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2017-2018版高中數(shù)學(xué) 第一單元 常用邏輯用語(yǔ) 1.1.2 量詞教學(xué)案 新人教B版選修1-1

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2017-2018版高中數(shù)學(xué) 第一單元 常用邏輯用語(yǔ) 1.1.2 量詞教學(xué)案 新人教B版選修1-1

11.2量詞學(xué)習(xí)目標(biāo)1.通過(guò)生活和數(shù)學(xué)中的豐富實(shí)例理解全稱(chēng)量詞與存在量詞的含義,熟悉常見(jiàn)的全稱(chēng)量詞和存在量詞.2.了解含有量詞的全稱(chēng)命題和存在性命題的含義,并能用數(shù)學(xué)符號(hào)表示含有量詞的命題及判斷其命題的真假性知識(shí)點(diǎn)一全稱(chēng)量詞與全稱(chēng)命題思考觀察下列命題:每一個(gè)三角形都有內(nèi)切圓;所有實(shí)數(shù)都有算術(shù)平方根;對(duì)一切有理數(shù)x,5x2還是有理數(shù)以上三個(gè)命題中分別使用了什么量詞?根據(jù)命題的實(shí)際含義能否判斷命題的真假梳理(1)全稱(chēng)量詞“所有”、“每一個(gè)”、“任何”、“任意”、“一切”、“任給”、“全部”符號(hào)全稱(chēng)命題p含有_的命題形式“對(duì)M中任意一個(gè)x,有p(x)成立”可用符號(hào)簡(jiǎn)記為_(kāi)(2)判斷全稱(chēng)命題真假性的方法:對(duì)于全稱(chēng)命題“xM,p(x)”,要判斷它為真,需要對(duì)集合M中的每個(gè)元素x,證明p(x)成立;要判斷它為假,只需在M中找到一個(gè)xx0,使p(x0)不成立即可知識(shí)點(diǎn)二存在量詞與存在性命題思考觀察下列命題:有些矩形是正方形;存在實(shí)數(shù)x,使x>5;至少有一個(gè)實(shí)數(shù)x,使x22x2<0.以上三個(gè)命題分別使用了什么量詞?根據(jù)命題的實(shí)際含義能否判斷命題的真假梳理(1)存在量詞“有些”、“有一個(gè)”、“存在”、“某個(gè)”、“有的”符號(hào)存在性命題含有_的命題形式“存在M中的一個(gè)x,使q(x)成立”可用符號(hào)簡(jiǎn)記為_(kāi)(2)判斷存在性命題真假性的方法:要判斷一個(gè)存在性命題是真命題,只要在限定集合M中,至少能找到一個(gè)xx0,使q(x0)成立即可,否則,這一存在性命題是假命題類(lèi)型一全稱(chēng)命題與存在性命題的識(shí)別例1判斷下列語(yǔ)句是全稱(chēng)命題,還是存在性命題(1)凸多邊形的外角和等于360°;(2)有些實(shí)數(shù)a,b能使|ab|a|b|;(3)對(duì)任意a,bR,若a>b,則<;(4)有一個(gè)函數(shù),既是奇函數(shù),又是偶函數(shù)反思與感悟(1)判斷語(yǔ)句是否為命題,若不是命題,就當(dāng)然不是全稱(chēng)命題或存在性命題(2)若是命題,再分析命題中所含的量詞,含有全稱(chēng)量詞的命題是全稱(chēng)命題,含有存在量詞的命題是存在性命題(3)當(dāng)命題中不含量詞時(shí),要注意理解命題含義的實(shí)質(zhì)跟蹤訓(xùn)練1判斷下列命題是全稱(chēng)命題還是存在性命題,并用符號(hào)“”或“”表示下列命題(1)自然數(shù)的平方大于或等于零;(2)對(duì)每一個(gè)無(wú)理數(shù)x,x2也是無(wú)理數(shù);(3)有的函數(shù)既是奇函數(shù)又是增函數(shù);(4)對(duì)于數(shù)列,總存在正整數(shù)n,使得an與1之差的絕對(duì)值小于0.01.類(lèi)型二全稱(chēng)命題與存在性命題的真假的判斷例2判斷下列命題的真假:(1)在平面直角坐標(biāo)系中,任意有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y)都對(duì)應(yīng)一點(diǎn)P;(2)存在一個(gè)函數(shù),既是偶函數(shù)又是奇函數(shù);(3)每一條線段的長(zhǎng)度都能用正有理數(shù)來(lái)表示;(4)存在一個(gè)實(shí)數(shù)x,使得等式x2x80成立;(5)xR,x23x20;(6)xR,x23x20.反思與感悟要判定全稱(chēng)命題“xM,p(x)”是真命題,需要對(duì)集合M中每個(gè)元素x,證明p(x)都成立;如果在集合M中找到一個(gè)元素x0,使得p(x0)不成立,那么這個(gè)全稱(chēng)命題就是假命題要判定存在性命題“xM,q(x)”是真命題,只需在集合M中找到一個(gè)元素x0,使q(x0)成立即可;如果在集合M中,使q(x)成立的元素x不存在,那么這個(gè)存在性命題就是假命題跟蹤訓(xùn)練2有下列四個(gè)命題:xR,2x23x4>0;x1,1,0,2x1>0;xN,x2x;xN,x為29的約數(shù),其中真命題的個(gè)數(shù)為()A1 B2 C3 D4類(lèi)型三全稱(chēng)命題與存在性命題的應(yīng)用例3已知函數(shù)f(x)x22x5.(1)是否存在實(shí)數(shù)m,使不等式mf(x)>0對(duì)于任意xR恒成立,并說(shuō)明理由;(2)若至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)x,使不等式mf(x)>0成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍反思與感悟(1)一般地,對(duì)任意的實(shí)數(shù)x,a>f(x)恒成立,只需a>f(x)max,若存在一個(gè)實(shí)數(shù)x,使a>f(x)成立,只需a>f(x)min.(2)有關(guān)一元二次不等式ax2bxc>0(<0)恒成立的問(wèn)題,一是轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的圖象運(yùn)用數(shù)形結(jié)合求解,二是分離參數(shù)法求解前者主要運(yùn)用b24ac的符號(hào),轉(zhuǎn)化為解不等式或不等式組,后者常常轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大(小)值跟蹤訓(xùn)練3(1)已知關(guān)于x的不等式x2(2a1)xa220的解集非空,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(2)令p(x):ax22x1>0,若對(duì)xR,p(x)是真命題,求實(shí)數(shù)a的取值范圍1下列命題中,不是全稱(chēng)命題的是()A任何一個(gè)實(shí)數(shù)乘以0都等于0B自然數(shù)都是正整數(shù)C每一個(gè)向量都有大小D一定存在沒(méi)有最大值的二次函數(shù)2下列命題是真命題的是()Aa>b是ac2>bc2的充要條件Ba>1,b>1是ab>1的充分條件CxR,2x>x2DxR,ex<03下列存在性命題是假命題的是()A存在xQ,使2xx30B存在xR,使x2x10C有的素?cái)?shù)是偶數(shù)D有的有理數(shù)沒(méi)有倒數(shù)4若x0,tan xm是真命題,則實(shí)數(shù)m的最小值為_(kāi)5用量詞符號(hào)“”“”表述下列命題,并判斷真假(1)所有的實(shí)數(shù)x都能使x2x1>0成立;(2)對(duì)所有實(shí)數(shù)a,b,方程axb0恰有一個(gè)解;(3)一定有整數(shù)x,y,使得3x2y10成立;(4)所有的有理數(shù)x都能使x2x1是有理數(shù)1判斷全稱(chēng)命題的關(guān)鍵:一是先判斷是不是命題;二是看是否含有全稱(chēng)量詞2判定全稱(chēng)命題的真假的方法定義法:對(duì)給定的集合的每一個(gè)元素x,p(x)都為真;代入法:在給定的集合內(nèi)找出一個(gè)x0,使p(x0)為假,則全稱(chēng)命題為假3判定存在性命題真假的方法代入法:在給定的集合中找到一個(gè)元素x0,使命題q(x0)為真,否則命題為假答案精析問(wèn)題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)一思考命題分別使用量詞“每一個(gè)”“所有”“一切”命題是真命題,命題是假命題,三個(gè)命題中的“每一個(gè)”“所有”“一切”都有全部、所有的意義,要求命題對(duì)某個(gè)集合的所有元素都成立,而負(fù)實(shí)數(shù)沒(méi)有算術(shù)平方根,故命題為假命題梳理(1)全稱(chēng)量詞xM,p(x)知識(shí)點(diǎn)二思考命題分別使用了量詞“有些”“存在”“至少有一個(gè)”命題是真命題,命題是假命題三個(gè)命題中的“有些”“存在”“至少有一個(gè)”等詞都是對(duì)某個(gè)集合內(nèi)的個(gè)別元素而言,要說(shuō)明這些命題是真命題,只要舉出一個(gè)例子即可所以命題是真命題,而任意實(shí)數(shù)x,x22x2都大于0,所以命題為假命題梳理(1)存在量詞xM,q(x)題型探究例1解(1)可以改寫(xiě)為“所有的凸多邊形的外角和都等于360°”,是全稱(chēng)命題(2)含有存在量詞“有些”,故是存在性命題(3)含有全稱(chēng)量詞“任意”,故是全稱(chēng)命題(4)含有存在量詞“有一個(gè)”,是存在性命題跟蹤訓(xùn)練1解(1)是全稱(chēng)命題,表示為xN,x20.(2)是全稱(chēng)命題,xx|x是無(wú)理數(shù),x2是無(wú)理數(shù)(3)是存在性命題,f(x)函數(shù),f(x)既是奇函數(shù)又是增函數(shù)(4)是存在性命題,nN,|an1|0.01,其中an.例2解(1)真命題(2)真命題,如函數(shù)f(x)0,既是偶函數(shù)又是奇函數(shù)(3)假命題,如邊長(zhǎng)為1的正方形,其對(duì)角線的長(zhǎng)度為,就不能用正有理數(shù)表示(4)假命題,方程x2x80的判別式31<0,故方程無(wú)實(shí)數(shù)解(5)假命題,只有x2或x1時(shí),等式x23x20才成立(6)真命題,x2或x1,都使得等式x23x20成立跟蹤訓(xùn)練2C例3解方法一(1)不等式mf(x)>0可化為m>f(x),即m>x22x5(x1)24.要使m>(x1)24對(duì)于任意xR恒成立,只需m>4即可故存在實(shí)數(shù)m使不等式mf(x)>0對(duì)于任意xR恒成立,此時(shí)需m>4.(2)不等式mf(x)>0,可化為m>f(x),若至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)x使不等式m>f(x)成立,只需m>f(x)min.又f(x)(x1)24,所以f(x)min4,所以m>4.所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是(4,)方法二(1)要使不等式mf(x)>0對(duì)xR恒成立,即x22x5m>0對(duì)xR恒成立所以(2)24(5m)<0,解得m>4,所以當(dāng)m>4時(shí),mf(x)>0對(duì)于任意xR恒成立(2)若至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)x,使mf(x)>0成立,即x22x5m<0成立只需(2)24(5m)>0即可,解得m>4.所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是(4,)跟蹤訓(xùn)練3解(1)關(guān)于x的不等式x2(2a1)xa220的解集非空,(2a1)24(a22)0,即4a70,解得a,實(shí)數(shù)a的取值范圍為.(2)對(duì)xR,p(x)是真命題對(duì)xR,ax22x1>0恒成立,當(dāng)a0時(shí),不等式為2x1>0不恒成立,當(dāng)a0時(shí),若不等式恒成立,則a>1.當(dāng)堂訓(xùn)練1D2.B3.B4.15解(1)xR,x2x1>0,真命題(2)a,bR,axb0恰有一解,假命題(3)x,yZ,3x2y10,真命題(4)xQ,x2x1是有理數(shù),真命題7

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