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2017-2018版高中數(shù)學(xué) 第三章 變化率與導(dǎo)數(shù)疑難規(guī)律方法學(xué)案 北師大版選修1-1

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2017-2018版高中數(shù)學(xué) 第三章 變化率與導(dǎo)數(shù)疑難規(guī)律方法學(xué)案 北師大版選修1-1

第三章 變化率與導(dǎo)數(shù)1利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解題1求參數(shù)例1設(shè)曲線yf(x)ax2在點(diǎn)(1,a)處的切線與直線2xy60平行,則a_.解析根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義,2aax,當(dāng)x無(wú)限趨近于0時(shí),2aax無(wú)限趨近于2a,即f(1)2a.又由曲線f(x)ax2在點(diǎn)(1,a)處的切線與直線2xy60平行,得2a2,即a1.答案12求傾斜角例2求曲線yf(x)x3x25在x1處的切線的傾斜角分析要求切線的傾斜角,先要求切線的斜率k,再根據(jù)斜率ktan ,求出傾斜角.解設(shè)曲線yf(x)x3x25在x1處的切線的傾斜角為.(x)21,當(dāng)x無(wú)限趨近于0時(shí),(x)21無(wú)限趨近于1,即tan f(1)1.因?yàn)?,),所以.故切線的傾斜角為.評(píng)注切線的傾斜角能通過求切線的斜率得到,在解題過程中,一定要注意切線的傾斜角的取值范圍3求曲線的切線例3求在點(diǎn)P處與曲線yx3相切的切線方程分析要求直線在點(diǎn)P處的切線方程,需求得過點(diǎn)P的切線的斜率k,然后根據(jù)點(diǎn)斜式可求得切線方程解因?yàn)辄c(diǎn)P在曲線yx3上,y(2x)3×234x2(x)2(x)3,所以42x(x)2,當(dāng)x無(wú)限趨近于0時(shí),無(wú)限趨近于4,即k4.故所求的切線方程為y4(x2),即12x3y160.評(píng)注求在點(diǎn)P處與曲線相切的切線方程時(shí),可求出切線的斜率,然后再根據(jù)點(diǎn)斜式求切線方程4求切點(diǎn)的坐標(biāo)例4若曲線yf(x)x31在點(diǎn)P處的切線的斜率為3,求點(diǎn)P的坐標(biāo)分析要求點(diǎn)P的坐標(biāo),可設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0,x1),然后由切線的斜率為3,解方程求得解設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0,x1),因?yàn)?x3x0x(x)2,當(dāng)x無(wú)限趨近于0時(shí),上式無(wú)限趨近于3x,所以3x3.解得x0±1.故點(diǎn)P的坐標(biāo)是(1,2)或(1,0)評(píng)注值得注意的是切點(diǎn)P的坐標(biāo)有兩個(gè),部分同學(xué)誤認(rèn)為只有一個(gè)而出錯(cuò).2利用導(dǎo)數(shù)求切線方程曲線的切線問題是高考的常見題型之一而導(dǎo)數(shù)f(x0)的幾何意義為曲線yf(x)在點(diǎn)P(x0,f(x0)處的切線的斜率,所以利用導(dǎo)數(shù)解決相切問題是常用的方法下面對(duì)“求過一點(diǎn)的切線方程”的題型做以下歸納1已知切點(diǎn),求曲線的切線方程此類題只需求出曲線的導(dǎo)數(shù)f(x),并代入點(diǎn)斜式方程即可例1曲線f(x)x33x21在點(diǎn)(1,1)處的切線方程為()Ay3x4 By3x2Cy4x3 Dy4x5解析由f(x)3x26x,知在點(diǎn)(1,1)處的斜率kf(1)3.所以切線方程為y(1)3(x1),即y3x2.故選B.答案B2已知過曲線上一點(diǎn),求切線方程過曲線上一點(diǎn)的切線,該點(diǎn)未必是切點(diǎn),故應(yīng)先設(shè)切點(diǎn),再求切點(diǎn),即用待定切點(diǎn)法例2求過曲線f(x)x32x上的點(diǎn)(1,1)的切線方程解設(shè)P(x0,y0)為切點(diǎn),則切線的斜率為f(x0)3x2.所以切線方程為yy0(3x2)(xx0),即y(x2x0)(3x2)(xx0)又知切線過點(diǎn)(1,1),所以1(x2x0)(3x2)(1x0)解得x01,或x0.故所求切線方程為y(12)(32)(x1),或y(1)(2)(x),即xy20,或5x4y10.點(diǎn)評(píng)可以發(fā)現(xiàn)直線5x4y10并不以(1,1)為切點(diǎn),實(shí)際上是經(jīng)過點(diǎn)(1,1),且以(,)為切點(diǎn)的直線這說明過曲線上一點(diǎn)的切線,該點(diǎn)未必是切點(diǎn)3已知過曲線外一點(diǎn),求切線方程此類題可先設(shè)切點(diǎn),再求切點(diǎn),即用待定切點(diǎn)法來求解例3求過點(diǎn)(2,0)且與曲線f(x)相切的直線方程解設(shè)P(x0,y0)為切點(diǎn),則切線的斜率為f(x0).所以切線方程為yy0(xx0),即y(xx0)又已知切線過點(diǎn)(2,0),把它代入上述方程,得(2x0)解得x01,y01,即xy20.點(diǎn)評(píng)點(diǎn)(2,0)實(shí)際上是曲線外的一點(diǎn),但在解答過程中卻無(wú)需判斷它的確切位置,這充分反映出待定切點(diǎn)法的高效性4求兩條曲線的公切線例4已知曲線C1:yx2與C2:yx24x4,直線l與C1,C2都相切,求直線l的方程分析設(shè)出直線與兩條曲線的切點(diǎn)坐標(biāo),分別求出曲線在切點(diǎn)處的切線方程,再利用兩個(gè)方程所表示的直線重合,建立方程組求解解設(shè)l與C1相切于點(diǎn)P(x1,x),與C2相切于點(diǎn)Q(x2,x4x24)由C1:yx2,得y2x,則與C1相切于點(diǎn)P的切線方程為yx2x1(xx1),即y2x1xx,由C2:yx24x4,得y2x4,則與C2相切于點(diǎn)Q的切線方程為y2(x22)xx4.因?yàn)閮汕芯€重合,所以2x12(x22)且xx4,解得x10,x22或x12,x20.所以直線l的方程為y0或y4x4.點(diǎn)評(píng)公切線問題的一般解法是分別求出曲線在切點(diǎn)處的切線方程,再利用兩直線重合的條件建立方程組求解.3導(dǎo)數(shù)運(yùn)算中的常見錯(cuò)誤1對(duì)f(x0)與f(x)理解有誤例1已知函數(shù)f(x)x22xf(1),則f(0)的值為()A0 B4 C2 D2錯(cuò)解由f(x)x22xf(1)得f(0)0.所以f(0)0.故選A.錯(cuò)因分析解題時(shí)沒有弄清導(dǎo)函數(shù)和其在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的關(guān)系,求函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)時(shí),應(yīng)先求導(dǎo)再求函數(shù)值,同時(shí)要注意f(1)是常數(shù)正解由f(x)x22xf(1)得,f(x)2x2f(1)所以f(1)2×12f(1)所以f(1)2.從而f(x)2x4.所以f(0)4.故選B.2切點(diǎn)位置的確定有誤例2求過點(diǎn)P(1,0)且與曲線f(x)x3x相切的直線的方程錯(cuò)解由題意知點(diǎn)P(1,0)在曲線上因?yàn)閒(x)3x21,所以f(1)2.所以切線方程為y02(x1),即2xy20.錯(cuò)因分析點(diǎn)P(1,0)雖然在曲線上,但不一定是切點(diǎn),解題時(shí)把點(diǎn)P(1,0)當(dāng)作切點(diǎn)顯然是錯(cuò)誤的求曲線的切線方程時(shí),應(yīng)注意兩種“說法”:(1)曲線在點(diǎn)P處的切線方程(一定是以點(diǎn)P為切點(diǎn));(2)曲線過點(diǎn)P的切線方程(無(wú)論點(diǎn)P是否在曲線上,點(diǎn)P都不一定是切點(diǎn))正解設(shè)切點(diǎn)為(x0,xx0),則過該點(diǎn)的切線方程為y(xx0)(3x1)(xx0)由切線過點(diǎn)P(1,0)得:0(xx0)(3x1)(1x0),整理得2x3x10.即(x01)2(2x01)0,解得x01或x0.所以切線方程為2xy20或x4y10.3對(duì)切線定義的理解有誤例3已知曲線C:yf(x)x3,曲線C在點(diǎn)P(2,4)處的切線方程為y4x4,試分析該切線與曲線C是否還有其他公共點(diǎn)?若有,求出公共點(diǎn)的坐標(biāo);若沒有,說明理由錯(cuò)解由于直線y4x4與曲線C相切,因此除切點(diǎn)P(2,4)外沒有其他的公共點(diǎn)錯(cuò)因分析“切線與曲線有唯一公共點(diǎn)”,此說法對(duì)圓、橢圓這一類特殊曲線是成立的,但對(duì)一般曲線不一定成立正解由消去y整理得:x312x160,即(x2)(x22x8)0.所以(x2)2(x4)0,解得x2或x4.所以交點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,4),(4,20),所以該切線與曲線的公共點(diǎn)除了切點(diǎn)(2,4)外還有點(diǎn)(4,20)5

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