2017-2018版高中數(shù)學 第三章 不等式 2.1 一元二次不等式的解法學案 北師大版必修5

21一元二次不等式的解法學習目標1.理解一元二次方程、一元二次不等式與二次函數(shù)的關系.2.掌握圖像法解一元二次不等式.3.體會數(shù)形結合、分類討論思想知識點一一元二次不等式的概念思考我們知道，方程x21的解集是1，1，解集中的每一個元素均可使等式成立那么你能寫出不等式x2>1的解集嗎？梳理(1)形如ax2bxc>0(0)或ax2bxc<0(0)的不等式(其中a0)，叫作一元二次不等式(2)使某個一元二次不等式成立的x的值叫這個一元二次不等式的解(3)一元二次不等式所有解組成的集，叫作一元二次不等式的解集知識點二“三個二次”的關系思考分析二次函數(shù)yx21與一元二次方程x210和一元二次不等式x21>0之間的關系梳理一元二次不等式與相應的一元二次方程、二次函數(shù)的聯(lián)系，如下表b24ac>00<0yax2bxc(a>0)的圖像ax2bxc0(a>0)的根沒有實數(shù)根ax2bxc>0(a>0)的解集x|xRax2bxc<0(a>0)的解集知識點三一元二次不等式的解法思考根據(jù)上表，嘗試解不等式x22>3x.梳理解一元二次方程的步驟解形如ax2bxc>0(0)或ax2bxc<0(0)的一元二次不等式，一般可分為三步：(1)確定對應方程ax2bxc0的解；(2)畫出對應函數(shù)yax2bxc的圖像簡圖；(3)由圖像得出不等式的解集類型一一元二次不等式的解法命題角度1二次項系數(shù)大于0例1求不等式4x24x1>0的解集反思與感悟當所給不等式是非一般形式的不等式時，應先化為一般形式，在具體求解一個一般形式的一元二次不等式的過程中，要密切結合一元二次方程的根的情況以及二次函數(shù)的圖像跟蹤訓練1求不等式2x23x20的解集命題角度2二次項系數(shù)小于0例2解不等式x22x3>0.反思與感悟將x22x3>0轉化為x22x3<0的過程注意符號的變化，這是解本題關鍵之處跟蹤訓練2求不等式3x26x>2的解集命題角度3含參數(shù)的二次不等式例3解關于x的不等式ax2(a1)x10.反思與感悟解含參數(shù)的不等式，可以按常規(guī)思路進行：先考慮開口方向，再考慮判別式的正負，最后考慮兩根的大小關系，當遇到不確定因素時再討論跟蹤訓練3解關于x的不等式(xa)(xa2)0.類型二“三個二次”間對應關系的應用例4已知關于x的不等式x2axb<0的解集為x|1x2，試求關于x的不等式bx2ax1>0的解集反思與感悟給出一元二次不等式的解集，相當于知道了相應二次函數(shù)的開口及與x軸的交點，可以利用代入根或根與系數(shù)的關系求待定系數(shù)跟蹤訓練4已知不等式ax2bx2<0的解集為x|1<x<2，求a，b的值1不等式2x2x1>0的解集是()A. Bx|x1Cx|x1或x2 D.2不等式6x2x20的解集是()A. B.C. D.3若不等式ax28ax21<0的解集是x|7<x<1，那么a的值是()A1 B2 C3 D44不等式x2x2<0的解集為_5若不等式(a2)x22(a2)x4<0的解集為R，求實數(shù)a的取值范圍1解一元二次不等式的常見方法(1)圖像法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函數(shù)的關系，可以得到解一元二次不等式的一般步驟化不等式為標準形式：ax2bxc>0(a>0)或ax2bxc<0(a>0)；求方程ax2bxc0(a>0)的根，并畫出對應函數(shù)yax2bxc圖像的簡圖；由圖像得出不等式的解集(2)代數(shù)法：將所給不等式化為一般式后借助分解因式或配方求解當m<n時，若(xm)(xn)>0，則可得x>n或x<m；若(xm)(xn)<0，則可得m<x<n.有口訣如下：大于取兩邊，小于取中間2含參數(shù)的一元二次型的不等式在解含參數(shù)的一元二次型的不等式時，往往要對參數(shù)進行分類討論，為了做到分類“不重不漏”，討論需從如下三個方面進行考慮：(1)關于不等式類型的討論：二次項系數(shù)a>0，a<0，a0.(2)關于不等式對應的方程根的討論：兩根(>0)，一根(0)，無根(<0)(3)關于不等式對應的方程根的大小的討論：x1>x2，x1x2，x1<x2.答案精析問題導學知識點一思考不等式x2>1的解集為x|x<1或x>1，該集合中每一個元素都是不等式的解，而不等式的每一個解均屬于解集知識點二思考x21>0yx21x210.梳理有兩相異實根x1，x2(x1<x2)有兩相等實根x1x2x|x<x1或x>x2x|x1<x<x2知識點三思考先化為x23x2>0.方程x23x20的根x11，x22，原不等式的解集為x|x<1或x>2題型探究例1解因為(4)24×4×10，所以方程4x24x10的解是x1x2，所以原不等式的解集為.跟蹤訓練1解2x23x20的兩解為x1，x22，且a2>0，不等式2x23x20的解集是x|x或x2例2解不等式可化為x22x3<0.因為<0，方程x22x30無實數(shù)解，而yx22x3的圖像開口向上，所以原不等式的解集是.跟蹤訓練2解不等式可化為3x26x2<0，(6)24×3×212>0，x11，x21，不等式3x26x>2的解集是x|1<x<1例3解當a0時，不等式可化為(x)(x1)0，a0，1，不等式的解集為x|x或x1當a0時，不等式即x10，解集為x|x1當a0時，不等式可化為(x)(x1)0.當0a1時，1，不等式的解集為x|1x當a1時，不等式的解集為.當a1時，1，不等式的解集為x|x1綜上，當a0時，解集為x|x或x1；當a0時，解集為x|x1；當0a1時，解集為x|1x；當a1時，解集為；當a1時，解集為x|x1跟蹤訓練3解當a0或a1時，有aa2，此時，不等式的解集為x|axa2；當0a1時，有a2a，此時，不等式的解集為x|a2xa；當a0或a1時，原不等式無解綜上，當a0或a1時，原不等式的解集為x|axa2；當0a1時，原不等式的解集為x|a2xa；當a0或a1時，解集為.例4解由根與系數(shù)的關系，可得即不等式bx2ax1>0，即2x23x1>0.由2x23x1>0，解得x<或x>1.bx2ax1>0的解集為.跟蹤訓練4解方法一由題設條件知a>0，且1,2是方程ax2bx20的兩實根由根與系數(shù)的關系，知解得方法二把x1,2分別代入方程ax2bx20中，得解得當堂訓練1D2.B3.C4.x|2<x<15解當a20，即a2時，原不等式為4<0，所以a2時解集為R.當a20時，由題意得即解得2<a<2.綜上所述，a的取值范圍為(2,26