2018年秋高中數(shù)學 第三章 不等式 階段復習課 第3課 不等式學案 新人教A版必修5

第三課不等式核心速填1比較兩實數(shù)a，b大小的依據(jù)ab>0a>b.ab0ab.ab<0a<b.2不等式的性質(zhì)性質(zhì)1如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b，即a>bb<a性質(zhì)2如果a>b，b>c，那么a>c，即a>b，b>ca>c.性質(zhì)3如果a>b，那么ac>bc.性質(zhì)4如果a>b，c>0，那么ac>bc，如果a>b，c<0，那么ac<bc.性質(zhì)5如果a>b，c>d，那么ac>bd.性質(zhì)6如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.性質(zhì)7如果a>b>0，那么an>bn，(nN*，n1)性質(zhì)8如果a>b>0，那么>(nN*，n2).3.二元一次不等式表示的平面區(qū)域AxByC(B>0)表示對應直線方區(qū)域4二元一次不等式組表示的平面區(qū)域每個二元一次不等式所表示的平面區(qū)域的公共部分就是不等式組所表示的區(qū)域5兩個不等式不等式內(nèi)容等號成立條件重要不等式a2b22ab(a，bR)“ab”時取等號基本不等式(a>0，b>0)“ab”時取等號體系構建題型探究一元二次不等式的解法探究問題1當a>0時，若方程ax2bxc0有兩個不等實根，且<，則不等式ax2bxc>0的解集是什么？提示：借助函數(shù)f(x)ax2bxc的圖象可知，不等式的解集為x|x<或x>2若探究1中的a<0，則不等式ax2bxc>0的解集是什么？提示：解集為x|<x<3若一元二次方程ax2bxc0的判別式b24ac<0，則ax2bxc>0的解集是什么？提示：當a>0時，不等式的解集為R；當a<0時，不等式的解集為.若不等式組的整數(shù)解只有2，求k的取值范圍.【導學號：91432361】思路探究：不等式組的解集是各個不等式解集的交集，分別求解兩個不等式，取交集判斷解由x2x2>0，得x<1或x>2.對于方程2x2(2k5)x5k0有兩個實數(shù)解x1，x2k.(1)當>k，即k>時，不等式的解集為，顯然2.(2)當k時，不等式2x2(2k5)x5k<0的解集為.(3)當<k，即k<時，不等式的解集為.不等式組的解集由或確定原不等式組整數(shù)解只有2，2<k3，故所求k的范圍是3k<2.母題探究：.(變條件，變結論)若將例題改為“已知aR，解關于x的不等式ax22xa<0”解(1)若a0，則原不等式為2x<0，故解集為x|x>0(2)若a>0，44a2.當>0，即0<a<1時，方程ax22xa0的兩根為x1，x2，原不等式的解集為.當0，即a1時，原不等式的解集為.當<0，即a>1時，原不等式的解集為.(3)若a<0，44a2.當>0，即1<a<0時，原不等式的解集為.當0，即a1時，原不等式可化為(x1)2>0，原不等式的解集為x|xR且x1當<0，即a<1時，原不等式的解集為R.綜上所述，當a1時，原不等式的解集為；當0<a<1時，原不等式的解集為；當a0時，原不等式的解集為x|x>0；當1<a<0時，原不等式的解集為；當a1時，原不等式的解集為x|xR且x1；當a<1時，原不等式的解集為R.規(guī)律方法不等式的解法(1)一元二次不等式的解法.將不等式化為ax2bxc>0(a>0)或ax2bxc<0(a>0)的形式；求出相應的一元二次方程的根或利用二次函數(shù)的圖象與根的判別式確定一元二次不等式的解集.,(2)含參數(shù)的一元二次不等式.,解題時應先看二次項系數(shù)的正負，其次考慮判別式，最后分析兩根的大小，此種情況討論是必不可少的.不等式恒成立問題已知不等式mx2mx1<0.(1)若xR時不等式恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；(2)若x1,3時不等式恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；(3)若滿足|m|2的一切m的值能使不等式恒成立，求實數(shù)x的取值范圍. 【導學號：91432362】思路探究：先討論二次項系數(shù)，再靈活的選擇方法解決恒成立問題解(1)若m0，原不等式可化為1<0，顯然恒成立；若m0，則不等式mx2mx1<0 恒成立解得4<m<0.綜上可知，實數(shù)m的取值范圍是(4,0(2)令f(x)mx2mx1，當m0時，f(x)1<0顯然恒成立；當m>0時，若對于x1,3不等式恒成立，只需即可，解得m<，0<m<.當m<0時，函數(shù)f(x)的圖象開口向下，對稱軸為x，若x1,3時不等式恒成立，結合函數(shù)圖象(圖略)知只需f(1)<0即可，解得mR，m<0符合題意綜上所述，實數(shù)m的取值范圍是.(3)令g(m)mx2mx1(x2x)m1，若對滿足|m|2的一切m的值不等式恒成立，則只需即解得<x<.實數(shù)x的取值范圍是.規(guī)律方法對于恒成立不等式求參數(shù)范圍的問題常見的類型及解法有以下幾種：1變更主元法根據(jù)實際情況的需要確定合適的主元，一般知道取值范圍的變量要看做主元2分離參數(shù)法若f(a)<g(x)恒成立，則f(a)<g(x)min.若f(a)>g(x)恒成立，則f(a)>g(x)max.3數(shù)形結合法利用不等式與函數(shù)的關系將恒成立問題通過函數(shù)圖象直觀化跟蹤訓練1設f(x)mx2mx6m，(1)若對于m2,2，f(x)<0恒成立，求實數(shù)x的取值范圍；(2)若對于x1,3，f(x)<0恒成立，求實數(shù)m的取值范圍解(1)依題意，設g(m)(x2x1)m6，則g(m)為關于m的一次函數(shù)，且一次項系數(shù)x2x12>0，所以g(m)在2,2上遞增，所以欲使f(x)<0恒成立，需g(m)maxg(2)2(x2x1)6<0，解得1<x<2.(2)法一：要使f(x)m(x2x1)6<0在1,3上恒成立，則有m<在1,3上恒成立，而當x1,3時，所以m<min，因此m的取值范圍是.法二：當m0時，f(x)6<0對x1,3恒成立，所以m0.當m0時f(x)的圖象的對稱軸為x，若m>0，則f(x)在1,3上單調(diào)遞增，要使f(x)<0對x1,3恒成立，只需f(3)<0即7m6<0，所以0<m<.若m<0，則f(x)在1,3上單調(diào)遞減，要使f(x)<0對x1,3恒成立，只需f(1)<0即m<6，所以m<0.綜上可知m的取值范圍是.線性規(guī)劃問題已知變量x，y滿足約束條件且有無窮多個點(x，y)使目標函數(shù)zxmy取得最小值，則m_. 【導學號：91432363】思路探究：先畫出可行域，再研究目標函數(shù)，由于目標函數(shù)中含有參數(shù)m，故需討論m的值，再結合可行域，數(shù)形結合確定滿足題意的m的值. 1作出線性約束條件表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示若m0，則zx，目標函數(shù)zxmy取得最小值的最優(yōu)解只有一個，不符合題意若m0，目標函數(shù)zxmy可看作動直線yx，若m<0，則>0，數(shù)形結合知使目標函數(shù)zxmy取得最小值的最優(yōu)解不可能有無窮多個；若m>0，則<0，數(shù)形結合可知，當動直線與直線AB重合時，有無窮多個點(x，y)在線段AB上，使目標函數(shù)zxmy取得最小值，即1，則m1.綜上可知，m1.規(guī)律方法1線性規(guī)劃在實際中的類型主要有：(1)給定一定數(shù)量的人力、物力資源，如何運用這些資源，使完成任務量最大，收到的效益最高；(2)給定一項任務，怎樣統(tǒng)籌安排，使得完成這項任務耗費的人力、物力資源最少2解答線性規(guī)劃應用題的步驟：(1)列：設出未知數(shù)，列出約束條件，確定目標函數(shù)(2)畫：畫出線性約束條件所表示的可行域(3)移：在線性目標函數(shù)所表示的一組平行線中，利用平移的方法找出與可行域有公共點且縱截距最大或最小的直線(4)求：通過解方程組求出最優(yōu)解(5)答：作出答案跟蹤訓練2制定投資計劃時，不僅要考慮可能獲得的盈利，而且要考慮可能出現(xiàn)的虧損某投資人打算投資甲、乙兩個項目，根據(jù)預測，甲、乙項目可能的最大盈利率分別為100%和50%，可能的最大虧損率分別為30%和10%，投資人計劃投資金額不超過10萬元，要求確保可能的資金虧損不超過1.8萬元，問投資人對甲、乙兩個項目各投資多少萬元，才能使可能的盈利最大？解設投資人分別用x萬元、y萬元投資甲、乙兩個項目由題意，知目標函數(shù)zx0.5y.畫出可行域如圖中陰影部分作直線l0：x0.5y0，并作平行于l0的一組直線x0.5yz，zR，與可行域相交，其中有一條直線經(jīng)過可行域上的點M時，z取得最大值由得即M(4,6)此時z40.5×67(萬元)當x4，y6時，z取得最大值，即投資人用4萬元投資甲項目，6萬元投資乙項目，才能在確保虧損不超過1.8萬元的前提下，使可能的盈利最大.利用基本不等式求最值設函數(shù)f(x)x，x0，)(1)當a2時，求函數(shù)f(x)的最小值；(2)當0<a<1時，求函數(shù)f(x)的最小值. 【導學號：91432364】思路探究：(1)將原函數(shù)變形，利用基本不等式求解(2)利用函數(shù)的單調(diào)性求解解(1)把a2代入f(x)x，得f(x)x(x1)1，x0，)，x1>0，>0，x12，當且僅當x1，即x1時，f(x)取等號，此時f(x)min21.(2)當0<a<1時，f(x)x11若x12，則當且僅當x1時取等號，此時x1<0(不合題意)，因此，上式等號取不到f(x)在0，)上單調(diào)遞增f(x)minf(0)a.規(guī)律方法基本不等式是證明不等式、求某些函數(shù)的最大值及最小值的理論依據(jù)，在解決數(shù)學問題和實際問題中應用廣泛.(1)基本不等式通常用來求最值，一般用ab解“定積求和，和最小”問題，用ab解“定和求積，積最大”問題.(2)在實際運用中，經(jīng)常涉及函數(shù)f(x)x，一定要注意適用的范圍和條件：“一正、二定、三相等”.特別是利用拆項、添項、配湊、分離變量、減少變元等，構造定值條件的方法和對等號能否成立的驗證. 跟蹤訓練3某種商品原來每件售價為25元，年銷售8萬件(1)據(jù)市場調(diào)查，若價格每提高1元，銷售量將相應減少2 000件，要使銷售的總收入不低于原收入，該商品每件定價最多為多少元？(2)為了擴大該商品的影響力，提高年銷售量公司決定明年對該商品進行全面技術革新和營銷策略改革，并提高定價到x元，公司擬投入(x2600)萬元作為技改費用，投入50萬元作為固定宣傳費用，投入x萬元作為浮動宣傳費用試問：當該商品明年的銷售量a至少應達到多少萬件時，才可能使明年的銷售收入不低于原收入與總投入之和？并求出此時每件商品的定價解(1)設每件定價為t元，依題意，有8(t25)×0.2t25×8，整理得t265t1 0000，解得25t40.因此要使銷售的總收入不低于原收入，每件定價最多為40元(2)依題意，x>25時，不等式ax25×850(x2600)x有解，等價于x>25時，ax有解x210(當且僅當x30時，等號成立)，a10.2.因此當該商品明年的銷售量a至少應達到10.2萬件時，才可能使明年的銷售收入不低于原收入與總投入之和，此時該商品的定價為每件30元- 9 -