(jì)算求得a的值，再求k的值，然后再分情況討論兩個(gè)方程的根． 解答：解：設(shè)a是方程x2+kx﹣2=0的根，則是方程2x2+7kx+3=0的根， ∴①a2+ka﹣2=0，②+3=0， 由②，得3a2+7ka+2=0，③ 由①，得ka=2﹣a2，代入③，得 3a2+7（2﹣a2）+2=0， ∴4a2=16，∴a=±2． 代入①，得，或． 當(dāng)時(shí)，方程①變?yōu)閤2﹣x﹣2=0，根為2和﹣1，方程②變?yōu)?x2﹣7x+3=0，根為和3； 當(dāng)時(shí)，方程①變?yōu)閤2+x﹣2=0，根為﹣2和1，方程②變?yōu)?x2+7x+3=0，根為﹣和﹣3． 點(diǎn)評(píng)：做這類題的關(guān)鍵是要先設(shè)出方程的一個(gè)根，

40、根據(jù)題意得出另一方程的根，然后代入分情況討論根的情況． 31．解方程： （1）（x﹣1）2﹣25=0 （2）2（x+1）2=x2﹣1 （3）2x2+6x+1=0（用配方法解） （4）（x+5）2﹣2（x+5）﹣8=0． 考點(diǎn)：解一元二次方程-直接開(kāi)平方法；解一元二次方程-配方法；解一元二次方程-因式分解法。 分析：（1）利用直接開(kāi)平方法解方程； （2）利用因式分解法解方程； （3）配方法解方程； （4）因式分解法解方程． 解答：解：（1）由原方程，移項(xiàng)，得 （x﹣1）2=25， 開(kāi)平方，得 x﹣1=±5， ∴x=1±5， ∴x1

41、=6 x2=﹣4； （2）由原方程，得 2x2+4x+2=x2﹣1，即x2+4x+3=0， ∴（x+1）（x+3）=0， ∴x+1=0或x+3=0， 解得，x1=﹣1，x2=﹣3； （3）化二次項(xiàng)系數(shù)為1，得 x2+3x+=0， 移項(xiàng)，得 x2+3x=﹣， 等式的兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，得 x2+3x+=﹣， ∴（x+）2=， ∴x=﹣， 解得，x1=，x2=； （4）由原方程，得 （x+5+2）（x+5﹣4）=0，即（x+7）（x+1）=0， ∴x+7=0，或x+1=0， 解得，x1=﹣1，x2=﹣7． 點(diǎn)評(píng)：本題考查了配方法、因

42、式分解法、直接開(kāi)平法解方程．對(duì)于解方程的方法的選擇，應(yīng)該根據(jù)方程的特點(diǎn)選擇不同的方法． 32．閱讀理解：我們把稱作二階行列式，規(guī)定它的運(yùn)算法則為．如． （1）計(jì)算：； （2）如果=6，求x的值． 考點(diǎn)：解一元二次方程-直接開(kāi)平方法；二次根式的混合運(yùn)算。 專題：新定義。 分析：（1）根據(jù)二階行列式直接列出關(guān)系式解答即可； （2）由二階行列式直接列出關(guān)于x的方程，然后解方程即可． 解答：解：（1）根據(jù)題意得： 原式=×﹣2×， =﹣2， =4﹣2， =； （2）根據(jù)題意得：（x+1）2﹣（x﹣1）（1﹣x）=6， ∴（x2+2x+1）+（x2﹣2x+1）=6，

43、 2x2=4 ∴． 點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二階行列式的實(shí)際應(yīng)用以及根據(jù)二階行列式列出方程，再解方程． 33．解方程： （1）x2﹣5=0 （2）x2+2=3（x+2） （3）x2+4x﹣1=0 （4）（x﹣2）2﹣3（x﹣2）=0． 考點(diǎn)：解一元二次方程-直接開(kāi)平方法；解一元二次方程-配方法；解一元二次方程-因式分解法。 分析：（1）利用直接開(kāi)平方法求出一元二次方程的根即可； （2）運(yùn)用因式分解法將原式分解因式，得出（x﹣4）（x+1）=0，即可得出答案， （3）原因配方法得出（x+2）2=5，進(jìn)而得出方

44、程的根； （4）運(yùn)用因式分解法將原式分解因式，得出（x﹣2）（x﹣5）=0，，即可得出答案， 解答：解：（1）x2﹣5=0， x2=5， x 1=，x 2=﹣； （2）x2+2=3（x+2）， x2﹣3x﹣4=0， （x﹣4）（x+1）=0， x 1=4，x 2=﹣1； （3）x2+4x﹣1=0， （x+2）2=5， x 1=﹣2+，x 2=﹣2﹣； （4）（x﹣2）2﹣3（x﹣2）=0， （x﹣2）（x﹣5）=0， x 1=2，x 2=5； 點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了配方法、因式分解法解一元二次方程，運(yùn)用因式分解法時(shí)，根據(jù)已知將原始分解為兩式相乘等于0

45、是解決問(wèn)題的關(guān)鍵． 34．解方程（1）（2x﹣1）2﹣16=0；（2）x2﹣2x+1=0（用配方法解） 考點(diǎn)：解一元二次方程-直接開(kāi)平方法；解一元二次方程-配方法。 分析：（1）將16轉(zhuǎn)化為完全平方形式，然后通過(guò)移項(xiàng)、直接開(kāi)平方解方程即可； （2）利用配方法解方程． 解答：解：（1）由原方程，移項(xiàng)得 （2x﹣1）2=42， 直接開(kāi)平方，得 2x﹣1=±4， 解得，（4分） （2）化二次項(xiàng)系數(shù)為1，得 x2﹣6x+3=0， 移項(xiàng)，得 x2﹣6x=﹣3， 等式的兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方，得 x2﹣6x+9=6，即（x﹣3）2=6， ∴x﹣3=±

46、解得，（4分） 點(diǎn)評(píng)：本題考查了直接開(kāi)平方法解一元二次方程．解這類問(wèn)題要移項(xiàng)，把所含未知數(shù)的項(xiàng)移到等號(hào)的左邊，把常數(shù)項(xiàng)移項(xiàng)等號(hào)的右邊，化成x2=a（a≥0）的形式，利用數(shù)的開(kāi)方直接求解． （1）用直接開(kāi)方法求一元二次方程的解的類型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同號(hào)且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同號(hào)且a≠0）．法則：要把方程化為“左平 方，右常數(shù)，先把系數(shù)化為1，再開(kāi)平方取正負(fù)，分開(kāi)求得方程解”． （2）用直接開(kāi)方法求一元二次方程的解，要仔細(xì)觀察方程的特點(diǎn)． 35．解下列方程： （1）用直接開(kāi)平方法解方程：2x2﹣24=0 （2）用

47、配方法解方程：x2+4x+1=0 （3）解方程：． 考點(diǎn)：解一元二次方程-直接開(kāi)平方法；解一元二次方程-配方法；解一元二次方程-公式法。 分析：（1）先移項(xiàng)，然后直接開(kāi)平方． （2）此題考查配方法的一般步驟：①把常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)的右邊；②把二次項(xiàng)的系數(shù)化為1；③等式兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方． （3）根據(jù)求根公式x=先確定a，b，c的值，代入公式即可求解． 解答：解：（1）2x2﹣24=0， 移項(xiàng)得：2x2=24， x=±2， 解得x1=2，x2=﹣2． （2）∵x2+4x+1=0， ∴x2+4x=﹣1， ∴x2+4x+4=﹣1+4， ∴（x+2）2=3， ∴x

48、1=﹣2，x2=﹣﹣2； （3）． 根據(jù)公式法得： a=1，b=﹣，c=； b2﹣4ac=2﹣4×=0； x=； 點(diǎn)評(píng)：解這類問(wèn)題要移項(xiàng)，把所含未知數(shù)的項(xiàng)移到等號(hào)的左邊，把常數(shù)項(xiàng)移項(xiàng)等號(hào)的右邊，化成x2=a（a≥0）的形式，利用數(shù)的開(kāi)方直接求解． （1）用直接開(kāi)方法求一元二次方程的解的類型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同號(hào)且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同號(hào)且a≠0）．法則：要把方程化為“左平方，右常數(shù)，先把系數(shù)化為1，再開(kāi)平方取正負(fù)，分開(kāi)求得方程解”． （2）運(yùn)用整體思想，把被開(kāi)方數(shù)看成整體． （3）用直接開(kāi)方法求一元二次方程的

49、解，要仔細(xì)觀察方程的特點(diǎn)． 36．解方程：①3x2=12x ②2x2﹣5x+1=0 ③（x﹣1）2+4（x﹣1）+4=0 ④x2﹣（2a+1）x+2a=0（a為常數(shù)） 考點(diǎn)：解一元二次方程-直接開(kāi)平方法；解一元二次方程-配方法；解一元二次方程-公式法。 分析：①、④利用因式分解法解方程； ②利用求根公式x=解方程； ③利用配方法解方程． 解答：解：①由原方程，得 x2﹣4x=0， ∴x（x﹣4）=0， ∴x=0或x﹣4=0， 解得，x1=0，x2=4； ②∵方程2x2﹣5x+1=0的二次項(xiàng)系數(shù)a=2，

50、一次項(xiàng)系數(shù)b=﹣5，常數(shù)項(xiàng)c=1， ∴x==， 解得，x1=，x2=； ③由原方程，得 （x﹣1+2）2=0，即（x+1），+=0， 解得，x1=x2=﹣1； ④由原方程，得 （x﹣1）（x﹣2a）=0， ∴x﹣1=0或x﹣2a=0， 解得，x1=1，x2=2a． 點(diǎn)評(píng)：本題考查了解一元二次方程﹣﹣直接開(kāi)平方法、配方法、因式分解法、公式法．用直接開(kāi)方法求一元二次方程的解的類型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同號(hào)且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同號(hào)且a≠0）．法則：要把方程化為“左平方，右常數(shù)，先把系數(shù)化為1，再開(kāi)平方取正負(fù)，分開(kāi)求得方程解”． 37．已知一元二次方程x2﹣4x+1+m=5請(qǐng)你選取一個(gè)適當(dāng)?shù)膍的值，使方程能用直接開(kāi)平方法求解，并解這個(gè)方程． （1）你選的m的值是　8　； （2）解這個(gè)方程． 考點(diǎn)：解一元二次方程-直接開(kāi)平方法。 專題：計(jì)算題；開(kāi)放型。 分析：先選擇m的值，再利用直接開(kāi)平方法解方程即可．答案不唯一 解答：解：令m=8，則x2﹣4x+1+8=5， 即x2﹣4x+4=0， （x﹣2）2=0， 開(kāi)方得x﹣2=0， 即x=2． 點(diǎn)評(píng)：本題是一道開(kāi)放性的題目，考查了用直接開(kāi)平方法解一元二次方程．