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2017-2018版高中數(shù)學 第三章 圓錐曲線與方程 1.1 橢圓及其標準方程(二)學案 北師大版選修2-1

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2017-2018版高中數(shù)學 第三章 圓錐曲線與方程 1.1 橢圓及其標準方程(二)學案 北師大版選修2-1

1.1橢圓及其標準方程(二)學習目標加深理解橢圓定義及標準方程,能夠熟練求解與橢圓有關的軌跡問題.知識點橢圓標準方程的認識與推導思考1橢圓標準方程的幾何特征與代數(shù)特征分別是什么?思考2依據(jù)橢圓方程,如何確定其焦點位置?思考3觀察橢圓的形狀,你認為怎樣選擇坐標系才能使橢圓的方程較簡單?并寫出求解過程.梳理(1)橢圓的標準方程的形式焦點位置形狀、大小焦點坐標標準方程焦點在x軸上形狀、大小相同a>b>0,b2a2c2,焦距為2cF1(c,0),F(xiàn)2(c,0)1(a>b>0)焦點在y軸上F1(0,c),F(xiàn)2(0,c)1(a>b>0)(2)方程Ax2By21表示橢圓的充要條件是_.(3)橢圓方程中參數(shù)a,b,c之間的關系為_.類型一橢圓標準方程的確定例1求焦點在坐標軸上,且經(jīng)過A(,2)和B(2,1)兩點的橢圓的標準方程.反思與感悟求解橢圓的標準方程,可以利用定義,也可以利用待定系數(shù)法,選擇求解方法時,一定要結合題目條件,其次需注意橢圓的焦點位置.跟蹤訓練1求適合下列條件的橢圓的標準方程.(1)兩個焦點的坐標分別是(0,2),(0,2),并且橢圓經(jīng)過點(,);(2)焦點在y軸上,且經(jīng)過兩點(0,2)和(1,0).類型二相關點法在求解橢圓方程中的應用例2如圖,在圓x2y24上任取一點P,過點P作x軸的垂線段PD,D為垂足.當點P在圓上運動時,求線段PD的中點M的軌跡. 引申探究若本例中“過點P作x軸的垂線段PD”,改為“過點P作y軸的垂線段PD”.那么線段PD的中點M的軌跡又是什么?反思與感悟如果一個動點P隨著另一個在已知曲線上運動的動點Q而運動,則求P點的軌跡方程時一般用轉(zhuǎn)代法來求解.基本步驟為(1)設點:設所求軌跡上動點坐標為P(x,y),已知曲線上動點坐標為Q(x1,y1).(2)求關系式:用點P的坐標表示出點Q的坐標,即得關系式(3)代換:將上述關系式代入已知曲線方程得到所求動點軌跡的方程,并把所得方程化簡即可.跟蹤訓練2如圖所示,B點坐標為(2,0),P是以O為圓心的單位圓上的動點,POB的平分線交直線PB于點Q,求點Q的軌跡方程. 1.若方程y21表示焦點在x軸上的橢圓,則m的取值范圍為()A.(1,) B.(,)C.1,) D.(,1)2.設B(4,0),C(4,0),且ABC的周長等于18,則動點A的軌跡方程為()A.1(y0) B.1(y0)C.1(y0) D.1(y0)3.已知橢圓E:1(a>b>0)的右焦點為F(3,0),過點F的直線交E于A,B兩點.若AB的中點坐標為(1,1),則橢圓E的方程為_.4.在橢圓y21中,有一沿直線運動的粒子從一個焦點F2出發(fā)經(jīng)橢圓反射后經(jīng)過另一個焦點F1,再次被橢圓反射后又回到F2,則該粒子在整個運動過程中經(jīng)過的路程為_.5.ABC的三邊長a,b,c成等差數(shù)列,且b6,求頂點B的軌跡方程.1.兩種形式的橢圓的標準方程的比較如下表:標準方程1(a>b>0)1(a>b>0)不同點圖形焦點坐標F1(c,0),F(xiàn)2(c,0)F1(0,c),F(xiàn)2(0,c)相同點定義平面內(nèi)到兩個定點F1、F2的距離之和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的集合a、b、c的關系a2b2c22.所謂橢圓的標準方程,指的是焦點在坐標軸上,且兩焦點的中點為坐標原點;在1與1這兩個標準方程中,都有a>b>0的要求,如方程1(m>0,n>0,mn)就不能肯定焦點在哪個軸上;分清兩種形式的標準方程,可與直線截距式1類比,如1中,由于a>b,所以在x軸上的“截距”更大,因而焦點在x軸上(即看x2,y2分母的大小).要區(qū)別a2b2c2與習慣思維下的勾股定理c2a2b2.提醒:完成作業(yè)第三章§11.1(二)答案精析問題導學知識點思考1標準方程的幾何特征:橢圓的中心在坐標原點,焦點在x軸或y軸上.標準方程的代數(shù)特征:方程右邊為1,左邊是關于與的平方和,并且分母為不相等的正值.思考2把方程化為標準形式,與x2,y2相對應的分母哪個大,焦點就在相應的軸上.思考3(1)如圖所示,以經(jīng)過橢圓兩焦點F1,F(xiàn)2的直線為x軸,線段F1F2的垂直平分線為y軸,建立直角坐標系xOy. (2)設點:設點M(x,y)是橢圓上任意一點,且橢圓的焦點坐標為F1(c,0),F(xiàn)2(c,0).(3)列式:依據(jù)橢圓的定義式|MF1|MF2|2a列方程,并將其坐標化為2a.(4)化簡:通過移項、兩次平方后得到:(a2c2)x2a2y2a2(a2c2),為使方程簡單、對稱、便于記憶,引入字母b,令b2a2c2,可得橢圓標準方程為1(a>b>0).(5)從上述過程可以看到,橢圓上任意一點的坐標都滿足方程,以方程的解(x,y)為坐標的點到橢圓的兩個焦點F1(c,0),F(xiàn)2(c,0)的距離之和為2a,即以方程的解為坐標的點都在橢圓上.由曲線與方程的關系可知,方程是橢圓的方程,我們把它叫作橢圓的標準方程.梳理(2)A>0,B>0且AB(3)a2b2c2題型探究例1解方法一(1)當焦點在x軸上時,設橢圓的標準方程為1(a>b>0),依題意有解得故所求橢圓的標準方程為1.(2)當焦點在y軸上時,設橢圓的標準方程為1(a>b>0),依題意有解得此時不符合a>b>0,所以方程組無解.故所求橢圓的標準方程為1.跟蹤訓練1解(1)橢圓的焦點在y軸上,設它的標準方程為1(a>b>0).由橢圓的定義知:2a 2,即a.又c2,b2a2c26.所求的橢圓的標準方程為1.(2)橢圓的焦點在y軸上,設它的標準方程為1(a>b>0).又橢圓經(jīng)過點(0,2)和(1,0),所求的橢圓的標準方程為x21.例2解設點M的坐標為(x,y),點P的坐標為(x0,y0),則xx0,y.因為點P(x0,y0)在圓x2y24上,所以xy4.把x0x,y02y代入方程,得x24y24,即y21.所以點M的軌跡是一個焦點在x軸上的橢圓.引申探究解設M(x,y),P(x0,y0),則xy4,(*)代入(*)式得x21.故點M的軌跡是一個焦點在y軸上的橢圓.跟蹤訓練2解由三角形角平分線性質(zhì)得2.2.設Q(x,y),P(x0,y0),則(x2,y)2(x0x,y0y),又點P在單位圓x2y21上.()2(y)21.點Q的軌跡方程為y21.當堂訓練1.A2.A3.14.45.解以直線AC為x軸,AC的中點為原點,建立直角坐標系,設A(3,0),C(3,0),B(x,y),則|BC|AB|ac2b2|AC|12,B點的軌跡是以A,C為焦點的橢圓,且a6,c3,b227.故所求的軌跡方程為1(y0).7

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