2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題一 集合、常用邏輯用語、算法、復(fù)數(shù)、推理與證明、不等式 第三講 不等式學(xué)案 理

第三講不等式、線性規(guī)劃考點(diǎn)一不等式的解法求解不等式的方法(1)對于一元二次不等式，應(yīng)先化為一般形式ax2bxc>0(a0)，再求相應(yīng)一元二次方程ax2bxc0(a0)的根，最后根據(jù)相應(yīng)二次函數(shù)圖象與x軸的位置關(guān)系，確定一元二次不等式的解集(2)解簡單的分式、指數(shù)、對數(shù)不等式的基本思想是把它們等價(jià)轉(zhuǎn)化為整式不等式(一般為一元二次不等式)求解(3)解決含參數(shù)不等式的難點(diǎn)在于對參數(shù)的恰當(dāng)分類，關(guān)鍵是找到對參數(shù)進(jìn)行討論的原因，確定好分類標(biāo)準(zhǔn)，有理有據(jù)、層次清楚地求解對點(diǎn)訓(xùn)練1(2018·湖南衡陽一模)若a，b，c為實(shí)數(shù)，且a<b<0，則下列結(jié)論正確的是()Aac2<bc2 B<C> Da2>ab>b2解析c為實(shí)數(shù)，取c0，得ac20，bc20，此時(shí)ac2bc2，故選項(xiàng)A不正確；，a<b<0，ba>0，ab>0，>0，即>，故選項(xiàng)B不正確；a<b<0，取a2，b1，則，2，此時(shí)<，故選項(xiàng)C不正確；a<b<0，a2aba(ab)>0，a2>ab，又abb2b(ab)>0，ab>b2，故選項(xiàng)D正確，故選D答案D2(2018·福建六校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)若f(2x2)>f(x)，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是()A(，1)(2，) B(，2)(1，)C(1,2) D(2,1)解析易知f(x)在R上是增函數(shù)，f(2x2)>f(x)，2x2>x，解得2<x<1，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是(2,1)故選D答案D3(2018·貴陽一模)關(guān)于x的不等式axb<0的解集是(1，)，則關(guān)于x的不等式(axb)(x3)>0的解集是()A(，1)(3，)B(1,3)C(1,3)D(，1)(3，)解析關(guān)于x的不等式axb<0即ax<b的解集是(1，)，ab<0，不等式(axb)(x3)>0可化為(x1)(x3)<0，解得1<x<3，所求不等式的解集是(1,3)故選C答案C4(2018·山西太原一模)當(dāng)x>1時(shí)不等式xa恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A(，3 B3，)C(，2 D2，)解析x>1，xx11213，當(dāng)且僅當(dāng)x1，即x2時(shí)等號成立，所以最小值為3，a3，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(，3故選A答案A快速審題(1)看到有關(guān)不等式的命題或結(jié)論的判定，想到不等式的性質(zhì)(2)看到解不等式，想到求解不等式的方法步驟(1)求解一元二次不等式的3步：第一步，二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù)；第二步，解對應(yīng)的一元二次方程；第三步，若有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則利用“大于在兩邊，小于夾中間”得不等式的解集(2)解一元二次不等式恒成立問題的3種方法：圖象法；分離參數(shù)法；更換主元法考點(diǎn)二基本不等式的應(yīng)用1基本不等式：(1)基本不等式成立的條件：a>0，b>0.(2)等號成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取等號(3)應(yīng)用：兩個(gè)正數(shù)的積為常數(shù)時(shí)，它們的和有最小值；兩個(gè)正數(shù)的和為常數(shù)時(shí)，它們的積有最大值2幾個(gè)重要的不等式(1)a2b22ab(a，bR)當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取等號(2)ab2(a，bR)，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取等號(3)2(a，bR)，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取等號(4)2(a，b同號)，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取等號對點(diǎn)訓(xùn)練1下列結(jié)論中正確的是()Algx的最小值為2B的最小值為2C的最小值為4D當(dāng)0<x2時(shí)，x無最大值解析對于A，lgx可能小于0；對于B，要使函數(shù)y有意義，則x>0，22，當(dāng)且僅當(dāng)，即x1時(shí)取等號；對于C，當(dāng)且僅當(dāng)sin2x，即sinx2時(shí)取等號，但sinx的最大值為1；對于D，x在(0,2上為增函數(shù)，因此有最大值故選B答案B2(2018·吉林長春二模)已知x>0，y>0，且xy2xy，則x4y的最小值為()A4 B C D5解析由xy2xy得2.由x>0，y>0，x4y(x4y)(54)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，即x4y的最小值為.故選C答案C3(2018·海淀期末)已知正實(shí)數(shù)a，b滿足ab4，則的最小值為_解析ab4，a1b38，(a1)(b3)(22)，當(dāng)且僅當(dāng)a1b3，即a3，b1時(shí)取等號，的最小值為.答案4(2018·河南洛陽一模)若實(shí)數(shù)a，b滿足，則ab的最小值為_解析依題意知a>0，b>0，則2，當(dāng)且僅當(dāng)，即b2a時(shí)，“”成立因?yàn)?，所以，即ab2，所以ab的最小值為2.答案2快速審題看到最值問題，想到“積定和最小”，“和定積最大”利用基本不等式求函數(shù)最值的3個(gè)關(guān)注點(diǎn)(1)形式：一般地，分子、分母有一個(gè)一次、一個(gè)二次的分式結(jié)構(gòu)的函數(shù)以及含有兩個(gè)變量的函數(shù)，特別適合用基本不等式求最值(2)條件：利用基本不等式求最值需滿足“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號取得的條件)的條件才能應(yīng)用，否則會出現(xiàn)錯(cuò)誤(3)方法：使用基本不等式時(shí)，一般通過“拆、拼、湊”的技巧把求最值的函數(shù)或代數(shù)式化為ax(ab>0)的形式，常用的方法是變量分離法和配湊法考點(diǎn)三線性規(guī)劃問題1線性目標(biāo)函數(shù)zaxby最值的確定方法把線性目標(biāo)函數(shù)zaxby化為yx，可知是直線axbyz在y軸上的截距，要根據(jù)b的符號確定目標(biāo)函數(shù)在什么情況下取得最大值、什么情況下取得最小值2常見的目標(biāo)函數(shù)類型(1)截距型：形如zaxby，可以轉(zhuǎn)化為yx，利用直線在y軸上的截距大小確定目標(biāo)函數(shù)的最值；(2)斜率型：形如z，表示區(qū)域內(nèi)的動點(diǎn)(x，y)與定點(diǎn)(a，b)連線的斜率；(3)距離型：形如z(xa)2(yb)2，表示區(qū)域內(nèi)的動點(diǎn)(x，y)與定點(diǎn)(a，b)的距離的平方；形如z|AxByC|，表示區(qū)域內(nèi)的動點(diǎn)(x，y)到直線AxByC0的距離的倍對點(diǎn)訓(xùn)練1(2018·天津卷)設(shè)變量x，y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z3x5y的最大值為()A6 B19 C21 D45解析由變量x，y滿足的約束條件畫出可行域(如圖中陰影部分所示)作出初始直線l0：3x5y0，平移直線l0，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)A(2,3)時(shí)，z取最大值，即zmax3×25×321，故選C答案C2(2018·廣東肇慶二模)已知實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件若z2xy的最小值為3，則實(shí)數(shù)b()A B C1 D解析作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示由z2xy得y2xz，平移初始直線y2x，由圖可知當(dāng)直線y2xz經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，直線y2xz的縱截距最小，此時(shí)z最小，為3，即2xy3.由解得即A，又點(diǎn)A也在直線yxb上，即b，b.故選A答案A3(2018·江西九江二模)實(shí)數(shù)x，y滿足線性約束條件若z的最大值為1，則z的最小值為()A B C D解析作出可行域如圖中陰影部分所示，目標(biāo)函數(shù)z的幾何意義是可行域內(nèi)的點(diǎn)(x，y)與點(diǎn)A(3,1)兩點(diǎn)連線的斜率，當(dāng)取點(diǎn)B(a,2a2)時(shí)，z取得最大值1，故1，解得a2，則C(2,0)當(dāng)取點(diǎn)C(2,0)時(shí)，z取得最小值，即zmin.故選D答案D4設(shè)x，y滿足約束條件則z(x1)2y2的取值范圍是_解析由解得即C.(x1)2y2的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)(x，y)與定點(diǎn)(1，0)間距離的平方由圖可知，點(diǎn)(1,0)到直線AB：2xy10的距離最小，為，故zmin；點(diǎn)(1,0)到點(diǎn)C的距離最大，故zmax22.所以z(x1)2y2的取值范圍是.答案快速審題(1)看到最優(yōu)解求參數(shù)，想到由最值列方程(組)求解(2)看到最優(yōu)解的個(gè)數(shù)不唯一，想到直線平行；看到形如z(xa)2(yb)2和形如z，想到其幾何意義(3)看到最優(yōu)解型的實(shí)際應(yīng)用題，想到線性規(guī)劃問題，想到確定實(shí)際意義求目標(biāo)函數(shù)的最值問題的3步驟(1)畫域，根據(jù)線性約束條件，畫出可行域；(2)轉(zhuǎn)化，把所求目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，如截距型，即線性目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為斜截式；如斜率型，即根據(jù)兩點(diǎn)連線的斜率公式，轉(zhuǎn)化為可行域內(nèi)的點(diǎn)與某個(gè)定點(diǎn)連線的斜率；平方型，即根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，轉(zhuǎn)化為可行域內(nèi)的點(diǎn)與某個(gè)定點(diǎn)的距離；(3)求值，結(jié)合圖形，利用函數(shù)的性質(zhì)，確定最優(yōu)解，求得目標(biāo)函數(shù)的最值1(2016·全國卷)設(shè)集合Ax|x24x3<0，Bx|2x3>0，則AB()A BC D解析x24x3<0(x1)(x3)<01<x<3，Ax|1<x<32x3>0x>，B，AB.故選D答案D2(2018·北京卷)設(shè)集合A(x，y)|xy1，axy>4，xay2，則()A對任意實(shí)數(shù)a，(2,1)AB對任意實(shí)數(shù)a，(2,1)AC當(dāng)且僅當(dāng)a<0時(shí)，(2,1)AD當(dāng)且僅當(dāng)a時(shí)，(2,1)A解析若(2,1)A，則有解得a>.結(jié)合四個(gè)選項(xiàng)，只有D說法正確故選D答案D3(2018·全國卷)設(shè)alog0.20.3，blog20.3，則()Aab<ab<0 Bab<ab<0Cab<0<ab Dab<0<ab解析解法一：alog0.20.3>log0.210，blog20.3<log210，ab<0，排除C0<log0.20.3<log0.20.21，log20.3<log20.51，即0<a<1，b<1，ab<0，排除Dlog20.2，blog20.3log20.2log2<1，b<1ab<ab，排除A故選B解法二：易知0<a<1，b<1，ab<0，ab<0，log0.30.2log0.32log0.30.4<1，即<1，ab>ab，ab<ab<0.故選B答案B4(2018·全國卷)若x，y滿足約束條件則z3x2y的最大值為_解析由x，y所滿足的約束條件畫出對應(yīng)的可行域(如圖中陰影部分所示)作出初始直線l0：3x2y0，平移直線l0，當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)A(2,0)時(shí)，z取最大值，即zmax3×26.答案65(2018·天津卷)已知a，bR，且a3b60，則2a的最小值為_解析由已知，得2a2a23b222，當(dāng)且僅當(dāng)2a23b時(shí)等號成立，由a3b，a3b60，得a3，b1，故當(dāng)a3，b1時(shí)，2a取得最小值.答案1.不等式作為高考命題熱點(diǎn)內(nèi)容之一，多年來命題較穩(wěn)定，多以選擇、填空題的形式進(jìn)行考查，題目多出現(xiàn)在第59或第1315題的位置上，難度中等，直接考查時(shí)主要是簡單的線性規(guī)劃問題，關(guān)于不等式性質(zhì)的應(yīng)用、不等式的解法以及基本不等式的應(yīng)用，主要體現(xiàn)在其工具作用上2若不等式與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列等其他知識交匯綜合命題，難度較大熱點(diǎn)課題3求解不等式中參數(shù)范圍問題 感悟體驗(yàn)1(2018·合肥模擬)在區(qū)間(1,2)上不等式x2mx4>0有解，則m的取值范圍為()Am>4 Bm<4Cm>5 Dm<5解析記f(x)x2mx4，要使不等式x2mx4>0在區(qū)間(1,2)上有解，需滿足f(1)>0或f(2)>0，即m5>0或2m8>0，解得m>5.故選C答案C2(2018·海淀模擬)當(dāng)0<m<時(shí)，若k22k恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為()A2,0)(0,4 B4,0)(0,2C4,2 D2,4解析因?yàn)?<m<，所以×2m×(12m)×2，所以8，又k22k恒成立，所以k22k80，所以2k4.所以實(shí)數(shù)k的取值范圍是2,4故選D答案D專題跟蹤訓(xùn)練(九)一、選擇題1如果a<b<0，那么下列不等式成立的是()A< Bab<b2Cab<a2 D<解析解法一(利用不等式性質(zhì)求解)：由a<b<0，得ba>0，ab>0，故>0，即>，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；由a<b<0，得b(ab)>0，故ab>b2，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；由a<b<0，得a(ab)>0，即a2>ab，故ab>a2，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；由a<b<0，得ab<0，ab>0，故<0，即<成立故D項(xiàng)正確解法二(特殊值法)：令a2，b1，則>1，ab2>1b2，ab2>4a2，<1.故A，B，C項(xiàng)錯(cuò)誤，D正確答案D2已知aR，不等式1的解集為p，且2p，則a的取值范圍為()A(3，) B(3,2)C(，2)(3，) D(，3)2，)解析2p，<1或2a0，解得a2或a<3.答案D3(2018·大連一模)設(shè)函數(shù)f(x)則不等式f(x)>f(1)的解集是()A(3,1)(3，) B(3,1)(2，)C(1,1)(3，) D(，3)(1,3)解析由題意得，f(1)3，所以f(x)>f(1)3，即f(x)>3，如果x<0，則x6>3，可得3<x<0；如果x0，則x24x6>3，可得x>3或0x<1.綜上，不等式的解集為(3,1)(3，)故選A答案A4(2018·長春第二次質(zhì)檢)若關(guān)于x的不等式axb>0的解集是(，2)，則關(guān)于x的不等式>0的解集為()A(2,0)(1，) B(，0)(1,2)C(，2)(0,1) D(，1)(2，)解析關(guān)于x的不等式axb>0的解集是(，2)，a<0，2，b2a，.a<0，<0，解得x<0或1<x<2.故選B答案B5(2018·河南平頂山一模)若對任意x>0，a恒成立，則a的取值范圍是()Aa Ba>Ca< Da解析因?yàn)閷θ我鈞>0，a恒成立，所以對x(0，)，amax，而對x(0，)，當(dāng)且僅當(dāng)x時(shí)等號成立，a.答案A6(2018·江西師大附中摸底)若關(guān)于x，y的不等式組表示的平面區(qū)域是等腰直角三角形區(qū)域，則其表示的區(qū)域面積為()A或 B或C1或 D1或解析由不等式組表示的平面區(qū)域是等腰直角三角形區(qū)域，得k0或1，當(dāng)k0時(shí)，表示區(qū)域的面積為；當(dāng)k1時(shí)，表示區(qū)域的面積為，故選A答案A7(2018·昆明質(zhì)檢)設(shè)變量x，y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z2x5y的最小值為()A4 B6 C10 D17解析解法一(圖解法)：已知約束條件所表示的平面區(qū)域?yàn)橄聢D中的陰影部分(包含邊界)，其中A(0,2)，B(3,0)，C(1,3)根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，可知當(dāng)直線yx過點(diǎn)B(3,0)時(shí)，z取得最小值2×35×06.解法二(界點(diǎn)定值法)：由題意知，約束條件所表示的平面區(qū)域的頂點(diǎn)分別為A(0,2)，B(3,0)，C(1,3)將A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入z2x5y，得z10,6,17，故z的最小值為6.答案B8(2018·合肥一模)在關(guān)于x的不等式x2(a1)xa<0的解集中至多包含2個(gè)整數(shù)，則a的取值范圍是()A(3,5) B(2,4)C3,5 D2,4解析關(guān)于x的不等式x2(a1)xa<0可化為(x1)(xa)<0.當(dāng)a1時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)a>1時(shí)，不等式的解集為1<x<a；當(dāng)a<1時(shí)，不等式的解集為a<x<1.要使得解集中至多包含2個(gè)整數(shù)，則a4且a2，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是2,4，故選D答案D9若實(shí)數(shù)x，y滿足則z的取值范圍是()A BC2,4 D(2,4解析作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖中陰影部分(不包括邊界OB)所示，其中A(1,2)，B(0,2)z，則z的幾何意義是可行域內(nèi)的點(diǎn)P(x，y)與點(diǎn)M所連直線的斜率可知kMA，kMB4，結(jié)合圖形可得z<4.故z的取值范圍是.答案B10(2018·四川資陽診斷)已知a>0，b>0，且2abab，則a2b的最小值為()A52 B8C5 D9解析解法一：a>0，b>0，且2abab，a>0，解得b>2.則a2b2b12(b2)4529，當(dāng)且僅當(dāng)b3，a3時(shí)等號成立，其最小值為9.解法二：a>0，b>0，ab>0.2abab，1，(a2b)552549.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，又2abab，即a3，b3時(shí)等號成立，其最小值為9.答案D11(2018·湖南湘東五校聯(lián)考)已知實(shí)數(shù)x，y滿足且zxy的最大值為6，則(x5)2y2的最小值為()A5 B3 C D解析如圖，作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，由zxy，得yxz，平移直線yx，由圖可知當(dāng)直線yxz經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，直線yxz在y軸上的截距最大，此時(shí)z最大，為6，即xy6.由得A(3,3)，直線yk過點(diǎn)A，k3.(x5)2y2的幾何意義是可行域內(nèi)的點(diǎn)(x，y)與D(5,0)的距離的平方，由可行域可知，(x5)2y2min等于D(5,0)到直線x2y0的距離的平方則(x5)2y2的最小值為25.故選A答案A12(2018·廣東清遠(yuǎn)一中一模)若正數(shù)a，b滿足：1，則的最小值為()A16 B9 C6 D1解析正數(shù)a，b滿足1，abab，1>0，1>0，b>1，a>1，則226，的最小值為6，故選C答案C二、填空題13已知集合，則MN_.解析不等式<0等價(jià)于(x2)(x3)<0，解得2<x<3，故不等式<0的解集為(2,3)，即M(2,3)由log(x2)1，可得解得2<x，所以N.故MN.答案14(2018·全國卷)若x，y滿足約束條件則zxy的最大值為_解析由線性約束條件畫出可行域(如圖中陰影部分所示)當(dāng)直線xyz0經(jīng)過點(diǎn)A(5,4)時(shí)，zxy取得最大值，最大值為9.答案915(2018·安徽合肥一模)某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，銷售利潤分別為2千元/件、1千元/件甲、乙兩種產(chǎn)品都需要在A、B兩種設(shè)備上加工，生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品需用A設(shè)備2小時(shí)，B設(shè)備6小時(shí)；生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品需用A設(shè)備3小時(shí)，B設(shè)備1小時(shí)A，B兩種設(shè)備每月可使用時(shí)間數(shù)分別為480小時(shí)、960小時(shí)，若生產(chǎn)的產(chǎn)品都能及時(shí)售出，則該企業(yè)每月利潤的最大值為_千元解析設(shè)生產(chǎn)甲產(chǎn)品x件，生產(chǎn)乙產(chǎn)品y件，利潤為z千元，則z2xy，作出表示的可行域如圖中陰影部分所示，作出直線2xy0，平移該直線，當(dāng)直線z2xy經(jīng)過直線2x3y480與直線6xy960的交點(diǎn)(150,60)(滿足xN，yN)時(shí)，z取得最大值，為360.答案36016(2018·鄭州高三檢測)若正數(shù)x，y滿足x23xy10，則xy的最小值是_解析對于x23xy10可得y，xy2(當(dāng)且僅當(dāng)x時(shí)，等號成立)，故xy的最小值是.答案19