高三數(shù)學(xué)第一篇五 立體幾何 第1講 空間幾何體的三視圖、表面積與體積 理

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1、第第1 1講講 空間幾何體的三視圖、表面空間幾何體的三視圖、表面積與體積積與體積考情分析考情分析總綱目錄考點一 空間幾何體的三視圖考點二 空間幾何體的表面積與體積（高頻考點）考點三 多面體與球的切、接問題考點四 數(shù)學(xué)文化與立體幾何考點一 空間幾何體的三視圖一個物體的三視圖的排列規(guī)則一個物體的三視圖的排列規(guī)則俯視圖放在正(主)視圖的下面,長度與正(主)視圖的長度一樣,側(cè)(左)視圖放在正(主)視圖的右面,高度與正(主)視圖的高度一樣,寬度與俯視圖的寬度一樣.即“長對正、高平齊、寬相等”.典型例題典型例題(2017北京,7,5分)某四棱錐的三視圖如圖所示,則該四棱錐的最長棱的長度為()A.3B.2C

2、.2D.2232解析解析根據(jù)三視圖可得該四棱錐的直觀圖(四棱錐P-ABCD)如圖所示,將該四棱錐放入棱長為2的正方體中.由圖可知該四棱錐的最長棱為PD,PD=2.故選B.2222223答案答案B方法歸納方法歸納由三視圖還原直觀圖的思路(1)根據(jù)俯視圖確定幾何體的底面.(2)根據(jù)正(主)視圖或側(cè)(左)視圖確定幾何體的側(cè)棱與側(cè)面的特征,調(diào)整實線和虛線所對應(yīng)的棱的位置.(3)確定幾何體的直觀圖形狀.跟蹤集訓(xùn)跟蹤集訓(xùn)1.(2016天津,3,5分)將一個長方體沿相鄰三個面的對角線截去一個棱錐,得到的幾何體的正視圖與俯視圖如圖所示,則該幾何體的側(cè)(左)視圖為()答案答案 B由幾何體的正視圖、俯視圖以及題意

3、可畫出幾何體的直觀圖,如圖所示.該幾何體的側(cè)視圖為選項B.故選B.2.(2016遼寧沈陽教學(xué)質(zhì)量檢測(一)如圖,網(wǎng)格紙的各小格都是正方形,粗實線畫出的是一個凸多面體的三視圖(兩個矩形,一個直角三角形),則這個幾何體可能為()A.三棱臺B.三棱柱C.四棱柱D.四棱錐答案答案B根據(jù)三視圖的畫法法則:長對正、高平齊、寬相等,可得幾何體的直觀圖如圖所示,這是一個三棱柱.考點二 空間幾何體的表面積與體積(高頻考點)命題點命題點1.由三視圖求空間幾何體的體積.2.由三視圖求空間幾何體的表面積.3.根據(jù)已知空間幾何體求其表面積或體積.1.柱體、錐體、臺體的側(cè)面積公式(1)S柱側(cè)=ch(c為底面周長,h為高)

4、;(2)S錐側(cè)=ch(c為底面周長,h為斜高);(3)S臺側(cè)=(c+c)h(c,c分別為上、下底面的周長,h為斜高).12122.柱體、錐體、臺體的體積公式(1)V柱體=Sh(S為底面面積,h為高);(2)V錐體=Sh(S為底面面積,h為高);(3)V臺=(S+S)h(S,S分別為上、下底面面積,h為高)(不要求記憶).1313SS3.球的表面積和體積公式(1)S球表=4R2(R為球的半徑);(2)V球=R3(R為球的半徑).43典型例題典型例題(1)(2017課標(biāo)全國,7,5分)某多面體的三視圖如圖所示,其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成,正方形的邊長為2,俯視圖為等腰直角三角

5、形.該多面體的各個面中有若干個是梯形,這些梯形的面積之和為()A.10B.12C.14D.16A.B.C.D.163329169(2)(2017鄭州第二次質(zhì)量預(yù)測)某幾何體的三視圖如圖所示,其中俯視圖為扇形,則該幾何體的體積為 ()解析解析(1)由多面體的三視圖還原直觀圖如圖.該幾何體由上方的三棱錐A-BCE和下方的三棱柱BCE-B1C1A1構(gòu)成,其中面CC1A1A和面BB1A1A是梯形,則梯形的面積之和為2=12.故選B.(2)由三視圖可知該幾何體是底面半徑為2、高為4的圓錐的一部分,設(shè)底面扇形的圓心角為,則cos(-)=,所以=,所以所求幾何體的體積V=224=,故選D.(24)22122

6、323213169答案答案(1)B(2)D方法歸納方法歸納求解幾何體的表面積及體積的技巧(1)求幾何體的表面積及體積問題,可以多角度、多方位地考慮,熟記公式是關(guān)鍵所在.求三棱錐的體積,等體積轉(zhuǎn)化是常用的方法,轉(zhuǎn)化原則是其高易求,底面放在已知幾何體的某一面上.(2)求不規(guī)則幾何體的體積,常用分割或補形的思想,將不規(guī)則幾何體轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何體進行求解.跟蹤集訓(xùn)跟蹤集訓(xùn)1.(2016課標(biāo)全國,6,5分)如圖,某幾何體的三視圖是三個半徑相等的圓及每個圓中兩條互相垂直的半徑.若該幾何體的體積是,則它的表面積是()A.17B.18C.20D.28283答案答案A由三視圖可知,該幾何體是一個球被截去后剩下的部

7、分,設(shè)球的半徑為R,則該幾何體的體積為R3,即=R3,解得R=2.故其表面積為422+322=17.選A.187843283784378142.(2017湖南湘中名校高三聯(lián)考)已知某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為()A.B.32C.D.16033233523答案答案 A由三視圖可知,該幾何體是由底面為等腰直角三角形(腰長為4)、高為8的直三棱柱截去一個等底且高為4的三棱錐而得到的,所以該幾何體的體積V=448-444=,故選A.12131216033.(2017南昌第一次模擬)如圖,直角梯形ABCD中,ADDC,ADBC,BC=2CD=2AD=2,若將該直角梯形繞BC邊所在直線旋轉(zhuǎn)

8、一周,則所得的幾何體的表面積為.答案答案(+3)2解析解析根據(jù)題意可知,此旋轉(zhuǎn)體的上半部分為圓錐(底面半徑為1,高為1),下半部分為圓柱(底面半徑為1,高為1),如圖所示.則所得幾何體的表面積為圓錐的側(cè)面積、圓柱的側(cè)面積以及圓柱的下底面面積之和,即表面積為1+212+12=(+3).22112考點三 多面體與球的切、接問題與球有關(guān)的組合體問題,一種是內(nèi)切,一種是外接.解題時要認(rèn)真分析圖形,明確切點和接點的位置,確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系,并作出合適的截面圖.典型例題典型例題(1)(2017課標(biāo)全國,8,5分)已知圓柱的高為1,它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上,則該圓柱的體積為()A

9、.B.C.D.(2)(2016課標(biāo)全國,10,5分)在封閉的直三棱柱ABC-A1B1C1內(nèi)有一個體積為V的球.若ABBC,AB=6,BC=8,AA1=3,則V的最大值是()A.4B.C.6D.342492323解析解析(1)設(shè)圓柱的底面圓半徑為r,由題意可得r2+=12,解得r=.圓柱的體積V=r21=,故選B.(2)易知AC=10.設(shè)底面ABC的內(nèi)切圓的半徑為r,則68=(6+8+10)r,所以r=2,因為2r=43,所以當(dāng)球與三棱柱的上、下底面相切時,體積最大,所以最大球的直徑2R=3,則R=,此時球的體積V=R3=.故選B.21232341212324392答案答案(1)B(2)B方法歸

10、納方法歸納多面體與球接、切問題的求解策略涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時,一般過球心及多面體中的特殊點(一般為接、切點)或線作截面,把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題,再利用平面幾何知識尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系,或只畫內(nèi)接、外切的幾何體的直觀圖,確定球心的位置,弄清球的半徑(或直徑)與該幾何體已知量的關(guān)系,列方程(組)求解.跟蹤集訓(xùn)跟蹤集訓(xùn)1.(2017石家莊教學(xué)質(zhì)量檢測(二)四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為6的正方形,且PA=PB=PC=PD,若一個半徑為1的球與此四棱錐所有面都相切,則該四棱錐的高是()A.6B.5C.D.9294答案答案 D過點P作PH平面ABCD于點H.由題意知,四棱錐P

11、-ABCD是正四棱錐,內(nèi)切球的球心O應(yīng)在四棱錐的高PH上.過正四棱錐的高作組合體的軸截面如圖,其中PE,PF是斜高,M為球面與側(cè)面的一個切點.設(shè)PH=h,易知RtPMORtPHF,所以=,即=,解得h=,故選D.OMFHPOPF132213hh942.(2017太原模擬試題)已知三棱錐A-BCD中,AB平面BCD,BCCD,BC=CD=1,AB=,則該三棱錐外接球的體積為.2答案答案43解析解析因為BC=1,CD=1,BCCD,所以BD=,又AB=,且AB平面BCD,所以AD=2,ABCD,所以CD平面ABC,所以CDAC,所以三棱錐A-BCD的外接球的球心為AD的中點,半徑為1,所以三棱錐A

12、-BCD的外接球的體積為.2243考點四 數(shù)學(xué)文化與立體幾何典型例題典型例題(2015課標(biāo)全國,6,5分)九章算術(shù)是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著,書中有如下問題:“今有委米依垣內(nèi)角,下周八尺,高五尺.問:積及為米幾何?”其意思為:“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖,米堆為一個圓錐的四分之一),米堆底部的弧長為8尺,米堆的高為5尺,問米堆的體積和堆放的米各為多少?”已知1斛米的體積約為1.62立方尺,圓周率約為3,估算出堆放的米約有()A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛答案答案B解析解析設(shè)圓錐底面的半徑為R尺,由2R=8得R=,從而米堆的體積V=R25=(立方尺),因此堆放的米約有22(斛).故

13、選B.方法歸納方法歸納本題屬于生活中谷物儲存問題,源于九章算術(shù)第五章“商功”,結(jié)合立體幾何中的基礎(chǔ)知識進行設(shè)問,強化了數(shù)學(xué)文化的傳承和數(shù)學(xué)應(yīng)用意識的培養(yǎng).我國古代數(shù)學(xué)強調(diào)“經(jīng)世濟用”,涉及的研究大多與實際生活、生產(chǎn)聯(lián)系緊密,體現(xiàn)出明顯的問題式、綜合性的特征.1416141316 20316 203 1.62跟蹤集訓(xùn)跟蹤集訓(xùn)我國南北朝時期數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家祖暅,提出了著名的祖暅原理:“冪勢既同,則積不容異”.“冪”是截面積,“勢”是幾何體的高,意思是兩等高立方體,若在每一等高處的截面積都相等,則兩立方體體積相等.已知某不規(guī)則幾何體與如圖所示的三視圖對應(yīng)的幾何體滿足“冪勢同”,則該不規(guī)則幾何體的體積

14、為()A.4-B.8-C.8-D.8-2243答案答案C由祖暅原理可知,不規(guī)則幾何體的體積與已知三視圖所對應(yīng)的幾何體體積相等.根據(jù)題設(shè)所給的三視圖,可知幾何體是從一個正方體中挖去一個半圓柱得到的,正方體的體積為23=8,半圓柱的體積為(12)2=,因此不規(guī)則幾何體的體積為8-,故選C.121.(2017廣州綜合測試(一)如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗線畫出的為某幾何體的正視圖(等腰直角三角形)和側(cè)視圖,且該幾何體的體積為,則該幾何體的俯視圖可以是()83隨堂檢測隨堂檢測答案答案D由題意可得該幾何體可能為四棱錐,如圖所示,其高為2,其底面為正方形,面積為22=4,因為該幾何體的體積為42=

15、,滿足條件,所以俯視圖可以為一個直角三角形.故選D.13832.(2017蘭州診斷考試)某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為()A.(9+)B.(9+2)C.(10+)D.(10+2)5555答案答案 A由三視圖可知,該幾何體為一個圓柱挖去一個同底的圓錐,且圓錐的高是圓柱高的一半.故該幾何體的表面積S=12+42+2=(9+).12553.(2017洛陽第一次統(tǒng)一考試)已知簡單組合體的三視圖如圖所示,則此簡單組合體的體積為()A.B.14C.-8D.-4103163163答案答案 D依題意知,該簡單組合體是從一個圓錐(底面半徑為2、高為4)中截去一個正四棱柱(底面正方形的邊長為,高為

16、2)后剩余的部分,因此該簡單組合體的體積為224-()22=-4,故選D.21321634.(2017江蘇,6,5分)如圖,在圓柱O1O2內(nèi)有一個球O,該球與圓柱的上、下底面及母線均相切.記圓柱O1O2的體積為V1,球O的體積為V2,則的值是.12VV答案答案32解析解析設(shè)圓柱內(nèi)切球的半徑為R,則由題設(shè)可得圓柱O1O2的底面圓的半徑為R,高為2R,=.12VV23243RRR325.(2017貴陽檢測)一個幾何體的三視圖如圖所示,其中正視圖是邊長為2的等邊三角形,俯視圖為正六邊形,則該幾何體的體積是.答案答案 32解析解析依題意得,題中的幾何體是一個正六棱錐,其中底面是邊長為1的正六邊形,高為2=,因此幾何體的體積等于=.3231323614332