2017-2018版高中數(shù)學(xué) 第一章 計(jì)數(shù)原理 3 組合 第2課時(shí) 組合的應(yīng)用學(xué)案 北師大版選修2-3

第2課時(shí)組合的應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)1.能應(yīng)用組合知識(shí)解決有關(guān)組合的簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題.2.能解決有限制條件的組合問(wèn)題 知識(shí)點(diǎn)組合應(yīng)用題的解法1無(wú)限制條件的組合應(yīng)用題的解法步驟為：一、判斷；二、轉(zhuǎn)化；三、求值；四、作答2有限制條件的組合應(yīng)用題的解法常用解法有：直接法、間接法可將條件視為特殊元素或特殊位置，一般地按從不同位置選取元素的順序分步，或按從同一位置選取的元素個(gè)數(shù)的多少分類(lèi)類(lèi)型一有限制條件的組合問(wèn)題例1去年7月23日，某鐵路線發(fā)生特大交通事故，某醫(yī)院從10名醫(yī)療專(zhuān)家中抽調(diào)6名赴事故現(xiàn)場(chǎng)搶救傷員，其中這10名醫(yī)療專(zhuān)家中有4名是外科專(zhuān)家問(wèn)：(1)抽調(diào)的6名專(zhuān)家中恰有2名是外科專(zhuān)家的抽調(diào)方法有多少種？(2)至少有2名外科專(zhuān)家的抽調(diào)方法有多少種？(3)至多有2名外科專(zhuān)家的抽調(diào)方法有多少種？反思與感悟(1)解決有約束條件的組合問(wèn)題與解決有約束條件的排列問(wèn)題的方法一樣，都是遵循“誰(shuí)特殊誰(shuí)優(yōu)先”的原則，在此前提下，采用分類(lèi)或分步法或用間接法(2)要正確理解題中的關(guān)鍵詞，如“至少”“至多”“含”“不含”等的確切含義，正確分類(lèi)，合理分步(3)要謹(jǐn)防重復(fù)或遺漏，當(dāng)直接法中分類(lèi)較復(fù)雜時(shí)，可考慮用間接法處理，即“正難則反”的策略跟蹤訓(xùn)練1男運(yùn)動(dòng)員6名，女運(yùn)動(dòng)員4名，其中男女隊(duì)長(zhǎng)各1名，選派5人外出比賽，在下列情形中各有多少種選派方法？(1)男運(yùn)動(dòng)員3名，女運(yùn)動(dòng)員2名；(2)至少有1名女運(yùn)動(dòng)員；(3)既要有隊(duì)長(zhǎng)，又要有女運(yùn)動(dòng)員類(lèi)型二與幾何有關(guān)的組合應(yīng)用題例2如圖，在以AB為直徑的半圓周上，有異于A，B的六個(gè)點(diǎn)C1，C2，C6，線段AB上有異于A，B的四個(gè)點(diǎn)D1，D2，D3，D4.(1)以這10個(gè)點(diǎn)中的3個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)可作多少個(gè)三角形？其中含C1點(diǎn)的有多少個(gè)？(2)以圖中的12個(gè)點(diǎn)(包括A，B)中的4個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)，可作出多少個(gè)四邊形？反思與感悟(1)圖形多少的問(wèn)題通常是組合問(wèn)題，要注意共點(diǎn)、共線、共面、異面等情形，防止多算常用直接法，也可采用間接法(2)在處理幾何問(wèn)題中的組合問(wèn)題時(shí)，應(yīng)將幾何問(wèn)題抽象成組合問(wèn)題來(lái)解決跟蹤訓(xùn)練2空間中有10個(gè)點(diǎn)，其中有5個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面內(nèi)，其余點(diǎn)無(wú)三點(diǎn)共線，四點(diǎn)共面，則以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)，共可構(gòu)成四面體的個(gè)數(shù)為()A205 B110 C204 D200類(lèi)型三分組、分配問(wèn)題命題角度1不同元素分組、分配問(wèn)題例3有6本不同的書(shū)，按下列分配方式分配，則共有多少種不同的分配方式？(1)分成三組，每組分別有1本，2本，3本；(2)分給甲、乙、丙三人，其中一個(gè)人1本，一個(gè)人2本，一個(gè)人3本；(3)分成三組，每組都是2本；(4)分給甲、乙、丙三人，每人2本反思與感悟分組、分配問(wèn)題的求解策略常見(jiàn)形式處理方法非均勻不編號(hào)分組n個(gè)不同元素分成m組，每組元素?cái)?shù)目均不相同，且不考慮各組間的順序，不管是否分盡，分法種數(shù)為：ACm1n·Cm2nm1·Cm3n(m1m2)··Cmmn(m1m2mm1)均勻不編號(hào)分組將n個(gè)不同元素分成不編號(hào)的m組，假定其中r組元素個(gè)數(shù)相等，不管是否分盡，其分法種數(shù)為(其中A為非均勻不編號(hào)分組中的分法數(shù))如果再有k組均勻組應(yīng)再除以A非均勻編號(hào)分組n個(gè)不同元素分成m組，各組元素?cái)?shù)目均不相等，且考慮各組間的順序，其分法種數(shù)為A·A均勻編號(hào)分組n個(gè)不同元素分成m組，其中r組元素個(gè)數(shù)相同且考慮各組間的順序，其分法種數(shù)為·A跟蹤訓(xùn)練3某賓館安排A、B、C、D、E五人入住3個(gè)房間，每個(gè)房間至少住1人，且A，B不能住同一房間，則不同的安排方法的種數(shù)為()A24 B48 C96 D114命題角度2相同元素分配問(wèn)題例4將6個(gè)相同的小球放入4個(gè)編號(hào)為1,2,3,4的盒子，求下列方法的種數(shù)(1)每個(gè)盒子都不空；(2)恰有一個(gè)空盒子；(3)恰有兩個(gè)空盒子反思與感悟相同元素分配問(wèn)題的處理策略(1)隔板法：如果將放有小球的盒子緊挨著成一行放置，便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相鄰兩塊隔板形成一個(gè)“盒”每一種插入隔板的方法對(duì)應(yīng)著小球放入盒子的一種方法，此法稱(chēng)之為隔板法隔板法專(zhuān)門(mén)解決相同元素的分配問(wèn)題(2)將n個(gè)相同的元素分給m個(gè)不同的對(duì)象(nm)，有C種方法可描述為n1個(gè)空中插入m1塊板跟蹤訓(xùn)練4有10個(gè)運(yùn)動(dòng)員名額，分給班號(hào)分別為1,2,3的3個(gè)班(1)每班至少有1個(gè)名額，有多少種分配方案？(2)每班至少有2個(gè)名額，有多少種分配方案？(3)每班的名額不能少于其班號(hào)數(shù)，有多少種分配方案？(4)可以允許某些班級(jí)沒(méi)有名額，有多少種分配方案？1從5名男醫(yī)生，4名女醫(yī)生中選3名醫(yī)生組成一個(gè)醫(yī)療小分隊(duì)，要求其中男、女醫(yī)生都有，則不同的組隊(duì)方案共有()A70種 B80種C100種 D140種2某食堂每天中午準(zhǔn)備4種不同的葷菜，7種不同的蔬菜，用餐者可以按下述方法之一搭配午餐：(1)任選兩種葷菜、兩種蔬菜和白米飯；(2)任選一種葷菜、兩種蔬菜和蛋炒飯則每天不同午餐的搭配方法共有()A210種 B420種C56種 D22種3甲、乙、丙三位同學(xué)選修課程，從4門(mén)課程中，甲選修2門(mén)，乙、丙各選修3門(mén)，則不同的選修方案共有()A36種 B48種C96種 D192種4直角坐標(biāo)平面xOy上，平行直線xn(n0,1,2，5)與平行直線yn(n0,1,2，5)組成的圖形中，矩形共有()A25個(gè) B36個(gè)C100個(gè) D225個(gè)5要從12人中選出5人參加一次活動(dòng)，其中A，B，C三人至多兩人入選，則有_種不同選法1無(wú)限制條件的組合應(yīng)用題的解題步驟(1)判斷(2)轉(zhuǎn)化(3)求值(4)作答2有限制條件的組合應(yīng)用題的分類(lèi)(1)“含”與“不含”問(wèn)題：這類(lèi)問(wèn)題的解題思路是將限制條件視為特殊元素和特殊位置，一般來(lái)講，特殊要先滿足，其余則“一視同仁”若正面入手不易，則從反面入手，尋找問(wèn)題的突破口，即采用排除法解題時(shí)要注意分清“有且僅有”“至多”“至少”“全是”“都不是”“不都是”等詞語(yǔ)的確切含義，準(zhǔn)確把握分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)(2)幾何中的計(jì)算問(wèn)題：在處理幾何問(wèn)題中的組合應(yīng)用問(wèn)題時(shí)，應(yīng)先明確幾何中的點(diǎn)、線、面及構(gòu)型，明確平面圖形和立體圖形中的點(diǎn)、線、面之間的關(guān)系，將幾何問(wèn)題抽象成組合問(wèn)題來(lái)解決(3)分組、分配問(wèn)題：分組問(wèn)題和分配問(wèn)題是有區(qū)別的，前者組與組之間只要元素個(gè)數(shù)相同，是不可區(qū)分的，而后者即使兩組元素個(gè)數(shù)相同，但因元素不同，仍然是可區(qū)分的答案精析題型探究例1解(1)分兩步：首先從4名外科專(zhuān)家中任選2名，有C種選法，再?gòu)某饪茖?zhuān)家的6人中選取4人，有C種選法，所以共有CC90(種)抽調(diào)方法(2)“至少”的含義是不低于，有兩種解答方法，方法一(直接法)：按選取的外科專(zhuān)家的人數(shù)分類(lèi)：選2名外科專(zhuān)家，共有CC種選法；選3名外科專(zhuān)家，共有CC種選法；選4名外科專(zhuān)家，共有CC種選法根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理，共有CCCCCC185(種)抽調(diào)方法方法二(間接法)：不考慮是否有外科專(zhuān)家，共有C種選法，若選取1名外科專(zhuān)家參加，有CC種選法；沒(méi)有外科專(zhuān)家參加，有C種選法，所以共有CCCC185(種)抽調(diào)方法(3)“至多2名”包括“沒(méi)有”、“有1名”和“有2名”三種情況，分類(lèi)解答沒(méi)有外科專(zhuān)家參加，有C種選法；有1名外科專(zhuān)家參加，有CC種選法；有2名外科專(zhuān)家參加，有CC種選法所以共有CCCCC115(種)抽調(diào)方法跟蹤訓(xùn)練1解(1)第一步：選3名男運(yùn)動(dòng)員，有C種選法；第二步：選2名女運(yùn)動(dòng)員，有C種選法，故共有C·C120(種)選法(2)方法一(直接法)：“至少有1名女運(yùn)動(dòng)員”包括以下幾種情況，1女4男，2女3男，3女2男，4女1男由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理知共有C·CC·CC·CC·C246(種)選法方法二(間接法)：不考慮條件，從10人中任選5人，有C種選法，其中全是男運(yùn)動(dòng)員的選法有C種，故“至少有1名女運(yùn)動(dòng)員”的選法有CC246(種)(3)當(dāng)有女隊(duì)長(zhǎng)時(shí)，其他人選法任意，共有C種選法；不選女隊(duì)長(zhǎng)時(shí)，必選男隊(duì)長(zhǎng)，共有C種選法，其中不含女運(yùn)動(dòng)員的選法有C種，故不選女隊(duì)長(zhǎng)時(shí)共有CC種選法所以既有隊(duì)長(zhǎng)又有女運(yùn)動(dòng)員的選法共有CCC191(種)例2解(1)方法一可作出三角形CC·CC·C116(個(gè))方法二可作三角形CC116(個(gè))，其中以C1為頂點(diǎn)的三角形有CC·CC36(個(gè))(2)可作出四邊形CC·CC·C360(個(gè))跟蹤訓(xùn)練2A例3解(1)分三步：先選一本有C種選法，再?gòu)挠嘞碌?本中選兩本有C種選法，最后余下的三本全選有C種選法由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，分配方式共有C·C·C60(種)(2)由于甲、乙、丙是不同的三個(gè)人，在(1)問(wèn)的基礎(chǔ)上，還應(yīng)考慮再分配問(wèn)題因此，分配方式共有C·C·C·A360(種)(3)先分三組，有CCC種分法，但是這里面出現(xiàn)了重復(fù)，不妨記六本書(shū)為A，B，C，D，E，F(xiàn)，若第一組取了A，B，第二組取了C，D，第三組取了E，F(xiàn)，則該種方法記為(AB，CD，EF)，但CCC種分法中還有(AB，EF，CD)，(CD，AB，EF)，(CD，EF，AB)，(EF，CD，AB)，(EF，AB，CD)，共A種情況，而這A種情況只能作為一種分法，故分配方式有15(種)(4)在(3)的基礎(chǔ)上再分配即可，共有分配方式·A90(種)跟蹤訓(xùn)練3D例4解(1)先把6個(gè)相同的小球排成一行，在首尾兩球外側(cè)放置一塊隔板，然后在小球之間5個(gè)空隙中任選3個(gè)空隙各插一塊隔板，有C10(種)(2)恰有一個(gè)空盒子，插板分兩步進(jìn)行先在首尾兩球外側(cè)放置一塊隔板，并在5個(gè)空隙中任選2個(gè)空隙各插一塊隔板，如|0|000|00|，有C種插法，然后將剩下的一塊隔板與前面任意一塊并放形成空盒，如|0|000|00|，有C種插法，故共有C·C40(種)(3)恰有兩個(gè)空盒子，插板分兩步進(jìn)行先在首尾兩球外側(cè)放置一塊隔板，并在5個(gè)空隙中任選1個(gè)空隙各插一塊隔板，有C種插法，如|00|0000|，然后將剩下的兩塊隔板插入形成空盒這兩塊板與前面三塊板形成不相鄰的兩個(gè)盒子，如|00|0000|，有C種插法將兩塊板與前面三塊板之一并放，如|00|0000|，有C種插法故共有C·(CC)30(種)跟蹤訓(xùn)練4解(1)因?yàn)?0個(gè)名額沒(méi)有差別，把它們排成一排，相鄰名額之間形成9個(gè)空隙，在9個(gè)空隙中選2個(gè)位置插入隔板，可把名額分成3份，對(duì)應(yīng)地分給3個(gè)班級(jí)，每一種插板方法對(duì)應(yīng)一種分法，共有C36(種)分法下圖是其中一種分法，表示1班、2班、3班的名額分別是2個(gè)、5個(gè)、3個(gè)(2)因?yàn)橐竺堪嘀辽?個(gè)名額，和第(1)小問(wèn)中的要求不一樣，可以先從10個(gè)名額中拿出3個(gè)，分別給各班1個(gè)名額，還剩下7個(gè)名額，此時(shí)題目轉(zhuǎn)化為7個(gè)名額分給3個(gè)班級(jí)，每個(gè)班級(jí)至少1個(gè)名額，按照第(1)小問(wèn)的方法，可得有C15(種)分法下圖是其中的一種分法，表示1班、2班、3班的名額分別是314(個(gè))，213(個(gè))，213(個(gè))(3)2班、3班分別先給1個(gè)和2個(gè)名額，此時(shí)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為7個(gè)名額分給3個(gè)班級(jí)，每個(gè)班級(jí)至少1個(gè)名額，按照解第(1)小問(wèn)的方法，可得有C15(種)分法下圖是其中一種分法，表示1班、2班、3班的名額分別是033(個(gè))，213(個(gè))，224(個(gè))(4)增加3個(gè)名額，使得每個(gè)班級(jí)至少有1個(gè)名額，此時(shí)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為13個(gè)名額分給3個(gè)班級(jí)，每個(gè)班級(jí)至少1個(gè)名額，按照第(1)小問(wèn)的方法，可得有C66(種)分法下圖是其中一種分法，表示1班、2班、3班的名額分別是312(個(gè))，615(個(gè))，413(個(gè))當(dāng)堂訓(xùn)練1A2.A3.C4.D5.7568