高三數(shù)學(xué)第一篇四 數(shù)列刺 第1講 等差數(shù)列與等比數(shù)列 文

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1、第第1 1講等差數(shù)列與等比數(shù)列講等差數(shù)列與等比數(shù)列考情分析考情分析總綱目錄考點(diǎn)一 等差、等比數(shù)列的基本運(yùn)算(高頻考點(diǎn))考點(diǎn)二 等差、等比數(shù)列的性質(zhì)考點(diǎn)三 等差、等比數(shù)列的判斷與證明考點(diǎn)四 數(shù)列中的數(shù)學(xué)文化考點(diǎn)一 等差、等比數(shù)列的基本運(yùn)算(高頻考點(diǎn))命題點(diǎn)1.等差(比)數(shù)列中a1、n、d(q)、an、Sn的計(jì)算;2.等差、等比數(shù)列的交匯運(yùn)算.1.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式an=a1+(n-1)d;Sn=na1+d.1()2nn aa(1)2n n2.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式an=a1qn-1(q0);Sn=(q1).1(1)1naqq11naa qq典型例題典型例題(2017課標(biāo)全

2、國,17,12分)已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,等比數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn,a1=-1,b1=1,a2+b2=2.(1)若a3+b3=5,求bn的通項(xiàng)公式;(2)若T3=21,求S3.解析解析設(shè)an的公差為d,bn的公比為q,則an=-1+(n-1)d,bn=qn-1.由a2+b2=2得d+q=3.(1)由a3+b3=5得2d+q2=6.聯(lián)立和解得(舍去),或因此bn的通項(xiàng)公式為bn=2n-1.3,0dq1,2.dq(2)由b1=1,T3=21得q2+q-20=0.解得q=-5或q=4.當(dāng)q=-5時(shí),由得d=8,則S3=21.當(dāng)q=4時(shí),由得d=-1,則S3=-6.求解等差、等比數(shù)列基本

3、運(yùn)算問題的方法技巧在進(jìn)行等差(比)數(shù)列項(xiàng)與和的運(yùn)算時(shí),若條件和結(jié)論間的聯(lián)系不明顯,則均可化成關(guān)于a1和d(q)的方程組求解,但要注意消元法及整體計(jì)算,以減少計(jì)算量.方法歸納方法歸納跟蹤集訓(xùn)跟蹤集訓(xùn)1.(2017課標(biāo)全國理,4,5分)記Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和.若a4+a5=24,S6=48,則an的公差為()A.1B.2C.4D.8答案答案C等差數(shù)列an中,S6=48,則a1+a6=16=a2+a5,又a4+a5=24,所以a4-a2=2d=24-16=8,得d=4,故選C.16() 62aa2.(2017課標(biāo)全國理,9,5分)等差數(shù)列an的首項(xiàng)為1,公差不為0.若a2,a3,a6成等比數(shù)

4、列,則an前6項(xiàng)的和為()A.-24B.-3C.3D.8答案答案A設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,依題意得=a2a6,即(1+2d)2=(1+d)(1+5d),解得d=-2或d=0(舍去),又a1=1,S6=61+(-2)=-24.故選A.23a6 52考點(diǎn)二 等差、等比數(shù)列的性質(zhì)1.等差數(shù)列的性質(zhì)(1)若m,n,p,qN*,且m+n=p+q,則am+an=ap+aq;(2)Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,仍成等差數(shù)列;(3)am-an=(m-n)dd=(m,nN*);(4)=(A2n-1,B2n-1分別為an,bn的前2n-1項(xiàng)的和).mnaamnnnab2121nnAB2.等比數(shù)列的性質(zhì)(1

5、)若m,n,r,sN*,且m+n=r+s,則aman=aras;(2)an=amqn-m;(3)當(dāng)an的公比q-1(或q=-1且m為奇數(shù))時(shí),數(shù)列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,是等比數(shù)列.典型例題典型例題(1)(2017陜西西安八校聯(lián)考)已知數(shù)列an是等比數(shù)列,數(shù)列bn是等差數(shù)列,若a1a6a11=-3,b1+b6+b11=7,則tan的值是()A.-B.-1C.-D.(2)設(shè)Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和,S10=16,S100-S90=24,則S100=.(3)在數(shù)列an中,a1=,a2=,anan+2=1,則a2016+a2017=.答案答案(1)A(2)200(3)339481bb

6、aa3333121372解析解析(1)依題意得,=(-)3,3b6=7,a6=-,b6=,又=-,故tan=tan=tan=-tan=-,選A.(2)依題意,知S10,S20-S10,S30-S20,S100-S90依次成等差數(shù)列,設(shè)該等差數(shù)列的公差為d.又S10=16,S100-S90=24,因此S100-S90=24=16+(10-1)d=16+9d,解得d=,因此S100=10S10+d=1016+=200.(3)依題意知,a3=2,a4=3,a5=,a6=,數(shù)列an是周期為4的數(shù)列,a2016+a2017=a4+a1=.36a337339481bbaa62621ba7339481bba

7、a7323338910 9210 9289121372應(yīng)用數(shù)列性質(zhì)解題的方法(1)解決此類問題的關(guān)鍵是抓住項(xiàng)與項(xiàng)之間的關(guān)系及項(xiàng)的序號之間的關(guān)系,從這些特點(diǎn)入手選擇恰當(dāng)?shù)男再|(zhì)進(jìn)行求解.(2)應(yīng)牢固掌握等差、等比數(shù)列的性質(zhì),特別是等差數(shù)列中“若m+n=p+q,則am+an=ap+aq(m,n,p,qN*)”這一性質(zhì)與求和公式Sn=的綜合應(yīng)用.1()2nn aa方法歸納方法歸納跟蹤集訓(xùn)跟蹤集訓(xùn)1.在正項(xiàng)等比數(shù)列an中,an+1an,a2a8=6,a4+a6=5,則=()A.B.C.D.57aa75654332答案答案D由題意可知a2a8=a4a6=6,又a4+a6=5,an+1an,所以a4=3,a

8、6=2,所以=.57aa46aa322.在等差數(shù)列an中,a3+a4+a5+a6+a7=50,前k項(xiàng)之和Sk是一個(gè)不含k的常數(shù),則的值為()A.5B.10C.15D.20kSk答案答案B解法一:由等差數(shù)列的性質(zhì)及a3+a4+a5+a6+a7=50,得a3+a7=20.而S9=90(常數(shù)),k=9,S9=90.=10.故選B.解法二:由Sk=知=.只需為常數(shù)即可,由等差數(shù)列的性質(zhì)及a3+a4+a5+a6+a7=50,得a3+a7=20.即a1+a9=a3+a7=20,為常數(shù),=10.故選B.199()2aa379()2aakSk9091()2kk aakSk12kaa12kaakSk99S192

9、aa解法三:由a3+a4+a5+a6+a7=50,得a1+4d=10.Sk=ka1+d=k(10-4d)+d=d+10k.要使Sk為常數(shù),則=0,即k=0(舍去)或k=9.S9=9a1+36d=9(a1+4d)=910,=10,故選B.(1)2k k 22kk292kk292kk99S考點(diǎn)三 等差、等比數(shù)列的判斷與證明1.證明數(shù)列an是等差數(shù)列的兩種基本方法(1)利用定義證明an+1-an(nN*)為一常數(shù);(2)利用等差中項(xiàng),即證明2an=an-1+an+1(n2,nN*).2.證明數(shù)列an是等比數(shù)列的兩種基本方法(1)利用定義證明(nN*)為一不為零的常數(shù);(2)利用等比中項(xiàng),即證明=an

10、-1an+1(n2,nN*).1nnaa2na典型例題典型例題(2017課標(biāo)全國,17,12分)記Sn為等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和.已知S2=2,S3=-6.(1)求an的通項(xiàng)公式;(2)求Sn,并判斷Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差數(shù)列.解析解析(1)設(shè)an的公比為q,由題設(shè)可得解得q=-2,a1=-2.故an的通項(xiàng)公式為an=(-2)n.(2)由(1)可得Sn=-+(-1)n.由于Sn+2+Sn+1=-+(-1)n121(1)2,(1)6.aqaqq 1(1)1naqq23123n4332223nn=2=2Sn,故Sn+1,Sn,Sn+2成等差數(shù)列.122( 1)33nn 判斷或證明一個(gè)數(shù)列

11、是等差、等比數(shù)列時(shí)應(yīng)注意的問題(1)判斷一個(gè)數(shù)列是等差(等比)數(shù)列,還有通項(xiàng)公式法及前n項(xiàng)和公式法,但不作為證明方法.(2)若要判斷一個(gè)數(shù)列不是等差(等比)數(shù)列,只需判斷存在連續(xù)三項(xiàng)不成等差(等比)數(shù)列即可.(3)=an-1an+1(n2,nN*)是an為等比數(shù)列的必要而不充分條件,也就是判斷一個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列時(shí),要注意各項(xiàng)不為0.2na方法歸納方法歸納跟蹤集訓(xùn)跟蹤集訓(xùn)數(shù)列an滿足a1=1,a2=2,an+2=2an+1-an+2.(1)設(shè)bn=an+1-an,證明bn是等差數(shù)列;(2)求an的通項(xiàng)公式.解析解析(1)證明:由an+2=2an+1-an+2得,an+2-an+1=an+1-an

12、+2,即bn+1=bn+2.又b1=a2-a1=1.所以bn是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列.(2)由(1)得bn=1+2(n-1),即an+1-an=2n-1.于是所以an+1-a1=n2,即an+1=n2+a1.111()(21),nnkkkkaak 又a1=1,所以an的通項(xiàng)公式為an=n2-2n+2.考點(diǎn)四 數(shù)列中的數(shù)學(xué)文化典型例題典型例題中國古代數(shù)學(xué)著作算法統(tǒng)宗中有這樣一個(gè)問題:三百七十八里關(guān),初行健步不為難,次日腳痛減一半,六朝才得到其關(guān),要見次日行里數(shù),請公仔細(xì)算相還.”其意思為:有一個(gè)人走378里路,第一天健步行走,從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半,走了6天后到達(dá)目的地,

13、請問第二天走了()A.192里B.96里C.48里D.24里解析解析由題意,知每天所走路程形成以a1為首項(xiàng),公比為的等比數(shù)列,則=378,解得a1=192,則a2=96,即第二天走了96里.故選B.1216112112a答案答案B方法歸納方法歸納涉及等比數(shù)列的數(shù)學(xué)文化題頻繁出現(xiàn)在考試試題中.解決這類問題的關(guān)鍵是將古代實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為現(xiàn)代數(shù)學(xué)問題,掌握等比數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式.跟蹤集訓(xùn)跟蹤集訓(xùn)1.(2017湖南長沙模擬)九章算術(shù)是我國古代第一部數(shù)學(xué)專著,全書收集了246個(gè)問題及其解法,其中一個(gè)問題為“現(xiàn)有一根九節(jié)的竹子,自上而下各節(jié)的容積成等比數(shù)列,上面四節(jié)容積之和為3升,下面三節(jié)的

14、容積之和為4升,求中間兩節(jié)的容積各為多少?”該問題中第2節(jié),第3節(jié),第8節(jié)竹子的容積之和為()A.升B.升C.升D.升176721136610933答案答案A自上而下依次設(shè)各節(jié)竹子的容積分別為a1,a2,a9,依題意有因?yàn)閍2+a3=a1+a4,a7+a9=2a8,故a2+a3+a8=+=.選A.12347893,4,aaaaaaa32431762.(2017河南鄭州質(zhì)量檢測(一)張丘建算經(jīng)卷上第22題為:“今有女善織,日益功疾,初日織五尺,今一月日織九匹三丈.”其意思為今有女子善織布,且從第2天起,每天比前一天多織相同量的布,若第一天織5尺布,現(xiàn)在一個(gè)月(按30天計(jì))共織390尺布.則該女最

15、后一天織尺布.()A.18B.20C.21D.25答案答案C依題意得,該女每天所織的布的尺數(shù)依次排列形成一個(gè)等差數(shù)列,設(shè)為an(n=1,2,30),其中a1=5,S30=390,于是有=390,解得a30=21,即該女最后一天織21尺布,選C.3030(5)2a1.(2017河北石家莊質(zhì)量檢測(一)已知等差數(shù)列an的公差為5,前n項(xiàng)和為Sn,且a1,a2,a5成等比數(shù)列,則S6=()A.80B.85C.90D.95隨堂檢測隨堂檢測答案答案C由題意,得(a1+5)2=a1(a1+45),解得a1=,所以S6=6+5=90,故選C.52526 522.(2017四川成都質(zhì)量檢測(二)在等比數(shù)列an

16、中,已知a3=6,a3+a5+a7=78,則a5=()A.12B.18C.24D.36答案答案Ba3+a5+a7=a3(1+q2+q4)=6(1+q2+q4)=781+q2+q4=13q2=3,所以a5=a3q2=63=18.故選B.3.(2016課標(biāo)全國,17,12分)已知各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列an滿足a1=1,-(2an+1-1)an-2an+1=0.(1)求a2,a3;(2)求an的通項(xiàng)公式.2na解析解析(1)由題意得a2=,a3=.(2)由-(2an+1-1)an-2an+1=0得2an+1(an+1)=an(an+1).因?yàn)閍n的各項(xiàng)都為正數(shù),所以=.故an是首項(xiàng)為1,公比為的等比數(shù)列,因此an=.12142na1nnaa1212112n