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2017-2018版高中數(shù)學 第二章 空間向量與立體幾何 4 用向量討論垂直與平行(一)學案 北師大版選修2-1

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2017-2018版高中數(shù)學 第二章 空間向量與立體幾何 4 用向量討論垂直與平行(一)學案 北師大版選修2-1

4 用向量討論垂直與平行(一)學習目標1.會用待定系數(shù)法求平面的法向量.2.能用向量法證明直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行問題.知識點一空間中平行關系的向量表示設直線l,m的方向向量分別為a,b,平面,的法向量分別為,v,則線線平行l(wèi)m_akb(kR)線面平行l(wèi)a_面面平行v_知識點二利用空間向量處理平行問題思考(1)設v1(a1,b1,c1),v2(a2,b2,c2)分別是直線l1,l2的方向向量.若直線l1l2,則向量v1,v2應滿足什么關系.(2)若已知平面外一直線的方向向量和平面的法向量,則這兩向量滿足哪些條件可說明直線與平面平行?(3)用向量法處理空間中兩平面平行的關鍵是什么?梳理利用空間向量解決平行問題時,第一,建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系,用空間向量表示問題中涉及的點、直線、平面,把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題;第二,通過向量的運算,研究平行問題;第三,把向量問題再轉(zhuǎn)化成相應的立體幾何問題,從而得出結(jié)論.類型一求直線的方向向量、平面的法向量例1如圖,在四棱錐PABCD中,底面ABCD為矩形,PA平面ABCD,E為PD的中點.ABAP1,AD,試建立恰當?shù)目臻g直角坐標系,求平面ACE的一個法向量. 引申探究若本例條件不變,試求直線PC的一個方向向量和平面PCD的一個法向量.反思與感悟利用待定系數(shù)法求平面法向量的步驟(1)設向量:設平面的法向量為n(x,y,z).(2)選向量:在平面內(nèi)選取兩個不共線向量,.(3)列方程組:由列出方程組.(4)解方程組:(5)賦非零值:取其中一個為非零值(常取±1).(6)得結(jié)論:得到平面的一個法向量.跟蹤訓練1如圖,在四棱錐PABCD中,底面ABCD是矩形.平面PAB平面ABCD,PAB是邊長為1的正三角形,ABCD是菱形.ABC60°,E是PC的中點,F(xiàn)是AB的中點,試建立恰當?shù)目臻g直角坐標系,求平面DEF的法向量. 類型二利用空間向量證明平行問題例2已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為2,E、F分別是BB1、DD1的中點,求證:(1)FC1平面ADE;(2)平面ADE平面B1C1F.反思與感悟利用向量證明平行問題,可以先建立空間直角坐標系,求出直線的方向向量和平面的法向量,然后根據(jù)向量之間的關系證明平行問題.跟蹤訓練2如圖,在四棱錐PABCD中,PA平面ABCD,PB與底面所成的角為45°,底面ABCD為直角梯形,ABCBAD90°,PABCAD1,問在棱PD上是否存在一點E,使CE平面PAB?若存在,求出E點的位置;若不存在,請說明理由. 1.若A(1,0,1),B(1,4,7)在直線l上,則直線l的一個方向向量為()A.(1,2,3) B.(1,3,2) C.(2,1,3) D.(3,2,1)2.已知直線l1的方向向量為a(2,3,5),直線l2的方向向量為b(4,x,y),若l1l2,則x,y的值分別是()A.6和10 B.6和10 C.6和10 D.6和103.若(2,3,1)是平面的一個法向量,則下列向量中能作為平面的法向量的是()A.(0,3,1) B.(2,0,1) C.(2,3,1) D.(2,3,1)4.若直線l,且l的方向向量為(2,m,1),平面的法向量為,則m為()A.4 B.6 C.8 D.85.在正方體ABCDA1B1C1D1中,平面ACD1的一個法向量為_.1.應用向量法證明線面平行問題的方法(1)證明直線的方向向量與平面的法向量垂直.(2)證明直線的方向向量與平面內(nèi)的某一直線的方向向量共線.(3)證明直線的方向向量可用平面內(nèi)的任兩個不共線的向量表示.即用平面向量基本定理證明線面平行.2.證明面面平行的方法設平面的法向量為n1(a1,b1,c1),平面的法向量為n2(a2,b2,c2),則n1n2(a1,b1,c1)k(a2,b2,c2)(kR).提醒:完成作業(yè)第二章§4(一)答案精析問題導學知識點一aba·0kv(kR)知識點二思考(1)由直線方向向量的定義知,若直線l1l2,則直線l1,l2的方向向量共線,即l1l2v1v2v1v2(R).(2) 可探究直線的方向向量與平面的法向量是否垂直,進而確定線面是否平行.(3)關鍵是找到兩個平面的法向量,利用法向量平行來說明兩平面平行.題型探究例1解因為PA平面ABCD,底面ABCD為矩形,所以AB,AD,AP兩兩垂直.如圖,以A為坐標原點,的方向為x軸的正方向,建立空間直角坐標系,則D(0,0),E(0,),B(1,0,0),C(1,0),于是(0,),(1,0).設n(x,y,z)為平面ACE的法向量,則即所以令y1,則xz.所以平面ACE的一個法向量為n(,1,).引申探究解如圖所示,建立空間直角坐標系,則P(0,0,1),C(1,0),所以(1,1),即為直線PC的一個方向向量.設平面PCD的法向量為n(x,y,z).因為D(0,0),所以(0,1).由即所以令y1,則z.所以平面PCD的一個法向量為n(0,1,).跟蹤訓練1解因為PAPB,F(xiàn)為AB的中點,所以PFAB.又因為平面PAB平面ABCD,平面PAB平面ABCDAB,PF平面PAB,所以PF平面ABCD,因為ABBC,ABC60°,所以ABC是等邊三角形,所以CFAB.以F為坐標原點,建立空間直角坐標系(如圖所示).由題意得F(0,0,0),P(0,0,),D(1,0),C(0,0),E(0,).所以(0,),(1,0).設平面DEF的法向量為m(x,y,z).則即所以令y2,則x,z2.所以平面DEF的一個法向量為m(,2,2).例2證明(1)建立如圖所示空間直角坐標系,則有D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),C1(0,2,2),E(2,2,1),F(xiàn)(0,0,1),B1(2,2,2),所以(0,2,1),(2,0,0),(0,2,1).設n1(x1,y1,z1)是平面ADE的法向量,則n1,n1,即得令z12,則y11,所以n1(0,1,2).因為·n1220,所以n1.又因為FC1平面ADE,所以FC1平面ADE.(2)因為(2,0,0),設n2(x2,y2,z2)是平面B1C1F的一個法向量.由n2,n2,得得令z22,得y21,所以n2(0,1,2),因為n1n2,所以平面ADE平面B1C1F.跟蹤訓練2解分別以AB,AD,AP為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標系,P(0,0,1),C(1,1,0),D(0,2,0).設E(0,y,z),則(0,y,z1),(0,2,1).,y(1)2(z1)0.(0,2,0)是平面PAB的法向量,又(1,y1,z),CE平面PAB,(1,y1,z)·(0,2,0)0,y1,代入得z,E是PD的中點,存在E點,當點E為PD中點時,CE平面PAB.當堂訓練1.A2.A3.D4.C5.(1,1,1)(答案不唯一)8

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