2018年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題12 空間的平行與垂直教學(xué)案 理

專題12 空間的平行與垂直1以選擇、填空題形式考查空間位置關(guān)系的判斷，及文字語言、圖形語言、符號語言的轉(zhuǎn)換，難度適中；2.以客觀題形式考查有關(guān)線面平行、垂直等位置關(guān)系的命題真假判斷或充要條件判斷等3.以多面體或旋轉(zhuǎn)體為載體(棱錐、棱柱為主)命制空間線面平行、垂直各種位置關(guān)系的證明題或探索性問題，以大題形式呈現(xiàn)1點、線、面的位置關(guān)系(1)平面的基本性質(zhì)名稱圖形文字語言符號語言公理1如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)l公理2過不在一條直線上的三點有且只有一個平面若A、B、C三點不共線，則A、B、C在同一平面內(nèi)且是唯一的公理3如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線.平面與不重合，若P，且P，則a，且Pa(2)平行公理、等角定理公理4：若ac，bc，則ab.等角定理：若OAO1A1，OBO1B1，則AOBA1O1B1或AOBA1O1B1180°.2直線、平面的平行與垂直定理名稱文字語言圖形語言符號語言線面平行的判定定理平面外一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行，則這條直線與此平面平行a線面平行的性質(zhì)定理一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任何一個平面與此平面的交線與該直線平行a，a，b，ab面面平行的判定定理如果一個平面內(nèi)有兩條相交的直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行a，b，abP，a，b面面平行的性質(zhì)定理如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行且a且bab線面垂直的判定定理一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直a，b，abA，la，lbl線面垂直的性質(zhì)定理垂直于同一平面的兩條直線平行a，bab面面垂直的判定定理一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直a，a，面面垂直的性質(zhì)定理兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直，b，a，bab3.熟練掌握常見幾何體(柱、錐、臺、球)的幾何特征，明確各種幾何體的直觀圖與三視圖特征及相關(guān)面積體積的計算公式，熟練掌握線線、線面、面面平行與垂直等位置關(guān)系的判定與性質(zhì)定理及公理，熟練進行線線、線面、面面平行與垂直關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化是解答相關(guān)幾何題的基礎(chǔ). 【誤區(qū)警示】1應(yīng)用線面、面面平行與垂直的判定定理、性質(zhì)定理時，必須按照定理的要求找足條件2作輔助線(面)是立體幾何證題中常用技巧，作圖時要依據(jù)題設(shè)條件和待求(證)結(jié)論之間的關(guān)系結(jié)合有關(guān)定理作圖注意線線、線面、面面平行與垂直關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化3若a、b、c代表直線或平面，代表平行或垂直，在形如bc的命題中，要切實弄清有哪些是成立的，有哪些是不成立的例如a、b、c中有兩個為平面，一條為直線，命題是成立的.是不成立的考點一空間中點、線、面的位置例1已知m，n是兩條不同直線，是兩個不同平面，則下列命題正確的是()A若，垂直于同一平面，則與平行B若m，n平行于同一平面，則m與n平行C若，不平行，則在內(nèi)不存在與平行的直線D若m，n不平行，則m與n不可能垂直于同一平面答案D【變式探究】已知m，n表示兩條不同直線，表示平面下列說法正確的是()A若m，n，則mnB若m，n，則mnC若m，mn，則nD若m，mn，則n答案B考點二空間中平行的判定與垂直例2【2017江蘇，15】 如圖，在三棱錐A-BCD中，ABAD， BCBD， 平面ABD平面BCD， 點E，F(xiàn)(E與A，D不重合)分別在棱AD，BD上，且EFAD.求證：（1）EF平面ABC； （2）ADAC.(第15題)ADBCEF【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】證明：（1）在平面內(nèi)，因為ABAD， ，所以.又因為平面ABC， 平面ABC，所以EF平面ABC.（2）因為平面ABD平面BCD，平面平面BCD=BD， 平面BCD， ，所以平面.因為平面，所以 .又ABAD， ， 平面ABC， 平面ABC，所以AD平面ABC，又因為AC平面ABC，所以ADAC.【變式探究】【2016高考江蘇卷】(本小題滿分14分)如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分別為AB，BC的中點，點F在側(cè)棱B1B上，且 ，.求證：（1）直線DE平面A1C1F；（2）平面B1DE平面A1C1F. 【答案】（1）詳見解析（2）詳見解析（2）在直三棱柱中，因為平面，所以又因為所以平面因為平面，所以又因為所以因為直線，所以【變式探究】如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知ACBC，BCCC1.設(shè)AB1的中點為D，B1CBC1E.求證：(1)DE平面AA1C1C；(2)BC1AB1.因為AC，B1C平面B1AC，ACB1CC，所以BC1平面B1AC.又因為AB1平面B1AC，所以BC1AB1. 【舉一反三】【2016高考新課標(biāo)2理數(shù)】如圖，菱形的對角線與交于點，點分別在上，交于點將沿折到位置，（）證明：平面；（）求二面角的正弦值【答案】（）詳見解析；（）.【變式探究】如圖，已知ABC，D是AB的中點，沿直線CD將ACD翻折成ACD，所成二面角ACDB的平面角為，則()AADB BADB CACB DACB解析極限思想：若，則ACB，排除D；若0，如圖，則ADB，ACB都可以大于0，排除A，C.故選B.答案B考點三 平面圖形的折疊問題例 3、(2016·全國甲卷)如圖，菱形ABCD的對角線AC與BD交于點O，點E，F(xiàn)分別在AD，CD上，AECF，EF交BD于點H.將DEF沿EF折到DEF的位置(1)證明：ACHD；(2)若AB5，AC6，AE，OD2，求五棱錐DABCFE的體積由(1)知，ACHD，又ACBD，BDHDH，所以AC平面BHD，于是ACOD.又由ODOH，ACOHO，所以O(shè)D平面ABC.又由得EF.五邊形ABCFE的面積S×6×8××3.所以五棱錐DABCFE的體積V××2.【方法技巧】平面圖形翻折問題的求解方法(1)解決與折疊有關(guān)的問題的關(guān)鍵是搞清折疊前后的變化量和不變量，一般情況下，線段的長度是不變量，而位置關(guān)系往往會發(fā)生變化，抓住不變量是解決問題的突破口(2)在解決問題時，要綜合考慮折疊前后的圖形，既要分析折疊后的圖形，也要分析折疊前的圖形【變式探究】如圖1，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點，BD與EF交于點H，點G，R分別在線段DH，HB上，且.將AED，CFD，BEF分別沿DE，DF，EF折起，使點A，B，C重合于點P，如圖2所示 (1)求證：GR平面PEF；(2)若正方形ABCD的邊長為4，求三棱錐PDEF的內(nèi)切球的半徑(2)正方形ABCD邊長為4.由題意知，PEPF2，PD4，EF2，DF2.SPEF2，SDPFSDPE4.SDEF×2×6.設(shè)三棱錐PDEF內(nèi)切球的半徑為r，則三棱錐的體積VPDEF××2×2×4(SPEF2SDPFSDEF)·r，解得r.三棱錐PDEF的內(nèi)切球的半徑為.1(2017·全國卷)如圖，在下列四個正方體中，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，Q為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直線AB與平面MNQ不平行的是()A B C D答案：A2(2017·山東卷)由四棱柱ABCDA1B1C1D1截去三棱錐C1B1CD1后得到的幾何體如圖所示四邊形ABCD為正方形，O為AC與BD的交點，E為AD的中點，A1E平面ABCD.(1)證明：A1O平面B1CD1；(2)設(shè)M是OD的中點，證明：平面A1EM平面B1CD1.證明：(1)取B1D1的中點O1，連接CO1，A1O1，由于ABCDA1B1C1D1是四棱柱，所以A1O1OC，A1O1OC，因此四邊形A1OCO1為平行四邊形，所以A1OO1C.又O1C平面B1CD1，A1O平面B1CD1，所以A1O平面B1CD1.3.【2017江蘇，15】 如圖，在三棱錐A-BCD中，ABAD， BCBD， 平面ABD平面BCD， 點E，F(xiàn)(E與A，D不重合)分別在棱AD，BD上，且EFAD.求證：（1）EF平面ABC； （2）ADAC.(第15題)ADBCEF【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】證明：（1）在平面內(nèi)，因為ABAD， ，所以.又因為平面ABC， 平面ABC，所以EF平面ABC.1.【2016高考浙江理數(shù)】已知互相垂直的平面交于直線l.若直線m，n滿足 則（ ）Aml Bmn Cnl Dmn【答案】C【解析】由題意知，故選C2.【2016高考新課標(biāo)2理數(shù)】 是兩個平面，是兩條直線，有下列四個命題：（1）如果，那么.（2）如果，那么.（3）如果，那么.（4）如果，那么與所成的角和與所成的角相等.其中正確的命題有 (填寫所有正確命題的編號）【答案】【解析】對于，則的位置關(guān)系無法確定，故錯誤；對于,因為，所以過直線作平面與平面相交于直線，則，因為，故正確；對于，由兩個平面平行的性質(zhì)可知正確；對于，由線面所成角的定義和等角定理可知其正確，故正確的有.3.【2016高考浙江理數(shù)】如圖，在ABC中，AB=BC=2，ABC=120°.若平面ABC外的點P和線段AC上的點D，滿足PD=DA，PB=BA，則四面體PBCD的體積的最大值是 .【答案】在中，.由余弦定理可得，所以.由此可得，將ABD沿BD翻折后可與PBD重合，無論點D在任何位置，只要點D的位置確定，當(dāng)平面PBD平面BDC時，四面體PBCD的體積最大（欲求最大值可不考慮不垂直的情況）.過作直線的垂線，垂足為.設(shè)，則，即，解得.而的面積.當(dāng)平面PBD平面BDC時：四面體的體積.觀察上式，易得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，同時我們可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)時，取得最小值，故當(dāng)時，四面體的體積最大，為 4.【2016高考新課標(biāo)1卷】平面過正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點A,/平面CB1D1,平面ABCD=m,平面AB B1A1=n,則m、n所成角的正弦值為(A) (B) (C) (D)【答案】A5.【2016高考新課標(biāo)3理數(shù)】在封閉的直三棱柱內(nèi)有一個體積為的球，若，則的最大值是（ ）（A）4 （B） （C）6 （D） 【答案】B6.【2016高考天津理數(shù)】已知一個四棱錐的底面是平行四邊形，該四棱錐的三視圖如圖所示（單位：m），則該四棱錐的體積為_m3.【答案】2【解析】由三視圖知四棱錐高為3，底面平行四邊形的一邊長為2，其對應(yīng)的高為1，因此所求四棱錐的體積故答案為21.【2015高考浙江，理8】如圖，已知，是的中點，沿直線將折成，所成二面角的平面角為，則（ ）A. B. C. D. 【答案】B.在中，在中，（當(dāng)時取等號），而在上為遞減函數(shù)，故選B.【考點定位】立體幾何中的動態(tài)問題2.【2015高考湖南，理10】某工件的三視圖如圖3所示，現(xiàn)將該工件通過切割，加工成一個體積盡可能大的長方體新工件，并使新工件的一個面落在原工件的一個面內(nèi)，則原工件材料的利用率為（材料利用率=）（ ）A. B. C. D.【答案】A.，當(dāng)且僅當(dāng)，時，等號成立，此時利用率為，故選A.【考點定位】1.圓錐的內(nèi)接長方體；2.基本不等式求最值.3.【2015高考福建，理7】若 是兩條不同的直線， 垂直于平面 ，則“ ”是“ 的 （ ） A充分而不必要條件 B必要而不充分條件 C充分必要條件 D既不充分也不必要條件【答案】B4.【2015高考四川，理14】如圖，四邊形ABCD和ADPQ均為正方形，它們所在的平面互相垂直，動點M在線段PQ上，E、F分別為AB、BC的中點。設(shè)異面直線EM與AF所成的角為，則的最大值為 .【答案】【解析】建立坐標(biāo)系如圖所示.設(shè)，則.設(shè)，則，由于異面直線所成角的范圍為，所以5.【2015高考浙江，理13】如圖，三棱錐中，點分別是的中點，則異面直線，所成的角的余弦值是 【答案】.6.【2015高考新課標(biāo)2，理19】（本題滿分12分）如圖，長方體中,，點，分別在，上，過點，的平面與此長方體的面相交，交線圍成一個正方形DD1C1A1EFABCB1（）在圖中畫出這個正方形（不必說出畫法和理由）；（）求直線與平面所成角的正弦值【答案】（）詳見解析；（）7.【2015江蘇高考，16】（本題滿分14分）如圖，在直三棱柱中，已知，設(shè)的中點為，.求證：（1）；（2）.ABCDEA1B1C1【答案】（1）詳見解析（2）詳見解析【解析】（1）由三棱錐性質(zhì)知側(cè)面為平行四邊形,因此點為的中點，從而由三角形中位線性質(zhì)得，再由線面平行判定定理得（2）因為直三棱柱中，所以側(cè)面為正方形，因此，又，（可由直三棱柱推導(dǎo)），因此由線面垂直判定定理得,從而，再由線面垂直判定定理得,進而可得試題解析：（1）由題意知，為的中點，又為的中點，因此又因為平面，平面，所以平面又因為平面，所以8.【2015高考浙江，理17】如圖，在三棱柱-中，在底面的射影為的中點，為的中點.（1）證明：D平面；（2）求二面角-BD-的平面角的余弦值.【答案】（1）設(shè)為的中點，由題意得平面，故平面，由，分別，的中點，得且，從而，四邊形為平行四邊形，故，又平面，平面；（2）作，且，連結(jié)，由，得，由，得，由，得，因此為二面角的平面角，由，得，由余弦定理得，.1. 【2014高考安徽卷理第8題】從正方體六個面的對角線中任取兩條作為一對，其中所成的角為的共有（ ）A.24對 B.30對 C.48對 D.60對【答案】C2. 【2014遼寧高考理第4題】已知m，n表示兩條不同直線，表示平面，下列說法正確的是（ ）A若則 B若，則C若，則 D若，則【答案】B【解析】若A若則與可能平行、相交、異面，故A錯誤； B若，則，顯然成立；C若，則或故C錯誤；D若，則或或與相交.3. 【2014四川高考理第8題】如圖，在正方體中，點為線段的中點.設(shè)點在線段上，直線與平面所成的角為，則的取值范圍是（ ）A B C D【答案】B4. 【2014高考湖南理第19題】如圖6,四棱柱的所有棱長都相等,四邊形和四邊形為矩形.(1)證明:底面;(2)若,求二面角的余弦值.【答案】(1) 詳見解析 (2) 【解析】 (1)證明:四棱柱的所有棱長都相等四邊形和四邊形均為菱形分別為中點四邊形和四邊形為矩形且又且底面底面.又且,面面又面又且,面面為二面角的平面角,則且四邊形為菱形,則再由的勾股定理可得,則,所以二面角的余弦值為.所以,故二面角的余弦值為.【考點定位】線面垂直、二面角、勾股定理 。5、【2014高考江蘇第16題】如圖在三棱錐中，分別為棱的中點，已知，求證（1）直線平面；（2）平面平面 【答案】證明見解析30