2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題八 選考4系列選講 第二講 選考4-5 不等式選講 學(xué)案 理

第二講不等式選講考點一含絕對值不等式的解法1|axb|c，|axb|c型不等式的解法(1)若c>0，則|axb|ccaxbc，|axb|caxbc或axbc，然后根據(jù)a，b的取值求解即可；(2)若c<0，則|axb|c的解集為，|axb|c的解集為R.2|xa|xb|c，|xa|xb|c(c>0)型不等式的解法(1)零點分段討論法(2)絕對值的幾何意義(3)數(shù)形結(jié)合法解(1)當(dāng)a1時，f(x)|x1|x1|，即f(x)故不等式f(x)>1的解集為.(2)當(dāng)x(0,1)時|x1|ax1|>x成立等價于當(dāng)x(0,1)時|ax1|<1成立若a0，則當(dāng)x(0,1)時|ax1|1；若a>0時，則|ax1|<1的解集為.所以1，故0<a2.用零點分段討論法解絕對值不等式的4步(1)令每個絕對值符號的代數(shù)式為零，并求出相應(yīng)的根；(2)將這些根按從小到大排列，把實數(shù)集分為若干個區(qū)間；(3)由所分區(qū)間去掉絕對值符號得若干個不等式，解這些不等式，求出解集；(4)取各個不等式解集的并集就是原不等式的解集對點訓(xùn)練(2018·湖北黃岡模擬)已知函數(shù)f(x)|2xa|2x1|(aR)(1)當(dāng)a1時，求f(x)2的解集(2)若f(x)|2x1|的解集包含集合，求實數(shù)a的取值范圍解(1)當(dāng)a1時，f(x)|2x1|2x1|，由f(x)2得1.上述不等式化為數(shù)軸上點x到兩點，的距離之和小于等于1，則x，即原不等式的解集為.(2)f(x)|2x1|的解集包含，當(dāng)x時，不等式f(x)|2x1|恒成立，|2xa|2x12x1，即|2xa|2，2x2a2x2在x上恒成立，(2x2)maxa(2x2)min，0a3.考點二含絕對值不等式的綜合問題1定理1：如果a，b是實數(shù)，則|ab|a|b|，當(dāng)且僅當(dāng)ab0時，等號成立2定理2：如果a，b，c是實數(shù)，那么|ac|ab|bc|，當(dāng)且僅當(dāng)(ab)(bc)0時，等號成立解(1)當(dāng)a1時，f(x)可得f(x)0的解集為x|2x3(2)f(x)1等價于|xa|x2|4.而|xa|x2|a2|，且當(dāng)x2時等號成立故f(x)1等價于|a2|4.由|a2|4可得a6或a2.角度2：含絕對值不等式的恒成立問題解(1)由題意得，當(dāng)a2018時，f(x)因為f(x)在2018，)上單調(diào)遞增，所以f(x)的值域為2018，)(2)由g(x)|x1|，不等式g(x)2>xf(x)恒成立，知|x1|xa|>2恒成立，即(|x1|xa|)min>2.而|x1|xa|(x1)(xa)|1a|，所以|1a|>2，解得a>1或a<3.絕對值恒成立問題應(yīng)關(guān)注的3點(1)巧用“|a|b|a±b|a|b|”求最值(2)f(x)<a恒成立f(x)max<a，f(x)>a恒成立f(x)min>a.(3)f(x)<a有解f(x)min<a，f(x)>a有解f(x)max>a.對點訓(xùn)練1角度1(2018·山東淄博模擬)設(shè)函數(shù)f(x)|x4|.(1)若yf(2xa)f(2xa)的最小值為4，求a的值；(2)求不等式f(x)>1x的解集解(1)因為f(x)|x4|，所以yf(2xa)f(2xa)|2xa4|2xa4|2xa4(2xa4)|2a|，又yf(2xa)f(2xa)的最小值為4，|2a|4，a±2.(2)f(x)|x4|不等式f(x)>1x等價于解得x>2或x<10，故不等式f(x)>1x的解集為x|x>2或x<102角度2(2018·河南鄭州二模)已知函數(shù)f(x)|2x1|，g(x)|x|a.(1)當(dāng)a0時，解不等式f(x)g(x)；(2)若存在xR，使得f(x)g(x)成立，求實數(shù)a的取值范圍解(1)當(dāng)a0時，由f(x)g(x)得|2x1|x|，兩邊平方整理得3x24x10，解得x1或x，原不等式的解集為(，1.(2)由f(x)g(x)得a|2x1|x|，令h(x)|2x1|x|，則h(x)故h(x)minh，所以實數(shù)a的取值范圍為a.考點三不等式的證明定理1：設(shè)a，bR，則a2b22ab.當(dāng)且僅當(dāng)ab時，等號成立定理2：如果a，b為正數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)ab時，等號成立定理3：如果a，b，c為正數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)abc時，等號成立證明(1)(ab)(a5b5)a6ab5a5bb6(a3b3)22a3b3ab(a4b4)4ab(a2b2)24.(2)因為(ab)3a33a2b3ab2b323ab(ab)2(ab)2，所以(ab)38，因此ab2.證明不等式的方法和技巧(1)如果已知條件與待證明的結(jié)論直接聯(lián)系不明顯，可考慮用分析法；如果待證的命題以“至少”“至多”等方式給出或是否定性命題、唯一性命題，則考慮用反證法(2)在必要的情況下，可能還需要使用換元法、構(gòu)造法等技巧簡化對問題的表述和證明尤其是對含絕對值不等式的解法或證明，其簡化的基本思路是化去絕對值號，轉(zhuǎn)化為常見的不等式(組)求解多以絕對值的幾何意義或“找零點、分區(qū)間、逐個解、并起來”為簡化策略，而絕對值三角不等式，往往作為不等式放縮的依據(jù)對點訓(xùn)練已知實數(shù)a，b，c滿足a>0，b>0，c>0，且abc1.(1)證明：(1a)(1b)(1c)8；(2)證明：.證明(1)1a2，1b2，1c2，(1a)(1b)(1c)2·2·28，abc1，(1a)(1b)(1c)8.(2)abbc22，abac22，bcac22，上面三式相加得，2ab2bc2ca222，即abbcca.又abbcac，.1(2017·全國卷)已知函數(shù)f(x)x2ax4，g(x)|x1|x1|.(1)當(dāng)a1時，求不等式f(x)g(x)的解集；(2)若不等式f(x)g(x)的解集包含1,1，求a的取值范圍解(1)當(dāng)a1時，不等式f(x)g(x)等價于x2x|x1|x1|40.當(dāng)x<1時，式化為x23x40，無解；當(dāng)1x1時，式化為x2x20，從而1x1；當(dāng)x>1時，式化為x2x40，從而1<x.所以f(x)g(x)的解集為.(2)解法一(等價轉(zhuǎn)化法)：當(dāng)x1,1時，g(x)2.所以f(x)g(x)的解集包含1,1等價于當(dāng)x1,1時f(x)2.又f(x)在1,1的最小值必為f(1)與f(1)之一，所以f(1)2且f(1)2，得1a1.所以a的取值范圍為1,1解法二(分類討論法)：當(dāng)x1,1時，g(x)2，所以f(x)g(x)的解集包含1,1等價于x1,1時f(x)2，即x2ax42，當(dāng)x0時，x2ax42成立；當(dāng)x(0,1時，x2ax42可化為ax，而yx在(0,1單調(diào)遞增，最大值為1，所以a1；當(dāng)x1,0)時，x2ax42可化為ax，而yx在1,0)單調(diào)遞增，最小值為1，所以a1.綜上，a的取值范圍為1,12(2018·全國卷)設(shè)函數(shù)f(x)|2x1|x1|.(1)畫出yf(x)的圖象；(2)當(dāng)x0，)時，f(x)axb，求ab的最小值解(1)f(x)yf(x)的圖象如圖所示(2)由(1)知，yf(x)的圖象與y軸交點的縱坐標(biāo)為2，且各部分所在直線斜率的最大值為3，故當(dāng)且僅當(dāng)a3且b2時，f(x)axb在0，)成立，因此ab的最小值為5.1.不等式選講是高考的選考內(nèi)容之一，考查的重點是不等式的證明、絕對值不等式的解法等，命題的熱點是絕對值不等式的求解，以及絕對值不等式與函數(shù)的綜合問題的求解2此部分命題形式單一、穩(wěn)定，難度中等，備考本部分內(nèi)容時應(yīng)注意分類討論思想的應(yīng)用專題跟蹤訓(xùn)練(三十三)1(2018·廣州二模)設(shè)函數(shù)f(x)|2x3|x1|.(1)解不等式f(x)>4；(2)若x，不等式a1<f(x)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍解(1)f(x)|2x3|x1|，f(x)f(x)>4或或x<2或0<x1或x>1.不等式f(x)>4的解集為(，2)(0，)(2)由(1)知，當(dāng)x<時，f(x)3x2，當(dāng)x<時，f(x)3x2>，a1，即a.實數(shù)a的取值范圍為.2(2018·河南新鄉(xiāng)二模)已知函數(shù)f(x)|x4|x1|3.(1)求不等式f(x)2的解集；(2)若直線ykx2與函數(shù)f(x)的圖象有公共點，求k的取值范圍解(1)由f(x)2，得或或解得0x5，故不等式f(x)2的解集為0,5(2)f(x)|x4|x1|3作出函數(shù)f(x)的圖象，如圖所示，易知直線ykx2過定點C(0，2)，當(dāng)此直線經(jīng)過點B(4,0)時，k；當(dāng)此直線與直線AD平行時，k2.故由圖可知，k(，2).3(2018·大慶二模)已知f(x)|x3|x1|，g(x)x22mx.(1)求不等式f(x)>4的解集；(2)若對任意的x1，x2，f(x1)g(x2)恒成立，求m的取值范圍解(1)解法一：不等式f(x)>4即|x3|x1|>4.可得或或解得x<3或x>1，所以不等式的解集為x|x<3或x>1解法二：|x3|x1|x3(x1)|4，當(dāng)且僅當(dāng)(x3)(x1)0，即3x1時，等號成立所以不等式的解集為x|x<3或x>1(2)依題意可知f(x)ming(x)max，由(1)知f(x)min4，因為g(x)x22mx(xm)2m2，所以g(x)maxm2.由m24得m的取值范圍是2m2.4(2018·西安一模)設(shè)a、b為正實數(shù)，且2.(1)求a2b2的最小值；(2)若(ab)24(ab)3，求ab的值解(1)由22得ab，當(dāng)ab時取等號故a2b22ab1，當(dāng)ab時取等號所以a2b2的最小值是1.(2)由2可得ab2ab，(ab)2(ab)24ab8a2b24ab4(ab)3，(ab)22ab10，即(ab1)20，ab10，即ab1.12