2017-2018版高中數(shù)學 第一章 常用邏輯用語疑難規(guī)律方法學案 北師大版選修1-1

第一章 常用邏輯用語1解邏輯用語問題的三絕招1化為集合理清關系 充分(必要)條件是高中學段的一個重要概念，并且是理解上的一個難點要解決這個難點，將抽象的概念用直觀、形象的圖形表示出來，看得見、想得通，才是最好的方法本節(jié)使用集合模型對充要條件的外延與內涵作了直觀形象的解釋，實踐證明效果較好集合模型解釋如下：A是B的充分條件，即AB.(如圖1)A是B的必要條件，即BA.(如圖2)A是B的充要條件，即AB.(如圖3)圖1 圖2圖3A是B的既不充分又不必要條件，即AB或A、B既有公共元素也有非公共元素或例1“x23x20”是“x1”的_條件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分又不必要”)解析設命題p：“x23x20”，q：“x1”對應的集合分別為A、B，則Ax|x1或x2，Bx|x1，顯然“AB，BA”，因此“x23x20”是“x1”的既不充分又不必要條件答案既不充分又不必要2抓住量詞對癥下藥全稱命題與特稱命題是兩類特殊的命題，這兩類命題的否定又是這部分內容中的重要概念，解決有關此類命題的題目時一定要抓住決定命題性質的量詞，理解其相應的含義，從而對癥下藥例2(1)已知命題p：“任意x1,2，x2a0”，與命題q：“存在xR，x22ax2a0”都是真命題，則實數(shù)a的取值范圍為_(2)已知命題p：“存在x1,2，x2a0”與命題q：“存在xR，x22ax2a0”都是真命題，則實數(shù)a的取值范圍為_解析(1)將命題p轉化為“當x1,2時，(x2a)min0”，即1a0，即a1.命題q：即方程有解，(2a)24×(2a)0，解得a1或a2.綜上所述，a1.(2)將命題p轉化為當x1,2時，(x2a)max0，即4a0，即a4.命題q同(1)綜上所述a1或2a4.答案(1)(，1(2)(，12,4點評認真比較兩題就會發(fā)現(xiàn)，兩題形似而神異，所謂失之毫厘，謬之千里，需要我們抓住這類問題的本質量詞，有的放矢3等價轉化提高速度在四種命題的關系、充要條件、簡單的邏輯聯(lián)結詞、全稱量詞與存在量詞中，時時刻刻滲透著等價轉化思想，例如互為逆否命題的兩個命題(原命題與逆否命題或逆命題與否命題)一定同真或同假，它們就是等價的；但原命題與逆命題不等價，即原命題為真，其逆命題不一定為真例3設p：q：x2y2r2 (r>0)，若q是綈p的充分不必要條件，求r的取值范圍分析“q是綈p的充分不必要條件”等價于“p是綈q的充分不必要條件”設p、q對應的集合分別為A、B，則可由ARB出發(fā)解題解設p、q對應的集合分別為A、B，將本題背景放到直角坐標系中，則點集A表示平面區(qū)域，點集RB表示到原點距離大于r的點的集合，即圓x2y2r2外的點的集合ARB表示區(qū)域A內的點到原點的最近距離大于r，直線3x4y120上的點到原點的最近距離大于r，原點O到直線3x4y120的距離d，r的取值范圍為0<r<.點評若直接解的話，q是綈p的充分不必要條件即為x2y2r2 (r>0)在p：所對應的區(qū)域的外部，也是可以解決的但以上解法將“q是綈p的充分不必要條件”等價轉化為“p是綈q的充分不必要條件”，更好地體現(xiàn)了相應的數(shù)學思想方法2命題的否定與否命題辨與析否命題與命題的否定是邏輯關系中的兩個相似知識點，但又有著本質的區(qū)別，應注意弄清它們的區(qū)別和正確表述，下面從以下兩個方面來看一下它們的區(qū)別1否命題與命題的否定的概念設命題“若A，則B”為原命題，那么“若綈A，則綈B”為原命題的否命題，“若A，則綈B”為原命題的否定所以從概念上看“否命題”是對原命題的條件和結論同時否定后得到的新命題，而且否定的條件仍為條件，否定的結論仍為結論“命題的否定”是對原命題結論的全盤否定，即“命題的否定”與原命題的條件相同，結論相反例1寫出下列命題的否命題及否定：(1)若|x|y|0，則x，y全為0；(2)函數(shù)yxb的值隨x的增加而增加分析問題(1)直接依據(jù)格式寫出相應的命題；問題(2)先改寫成“若A，則B”的形式，然后再寫出相應的命題解(1)原命題的條件為“|x|y|0”，結論為“x，y全為0”寫原命題的否命題需同時否定條件和結論，所以原命題的否命題為“若|x|y|0，則x，y不全為0”寫原命題的否定只需否定結論，所以原命題的否定為“若|x|y|0，則x，y不全為0”(2)原命題可以改寫為“若x增加，則函數(shù)yxb的值也隨之增加”否命題為“若x不增加，則函數(shù)yxb的值也不增加”；命題的否定為“若x增加，則函數(shù)yxb的值不增加”2否命題與命題的否定的真假從命題的真假上看，原命題與其否命題的真假沒有必然的關系，原命題為真，其否命題可能為真，也可能為假；原命題為假，其否命題可能為真，也可能為假但是原命題與其否定的真假必相反，原命題為真，則其否定為假；原命題為假，則其否定為真這也可以作為檢驗寫出的命題是否正確的標準例2寫出下列命題的否命題與命題的否定，并判斷原命題、否命題和命題的否定的真假：(1)若x2<4，則2<x<2；(2)若m>0且n>0，則mn>0.分析依據(jù)定義分別寫出否命題與命題的否定根據(jù)不等式及方程的性質逐個判斷其真假解(1)否命題：“若x24，則x2或x2”命題的否定：“若x2<4，則x2或x2”通過解不等式可以知道，原命題為真，否命題為真，命題的否定為假(2)否命題：“若m0或n0，則mn0”命題的否定：“若m>0且n>0，則mn0”由不等式的性質可以知道，原命題為真，否命題為假，命題的否定為假.3走出邏輯用語中的誤區(qū)誤區(qū)1所有不等式、集合運算式都不是命題例1判斷下列語句是不是命題，若是命題，判斷其真假(1)x2>0；(2)x22>0；(3)ABAB；(4)AAB.錯解(1)、(2)、(3)、(4)都不是命題剖析(1)中含有未知數(shù)x，且x不定，所以x2的值也不定，故無法判斷x2>0是否成立，不能判斷其真假，故(1)不是命題；(2)x雖為未知數(shù)，但x20，所以x222，故可判斷x22>0成立，故(2)為真命題(3)若AB，則ABABAB；若AB，則ABAABB.由于A，B的關系未知，所以不能判斷其真假，故(3)不是命題(4)A為AB的子集，故AAB成立，故(4)為真命題正解(2)、(4)是命題，且都為真命題誤區(qū)2原命題為真，其否命題必為假例2判斷下列命題的否命題的真假：(1)若a0，則ab0；(2)若a2>b2，則a>b.錯解(1)因為原命題為真命題，故其否命題是假命題；(2)因為原命題為假命題，故其否命題為真命題剖析否命題的真假與原命題的真假沒有關系，否命題的真假不能根據(jù)原命題的真假來判斷，應先寫出命題的否命題，再判斷正解(1)否命題為：若a0，則ab0，是假命題；(2)否命題為：若a2b2，則ab，是假命題誤區(qū)3搞不清誰是誰的條件例3使不等式x3>0成立的一個充分不必要條件是()Ax>3 Bx>4Cx>2 Dx1,2,3錯解由不等式x3>0成立，得x>3，顯然x>3x>2，又x>2D/x>3，因此選C.剖析若p的一個充分不必要條件是q，則qp，pD/q.本題要求使不等式x3>0成立的一個充分不必要條件，又x>4x3>0，而x3>0D/x>4，所以使不等式x3>0成立的一個充分不必要條件為x>4.正解B誤區(qū)4用“且”“或”聯(lián)結命題時只聯(lián)結條件或結論例4(1)已知p：方程(x11)(x2)0的根是x11；q：方程(x11)(x2)0的根是x2，試寫出“p或q”(2)p：四條邊相等的四邊形是正方形；q：四個角相等的四邊形是正方形，試寫出“p且q”錯解(1)p或q：方程(x11)(x2)0的根是x11或x2.(2)p且q：四條邊相等且四個角相等的四邊形是正方形剖析(1)(2)兩題中p，q都是假命題，所以“p或q”，“p且q”也都應是假命題而上述解答中寫出的兩命題卻都是真命題錯誤原因是：(1)只聯(lián)結了兩個命題的結論；(2)只聯(lián)結了兩個命題的條件正解(1)p或q：方程(x11)(x2)0的根是x11或方程(x11)(x2)0的根是x2.(2)p且q：四條邊相等的四邊形是正方形且四個角相等的四邊形是正方形誤區(qū)5不能正確否定結論例5p：方程x25x60有兩個相等的實數(shù)根，試寫出“綈p”錯解綈p：方程x25x60有兩個不相等的實數(shù)根剖析命題p的結論為“有兩個相等的實數(shù)根”，所以“綈p”應否定“有”，而不能否定“相等”正解綈p：方程x25x60沒有兩個相等的實數(shù)根誤區(qū)6對含有一個量詞的命題否定不完全例6已知命題p：存在一個實數(shù)x，使得x2x2<0，寫出綈p.錯解一綈p：存在一個實數(shù)x，使得x2x20.錯解二綈p：對任意的實數(shù)x，都有x2x2<0.剖析該命題是特稱命題，其否定是全稱命題，但錯解一中得到的綈p仍是特稱命題，顯然只對結論進行了否定，而沒有對存在量詞進行否定；錯解二中只對存在量詞進行了否定，而沒有對結論進行否定正解綈p：對任意的實數(shù)x，都有x2x20.誤區(qū)7忽略了隱含的量詞例7寫出下列命題的否定：(1)不相交的兩條直線是平行直線；(2)奇函數(shù)的圖像關于y軸對稱錯解(1)不相交的兩條直線不是平行直線；(2)奇函數(shù)的圖像不關于y軸對稱剖析以上錯誤解答在于沒有看出這兩個命題都是全稱命題對于一些量詞不明顯或不含有量詞，但其實質只是在文字敘述上省略了某些量詞的命題，要特別引起注意正解(1)存在不相交的兩條直線不是平行直線；(2)存在一個奇函數(shù)的圖像不關于y軸對稱4解“邏輯”問題需強化三意識1轉化意識由于互為逆否的兩個命題同真假，因此，當原命題的真假不易判斷或證明原命題較困難時，可以轉化為逆否命題的真假來判斷或證明例1證明：若a2b22a4b30，則ab1.證明命題“若a2b22a4b30，則ab1”的逆否命題是“若ab1，則a2b22a4b30”由ab1得a2b22a4b3(ab)(ab)2(ab)2b3ab10.原命題的逆否命題是真命題，原命題也是真命題故若a2b22a4b30，則ab1.例2已知p：x28x20>0，q：x22x1a2>0，若p是q的充分不必要條件，求正實數(shù)a的取值范圍分析將充分、必要條件轉化為集合之間的關系，進而轉化為集合運算問題解解不等式x28x20>0，得p：Ax|x>10或x<2；解不等式x22x1a2>0，得q：Bx|x>1a或x<1a，a>0依題意pq，但qD/p，說明AB.于是有或，解得0<a3.所以正實數(shù)a的取值范圍是(0,32簡化意識判斷命題真假的關鍵：一是識別命題的構成形式；二是分別將各命題簡化，對等價的簡化命題進行判斷例3已知命題p：函數(shù)ylog0.5(x22xa)的值域為R，命題q：函數(shù)y(52a)x是R上的減函數(shù)若p或q為真命題，p且q為假命題，則實數(shù)a的取值范圍是_解析函數(shù)ylog0.5(x22xa)的值域為R，即yx22xa的值域是(0，)，即在方程x22xa0中，44a0a1，即p真a1；函數(shù)y(52a)x是減函數(shù)52a>1a<2，即q真a<2.由p或q為真命題，p且q為假命題，知命題p，q中必有一真一假若p真q假，則無解；若p假q真，則1<a<2.故滿足題意的實數(shù)a的取值范圍是(1,2)答案(1,2)點評若命題“p或q”“p且q”中含有參數(shù)，求解時，可以先等價轉化命題p，q，直至求出這兩個命題為真時參數(shù)的取值范圍，再依據(jù)“p或q”“p且q”的真假情況確定參數(shù)的取值范圍3反例意識在“邏輯”中，經(jīng)常要對一個命題的真假(尤其是假)作出判斷，若直接從正面判斷一個命題是假命題不易進行，這時可以通過舉出恰當?shù)姆蠢齺碚f明，這是一個簡單有效的辦法例4設A，B為兩個集合，則下列四個命題中真命題的序號是_AB對任意xA，都有xB；ABAB；ABBA；AB存在xA，使得xB.分析畫出表示AB的Venn圖進行判斷解析畫出Venn圖，如圖1所示，則AB存在xA，使得xB，故是假命題，是真命題ABBA不成立的反例如圖2所示同理可得BAAB不成立故是假命題綜上知，真命題的序號是.答案8